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![双対グラフの応用，他の例
MSSP (多始点最短路木)
• ある面の全頂点から，グラフ全体の全頂点への最短距離
• 始点がどんなに多くても 𝑂 𝑛 log 𝑛 時間（！？）
トリック
• 隣の頂点に移るとき，最短路木は余り変化しない
• 永続データ構造で最短路木を表現，いじりながらグルっと一周
• 最短路木に入ってない辺も，双対で木を成すので効率的に管理（！）
13
[http://courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L11.pdf]](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-14-2048.jpg)
![Recursive Separation (𝑟-division)
定理：任意の 𝑛 頂点の平面グラフ，任意の 𝑟 に対し
• 𝑂(𝑛/𝑟) 個の部分になって
• 各部分は 𝑟 頂点以下で
• 各部分，境界（外に辺が出てる頂点）は 𝑂 𝑟 個
となるような分割が 𝑂 𝑛 log 𝑛 時間で得られる
BFS して真ん中の層あたりだけ取り出して（そうすると半径小さい全域木があるので）
さっきの Fundamental Cycle Separator する，というのを再帰的にやるとできます
16
ざっくり言うと
小さいサイズのピースに
いい感じに分割できる
[Fre87, p. 1006, Fig. 1]](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-17-2048.jpg)
![道路は平面グラフ？
25
NO
結構，立体交差がある→
[http://www.flickr.com/photos/31246066@N04/8177689699 (CC-BY)]
立体交差は結構困る
• 双対グラフが取れなくなる
• 双対グラフを使うアルゴリズムが動かない
（かなり大部分のアルゴリズムや定理が双対グラフに依存）](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-26-2048.jpg)
![道路は平面グラフ？
MIT の人たちの論文
平面グラフのアルゴリズムを実装して実験する際，
道路ネットワークから交差を除いて実験……！
（アカン）
26
[Fox-Epstein+, ALENEX’13]](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-27-2048.jpg)
![Customizable Route Planning (CRP)
特徴：性能そこそこ，拡張性が全て
• 手法やはりシンプル
• クエリそこまでは速くない
• 指標が簡単に入れ替えられる
– 時間，距離，右折左折，……
Bing Map のアルゴリズムとして採用
MSR チームとの連携素晴らしい
http://www.bing.com/blogs/site_blogs/b/maps/archive/2012/01/05/bing-maps-new-routing-engine.aspx
44
[Delling+, SEA’11]](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-45-2048.jpg)
![Customizable Route Planning (CRP)
アプローチ
• いにしえのグラフ分割系
• 性能競争の中で一旦廃れていた
アルゴリズム概要
• 前処理
1. グラフを分割
2. 境界頂点同士のみからなるグラフ構築
(Overlay Graph)
• クエリ
– 始点・終点のある部分 ＋ Overlay Graph
– その上で Dijkstra のアルゴリズム
45
[Fre87, p. 1006, Fig. 1]](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-46-2048.jpg)
![Hub-Labeling
• 有名人 Andrew Goldberg 率いるチーム
• やりこみっぷり：既に関連する論文が 5 本出版
特徴
• とにかくクエリが速い：数百 ns
• インデックスは大きめ，前処理も遅め
アプローチ
• こうすればクエリは爆速になりそうだ
• けどそんな前計算できる？データ大きくなりすぎない？
• → できそうな気がしてやってみたら上手く行った
（「できそう」の裏付けは Highway Dimension という彼らの新しい理論 [SODA’10]）
47
[Delling+, SEA’11]](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-48-2048.jpg)
![2-Hop Labeling: ラベル計算
課題: どのようにラベルを計算するか
• 正しく (Exactness)
• 小さいラベルを (Index Size & Query Time)
• 効率的に計算したい (Scalability)
彼らのアプローチ
1. Contraction Hierarchy (最初に紹介したやつ) を作る
2. 自分より上流になったヤツへの距離を全部保存！
3. ……するとやばいので要らないのを判定して消す
50
ちなみに
Pruned Landmark Labeling [Akiba-Iwata-Yoshida,SIGMOD’13]
も 2-Hop Labeling の手法（複雑ネットワーク向け）](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-51-2048.jpg)
![Pruned Highway Labeling (PHL)
特徴
• Hub Labeling (HL) に迫るクエリ速度！
• 前処理は HL より圧倒的に速い！
• インデックスは HL より小さいか同程度
アプローチ
• Pruned Landmark Labeling (PLL) をベース
• 一般化：頂点への距離でなくパスへの距離を保存
• 高速なパス（＝高速道路）の存在を活用！
52
[河田-秋葉-岩田, コンプ研’13]](https://image.slidesharecdn.com/pfi-130912073141-phpapp01/75/slide-53-2048.jpg)
![[DL輪読会]Deep Learning 第15章 表現学習](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/deeplearning15-180601023904-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
平面グラフと交通ネットワークのアルゴリズム
- 1. 平面グラフと 交通ネットワークの アルゴリズム 東京大学情報理工学系研究科 秋葉 拓哉 |@iwiwi 2013/09/12 PFI セミナー
- 2. 自己紹介 秋葉 拓哉 /@iwiwi • 所属：東大 CS D1 (今井研), DC1 • PFI：インターン (2009) → バイト • 趣味：プログラミングコンテスト – TopCoder レーティング：3306 (日本トップ) • 研究：大規模グラフのアルゴリズム – 最短経路クエリ，コミュニティ検出，…… 1
- 3.
