Skip to main content
UploadLanguage (EN)Support
BusinessMobileSocial MediaMarketingTechnologyArt & PhotosCareerDesignEducationPresentations & Public SpeakingGovernment & NonprofitHealthcareInternetLawLeadership & ManagementAutomotiveEngineeringSoftwareRecruiting & HRRetailSalesServicesScienceSmall Business & EntrepreneurshipFoodEnvironmentEconomy & FinanceData & AnalyticsInvestor RelationsSportsSpiritualNews & PoliticsTravelSelf ImprovementReal EstateEntertainment & HumorHealth & MedicineDevices & HardwareLifestyle
Uploaded byProktmr
2,431 views

図と実装で理解する『木構造入門』

JOI春合宿でも頻出の木構造について扱います。部分木に対する一括操作やLCAの求め方などについて学ぶことができます。図と実装が掲載されているので、理解をより深めることができます。

Engineering◦
Related topics:
data-structure•
Download to read offline
図と実装で理解する 木構造入門 @Pro_ktmr JOI2019 優秀賞
2 注意 • 内容の正確性には十分注意していますが、間 違った情報が含まれることもあります。何か お気づきのことがあればご連絡ください。 • このスライドのサンプルコードはC++で実装さ れています。
JOI2019 春合宿 • JOI2019春合宿の問題の解法/概要を見てみる • Segment Tree 木構造 貪欲法 Segment Tree Segment Tree ダイクストラ法 Segment Tree 木構造 動的計画法 Segment Tree 木構造 分割統治 3
JOI2019 春合宿 • JOI2019春合宿の問題の解法/概要を見てみる • Segment Tree 木構造 貪欲法 Segment Tree Segment Tree ダイクストラ法 Segment Tree 木構造 動的計画法 Segment Tree 木構造 分割統治 • 木構造に関する問題が3問も出題されている！ 4
JOI春合宿と木構造 • 2019年に限らず、例年2～3問ほど木構造に関 する問題が出題されています • グラフ理論に見せかけた木構造の問題もあります • グラフ理論の問題の部分点解法で木を使うこともあります • Interactive / Communication / Output Onlyでも出題されています • 木構造に関する問題を解くには典型的な知識が 必要なことも多く、逆に知識があれば簡単なこ とも多いです • なので勉強しましょう 5
木構造入門 1. 木構造とは i. 木構造 ii. 根つき木 iii. 根つき木の実装 2. DFS木 I. 深さ優先探索とDFS木 II. DFS木の作り方 III. DFS木と部分木 3. Euler Tour I. Euler TourとLCA 6
木構造入門 1. 木構造とは i. 木構造 ii. 根つき木 iii. 根つき木の実装 2. DFS木 I. 深さ優先探索とDFS木 II. DFS木の作り方 III. DFS木と部分木 3. Euler Tour I. Euler TourとLCA 7
木構造とは • 頂点(ノード)と辺(エッジ)か ら構成されている • ノードがN個の時、エッジは N-1本 • 連結(すべてのノード間で行 き来できる) • 2つのノード間の最短路が一 意に決まる • 閉路(サイクル)がない • グラフの特殊な場合で、うれ しい性質がたくさんあるイ メージ 8
木構造とは • 頂点(ノード)と辺(エッジ)か ら構成されている • ノードがN個の時、エッジは N-1本 • 連結(すべてのノード間で行 き来できる) • 2つのノード間の最短路が一 意に決まる • 閉路(サイクル)がない • 誰がどう考えてもこのルート が明らかに最短 9 終 始
根つき木 • 木のうれしい性質を最大限使 うために、根(ルート)つき木 を考えることが多い • 問題で根が指定されていない 場合は適当に決めてしまう 10
根つき木 • 木のうれしい性質を最大限使 うために、根(ルート)つき木 を考えることが多い • 問題で根が指定されていない 場合は適当に決めてしまう 11 根
根つき木 • 木のうれしい性質を最大限使 うために、根(ルート)つき木 を考えることが多い • 問題で根が指定されていない 場合は適当に決めてしまう 12 根
