1. 乱択データ構造の最新事情
－MinHash と HyperLogLog の最近の進歩－
東京大学 情報理工学研究科 D2
秋葉 拓哉 (@iwiwi)
2014/05/29 @ PFI セミナー

2. 背景
誰もが大量の集合・特徴ベクトルを処理したい！
• 文章 → 単語の集合 (bag of words)
• 商品 → 購買者
• 画像データ → 局所特徴量 (SIFT, SURF, …)
• ……
色々したいが，そのまま処理するのは困難
• データが大きすぎる
• 遅すぎる
1

3. Sketching による効率化
解決策：
集合そのものの代わりになる Sketch を使う
2
Sketch 𝑫(𝑺)
集合 𝑺
hoge
piyo
fuga
？？？
• 小さい！
• 効率的に処理ができる！
• ただし結果は推定になる

4. 3
今日の話：集合 Sketching の最新技術
1. MinHash Sketches 入門
• 基礎的かつ強力な手法である MinHash を復習
（以降の話も両方 MinHash の派生系）
2. Odd Sketches による Jaccard 係数推定の進歩
• まず，現在よく用いられている 𝒃-bit MinHash を紹介
• 類似性が高い際 𝑏-bit MinHash が劣化する問題を解消
[Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14]
3. HIP Estimator による集合異なり数推定の進歩
• まず，現在よく用いられている HyperLogLog Counter を紹介
• 要素挿入時の情報を用い精度を改善，誤差 1.08/ 𝑚 → 0.87/ 𝑚
[Cohen, PODS’14]
WWW’14 Best Paper!

5. 1. Min-wise Hashing 入門
※ この部分は岡野原さんの 2011 年の解説をベースにさせてもらっています
http://research.preferred.jp/2011/02/minhash/
4

6. Jaccard 係数
集合の類似度として Jaccard 係数を考えます
集合 𝑺 𝟏 と 𝑺 𝟐 の Jaccard 係数：
𝐽 𝑆1, 𝑆2 =
𝑆1 ∩ 𝑆2
|𝑆1 ∪ 𝑆2|
具体的な場面
• 文章の類似検索，重複検出
• 商品の推薦
集合の Jaccard 係数を推定したい気持ちになって下さい
5

7. MinHash Sketch 𝒌 = 𝟏
ハッシュ関数 ℎ を用意しておく
6
集合 𝑆
hoge
piyo
fuga
ℎ 𝑎 𝑎 ∈ 𝑆}
13
85
35
min ℎ 𝑎 𝑎 ∈ 𝑆}
13
全要素にハッシュ関数を適用 最小値だけを取り出す

8. Jaccard 係数推定の基礎
重要な性質
Pr min ℎ 𝑎 |𝑎 ∈ 𝑆1 = min ℎ 𝑏 |𝑏 ∈ 𝑆2
= 𝐽 𝑆1, 𝑆2
2 つの集合のハッシュ値の min が一致する確率は
Jaccard 係数に等しい！
※ハッシュ関数は完全にランダムに振る舞うと仮定
7
𝑆1 の Sketch 𝑆2 の Sketch

9. Jaccard 係数推定の基礎
なぜ？ 具体例で考えてみます．
• 𝑆1 = 2,5,7,9 , 𝑆2 = 1,2,4,7,10
𝑆1 ∩ 𝑆2 = 2,7 ．例えば 2 で一致する場合とは？
• arg min ℎ 𝑎 |𝑎 ∈ 𝑆1 = 2 ⇔ {2,5,7,9} で 2 が最強
• arg min ℎ 𝑏 |𝑏 ∈ 𝑆2 = 2 ⇔ {1,2,4,7,10} で 2 が最強
条件を合わせると，
• 2 で一致 ⇔ 1,2,4,5,7,9,10 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 中で 2 が最強
一致するのは 7 でも良く，このように，要は
𝑆1 ∪ 𝑆2 中で最強のものが 𝑆1 ∩ 𝑆2 のいずれかであればよい．
その確率は： S1 ∩ 𝑆2 / S1 ∪ 𝑆2 = 𝐽 𝑆1, 𝑆2 ．
8
最強＝ハッシュ値が最低