- 4. 今日の話 1. 平面グラフのアルゴリズム – 平面グラフ専用のグラフアルゴリズム –平面性をアルゴリズムでどのように活用？ – 基礎的なアプローチを紹介 （STOC, FOCS のような理論コミュニティの話題） 2. 交通ネットワークのアルゴリズム – 現実世界の交通ネットワークにおける課題 – 最近の研究を紹介 （DB系, GIS系, 実験系アルゴリズムのような応用コミュニティの話題） 3 理論 応用
- 5.
- 6.
- 7. 平面グラフがどれほど特別なのか 理論コミュニティで重要視されるクラスの１つ よく研究されている．何故？ 1. 実際の交通ネットワークのモデル – 道路網は平面グラフに近いように思える 2.驚くほど性能が違うアルゴリズム – 一部の NP-Hard 問題が多項式時間で解ける (!?) – 一部の近似困難問題が近似できる – 多くの問題が 𝑂 𝑛 時間で解ける 3. グラフマイナー理論 (触れたかったけど略) 6
- 8. 平面グラフにおけるアルゴリズム 2. 驚くほど性能が違うアルゴリズム – 一部のNP-Hard 問題が多項式時間で解ける (!?) – 一部の近似困難問題が近似できる – 多くの問題が 𝑂 𝑛 時間で解ける 事実として聞いたことある人は多い？ しかし，なんでそんなことになるのか？ 平面性はどのようにアルゴリズムで活用されるか 主要なアイディアを紹介！ 7
- 9. テクニック１：双対グラフの存在 平面グラフ 𝐺 の双対グラフ𝑮∗ ＝𝐺 の面を頂点としたグラフ 8 平面グラフ 𝐺 やったか！？ →惜しいけど間違い 正しい双対グラフ 𝐺∗ （一番外側も実は「面」）
- 10. 双対グラフの性質 𝐺 と 𝐺∗の間には，色々な面白い性質がある 最も基礎的な性質 1. 𝐺 のサイクル ＝ 𝐺∗ のカット 2. 𝐺 の全域木 𝑇 ＝ 𝐺∗ のある全域木 𝑇∗ の残り 3. 𝐺 で辺削除 ＝ 𝐺∗ で辺縮約 9
- 11. 双対グラフの性質 最も基礎的な性質 1. 𝐺 のサイクル＝ 𝐺∗ のカット 10 サイクル サイクルの場所に対応する辺（点線） を削除するとグラフが分断（緑と紫） つまりカットになってる ※本当は，シンプルなサイクルとシンプルなカット
- 12. 双対グラフの性質 最も基礎的な性質 2. 𝐺 の全域木𝑇 ＝ 𝐺∗ のある全域木 𝑇∗ の残り 11 全域木 全域木で使ったところだけ辺を削除 → 残りが全域木になってる
- 13. 双対グラフの性質 最も基礎的な性質 1. 𝐺 のサイクル＝ 𝐺∗ のカット 2. 𝐺 の全域木 𝑇 ＝ 𝐺∗ のある全域木 𝑇∗ の残り 例：Fundamental Cycle Separator (概要) 半径の小さい全域木を持つグラフなら 線形時間でいいバランスでグラフを２つに分割できる • 面に重みをつけて，面たちを分割することにする • 双対の全域木で，いい感じに分割できる辺を 1 本選ぶ • その辺＋元の全域木を使ったサイクル，でカットを作る 12
- 14. 双対グラフの応用，他の例 MSSP (多始点最短路木) • ある面の全頂点から，グラフ全体の全頂点への最短距離 •始点がどんなに多くても 𝑂 𝑛 log 𝑛 時間（！？） トリック • 隣の頂点に移るとき，最短路木は余り変化しない • 永続データ構造で最短路木を表現，いじりながらグルっと一周 • 最短路木に入ってない辺も，双対で木を成すので効率的に管理（！） 13 [http://courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L11.pdf]
- 15. 双対グラフの応用，他の例 最大流 (無向の場合) 1. 始点・終点が同じ面にある場合 •実はすごい簡単 • 最大流・最小カット定理より最小カット知りたい • カット ＝ 双対のサイクル • 片方をぐるっと囲むサイクル ＝ ぶった切って最短路 計算量：𝑂(𝑛) 時間 （※平面グラフでは最短路は RAM モデルじゃなくても 𝑂(𝑛) 時間） 2. そうとは限らない場合 • 似たような感じで，切り開いて最短路 (MSSP) 計算量：𝑂 𝑛 log log 𝑛 14 𝑠 𝑡 𝑠′ 𝑡′
- 16.
