7. trigonometri

TRIGONOMETRI

Drs Manaek Lumban Gaol SMK N 2 Doloksanggul

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

KONSEP SINUS

BB' CC' DD' EE'
...
AB AC AD AE

Adaptif

KONSEP
KOSINUS

AB' AC' AD' AE'
...
AB AC AD AE

Adaptif


KONSEP
TANGEN

BB' CC' DD' EE'
...
AB' AC' AD' AE'

Adaptif

Perbandingan trigonometri
Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10
cm, sisi BC = 5 cm.
Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah .... B

10 5

didapat 5V3
A C
?
Maka diperoleh : sin A = ½
Jadi : cos A = ½ V3
tan A = 1/3 V3

Adaptif

Perbandingan
Trigonometri
Sudut khusus
Sudut Khusus

C S R

A D B P Q

ABC sama sisi PQRS persegi
panjang sisi = 2a panjang sisi = 2a

Adaptif

Perbandibgan Trigonometri
Sudut Khusus

1 1
sin 45 0 2 cos 450 2
0 2 2
45
2 Tan 45 0 1
1

45 0
1 Sin 30 0
1
; Cos 30 0
1
3
2 2
1
30 0 Tan 30 0 3
3
2 3 1 1
Sin 60 0 3 Cos 60 0
2 2
60 0 Tan 60 0 3
1

Adaptif

Perbandingan Trigonometri

Dengan menggunakan gambar di atas,
tentukan nilai perbandingan :

0o 300 450 600 900

sin …. …. …. …. ….
cos …. …. …. …. ….
tg …. …. …. …. ….
ctg …. …. …. …. ….
sec …. …. …. …. ….
cos ec …. …. …. …. ….
Adaptif

Perbandingan Trigonometri

Hal Khusus
1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka:
sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo
cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo
sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo
cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo

2. Jika αo + βo + o = 270o, maka:
sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o

cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o

Adaptif

7.1. Perbandingan trigonometri

1. Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus Dan Tangen)
C

A B

Pada gambar di atas , yakni Segitiga ABC siku – siku di A
a. Jika panjang sisi AB = 8 dan Panjang sisi AC = 6.
Tentukanlah panjang sisi BC
b. Jika sin = 0.5 dan panjang sisi AC =10. Tentukanlah
Panjang sisi-sisi yang lainnya.
c. Jika Cos = 0,5 . Tentukanlah tan dan sin

Adaptif

7.1.1 Perbandingan trigonometri

Relasi / Rumus dasar trigonometri
1. Relasi kebalikan :
1 1 1
sec , csc , dan cot
cos sin tan
2. Relasi perbandingan:
sin cos
tan dan cot
cos sin
3. Relasi Pythagoras
1. sin 2 cos 2 1
2. tan 2 1 sec2
3. 1 Cot 2 csc2

Adaptif

7.1.1 Perbandingan trigonometri

2. Dengan menggunakan Tabel nilai perbandingan
trigonometri untuk sudut-sudut istimewa .
Lengkapilah tabel berikut ini.
a.
o0 300 450 600 900
Sec
Csc
Cot

b. Jika sin = 0,6 . Tentukanlah : csc , Cos , tan
,sec , dan cot

Adaptif

7.1.2 Perbandingan trigonometri sudut-sudut
diberbagai kwadran

Perhatikan gambar berikut
y
Jika XOP = .
P2(-b,a) P1 (b,a) Nilai ordinat b
Sin
Jari jari r
P(a,b)
P3(-a,b) Nilai absis a
Cos
X Jari jari r
O Ordinat b
Tan
Absis a
P4(-a,-b) P7(a,-b)
Perhatikan XOP 1 = ( 900 - )
P5(-b,-a) P6(b,-a) Nilai ordinat P1 ...
Sin(90 )
Jari jari ...
Nilai absis P1 ...
Cos (90 )
Jari jari ...
Nilai ordinat P1 ...
Tan(90 )
Nilai absis P1 ...