根つき木 • 木のうれしい性質を最大限使 うために、根(ルート)つき木 を考えることが多い • 問題で根が指定されていない 場合は適当に決めてしまう 13 根
根つき木 • 木のうれしい性質を最大限使 うために、根(ルート)つき木 を考えることが多い • 問題で根が指定されていない 場合は適当に決めてしまう 14 根
家族関係 • 各ノードは0個以上の子ノー ドを持つ • 根以外のノードは1個の親 ノードを持つ • 同じ親を持つノードは兄弟 ノードと呼ばれる • 子ノードやその子ノードなど は子孫ノードと呼ばれる • 親ノードやその親ノードなど は先祖ノードと呼ばれる • 辺が1本しか出ていない(次数 が1の)ノードを葉と呼ぶ 15 子 自 親 兄 弟
家族関係 • 各ノードは0個以上の子ノー ドを持つ • 根以外のノードは1個の親 ノードを持つ • 同じ親を持つノードは兄弟 ノードと呼ばれる • 子ノードやその子ノードなど は子孫ノードと呼ばれる • 親ノードやその親ノードなど は先祖ノードと呼ばれる • 辺が1本しか出ていない(次数 が1の)ノードを葉と呼ぶ 16
３ 根つき木の実装 • 配列parent[N]を用意して親 ノードの番号を入れる • 必要に応じてvector<int> children[N]を用意して子ノー ドの一覧も保持しておいても よい 17 ２ ５ ４ １ ０ ６
３ 根つき木の実装 • 配列parent[N]を用意して親 ノードの番号を入れる • 必要に応じてvector<int> children[N]を用意して子ノー ドの一覧も保持しておいても よい • parentって長いので、parと 略す人が多い(気がする) • 根の親は-1にしたり、自分自 身(par[4] = 4)にする 18 ２ ５ ４ １ ０ ６ par[4] = -1 par[5] = 4 par[2] = 5 par[1] = 4 par[0] = 4 par[3] = 0 par[6] = 0
３ 根つき木の実装 • 配列parent[N]を用意して親 ノードの番号を入れる • 必要に応じてvector<int> children[N]を用意して子ノー ドの一覧も保持しておいても よい • chiって略す人は見たことな い気が・・・ 19 ２ ５ ４ １ ０ ６ chi[4] = {5,1,0} chi[5] = {2} chi[2] = {} chi[1] = {} chi[0] = {3,6} chi[3] = {} chi[6] = {}
木構造入門 1. 木構造とは i. 木構造 ii. 根つき木 iii. 根つき木の実装 2. DFS木 I. 深さ優先探索とDFS木 II. DFS木の作り方 III. DFS木と部分木 3. Euler Tour I. Euler TourとLCA 20
３ 深さ優先探索(DFS) • 木上で深さ優先探索(DFS)を 行う • ノードに子があれば次はその 子ノードを探索する • 子がなくなるまで深く潜って いく 21 ２ ５ ４ １ ０ ６
３ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 22 ２ ５ ４ １ ０ ６
３ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 23 ２ ５ ０ １ ０ ６
３ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 24 ２ １ ０ １ ０ ６
３ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 25 ２ １ ０ １ ０ ６
３ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 26 ２ １ ０ ３ ０ ６
３ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 27 ２ １ ０ ３ ４ ６
５ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 28 ２ １ ０ ３ ４ ６
５ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる 29 ２ １ ０ ３ ４ ６
５ DFS木 • DFSの探索順にノード番号を 振りなおすと、DFS木になる • 完成！ 30 ２ １ ０ ３ ４ ６
DFS木を作る実装 • 再帰関数でDFSをする vector<int> children[N]; //もとの子 int par[N],pos[N]; //DFS木における親、DFS終了時のカウンターの状態 int c = 0; //cはカウンターでDFS木のノード番号になる void dfs(int v){ //vはもとのノード番号 int dfsOrder = c; c++; for(int i=0; i<children[v].size(); i++){ par[c] = dfsOrder; dfs(children[v][i]); } pos[dfsOrder] = c; } //変数が「もと」か「あと(DFS木)」かどちらを表しているのか混乱しないように注意 31