- 17. Recursive Separation (𝑟-division) 定理：任意の𝑛 頂点の平面グラフ，任意の 𝑟 に対し • 𝑂(𝑛/𝑟) 個の部分になって • 各部分は 𝑟 頂点以下で • 各部分，境界（外に辺が出てる頂点）は 𝑂 𝑟 個 となるような分割が 𝑂 𝑛 log 𝑛 時間で得られる BFS して真ん中の層あたりだけ取り出して（そうすると半径小さい全域木があるので） さっきの Fundamental Cycle Separator する，というのを再帰的にやるとできます 16 ざっくり言うと 小さいサイズのピースに いい感じに分割できる [Fre87, p. 1006, Fig. 1]
- 18. 𝒓-division の応用 最大独立集合問題 (NP-Hard) •できるだけ多く頂点を選びたい • ただし選んだ頂点間に辺があってはいけない 𝒓-division による近似アルゴリズム • 𝑟 = log log 𝑛 にして分割 • 各部分で最適解を求めてくっつける，境界は無視 これだけで 𝑂(1/ log log 𝑛) 近似のアルゴリズムになる ※最大独立集合問題は MaxSNP-Complete で，一般のグラフでは近似困難！ 17
- 19. テクニック３：Graph Decomposition 各種 GraphDecomposition の活用 • Tree Decomposition • Branch Decomposition 小さいセパレータが存在すること（テクニック２）は， Graph Decomposition との相性の良さを示唆 使われ方の例 • Treewidth 𝑂 𝑛 • Baker’s Framework, Klein’s Framework • Deletion&Contraction Decomposition • Bidimensionality 18 8/15 PFI セミナー （岩田）
- 20. Deletion Decomposition 雰囲気 •あとは各部分を DP で解く．Treewidth が小さいので，各 層にどんなに頂点があっても高速に解ける． • あとは解をくっつける → 近似アルゴリズムになっている． 19 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿4 𝐿5 𝐿6 𝐿7 ⋯ 1 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿4 𝐿5 𝐿6 𝐿7 ⋯ 2 3 で割った余りが 0 の層を削除 適当な頂点 𝑣 からBFS 層に別れる 3 残った各部分の Treewidth 小さい ※𝑘-outerplanar なので 𝑂(𝑘) ※本当は割る数 𝑘 や削除する層は もっとちゃんと決める
- 21. Deletion Decomposition 雰囲気 類似のテクニック •Contraction Decomposition • Baker’s Framework 何ができるか • 様々な問題に対して近似アルゴリズムが作れる • しかも，好きな近似精度を設定可 – 𝑘 (何個ずつにするか) を調整する – 実現したい近似精度 𝜀 を定数だと思えば，𝑘 も定数なので， どんな精度にしようと思っても多項式時間 • こういう近似アルゴリズムは PTAS と呼ばれ，すごい – 一般のグラフでは PTAS が無い問題に，PTAS が大量にある 20
- 22.