Adaptif

7.1.1 Sudut yang berrelasi

 Ternyata
1. Sin (90 - ) = Cos
2. Cos (90 - ) = Sin
3. Tan (90 - ) = Cot
 Buatlah perbandingan trigonometri untuk masing-
masing
1. XOP2 =(90+ ).
2. XOP3=...?
3. XOP4 =...?
4. XOP5 =...?
5. XOP6 =...?
6. XOP7 =...?

Adaptif

7.1.1 Sudut yang berrelasi

2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi
a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo
tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo
sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo

b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo
cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo
tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo
c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo
cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo
tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo

Bernilai ”+” Sin All

Tan Cos

Adaptif

Koordinat Kartesius dan Kutub

Y Y

x P(x,y) x P(r, )

y r
y

x X
o O
Koordinat Kartesius Koordinat Kutub

Koordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub

x = r cos a r2 = x2 + y2
y
Y = r sin a tan α =
x
Adaptif

ATURANSINUS BAN KOSINUS

1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:
a b c
sin sin sin
2. Aturan (rumus) kosinus:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β atau
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ c2 a 2 b2
cos β =
2ca
b2 c2 a2
cos α = cos γ = a2 b2 c2
2bc
2ab
Adaptif

Rumus Trigonometri dalam segitiga
Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10
knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengan
kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian?

U
AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o

= 400 + 1024 – 640

220 = 784
O 160 o
o AB = 28
60o
20
32 A Jarak antara kedua kapal 28 mil

B
Adaptif

C

37 20

A 51 B

Berapakah nilai tan A dan sin B?

cos A = sehingga sin A =
cos B = sehingga sin B =

Maka Tan A = . . . . .?

Adaptif

Luas segitiga

C

1
1. L ab sin C
t 2
1
2. L ac sin B
A 2
c B
1
1 3. L bc sin A
Luas segitiga = . alas tinggi 2
2

t b sin A
1
L c b sin A
2
Atau L = . . . . . . . . .
Bila melibatkan sudut B

Adaptif

LUAS SEGITIGA
Perhatikan segitiga di bawah ini
C
Soal :
Tentukan luas segitiga
a ABC pada gambar
b berikut ini.
C
1200
c 8 cm
D A B
1
L ABC alas tinggi 1350 B
2
1
L ABC c b sin 600
2 12 cm

A

Adaptif

Pembahasan soal Luas segitiga

C
Luas ABC =. . . . . . . ?

1350 B

D

A

Adaptif

LUAS SEGITIGA

Luas segitiga apabila diketahui sebuah sisi
dan tiga sudut 1
L ABC a b sin C ..........
.......1
Perhatikan segitiga ABC 2
di bawahini a b sin B
atau b a ...... 2
sin A sin B sin A
C
a Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
a 2 sin B. sin C
L ABC
B 2 sin A
b 2 sin A sin C
A L ABC
2 sin B
c 2 sin A sin B
L ABC
2 sin C
Adaptif

Aplikasi penggunaan rumus

Diketahui segitiga ABC sebagai mana gambar di bawahini

A

C

B
Adaptif

PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA

Ingat aturan Cosinus Sin2 A Cos 2 A 1
b2 c2 a2 sin 2 A 1 Cos 2 A
CosA
2bc
Identitas dasar trigonometri
Sin2 A 1 Cos 2 A (1 CosA)(1 CosA)
b2 c2 a 2 b2 c2 a 2
Sin2 A 1 1
2bc 2bc
1
2bc (b 2 c 2 a 2 ) 2bc (b 2 c2 a2 )
4b 2 c 2
1 2 2
b c a2 a2 b c
4b 2 c 2
Notes
2
b c b2 c2 2bc b2 c2 2bc
Adaptif


Maka kita dapat tuliskan bahwa:

