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![集合に対する乱択スケッチ
乱択データ構造の最新事情
－MinHashとHyperLogLogの最近の進歩－
http://www.slideshare.net/iwiwi/minhash
を御覧ください．
内容
1. Odd SketchesによるJaccard係数推定の進歩
[Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14]
2. HIP Estimator による集合異なり数推定の進歩
[Cohen, PODS’14]
13
WWW’14 Best Paper!](https://image.slidesharecdn.com/2014-11-17ibisall-distancessketches-141119071909-conversion-gate02/85/slide-14-320.jpg)
![ランク（ハッシュ関数）
•푟푣：各頂点のハッシュ値[0, 1]
「ランク」と呼びます
イメージ：
ランクの小さい頂点ほど偉い！
•偉い＝保存されやすい
•Min-Hash でもハッシュ値最低のやつが保存されていた
20](https://image.slidesharecdn.com/2014-11-17ibisall-distancessketches-141119071909-conversion-gate02/85/slide-21-320.jpg)
![ADS による近接関数の推定２
HIP Estimator [Cohen, PODS’14]
着想：
•先ほどのBasic EstimatorはMinHashを取り 出してその情報だけを使った
–ちなみにMinHash情報のみを使う場合は先ほ どの推定がほぼoptimal
•全体の情報を使ってより良い推定はでき ないのか？
35](https://image.slidesharecdn.com/2014-11-17ibisall-distancessketches-141119071909-conversion-gate02/85/slide-36-320.jpg)
![ADS による近接関数の推定２
HIP Estimator [Cohen, PODS’14]
푛푑푣= 푢∈ADS푣,푑퐺푣,푢≤푑 1 휏푢
36
풗からの距離
ランク
풖
푘=3
1
2
3
휏푢
各푢について，
そいつより左で푘番目に
小さいランク](https://image.slidesharecdn.com/2014-11-17ibisall-distancessketches-141119071909-conversion-gate02/85/slide-37-320.jpg)
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- 22. ADS(풗)の視覚的な説明 21 ADS푣= 自分より左下に点が 푘個未満の頂点 푘=3の例 (MinHash同様にパラメータがある） 풗からの距離 ランク 性質 •ランク小さい方から푘個は必ず含まれる •近い方から푘個も必ず含まれる •遠くなってゆくほど含まれにくくなっていく
- 23. MinHashとADS の関連 풌-MinMinHash 푘個の独立なハッシュ関数を用意しそれぞ れで最小値を記録 （先ほど紹介したもの） Bottom-풌MinHash 1 つのハッシュ関数で푘個の最小値を記録 （これでも色々できる） 22
- 24. All-Distances Sketches の定義 定義1 ADS 푣 ≔ 푢 푟 푢 < k푟 th Φ<푢 푣 定義2 任意の距離푑 に対する近傍関数푁푑 푣 の Bottom-k MinHash の和集合 23 ？？？ 意味不明だと思うので ゆっくり説明していきます
- 25. ADS(풗)の視覚的な説明 24 ADS푣= 自分より左下に点が 푘個未満の頂点 푘=3の例 (MinHash同様にパラメータがある） Bottom-풌MinHash 1 つのハッシュ関数で푘個の最小値を記録 풗からの距離 ランク
- 26. ADS のサイズ ADS푣≅푘1+ln푛−ln푘=푂푘log푛 よって，合計の使用メモリは 푂푘푛log푛 푘を定数とすると， スペースは頂点数にほぼ線形 （→高いスケーラビリティ） 25 풌を大きくするほど スペースを使う しかし精度が良くなる（後述）
- 27. ADS のサイズ 26 なぜ？ 近い頂点から順に考える．ランクが ランダムであることを思い出す． 푖番目の頂点がADS に含まれる確率푝푖は 푝푖=min1,푘/푖 よって， Σ푝푖=푘+푘퐻푛−퐻푘 ADS푣≅푘1+ln푛−ln푘=푂푘log푛 풗からの距離 ランク 調和数