10. 𝒌-min MinHash Sketch
あとはこれを 𝑘 個並べると……！
𝒌-min MinHash Sketch
• 異なる 𝑘 個のハッシュ関数 ℎ1, ℎ2, … , ℎ 𝑘 を用意
• それぞれについてさっきの min を計算＆保存
Jaccard 係数の推定
• 「一致した数 / 𝑘」により 𝐽 𝑆1, 𝑆2 を推定
推定値は unbiased (不偏)
また分散は 𝐽 1 − 𝐽 / 𝑘 になることが示せる
9

11. MinHash Family
こんな感じでハッシュ関数の最小値に注目する
Sketching の手法が一般に MinHash と呼ばれる．
（Jaccard 係数推定以外のことも色々できる．）
MinHash のバリエーション
• 𝑘 個の並べ方
– 𝑘-min Sketch (OddSketch はコレ)
– 𝑘-partition Sketch (HyperLogLog はコレ)
– Bottom-𝑘 Sketch (最近の All-Distances Sketches はコレ)
• ハッシュ値の使い方
– Full Ranks (さっきのやつはコレ)
– 𝑏-bit MinHash (Jaccard 係数でよく使われているヤツ)
– Base-𝑏 Ranks (HyperLogLog は Base-2 Ranks)
– ……
10

12. 2. Odd Sketches による
Jaccard 係数推定の進歩
[Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14]
11

13. 𝒃-bit MinHash
MinHash の改善できそうなところ
• さっきの MinHash ではハッシュ値をそのまま保存
• 各々に 32bit (or 64bit) も使うと個数 𝑘 をあまり増やせない
• 衝突を覚悟してもハッシュ値を小さくして，その分 𝑘 を
増やしてはどうか？
𝒃-bit MinHash [Li-König, WWW’10]
• 異なる 𝑘 個のハッシュ関数 ℎ1, ℎ2, … , ℎ 𝑘 を用意
• それぞれについてさっきの min を計算
• ハッシュ値の下位 𝑏 bit のみを保存
(データサイズは 𝑘𝑏 bit になる)
12
𝑏 = 1 という極端な場合が
実は一番性能が良かったり

14. 𝒃-bit MinHash による Jaccard 係数推定
Jaccard 係数の推定：
𝐽 =
𝑛/𝑘 − 2−𝑏
1 −2−𝑏 と推定すれば良い （𝑛＝一致箇所数）
一致確率にハッシュ値の衝突を加味して解析
• 各箇所の一致確率は 𝐽 + 1 − 𝐽 2−𝑏
• 𝐽 + 1 − 𝐽 2−𝑏 × 𝑘 = 𝑛 として解くと上が得られる
推定値は unbiased (不偏)
また分散は 1−𝐽
𝑘
𝐽 +
1
2 𝑏−1
になることが示せる
13

15. 𝒃-bit MinHash が微妙な時
特に高い類似度の推定に興味がある時
𝒃-bit MinHash は実は微妙
なぜ？
• 類似度 𝐽 が 1 に近い時，2 つのスケッチはほぼ同じ
• 異なっている若干のビット数で，1 との差を見積もる
• つまり，1 との差を表現するのは全体のごく一部
そのような状況は少なくない
• 類似度 Top-10 を表示したい（→ 高い類似度のアイテムの精度が重要）
• Web ページの重複検出等で 𝐽 > 0.9 かを判定したい
14

16. 𝒃-bit MinHash が微妙な時
• 類似度 𝐽 が 1 に近い時，2 つのスケッチはほぼ同じ
• 異なっている若干のビット数で，1 との差を見積もる
• つまり，1 との差を表現するのは全体のごく一部
15
[Figure 1, Mitzenmacher+, WWW’14]

17. Odd Sketches
そこで高い類似度での精度を重視し改善するのが
Odd Sketches [Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14]
着想
• XOR を活用する
• 共通部分を打ち消させる
• 異なっている部分の情報だけを綺麗に得る