2 1 2
Sin A 2 2
b c a 2 a 2 (b c) 2
4b c
2 1
Sin A 2 2
b c a b c a a b c a b c
4b c
Lanjutkan;
2s b c a
1
s keliling segitiga
2
b c a a b c 2a 2 s 2a 2s a
a c b a b c 2b 2s 2b 2 s b
a b c a b c 2c 2s 2c 2 s c

Adaptif


Maka dapat kita tuliskan bahwa:

1
Sin2 A 2 2
b c a b c a a b c a b c
4b c

Menjadi

1
Sin2 A 2 2
2s 2 s a 2 s b 2 s c
4b c
Ruas kiri dan ruas kanan sama-sam di kali dengan 4b2 c2

Adaptif

 Kita peroleh :
2
2bc Sin2 A 2s 2 s a 2s b 2s c
2bcSinA 2s 2 s a 2s b 2s c
bcSinA
4 4 s(s a )(s b)(s c) atau
2
bcSinA
s(s a )(s b)(s c)
2
L s( s a )(s b)(s c)

Adaptif

JARI –JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA

 Perhatikan gambar di bawah ini
L = +
C
+
Atau:
=(1/2).c.r
=(1/2).b.r
=(1/2).a.r
r _______________________ +
N
L =(1/2).r.(a+b+c)
A 2(L ) = r.(a+b+c

B
2 Luas ABC
r
Keliling

Adaptif

Penggunaan rumus
Tentukan luas daerah diarsir pada segitiga ABC di bawah ini apabila
masing-masing sisinya , a = 4 , b = 5 , dan c = 3
Ingat rumus luas segitiga
C L ABC ss a s b s c
66 4 6 5 6 3
6 2 1 3
36
6 sl
r Jari-jari lingkaran dalam segitiga:
N 2 L ABC
r
A Keliling
2 6
B r
12
r 1
Luas daerah diarsir= ABC – Luas lingkaran = 6-
Adaptif

Jari- jari lingkaran luar segitiga
Perhatikan APB Dengan cara yang sama kita peroleh
a 2R sin A dan b 2R sin B
1
C Luas ABC ab sin C
2
P 1
Luas ABC ab sin C
2
c
Perhatikanganbar sin C
A B 2R
maka :
AB2 AP2 PB2 2 AP PBCos APB 1 c
Luas ABC ab
2 2R
c2 R2 R2 2 R R cos C
abc
c2 2 R 2 1 cos ACB Luas ABC
4R
c2 2 R 2 1 cos 2 ACB
abc
c2 2 R 2 2 sin 2 C kitasin gkat; ACB C R
4Luas ABC
c2 2 2 R 2 sin 2 C a.b.c
c 2 R sin C R
4L
Adaptif

Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL

Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri

 Rumus trigonometri untuk jumlah dua buah sudut
1. Sin Sin Cos Cos Sin
5. Tan Tan
2. Sin( ) Sin Cos Cos Sin Tan
1 Tan Tan
3. Cos Cos Cos Sin Sin
6.
Tan Tan
Tan
4. Cos( ) Cos Cos Sin Sin 1 Tan Tan

 Rumus trigonometri untuk sudut rangkap
1. Sin2 2Sin Cos
2. Cos2 Cos 2 Sin2
3.
2Tan
Tan2
1 Tan2
Adaptif

Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul

RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK PERTENGAHAN SUDUT

Kita ketahui bahwa:
2 2 1 1 Cos
Cos2 Cos Sin Sin
2 2
Cos 2 Cos 2 1 Cos 2
2 1 1 Cos
Cos2 2Cos 1 Tan
2 1 Cos
2Cos 2 1 Cos 2 penyebutnya dirasionalkan
1 Cos 2 maka diperoleh
Cos 2
2
1 1 Cos 1 Cos
Misalkan 2 = → ...dst
2 1 Cos 1 Cos
rumus terahir akan menjadi