- 28. ADSの計算 詳細は省略しますがかなり簡単 1.枝刈りDijkstraを全頂点から実行 2.動的計画法 푂푚+푛log푘푘log푛時間で構築可 Pregel等の分散グラフ計算基盤とも相性良い (はず) 27
- 29. ADS で計算できる値の例： 近接中心性(ClosenessCentrality) 28
- 30. 中心性とは 中心性＝重要度の推定値 色々な式がある •次数中心性(Degree Centrality) –単純に次数を重要度とみなす •近接中心性(Closeness Centrality) •媒介中心性(BetweennessCentrality) •(PageRank, HITS, …) 29
- 31. 近接中心性 距離に基づいた中心性 •퐶푣=Σ푢∈푉1 푑퐺푣,푢 •퐶푣=Σ푢∈푉2−푑퐺푣,푢 一般に 퐶훼푣= 푢∈푉 훼푑퐺푣,푢 훼は単調非減少，훼푑∈0,1 （他の定義もあるけどこれで大部分はカバーできてる） 푢から푣への距離 http://en.wikipedia.org/wiki/Centrality
- 32. 近接中心性のナイーブな計算 最短経路アルゴリズム •幅優先探索(重みなし) –푂푚+푛時間 •Dijkstraのアルゴリズム(重み有り) –푂푚+푛log푛時間 1 頂点にこれだけの時間がかかると大変 大規模なグラフでは数分，数十分 31
- 33. 近傍関数 近接中心性 퐶훼푣=푢∈푉 훼푑퐺푣,푢 近傍関数 푛푑푣=#푢∈푉|푑퐺푣,푢≤푑 （距離푑以下で何頂点に到達できるか？） 近傍関数は近接中心性の一種 近傍関数のほうが簡単なので，近傍関数か ら始める 32
- 34. ADS による近傍関数の推定１ BasicEstimator 푛푑푣= 푘−1 휏푘 到達可能な頂点のBottom-푘MinHashを取り出して， MinHashによる集合サイズ推定を適用している 33 풗からの距離 ランク 휏푘 範囲内で 푘番目に小さいランク 簡単！
- 35. ADS による近傍関数の推定１ BasicEstimator 푛푑푣= 푘−1 휏푘 精度 퐶푉≤1/푘−2 CV (coefficient of variation): 標準偏差/ 平均 34 풗からの距離 ランク 휏푘
- 36. ADS による近接関数の推定２ HIPEstimator [Cohen, PODS’14] 着想： •先ほどのBasic EstimatorはMinHashを取り 出してその情報だけを使った –ちなみにMinHash情報のみを使う場合は先ほ どの推定がほぼoptimal •全体の情報を使ってより良い推定はでき ないのか？ 35
- 37. ADS による近接関数の推定２ HIPEstimator [Cohen, PODS’14] 푛푑푣= 푢∈ADS푣,푑퐺푣,푢≤푑 1 휏푢 36 풗からの距離 ランク 풖 푘=3 1 2 3 휏푢 各푢について， そいつより左で푘番目に 小さいランク
- 38. ADS による近接関数の推定２ HIPEstimatorを納得する •휏푢は，条件付き確率 –条件：それまでの頂点のランクを固定 –確率変数：푢のランク –何の確率？：푢がADS푣に含まれる 37 풗からの距離 ランク 풖 푘=3 1 2 3 휏푢 自分より左で푘番目に 小さいランク
- 39. ADS による近接関数の推定２ HIPEstimatorを納得する 푛푑푣= 푢∈ADS푣,푑퐺푣,푢≤푑 1 휏푢 •휏푢は，푢がADS푣に含まれる条件付き確率 •푢がADS(푣)に含まれるのは確率휏푢の現象 •1/휏푢個ぐらい“仲間” が居たはず –過去に戻って(historic)確率を求め(probability) 逆数を たす(inverse) からHIP 38
- 40. ADS による近接関数の推定２ HIPEstimator 푛푑푣= 푢∈ADS푣,푑퐺푣,푢≤푑 1 휏푢 精度 퐶푉≤1/2(푘−1) （Basic Estimator: 퐶푉≤1/푘−2） CV (coefficient of variation): 標準偏差/ 平均
- 41. 近接中心性の推定 近傍関数 푛푑푣=푢∈ADS푣,푑퐺푣,푢≤푑 1 휏푢 近接中心性 퐶훼푣= 푢∈ADS(푣) 훼푑퐺푣,푢 휏푢 精度 同じく퐶푉≤1/2(푘−1) 40
- 42. 中心性以外の操作 ADS に推定できるもの •近傍関数，近接中心性 •近接関連性 •2 点間の距離 •有向直径 41
- 43. 42 まとめ 1.MinHashSketches入門 2. All-Distances Sketches 入門 •MinHashは集合の，ADS はグラフのスケッチ •ADS はMinHashを部品としており，良い性質を多数持つ •ADSから様々なものが推定できる –MinHashを取り出して行う推定 –全体を使うHIP Estimator ADSの課題 •実際に使ってみると，ほぼ線形とは言え，データサイズ が大きすぎる(푘を大きくできず精度が出ない) この点も近いうちに改善されることが期待される