Purely Functional Data Structures 5.5 Pairing Heap

1. 5.5 Pairing Heap
2012/03/04 (初版)
2012/04/13 (２版)
@yuga

2. 目次
• データ構造
• 特徴
• 実装
• 解析（最悪実行時間）
• 解析（Amortized時間）

3. データ構造
• ヒープ規則で順序づけられた多分岐木
– （整数で小さい順なら）親はどの子より小さい
※以後、これを採用して説明します
• data PairingHeap a = E | T a [PairingHeap a]
– ただし、Heapの子に E は登場しない
Fredman, Michael L.; Sedgewick, Robert; Sleator, Daniel D.; Tarjan, Robert E. (1986),
"The pairing heap: a new form of self-adjusting heap“
http://www.lb.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/user/sleator/www/papers/pairing-heaps.pdf

4. 図解: データ構造
親
2
子
3 7 8
6 4 9
5

5. 特徴
• 実装が単純で簡単
• 実用上すぐれた性能をもつ
• 正確なamortized時間を解析することが困難

6. 実装: Heapの関数
テキストより:
• findMin
• merge
• insert
• deleteMin

7. 実装: findMin
• 木はヒープ規則で順序づけられているので、
findMinの実装は自明
• 単にheapの最上位要素を返す
findMin (T x _) = x

8. 実装: merge
• merge関数はふたつの木のルート要素を比較して、
小さい方を結果のルートに残し、大きい方とその部
分木をルートの部分木として追加する
merge h E = h
merge E h = h
merge h1@(T x hs1) h2@(T y hs2)
| x < y = T x (h2:hs1)
| otherwise = T y (h1:hs2)

9. 図解: merge
merge 3 2
6 4 7 8
5 9
3 ＞ 2 2
6 4 7 8 3 7 8
5 9
6 4 9
5

10. 実装: insert
• insert関数は追加する要素に対して新しい木を作り、
追加先の木にマージする。
insert x h = merge (T x []) h

11. 図解: insert
insert 5 E 5
insert 4 5 4
5
insert 3 4 3
5 4
5
insert 6 3 3
4 6 4
5 5

12. 実装: deleteMin
• ルートを取り除き、部分木をマージする。
mergePairs [] = E
mergePairs [h] = h
mergePairs (h1:h2:hs) =
merge (merge h1 h2) mergePairs hs
deleteMin (T x hs) = mergePairs hs

13. 図解: deleteMin
① 削除
③ Combining
merge merge merge merge
② Pairing
merge
merge

14. 図解: deleteMin
2 3
3 7 8 8 7 6 4
6 4 9 9 5
5

15. 実装: 二分木への変換
• 二分木のデータ構造
data BinTree a = E'
| T' (BinTree a) a (BinTree a)
• 変換
toBinary :: PairingHeap a -> BinTree a
toBinary E = E'
toBinary (T x hs) = T' (tree hs) x E'
where
tree [] = E'
tree ((T x hs1):hs2) = T' (tree hs1) x (tree hs2)

16. 図解: half-ordered binary tree へ変換
2
2
3 E
3 7 8
6 7
6 4 9
5 E 4 E 8
E
5 E 9
E E E E

17. 解析: 最悪実行時間
• O(1)
– findMin、insert、mergeの各関数は、最悪時間
O(1)で実行できる
• 実装をみればすぐわかる
• O(n)
– deleteMin関数は最悪O(n)時間を要する
• ルートの子に、他のすべてのノードがあるような場合、
そこから最少のノードを見つけるのにO(n)

18. 解析: Amortized時間
どうする？
• 適当な構造を仮定してみる
– Scrambled Pairing
• 既存のデータ構造との類似点に注目する
– Splay木

19. 仮定: Scrambled Pairing (1)
以下の構造で、insert、deleteMinを繰り返す
insert
最大の木に
Root削除
combining
pairing

20. 仮定: Scrambled Pairing (2)
• ポテンシャル関数
– 木のノード数をn、各ノードが持つ子の数をd
– 木のポテンシャルは、各ノードのポテンシャルの合計
– 各ノードのポテンシャル
1 − min 𝑑, 𝑛
• 解析: 実コスト
– ルートを削除したとき、k個の木が残ると仮定する
– コストをPairing時のmerge回数とする
⇒ 𝑘/2 + 1

21. 仮定: Scrambled Pairing (3)
• 解析: ポテンシャルの変化
– ルートの削除で高々 2 𝑛 増加
• 削除されたルートのポテンシャル: 1 − √𝑛 から 0
• 少なくとも √𝑛 個の子を持つノードごとに 1 増加
– Pairing時のmergeごとに 1 減少
• ただし、 すでに √𝑛 個の子をもつノードを除く
（そういうノードは高々 𝑛存在する）
⇒ 𝑘/2 − √𝑛
𝑘
⇒ 𝑘/2 + 1 + 2 𝑛 + ( 𝑛 − ) = 𝑂(√𝑛)
2

22. 類似点: Splay木
• Pairing Heapでの構造変化
– Pairing
– Paring & Combining
• Splay木での構造変化
– Splaying

23. 図解: Pairingによる構造変化 X
Y
X < Y の場合
X C
B A
Y
Y
A
X
B C
X > Y の場合
C
A B

24. 図解: Pairing & Combiningによる構造変化
Pairing
Combining

25. 図解: Splayingによる構造変化
トップダウン
Splaying
(zig-zig)