- 23. 交通ネットワークとは 道路ネットワーク • 頂点が交差点，辺が道路 交通ネットワーク • 道路ネットワークの別名or • その他に電車とか飛行機とか足したもの（？）
- 24. ポピュラーに取り組まれている問題 1. 経路計画・検索：最短経路クエリ＋α • 二点間の最短距離・最短経路を瞬時に答える •地図サービス (Google Maps) やカーナビ • 経路検索の目的だけでなく，施設の検索の補助なども 2. GPS 軌道情報：Map Matching • GPS からの点列から，道路上の経路を復元 • GPS のノイズ，自然な運転になること等を考慮 3. その他：(𝑘-)Nearest Neighbor＋α, … 23
- 25. 話は戻って • 平面グラフは道路のモデルでもある • 重要なグラフクラスで問題を解くのが重要…… ……ん？本当に道路は平面グラフなのか？ 24 ErikDemaine • 20 歳で MIT 教授になった天才 • MIT で平面グラフの授業
- 26. 道路は平面グラフ？ 25 NO 結構，立体交差がある→ [http://www.flickr.com/photos/31246066@N04/8177689699 (CC-BY)] 立体交差は結構困る • 双対グラフが取れなくなる •双対グラフを使うアルゴリズムが動かない （かなり大部分のアルゴリズムや定理が双対グラフに依存）
- 27.
- 28. 個人的には 平面グラフのアルゴリズム研究の意義 性質やアプローチは活用可 • 例えば，小さいセパレータは多分ある ただし，アルゴリズム自体は使えない • そもそも，ちょっぴり計算量を落とす系は大抵 は定数倍のせいで実際には低速 •理論的興味ということ よって現実向けのアルゴリズムが必要 27
- 29. 経路計画 (Route Planning) 色んなタイプの研究がある とにかく爆速で最短距離を求めたい！ •検索システムのバックエンド • 性能競争 現実的な経路を目指す • 左折・右折にペナルティ，などのコスト関数 • 車から降りて電車に乗って車に乗ったりしない • SQL にぶち込めるようにする もっと変なやつ (ほぼそのままサービス？) 28
- 30. 今日触れる手法 Contraction Hierarchy • シンプルでプラクティカル，拡張性 •OSRM のバックエンド Customizable Route Planning • 拡張性＝命で作られた • Bing Map のバックエンド Hub-Labeling • MSR が超やりこんでる爆速系 Pruned Highway Labeling • ！？！？ 29
- 31. Contraction Hierarchy 最短路クエリ手法，最も有名なものの 1つ 純粋なクエリからの拡張まで対応できる 特徴：性能重視というより実用的 • 手法がシンプル • 前処理データが小さい • クエリはそこそこ (数 ms) OSRM のアルゴリズムとして採用 オープンソースの地図サービス http://project-osrm.org/ 30
- 32. Contraction Hierarchy：前処理 ６ １４ ３ ５２ ２２ ２２ １３
- 33. Contraction Hierarchy：前処理 ６ １ ４ ３５２ ２ ２ ２ １ ３ ５ 適当な順番で頂点が Contract される ※実際には順番かなり重要
- 34. Contraction Hierarchy：前処理 ６ １ ４ ３５２ ２ ２ ２ １ ３ ５ その頂点が無くても 距離が変わらないように 辺が追加される
- 35. Contraction Hierarchy：前処理 ６ １ ４ ３５ ２ ２ ２ ２ １ ３ ５ どんどん Contract！
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- 39. Contraction Hierarchy：前処理 ６ １ ４ ３ ５ ２ ２ ２ ２ １ ３ ３ ５ ８ 全頂点 Contractおわり． 頂点は Contract 順に高さをつけておく．
- 40. Contraction Hierarchy：クエリ ６ １ ４ ３ ５ ２ ２ ２ ２ １ ３ ３ ５ ８ 頂点 2から頂点 3 への 最短路を求めたいとする
- 41.
- 42.
- 43.