５ DFS木の性質「部分木」 • あるノードvについて、その 子孫のDFSが終了したタイミ ングでのカウンターをpos[v] として保存しておく • vを根とする部分木は [v,pos[v])である • [a,b)は半開区間でa≦i＜bみ たいな 32 ２ １ ０ ３ ４ ６ pos[0] = 7 pos[1] = 3 pos[5] = 6 pos[4] = 7 pos[3] = 4 pos[2] = 3 pos[6] = 7
５ DFS木の性質「部分木」 • あるノードvについて、その 子孫のDFSが終了したタイミ ングでのカウンターをpos[v] として保存しておく • vを根とする部分木は [v,pos[v])である • [a,b)は半開区間でa≦i＜bみ たいな 33 ２ １ ０ ３ ４ ６ pos[0] = 7 pos[1] = 3 pos[5] = 6 pos[4] = 7 pos[3] = 4 pos[2] = 3 pos[6] = 7 ノード４を根とする部分木は ノード[4,7) つまり4,5,6からなる
５ 部分木の使い方 • RAQやRUQを使って部分木に 対して一気に操作することが できる • 例）各辺にコストが設定され ている。以下のクエリを処理 する。 ①頂点vとその親との間の辺 のコストをxに変更する ②頂点vと根との最短距離dを 求める 34 ２ １ ０ ３ ４ ６ v 0 1 2 3 4 5 6 d 0 5 6 2 4 4 5 5 1 2 4 0 1
５ 部分木の使い方 • RAQやRUQを使って部分木に 対して一気に操作することが できる • 例）各辺にコストが設定され ている。以下のクエリを処理 する。 ①頂点vとその親との間の辺 のコストをxに変更する ②頂点vと根との最短距離dを 求める • クエリ：①v=4,x=2 35 ２ １ ０ ３ ４ ６ v 0 1 2 3 4 5 6 d 0 5 6 2 2 2 3 5 1 2 2 0 1 コスト:4→2なので 部分木全部RAQ:-2
５ 部分木の使い方 • RAQやRUQを使って部分木に 対して一気に操作することが できる • 例）各辺にコストが設定され ている。以下のクエリを処理 する。 ①頂点vとその親との間の辺 のコストをxに変更する ②頂点vと根との最短距離dを 求める • クエリ：②v=5 36 ２ １ ０ ３ ４ ６ v 0 1 2 3 4 5 6 d 0 5 6 2 2 2 3 5 1 2 2 0 1
補足：RAQとRUQとRMQ • RAQ：Range Add Query 配列の特定の区間に対して値を加算する • RUQ：Range Update Query 配列の特定の区間に対して値を変更する • どちらも遅延評価Segment Treeや平方分割で 実装できます • RMQ：Range Minimum Query 配列の特定の区間の値の最小値を求める も後で出てきます 37
木構造入門 1. 木構造とは i. 木構造 ii. 根つき木 iii. 根つき木の実装 2. DFS木 I. 深さ優先探索とDFS木 II. DFS木の作り方 III. DFS木と部分木 3. Euler Tour I. Euler TourとLCA 38
５ Euler Tour • 頂点のDFSでの訪問順を vector等で持つことで、木を 直線にできる 39 ２ １ ０ ３ ４ ６
５ Euler Tour • 頂点のDFSでの訪問順を vector等で持つことで、木を 直線にできる • 0 → 1 → 2 → 1 → 0 → 3 → 0 → 4 → 5 → 4 → 6 → 4 → 0 40 ２ １ ０ ３ ４ ６
５ Euler Tour • 頂点のDFSでの訪問順を vector等で持つことで、木を 直線にできる • 0,1,2,1,0,3,0,4,5,4,6,4,0 • この配列の要素数は頂点数を Nとして2N-1個になる 41 ２ １ ０ ３ ４ ６
Euler Tourの実装 vector<int> EulerTour; int pre[N]; void dfs(int v){ pre[v] = EulerTour.size(); EulerTour.push_back(v); for(int i=0; i<children[v].size(); i++){ dfs(edge[v][i]); EulerTour.push_back(v); } } • 関数名がdfsでさっきと被ってるが、その辺りは臨機応変に対 応する 42
２ 深さ • ところで、あるノードの根から の距離を深さと呼ぶ • 再帰関数で求められる int depth(int v){ if(par[v] == -1) return 0; return depth(par[v])+1; } • 木の構造が変わらないならメモ 化するとよい int d[N] = {}; int depth(int v){ if(par[v] == -1) return 0; if(d[v] != 0) return d[v]; return d[v] = depth(par[v])+1; } 43 ２ １ ０ １ １ ２