26. 類似点: Splay木
Pairing HeapのParing & CombiningはSplay木の
Splayingと同じ効果がある。

27. 解析: Amortized時間
• Amortized時間
– Splay木との類似点から、insert関数、merge関数、
deleteMin関数がどれもすべてO(log n)の
amortized時間で実行するといえる
– insert関数とmerge関数は実際にはO(1)の
amortized 時間で実行すると推測されているが、
しかし誰もこの主張を証明したり反証した者はい
ない

28. 解析: Amortized時間
Pairing HeapのParing & CombiningはSplay木の
Splayingと同じ効果がある。
Splay木のポテンシャル関数を使おう。

29. 解析: ポテンシャル関数
• 定義
– Paring Heapを２分木に変換した木
• ノード数:
n
• ノード x のサイズ:
#x ＝ x を根とする部分木のノード数（xを含む）
• ノード x のポテンシャル:
φ(x) ＝ log(#x)
• 木 t 全体のポテンシャル:
Φ(t) ＝ その木すべてのノードのポテンシャルの合計

30. 解析: ポテンシャル関数
• 定義（続き）
– 複数の木の集合
• 木を持たない場合は 0
• 常にnon-negative

31. 解析: findMin
• O(1)
– ポテンシャルの変化がないため

32. 解析: insert / merge
• O(log n)
– 高々 log(n) + 1のポテンシャル増加による
• ノード数の少ない方の木のルート:
高々log(n)増加
• ノード数の多い方の木のルート:
高々1増加
– より多い方のルートが配下に組み入れられる最大のノード数
を持った相手は、自分と同じだけの数を持った相手）
𝑛 2
log 𝑛 − log = log 𝑛 × = log 2 = 1
2 𝑛

33. 解析: deleteMin
• O(log n)
– 実コスト
• 1 + mergeの実行回数
– ポテンシャルの変化
• ルートの削除
– ポテンシャルlog(n)の減少 ①
• Pairing
• Combining
– 全体

34. 解析: Pairing (1)
部分木Cが空でない場合:
– Pairingでmergeを1回実行したときのポテンシャルの増加（ 部分）
ϕ 𝑥′ − 𝜙 𝑦
= log #𝑎 + #𝑏 + 1 − log(#𝑏 + #𝑐 + 1) ②
x merge
a y'
y x'
b c
c a b

35. 解析: Pairing (2)
– mergeによるポテンシャル増加の上界
𝑥, 𝑦 > 0 , 𝑥 + 𝑦 ≤ 1 となる、すべての x, y について
log 𝑥 + log 𝑦 ≤ −2
したがって、
log #𝑎 + #𝑏 + 1 + log #𝑐 − 2 log #𝑎 + #𝑏 + #𝑐 + 2
#𝑎 + #𝑏 + 1 #𝑐
= log + log ③
#𝑎 + #𝑏 + #𝑐 + 2 #𝑎 + #𝑏 + #𝑐 + 2
≤ −2
log #𝑐 ≤ log(#𝑏 + #𝑐 + 1) だから、②と③より、
log #𝑎 + #𝑏 + 1 − log #𝑏 + #𝑐 + 1
< 2 log #𝑎 + #𝑏 + #𝑐 + 2 − 2 log #𝑐 − 2
= 2 log #𝑥 − 2 log #𝑐 − 2 ④

36. 解析: Pairing (3)
部分木Cが空の場合:
– Paringでmergeを1回実行したときのポテンシャルの増加
ϕ 𝑥′ − 𝜙 𝑦
= log #𝑎 + #𝑏 + 1 − log #𝑏 + 1
≤ 2log #𝑎 + #𝑏 + 2
= 2 log #𝑥 ⑤
x merge
a y'
y x'
b c
c a b

37. 解析: Pairing (4)
• Pairing全体のポテンシャル増加の上界
𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , … , 𝑥2𝑘−1 , 𝑥2𝑘 をParingでmergeする部分木のルート集合と
する。
𝑘−1
2 log #𝑥2𝑖−1 − 2 log #𝑥2𝑖+1 − 2 + 2 log 𝑥2𝑘−1 ⑥
𝑖=1 ④ ⑤
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥2𝑘−1 𝑥2𝑘

38. 解析: Pairing (5)
𝑘−1
⑥= 2 log #𝑥2𝑖−1 − 2 log #𝑥2𝑖+1 + 2 log 𝑥2𝑘−1 − 2 𝑘 − 1
𝑖=1
= 2 log #𝑥1 − 2 𝑘 − 1
= 2 log 𝑛 − 2(𝑘 − 1) ⑦

39. 解析: Combining
𝜙 𝑥′ + 𝜙 𝑦′ − 𝜙 𝑥 + 𝜙 𝑦
= log 𝑛 − 1 + log 𝑛 − log 𝑛 − log 1
= log 𝑛 − 1 ⑧
y’
x x’
z y z

40. 解析: deleteMin全体
実コスト + ①ルート除去 + ⑦𝑃𝑎𝑟𝑖𝑛𝑔 + ⑧𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑔
= 2𝑘 + 1 + − log 𝑛 + 2 log 𝑛 − 2(𝑘 − 1) + log 𝑛 − 1
= log 𝑛 + log 𝑛 − 1 + 3
≤ 2log 𝑛 + 3 = 𝑂 log 𝑛

41. 参考文献
• Chris Okasaki, “5.5 Paring Heaps”, Purely Functional Data Structures, Cambridge University
Press (1999)
• Wikipedia, “Paring heap”, on 29 January 2012 at 15:45
http://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_heap
• Fredman, Michael L.; Sedgewick, Robert; Sleator, Daniel D.; Tarjan, Robert E.,
"The pairing heap: a new form of self-adjusting heap“, 1986
http://www.lb.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/user/sleator/www/papers/pairing-heaps.pdf