1 1 Cos 1 Sin
Cos Tan
2 2 2 1 Cos
Dengan cara yang sama akan kita peroleh

Adaptif

Bentuk equivalen rumus pertengahan sudut bagi tangen

1 Sin 1 Cos
Tan
2 1 Cos 1 Cos
1 Sin 1 Cos
Tan
2 1 Cos 2
1 Sin 1 Cos
Tan
2 Sin2
1 1 Cos
Tan
2 Sin

Adaptif

Contoh penggunaan rumus, sekaligus
bukti
0 1
Sin30
2
1 1 Cos 600
Sin 600
2 2
1 1
1
2 2
2 2
2
1 1 1
4 2 2
Adaptif

0 1 Cos300
Sin15
2

1
1 3
2
2

2 3
2 2
2

2 3
4

1
2 3
2

Adaptif

Drs. Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul

Penggunaan rumus trigonometri untuk pertengahan sudut

1.Nilai eksak dari Cos150 dan Sin(22,5)0 dapat ditentukan
dengan rumus pertengahan sudut. Tentu kanlah!
Penyelesaian:
1 Cos300 Cos150 Cos 450 300
Cos150
2 Cos45 cos30 sin 450 sin 300
1
1 3
2
2

2 3
2 2
2
2 3
4
1
2 3
2
Adaptif

Buktikan bahwa:
1 1
2 3 2 3 1
2 4
Bukti ruas kiri
1 1 64x 2 32x 3 0
2 3 2 3
2 4
Misalkan
1 1 1 1 1 3 a + b =. . . . .
3 2 3 2
2 4 2 8 2 64 a.b = . . . . . .
1
; kitaidentifikasi; a b
2 a b a b 2 a.b
3 3
2a 2b 1; dan; ab a
64 64b

Adaptif

Soal soal aplikasi

Adaptif

Pembuktian identitas bentuk irasional

Adaptif

1
Cos 22,5 Cos 450
2
1 Cos 450
2
1
1 2
2
2
2 2
4
2 2
4
1
2 2
2

Adaptif


Perkalian sin dan cos
 Dari rumus-rumus trigonometri untuk ( ± )
sin sin cos cos sin .......... ... 1
sin sin cos cos sin .......... ... 2
cos cos cos sin sin .......... ... 3
cos cos cos sin sin .......... ... 4

 Dari (1) + (2)
 2.Sin .cos =sin ( + )+ sin ( - ). . . . . . . (5)
 Dari (1) - (2)
 2.Cos .Sin =Sin ( + )- sin ( - ). . . . . . . .(6)
 Dari (3) + (4)
 2.Cos .Cos =cos ( + )+ cos ( - ). . . . . . . (7)
 Dari (3) - (4)
 -2.Sin .Sins =Cos ( + )- Cos ( - ). . . . . . . .(8)
 Perhatikan penggunaan rumus (5) s/d ()8

Adaptif


Pembahasan soal perkalian sin dan cos

1.Nyatakan bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih
sinus
0 0
Kita pilih satu soal untuk kita jawab:
1 1
a. sin 52 sin 7 d. Jawab: Xz
2 2
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
b. 0
sin 8 x cos 2 x 0
cos52 sin 7 sin 52 7 sin 52 7
2 2 2 2 2 2 2
0 0
c. cos 52
1
cos 7
1 1
2 2 sin 60 0 sin 450
0 0 2
1 1
d. cos 52 sin 7 1 1 1
2 2 3 2
2 2 2
1 1
3 2
2 2
1
3 2
4

Adaptif


Penggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos
Dari rumus-rumus penjumlahan sinus dan cosinus:
sin sin 2 sin c os ..........
.......1
sin sin 2 c os sin ..........
.......2
c os c os 2 c os c os ............... 2
c os c os 2 Sin Sin .......... 4
...
Kita misalkan A; dan : B ::
Maka:
A A
B B

