プログラミングコンテストでのデータ構造 2　～動的木編～

2012/3/20 NTTデータ駒場研修所 (情報オリンピック春合宿)

プログラミングコンテストでの
データ構造２
～動的木編～

東京大学情報理工学系研究科

秋葉拓哉
1

動的木
• 実は動的木にもいくつかある
– 「順位キュー」的な言葉 (⇔ 二分ヒープ, フィボナッチヒープ)

• ポピュラーな動的木
– Link-Cut 木
– Euler-Tour 木 (動的グラフで内部的に使う)

• 今日は Link-Cut 木の話をします

2

Link-Cut 木
• 木を処理する神がかり的なデータ構造!!
（木で木を処理するのでややこしい…）

• 以下が 𝑂(log 𝑛) 時間でできる．
– 頂点の親を変更 (link) / 削除 (cut)
– 木の根を求める (root) / 木の根を変更 (evert)
– パスに対する頂点･枝の値のクエリ
(sum・max・更新など)

3

Link-Cut 木は現実
そんなのどうせ実装できっこない…
(´･_･`)

IOI は Link-Cut 木で常勝!!
Fan Haoqiang 氏
※発言はフィクションです
(中国)

Fan Haoqiang 氏は IOI’11 の Elephants で Link-Cut 木を実装！
• これに関して特別賞を受賞
• 599 点で準優勝

4

…でもやっぱその前に！
• 動的木は本当に必要？いつものじゃダメ？

• やはり，実装が面倒，避けられたら避けたい
• 実際のとこ，本当に必要になる問題は皆無

（特別賞を狙いたいのであればこの限りではない）

5

例
木上の距離クエリ
• 2 頂点間の枝を作成・削除してください
• 2 頂点間の距離を答えてください
ただしグラフは常に森．

ツリーを処理するデータ構造なんて他に知らない…
動的木じゃないとできっこないよ…
(´･_･`)

平方分割でもできるよ (重要!!)
( ･`д･´)

6

クエリを平方分割
クエリ • クエリを 𝐵 個ごとのブロックに分割

終わった
• 各ブロック内で操作に関わる頂点は
部分高々2𝐵個
• それ以外の頂点は興味が無いので，
今やる
部分ブロックを処理する最初に，縮約
– 𝑂(𝐵) 頂点の森になる

7

クエリを平方分割
クエリ縮約
• すると各クエリは 𝑂(𝐵) で処理可
←
𝑂(𝐵) 𝑂(𝑁) – 普通に 𝑂(𝐵) 頂点の木を探索するだけ
…

縮約
← 𝑄
𝑂(𝑁)
𝑂(𝐵) 𝑂 𝑁 + 𝑄𝐵 = 𝑂 𝑄 𝑁 時間
𝐵
…

↑
縮約 𝐵= 𝑁 とした
←
𝑂(𝐵) 𝑂(𝑁)
…

ただし，クエリが先読みできないと無理

類似した問題と，より詳しい解説:
http://acm-icpc.aitea.net/index.php?plugin=attach&refer=2010%2FPractice%2F%B2%C6%B9%E7%BD%C9%2F%B9%D6%C9%BE&openfile=2d.pdf

8

レベル別 Link-Cut 木
オプション
link, cut, evert, 辺質問・更新
頂点質問頂点更新 (実装そこそこ)
（実装一瞬） (実装少し)

ベース expose
(実装そこそこ)