18. Odd Sketches
Odd Sketches [Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14]
• まず集合の要素を 𝑘-min MinHash で 𝑘 個選ぶ
• 𝑛 bit のビットベクトル 𝑠 を用意，最初は全箇所 0
• 選ばれてる各要素 𝑎 について，𝑠 ℎ′ 𝑎 を反転する
𝑘 と 𝑛 がパラメータ．ℎ′: 値域 [1, 𝑛] のハッシュ関数を別途用意
17
集合 𝑆
hoge
piyo
fuga
1 piyo
2 hoge
𝑘-min MinHash
𝑘 = 2
0 1 0 0 1 0
Odd Sketch
𝑛 = 6

19. Odd Sketches
※注意：実際には元の集合からいきなり Odd Sketches を計算するので
はなく，集合の 𝑘-min MinHash Sketch の Odd Skech を計算します．
（擬似コードの 𝑆 は既に 𝑘-min MinHash Sketch）
18

20. Odd Sketches による Jaccard 係数の推定
𝐽 = 1 +
𝑛
4𝑘
ln 1 −
2 × Popcount odd 𝑆1 ⨂odd 𝑆2
𝑛
導出
• E MinHash 𝑘 𝑆1 Δ MinHash 𝑘 𝑆2 = 2𝑘 1 − 𝐽
• ポアソン分布への近似により E 𝑠𝑖 =
1−𝑒−2𝑚/𝑛
2
, E[Popcount] = 𝑛
1−𝑒−2𝑚/𝑛
2
• これを適当に解くと上が得られる
精度保証
• 実は Biased (だけど bias は 1 以下)
• この式自体の分散等のカッチリした bound は今のところ無い
論文中では良いパラメータ仮定の元で精度が良さそうな根拠を並べている．
実際にはパラメータも実験により決めており，このへんは若干イケてない．
19
XOR
1 の数
S1の Odd Sketch
対称差
𝑚 = MinHash 𝑘 𝑆1 Δ MinHash 𝑘 𝑆2

21. Odd Sketches が得をする感覚的説明
20
[Figure 1-2, Mitzenmacher+, WWW’14]

22. 実験結果
他，論文中では実際の応用に組み込んでの結果なども示されてます．
21
[Mitzenmacher+, WWW’14]

23. 3. HyperLogLog による
集合異なり数推定の進歩
[Cohen, PODS’14]
22

24. 集合異なり数の計算
集合異なり数 (distinct counting)
• 重複を取り除き，異なるものの数を数えたい
• 例：[1, 3, 5, 1, 2, 3, 2] → {1, 2, 3, 5} → 4
具体的な場面
• ウェブページのユニークビジター数
• 単語の DF (document frequency) の計算 (tf-idf)
23

25. 集合異なり数の計算
計算が “意外と” 難しい
• 既に全データある (batch) → sort して unique かける
• 少しずつ来る (stream) → set を用意して放り込む
どちらも線形のメモリを使ってしまう．
ユニークビジター数を監視したいとすると……
• 各ページについて set を用意？
• 各ページに線形のメモリは，メモリを使いすぎでは？
そこでやはり Sketching の出番！
現在最もよく使われているのが HyperLogLog Counter！
[Flajolet+, AOFA’07]
24

26. HyperLogLog のインパクト
Google
• PowerDrill (data analysis platform) にて使われている [Hall+, VLDB’12]
• その際行った改良についての論文も出ている [Heule+, EDBT’13]
Twitter
• Algebird (Abstract algebra library for Scala) に入っている
https://github.com/twitter/algebird/search?q=hyperloglog&ref=cmdform
Redis (open source key-value store)
• データタイプとして HyperLogLog が選べる
http://antirez.com/news/75
25

27. HyperLogLog (𝒌 = 𝟏)
HyperLogLog も MinHash の一種，ただし
ハッシュ値を Base-2 Ranks で扱う
Base-2 Ranks
• 𝑎 ∈ 𝑆 の Base-2 rank 𝜚ℎ 𝑎 ≔ ℎ 𝑎 の先頭の 0 の数
• 例：ℎ 𝑎 = 00010101010 ⋯ → 𝜚ℎ 𝑎 = 3
HyperLogLog 𝒌 = 𝟏
• 𝑝 = max 𝜚ℎ 𝑎 | 𝑎 ∈ 𝑆 を計算
• 2 𝑝
として推定
26
3個
一般に base-𝑏 rank は
− log 𝑏
ℎ(𝑎)
𝑛
(ℎ の値域を [1, n] として)
大きいヤツが珍しいので
max を覚える
𝑝 以上になるのは
確率 2−𝑝
なので的な