 2 A B dan 2
1
A B
1 A B
A B 2
2
Maka rumus- rumus penjumlahan di atas akan menjadi:
1 1
sin A sin B 2 sin A B c os A B
2 2
1 1
sin A sin B 2 c os A B sin A B
2 2
1 1
c os A c os B 2 c os A B c os A B
2 2
1 1
c os A c os B 2 sin A B sin A B
2 2

Adaptif



1. Buktikan bahwa :
Sin4 Sin3 + 2Cos5 Cos2 - Cos3 = Cos

Kita buktikan ruas kiri
2 sin 4 sin 3 2Cos5 Cos 2 Cos3
Cos7 Cos Cos7 Cos3 Cos3
Cos7 Cos Cos7 Cos3 Cos3
Cos
2. Buktikan bahwa:
Sin 3A + (Cos A + sin A)(1-2Sin A) = Cos 3A
Kita buktikan ruas kiri.
Sin3A CosA 2Sin2 ACosA SinA 2Sin2 A SinA
Sin3 A CosA (Sin3 A SinA) SinA (cos3 A CosA)
Sin3A CosA Sin3A SinA SinA Cos3A CosA
Cos3A
Adaptif



3. Buktikan bahwa:
16Cos3 Sin2 2Cos Cos3 cos5
Kita jabarkan ruas kiri;

2
16Cos 3 Sin2 16 Sin Cos Cos
2
1
16 Sin2 Cos
2
4 Sin2 2 Cos
2 Sin2 2 Sin2 Cos
2 Sin2 Sin3 Sin
2 Sin3 Sin2 2 Sin2 Sin
Cos Cos5 Cos Cos3
2Cos Cos3 Cos5

Adaptif


7.1. Identitas trigonometri

Identitas trigonometri (Kesamaan Trigonometri)
1. Rumus-rumus berkebalikan:
1 1 1
Sin Cos Tan
Co sec Sec Cot
2. Rumus-rumus perbandingan:

Sin Cos
Tan Cot
cos Sin
3. Rumus Hubungan Sin , Cos , dan Tan

2 2
1 Tan2 Sec2
Sin Cos 1
2 2
1 Cot Co sec

Adaptif


Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri
 Rumus-rumus Trigonometri Untuk Setengah Sudut.

1 1 Cos 1 1 Cos 1 1 Cos
1. Cos 2. Sin 3. Tan
2 2 2 2 2 1 Cos
 Rumus-rumus Perkalian Sinus danCosinus
1. 2.Sin .cos = sin ( + )+ Sin ( - )
2. 2.Cos .Sin = Sin ( + )- Sin ( - )
3. 2.Cos .Cos = cos ( + )+ cos ( - )
4. -2.Sin .Sins = Cos ( + )- Cos ( - )
 Rumus-rumus Penjumlahan Sinus dan Cosinus
1. 1 1
sin A sin B 2 sin A B cos A B 2.
2 2 1 1
3. sin A sin B 2 cos A B sin A B
1 1 2 2
cos A cos B 2 cos A B cos A B
2 2 4.
1 1
cos A cos B 2 sin A B sin A B
2 2
Adaptif


Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri
1. Buktikan bahwa:
2 Sin P Q
TanP TanQ Samakan penyebut
Cos P Q Cos P Q
Penyelesaian:
SinP SinQ
TanP TanQ Applikasikan Sin ( + ) =.....?
CosP CosQ
SinP CosQ CosP SinQ
= CosP CosQ

Sin P Q Bagaimana melahirkan angka
= 2
CosP CosQ
Sin P Q 2
= Ubah perkalian menjadi
CosP CosQ 2
penjumlahan
2Sin P Q
=
2CosP CosQ
2 Sin P Q
=
Cos P Q Cos P Q