• オプションは独立に選んで実装可

• 「頂点質問」＝ある頂点から根までのパスにおける頂点の属
性の sum とか max とかのこと
• 「頂点更新」＝とはパス上の頂点全部に x 足すとかのこと

9

基本アイディア
• ツリーをパスの集合みたいに表現
• パスを平衡二分探索木で管理

10

基本アイディア
パスへの分解は決まってない＋固定じゃない

こうなってるかもしれないしこうなってるかも
11

核となる操作 expose(𝒗)
頂点 v から根へのパスを繋げる

←切れる

v v
切
れ

↑
る

平衡二分探索木の split / merge を使う
12

link, cut の雰囲気
• cut(𝑣): 𝑣 から親への辺を削除
• link(𝑣, 𝑤): 𝑣 の親を 𝑤 にする
平衡二分探索木を切ったり繋げたりするだけ

w w
cut
v v
link

13

頂点クエリ
• sumv(𝑣): 頂点 v から根までの頂点たちに書いて
ある数の和
（あるいは minv, maxv, …）

やり方
• 平衡二分探索木に，部分木の和を持たせる
• expose(𝑣) して，和を見るだけ

14

各操作の計算量
結論: スプレー木を用いるとならし 𝑂 log 𝑛 時間

𝑂 log 2 𝑛 時間の略証：
• expose の計算量だけ考えれば良い（他は余裕）
• 平衡二分探索木で管理されるパスに入る・出る枝の本数
をならし 𝑂 log 𝑛 本に抑えられれば良い

1 本 “入って”
v v 2 本 “出た”

15

• 出るためには入る必要がある，入る回数を抑えれば OK
• 元の木の Heavy-Light Decomposition を考える
• Light-Edge の本数を抑える
– 各頂点から根までの Light Edge はそもそも 𝑂 log 𝑛 本
– よって，入る Light-Edgeは 𝑂 log 𝑛 本
• Heavy-Edge の本数を抑える
– 1 度にいじる Heavy-Edge の本数は多いかも，でも，
– Heavy-Edge が入るということは Light-Edge が出る
– Light-Edge が出るためには Light-Edge が入ってるはず
– それはさっき数えた！各クエリ 𝑂 log 𝑛 本！
– よってならし 𝑂 log 𝑛 本になる
• よって 𝑂 log 𝑛 ならし本．よって 𝑂 log 2 𝑛 ならし時間．

16

各操作の計算量
𝑂 log 𝑛 時間：
• スプレー木のポテンシャルに踏み入って解析する
• 今日は省略

Link-Cut 木を実装していこう！
（気合い！）
（といってもスプレー木が出来れば殆ど終わり）

17

実装：ノードの構造体
struct node_t {
node_t *pp, *lp, *rp; // 親，左の子，右の子

// このノードは木の根？
bool is_root() {
return !pp || (pp->lp != this && pp->rp != this);
}
…

Is_root は何故 !pp だけじゃない？
→ pp をパスの親を表すのにも使うため（後述）
（こうすると実装が凄い楽になります）
親でありながら子でないことがある

18

実装：ノードの構造体 (続き)
void rotr() { // 右回転 void splay() { // スプレー操作
node_t *q = pp, *r = q->pp; while (!is_root()) {
if ((q->lp = rp)) rp->pp = q; node_t *q = pp;
rp = q; q->pp = this; if (q->is_root()) {
if ((pp = r)) { if (q->lp == this) rotr();
if (r->lp == q) r->lp = this; else rotl();
if (r->rp == q) r->rp = this; } else {
} node_t *r = q->pp;
} if (r->lp == q) {
if (q->lp == this) { q->rotr(); rotr(); }
void rotl() { // 左回転 else { rotl(); rotr(); }
node_t *q = pp, *r = q->pp; } else {
if ((q->rp = lp)) lp->pp = q; if (q->rp == this) { q->rotl(); rotl(); }
lp = q; q->pp = this; else { rotr(); rotl(); }
if ((pp = r)) { }
if (r->lp == q) r->lp = this; }
if (r->rp == q) r->rp = this; }
} }
}

スプレー操作を Bottom-Up の方式で実装する
（普通に平衡二分探索木でスプレー木を使うときは Top-Down の方式の方が良いが，
今回はノードのポインタを知ってるところから splay したいので Bottom-Up）
（参考：Top-Down の実装例 http://www.prefield.com/algorithm/container/splay_tree.html)