LCA(最近共通祖先) • Lowest Common Ancestor • 2つ以上のノードについて共 通な祖先のうちもっとも深い もの 44
LCA(最近共通祖先) • Lowest Common Ancestor • 2つ以上のノードについて共 通な祖先のうちもっとも深い もの 45 ０ １ LCA(0,1)
２ LCA(最近共通祖先) • Lowest Common Ancestor • 2つ以上のノードについて共 通な祖先のうちもっとも深い もの 46 １ LCA(2,1)
５ LCAとRMQ • さっきのスライドより右の木 のEuler Tourは 0,1,2,1,0,3,0,4,5,4,6,4,0 • 頂点vを最初に訪問した時の pushする前のvectorの要素 数をpre[v]とする 47 ２ １ ０ ３ ４ ６
５ LCAとRMQ • さっきのスライドより右の木 のEuler Tourは 0,1,2,1,0,3,0,4,5,4,6,4,0 • 頂点vを最初に訪問した時の pushする前のvectorの要素 数をpre[v]とする • 2つの頂点i, j (pre[i] < pre[j]) のLCAは RMQ[pre[i],pre[j])になる 48 ２ １ ０ ３ ４ ６ pre[0] = 0 pre[1] = 1 pre[2] = 2 pre[3] = 5 pre[4] = 7 pre[5] = 8 pre[6] = 10
LCAとRMQ • 0,1,2,1,0,3,0,4,5,4,6,4,0 49 pre[0] = 0 pre[1] = 1 pre[2] = 2 pre[3] = 5 pre[4] = 7 pre[5] = 8 pre[6] = 10
LCAとRMQ 50 pre[0] = 0 pre[1] = 1 pre[2] = 2 pre[3] = 5 pre[4] = 7 pre[5] = 8 pre[6] = 10 Euler Tour 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v 0 1 2 1 0 3 0 4 5 4 6 4 0
LCAとRMQ 51 Euler Tour 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v 0 1 2 1 0 3 0 4 5 4 6 4 0 v 0 1 2 3 4 5 6 pre[v] 0 1 2 5 7 8 10
LCAとRMQ • 頂点2と5のLCAは？ 52 Euler Tour 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v 0 1 2 1 0 3 0 4 5 4 6 4 0 v 0 1 2 3 4 5 6 pre[v] 0 1 2 5 7 8 10
LCAとRMQ • 頂点2と5のLCAは？ Euler TourにおけるRMQ[pre[2]=2,pre[5]=8) →0 • 数スライド戻ると確かにLCA(2,5)=0 53 Euler Tour 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v 0 1 2 1 0 3 0 4 5 4 6 4 0 v 0 1 2 3 4 5 6 pre[v] 0 1 2 5 7 8 10
LCAとRMQ • 木構造を完全に忘れてただのRMQとしてLCAを 求めることができる • 他にはDoublingやHL分解などでもLCAを求め られる • RMQを使うにはSegment Tree(or平方分割)を 実装する必要があるが、個人的にはEuler Tour→RMQが好き 54
まとめ 「木があるということは数列があるということ」 55
まとめ • 木構造の問題に対しては、適当な頂点を根とし てDFS木を作ると良いことが多い • 木があるということは数列があるということ vを根とした部分木は[v,pos[v]) • LCA(i,j)はEuler Tourにおける RMQ[pre[i],pre[j])で求められる • 他にも辺や頂点をなくす(くっつける)場合の UnionFindによる縮約もJOI春合宿では頻出 56
練習問題 • AOJ GRL_5_C LCA https://onlinejudge.u- aizu.ac.jp/courses/library/5/GRL/5/GRL_5_C • AOJ GRL_5_D Range Query on a Tree https://onlinejudge.u- aizu.ac.jp/courses/library/5/GRL/5/GRL_5_D • 最初はAOJで基礎を固めるのがおすすめです 57
練習問題 • JOI春合宿2015 Day2-3 Road Development https://atcoder.jp/contests/joisc2015/tasks/j oisc2015_g • このスライドの内容をすべて網羅しているよう な問題で、難しく重実装ですが、これさえ解け ればかなり力が付きます 58
図と実装で理解する『木構造入門』