Adaptif


2. Buktikan bahwa:
Sin4 A Sin2 A
Tan3 A Ubah penjumlahan Sin dan Cos
Cos4 A Cos2 A menjadi perkalian
Penyelesaian:
sederhanakan
Kita jabarkan ruas kiri:
1 1
2Sin 4 A 2 A Cos 4 A 2 A
Sin4 A Sin2 A 2 2
= 1 1
Cos 4 A Cos 2 A 2Cos 4 A 2 A Cos 4 A 2 A sederhanakan
2 2
2Sin3 A CosA
= Lalu . . . . . ?
2Cos3 A CosA
Sin3 A
=
Cos3 A
= Tan3 A

Adaptif



3. Tunjukkan bahwa: Ubah menjadi perkalian
1
Tan A B
SinA SinB 2 Uraikan menjadi dua fraksi perkalian
SinA SinB 1
Tan A B
2
Bukti ruas kiri:
1 1
2Sin A B Cos A B
SinA SinB 2 2
= 1 1
SinA SinB 2Cos A B Sin A B Ubah fraksi perkalian menjadi fraksi pembagian
2 2
1 1
2Sin A B Cos A B
2 2
= 1 1
2Cos A B Sin A B Ingat perbandingan Sin dan Cos
2 2
1 1
Sin A B Sin A B
2 2
= 1 1
Cos A B Cos A B Kemudian. . . . . . . . . .?
2 2
1 1
= Tan A B Tan A B
2 2

1
Tan
A B
2
= 1
Tan A B
2

Adaptif



4. Tuhjukkan bahwa:

2Tan
Sin2
1 Tan2
Penyelesaian:
Jabarkan penyebut
Sin
2
2Tan Cos
=
1 Tan2 Sin2
1
Cos 2 sederhanakan

Sin
2
=
Cos
2
Ubah
menjadi
Cos Sin2
catatan sin
dan cos
Cos 2

=
2Sin Cos
Cos 2 Sin2
= Sin2

Adaptif


5. Tunjukkan bahwa:
Ubah menjadi perkalian
Cos 2 Cos 4
Sec
Sin2 Sin3
Penyelesaian: sederhanakan
1 1
2 Sin 2 4 Sin 2 4
Cos 2 Cos 4 2 2
=
Sin2 Sin3 Sin2 Sin3 Sin(- ) = - Sin

2Sin3 Sin
= Ingat rumus sudut rangkap

Sin2 Sin3
2 Sin
=
Sin2 sederhanakan

2Sin
=
2Sin Cos
= Sec
Adaptif

=

=

6. Buktikan bahwa:
Sin2 Sin2 Sin2 4Sin Sin Sin
Dengan ketentuan: 180 0
Ingat rumus sudut rangkap
Penyelesaian:
0 o
180 0 : 180 dan = 180
Bukti ruas kiri : Sin2 Sin2 Sin2
Sederhanakan
Sin2 Sin2 2Sin Cos
1 1
Applikasikan rumus penjumlahan 2 Sin 2 2 Cos 2 2 2Sin Cos
menjadi perkalian !
2 2
sin A sin B 2 sin
1
cos
1 2 Sin Cos 2Sin Cos
2 2
2 Sin 180 Cos 2Sin Cos
= 1800 – ( + )
+ =1800 - 2Sin Cos 2Sin Cos
2Sin Cos 2Sin Cos 180 Cos (1800 – ) = - Cos

2Sin Cos 2Sin Cos
Sin (1800 - ) = Sin
Faktorkan
2Sin Cos 2Sin Cos
2Sin Cos Cos
2Sin 2Sin Cos
4Sin Sin Sin
Adaptif


SOAL LATIHAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

1. Buktika bahwa:
Cos3 Cos5
Tan
a. Sin3 Sin5
CosA CosB 1 1
b. Tan A B Tan A B
CosA CosB 2 2
2. Diketahui bahwa: m SinA Sin3A dan n CosA Cos3A
Tuniukkan bahwa:
a. m n 2CosA Cos 2 A Sin2 A
b. m Tan2 A
n
3. Buktikan bahwa: Sin Sin 120 0 Sin 240 0 0
Sin2 Sin4 Sin6
4. Tunjukkan bahwa: Tan 4
Cos 2 Cos 4 Cos6
Adaptif