28. HyperLogLog (𝒌 > 𝟏)
Jaccard 係数の時同様, 𝑘 個並べて推定を強化する．
ただし，今回は入力を 𝒌 個に分割する．
HyperLogLog [Flajolet+, AOFA’07]
• 𝑘 = 2 𝑏 個のバケット 𝑀 𝑖 を用意
• ハッシュ値 ℎ 𝑎 の先頭 𝑏 bit でバケットに振り分け
• 各バケットで，Base-2 rank の max を保存
集合異なり数の推定
• 各バケットで推定値を計算
• それらの normalized bias corrected harmonic mean を取る
(式は若干大変なので論文を見て下さい)
27
ハッシュ値は勿論先頭 𝑏 bit を
捨てたものを使う

29. HyperLogLog
28
[Figure 2, Flajolet+, AOFA’07]

30. HyperLogLog の理論的な性能
精度
• 相対誤差は 1.04/ 𝑘，CV (NRMSE) は 1.08/ 𝑘
• 定数確率で 1 ± 𝜀 近似するために必要な空間は
𝑂 𝜀−2 log log 𝑛 + log 𝑛
スペース
• 各 𝑀 𝑖 の保存は 5 bit とかそんなもので良い → 5𝑘 bit
これは near-optimal であるらしい．
（漸近的性能はこれ以上の大幅な改善はできなさそう，ということ）
29
LogLog の名前を冠する所以

31. HyperLogLog の問題点
実は，値が大きくならないと滅茶苦茶
30
[Figure 2, Heule+, EDBT’13]

32. 値が小さい時の対策
アルゴリズムを組み合わせる
• Linear Counting [Whang+, TODS’09] など
無理やり直す [Heule+, EDBT’13]
• 右図のような巨大な表を前計算
(Google PowerDrill にはこれが組み込まれている)
美しくない！
31

33. HIP Estimator
Historic Inverse Probability Estimator
[Cohen, PODS’14]
• 値が小さい時も推定が正確になる
• 漸近的な精度も大きく向上
着想
• HyperLogLog は near-optimal だったのでは？
• データ構造の最終状態から直接推定値を得るという仮定
• 最終状態だけでなく，計算途中の全ての状態を加味する
とどうか？
32
素晴らしい！

34. HyperLogLog with HIP Estimator
33
[Figure 4, Cohen, PODS’14]
データ構造に集合を流しこみつつ
最初から数の集計も進める
バケットを更新する度に
「この状況でここが更新される確率」
を使って集計値に加算する

35. HIP Estimator 仕組み＆理論値
動作原理はシンプル
• 一般論：確率 𝑝 で発生 → 発生までの回数の期待値は 1/𝑝
• これに基づき，スケッチ値がそこで更新される条件付き
確率を考え，その逆数を足していけば良い
理論的解析
• CV (NRMSE) 3/4𝑘 ≈ 0.866/ 𝑘 （← HLL は 1.08/ 𝑘）
• 0.56 倍のレジスタ数で同じ精度
– カウンタ 𝑐 も新しく覚えておくことを加味しても優れている
HyperLogLog 以外でも，MinHash の変化を用いる時は常に適用可能
（例：All-Distances Sketches）
34
Historic Inverse Probability と呼ばれる所以

36. 実験結果
35
[Figure 3, Cohen, PODS’14]

37. まとめ
背景
• 大量の集合を皆が扱いたい時代
• そのための基礎技術としての集合 Sketching を紹介
基礎
• 全ての基本：MinHash
• Jaccard 係数推定： 𝒃-bit MinHash
• 集合異なり数推定：HyperLogLog
最新
• Jaccard 係数推定（高類似度）：Odd Sketches
• 集合異なり数推定：HIP Estimator
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