- 44. Contraction Hierarchy Contraction Hierarchyは何故上手くいく？ • ポピュラーな頂点が上の方に来るようにする – 高速道路の周りとか – 地域の出口とか • そうすると，追加される辺の数が少ない – どうせポピュラーな頂点を通過するから 43
- 45. Customizable Route Planning(CRP) 特徴：性能そこそこ，拡張性が全て • 手法やはりシンプル • クエリそこまでは速くない • 指標が簡単に入れ替えられる – 時間，距離，右折左折，…… Bing Map のアルゴリズムとして採用 MSR チームとの連携素晴らしい http://www.bing.com/blogs/site_blogs/b/maps/archive/2012/01/05/bing-maps-new-routing-engine.aspx 44 [Delling+, SEA’11]
- 46. Customizable Route Planning(CRP) アプローチ • いにしえのグラフ分割系 • 性能競争の中で一旦廃れていた アルゴリズム概要 • 前処理 1. グラフを分割 2. 境界頂点同士のみからなるグラフ構築 (Overlay Graph) • クエリ – 始点・終点のある部分 ＋ Overlay Graph – その上で Dijkstra のアルゴリズム 45 [Fre87, p. 1006, Fig. 1]
- 47. Customizable Route Planning(CRP) 何故 Contraction Hierarchy ではダメ？ Contraction Hierarchy が上手く動く ＝良い感じの Hierarchy が存在 • 普通の移動時間の指標なら，良い Hierarchy 存在 • しかし，違う指標を入れると，結構すぐダメになる – 例えば，純粋な距離にするだけで，10 倍低性能 – 高速道路とかがポピュラーでなくなるから 46
- 48. Hub-Labeling • 有名人 AndrewGoldberg 率いるチーム • やりこみっぷり：既に関連する論文が 5 本出版 特徴 • とにかくクエリが速い：数百 ns • インデックスは大きめ，前処理も遅め アプローチ • こうすればクエリは爆速になりそうだ • けどそんな前計算できる？データ大きくなりすぎない？ • → できそうな気がしてやってみたら上手く行った （「できそう」の裏付けは Highway Dimension という彼らの新しい理論 [SODA’10]） 47 [Delling+, SEA’11]
- 49. 2-Hop Labeling: 前計算データ •データ形式とクエリ処理アルゴリズムのフレームワーク • 前計算データ: label 𝐿 𝑣 = 𝑙1, 𝛿1 , 𝑙2, 𝛿2 , … – 𝑙𝑖 ∈ 𝑉, 𝛿𝑖 = 𝑑 𝐺 𝑣, 𝑙𝑖 48 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝒗 𝛿1 𝛿2 𝛿3 𝐿(1): Vertex 1 4 5 7 10 Distance 0 3 2 4 5 𝐿(2): 𝐿 3 : Vertex 2 4 6 12 Distance 0 1 5 3 Vertex 2 3 4 6 7 Distance 5 0 4 7 2 𝑑 𝐺 1,10 = 5 例
- 50. 2-Hop Labeling: クエリ処理アルゴリズム •クエリ: 𝑑 𝐺(𝑠, 𝑡) = min 𝑙∈𝐿 𝑠 ∩𝐿(𝑡) 𝑑 𝐺 𝑠, 𝑙 + 𝑑 𝐺 𝑙, 𝑡 – 共通する頂点を通るパス 49 𝑡 𝑠 𝐿(1): Vertex 1 4 5 7 10 Distance 0 3 2 4 5 𝐿 3 : Vertex 2 3 4 6 7 Distance 5 0 4 7 2 例 1 と 3 の距離： • 1 –…– 4 –…– 3 ： 3 + 4 = 7 • 1 –…– 7 –…– 3 ： 4 + 2 = 6 答えは min{6, 7} = 6
- 51. 2-Hop Labeling: ラベル計算 課題:どのようにラベルを計算するか • 正しく (Exactness) • 小さいラベルを (Index Size & Query Time) • 効率的に計算したい (Scalability) 彼らのアプローチ 1. Contraction Hierarchy (最初に紹介したやつ) を作る 2. 自分より上流になったヤツへの距離を全部保存！ 3. ……するとやばいので要らないのを判定して消す 50 ちなみに Pruned Landmark Labeling [Akiba-Iwata-Yoshida,SIGMOD’13] も 2-Hop Labeling の手法（複雑ネットワーク向け）
- 52. Hub-Labeling のラベルサイズ 驚くほど小さい • 西ヨーロッパの道路ネットワーク，2× 108 頂点 • 各頂点は，平均たった 69 頂点への距離さえ覚えていれ ば良い！ 51 ←これはアメリカだけど
- 53. Pruned Highway Labeling(PHL) 特徴 • Hub Labeling (HL) に迫るクエリ速度！ • 前処理は HL より圧倒的に速い！ • インデックスは HL より小さいか同程度 アプローチ • Pruned Landmark Labeling (PLL) をベース • 一般化：頂点への距離でなくパスへの距離を保存 • 高速なパス（＝高速道路）の存在を活用！ 52 [河田-秋葉-岩田, コンプ研’13]
- 54. 話したこと 1. 平面グラフのアルゴリズム – 双対グラフ，セパレータ，分解 2.交通ネットワークのアルゴリズム – 経路計画：拡張性系と爆速系 ありがとうございました 53 理論 応用 @oxy さん @kawatea03謝辞：