19

実装：パスの親 NULL

3
1
2 5
2 表現の例
1 4
a 3

b 4 a
5 c
c
b

• pp (親へのポインタ) を 2 通りの使い方をすると楽
– 普通に二分探索木内での親へのポインタ（緑・青の両向き）
– パスからの親へのポインタ（赤色の片方向）

20

expose(c) 1
1
2 2

3 a 3
a
b 4 b 4
c 5 5
c

NULL NULL

2 2
1 3 1 3
5 5
4 4

a a
c c
b b
ノード 2 の右の子を
こうなってたら
3 から a にするだけ！
21

実装：expose
やること： node_t *expose(node_t *x) {
node_t *rp = NULL;
1. 今いる頂点を splay for (node_t *p = x; p; p = p->pp) {
p->splay();
2. 右側にさっきまで居た木を p->rp = rp;
rp = p;
くっつける }
x->splay(); // しとくと便利
3. 上の木に進む return x;
}

3 3 2 2
3
2 5 2 5 1 1 c
5
1 4 1 4 4 a
b
a c c
c a a 3
5
b b b 4

さいしょ Splay(c) 2 に移動，splay(2) 2 の右に c をつける
22

実装：link, cut
expose まで出来ていればもう簡単

void cut(node_t *c) {
expose(c); cut p
node_t *p = c->lp; • c を expose c
c->lp = NULL;
p->pp = NULL; • c の左を切断
}

link
cut
void link(node_t *c, node_t *p) {
expose(c); link
expose(p); • c, p を expose p
c->pp = p; • p の右に c を c
p->rp = c; つける
}

23

実装：evert
evert(𝑣)：𝑣 を根にする

木のパスの向きを反転すればよい

v
void evert(node_t *p) {
node_t *r = expose(p);
r->rev = true;
v }

+
スプレー木に
反転の機能を実装

24

実装：辺属性
• 木の辺に情報をつける
• 回転とか張替えでポインタと一緒に情報を保つ (注意深く)
• 部分木に関する情報も保つ
NULL

2 3 3
1 1
1 2 4 5
2 2
5 1 5 4
a 3 3
6 a
b 4 4 6
7 5 c
c
b 7

25

応用：Elephants (IOI’11)
• 象が 𝑁 匹並んでます

• クエリが大量にくる
– Update(𝑖, 𝑥)
– i 匹目の象を場所 x に移動

• クエリの度に答える
– 何台のカメラで全員写る？
– カメラ：幅 𝐿

26

• 愚直な解法：クエリ毎に計算する
– 貪欲法の典型的問題
– 一番左の象を覆う，を繰り返せば良い

• 動的木を使う解法：
– 似たような感じのことを木で表現する
– 移動は木のちょっとした更新になる
– よってクエリに爆速で答えられる

27


• 象の場所に ● を書く
• そこから L 先に ○ を書き，●から辺を張る
• ○からはすぐ次の●か○に辺を張る

• これはツリー！
• 一番左から辿って，●の個数が答え！

28

Link-Cut 木まとめ
• まずはもっと容易な道具を検討！
– クエリの平方分割

• 実装しよう（下に行くほど大変）
– expose, link, cut, root, 頂点の情報に関する質問
– evert, 頂点の情報の更新
– 辺の情報に関する質問・更新

29

全体まとめと私見
話したこと
• 平衡二分探索木
– 本当に必要か検討，必要な場所だけ作るセグメント木
– Treapのアイディア，楽な実装法の議論，応用例
– その他の平衡二分探索木の紹介
• 動的木
– 本当に必要か検討，クエリの平方分割
– Link-Cut Tree のアイディア，楽な実装法の議論，応用例
私見
• これらは難易度が高く，想定解法としての出題頻度は低い
• よって，習得の優先度は高くない
• ただし，非常に強力な道具なので，武器にできれば得をするかも？

30

プログラミングコンテストでのデータ構造 2　～動的木編～

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