PERSAMAAN TRIGONO METRI
A.`PersamaanTrigonometri sederhana
1. Persamaan berbentuk : Sin x = Sin a0
Grafik fungsi trigonometri Y=Sin x

1.5

1

0.5
Axis Title

0
Series2
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-0.5

-1

-1.5
Axis Title

Sin a0 = Sin (a0 + k. 3600)
Sin a0 = Sin (1800 – a0). (pelurus dari a0)
Sin a0 = Sin (1800 – a0) + k. 3600 (Perode)
Sehingga :
0
Sin x = Sina0 x a 0 k 3600 dan x 180 a0 k 360 0
x Bil.R, k Bil.Bulat

Adaptif



2. Persamaan berbentuk : Cos x = Cos a0
Grafik Fungsi Y = Cos x
1.5

1

0.5

0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

-0.5

-1

-1.5

Maka untuk Cos X = Cos a
x =a0 + k. 3600 (Perioditas). Dan
Cos a0 = Cos (– a0) Menyebapkan Cos a0 = Cos(-a0 + k.3600)
Sehingga :
Cos x = Cos a0
0 0
Maka : Cosx a 0 k 3600 x a k 360
0 0 dan
x a k 360 x R, k Bil.Bulat
Adaptif


3. Persamaan berbentuk : Tan x = Tan a0
Grafik Fungsi y = Tan x
2

1.5

1

0.5

0 90 180 270 360 450 540 630 720

-0.5

-1

-1.5

-2

Tan a0 = Tan (a + k.3600)
Tan a0 = Tan (1800 + a) dan Tan a0 = Tan(1800 + a0) + k,3600
Sehingga :
Tan x = Tan a0 ↔ x = a0 + k.3600 dan x = (1800 + a) + k.1800 atau
Tan x = Tan a ↔ x a k 1800 dengan x .Bil.Riel, k Bil.Bulat

Adaptif


PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi

1. Tentukan x yang memenuhi persamaan:
Sin x = Sin 300 Rangkuman I
Penyelesaian: Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas
Dik: Sin x = Sin 300 maka: 1. Sin x = Sin a0 maka:
x = 300 + k.3600 dan x = (180-300) +k.3600 x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600
x = 1500 + k.3600 2. Cos x = Cos a0 maka:
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: x = ± a + k.3600
Sin 2x =Sin 300 dalam selang; 00 ≤ x ≥ 3600
3. Tan x =Tan a0 maka:
Penyelesaian:
x = a + k.1800
2x = 30 + K.3600 ↔ x = 15 + k. 180
k = -1 → x = 15 – 1800 = -1650 (Tidak memenuhi)
k = o → x = 15
k = 1 → x =195
dan
2x = (180 – 30) + K.360 ↔ x = 75 + k. 180
k = o → x = 75
k = 1 → x = 255
k = 2 → x = 75 + 2.180 ↔ x = 4550 (tidak memenuhi)
Himpunan penyelesaian: {150,750 ,1950,2550 }
3. Tentukan x yang memenuhi persamaan:
Cos x = Cos 600
Penyelesaian:
Dik: Cos x = Cos 600 maka:
x = 600 + k.3600 dan x = ±600 + k.3600
Adaptif


PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONO METRi

4. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Rangkuman I
Cos 2x = Cos 400 dalam selang 00 ≤ x ≤ 3600 Persamaan trigonometri berdasarkan
Penyelesaian: perioditas
2x = ±400 +k.3600 ↔ x = ±200 +k.1800 1. Sin x = Sin a0 maka:
x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0)
k = -1 → x = 200 – 1800 dan
+k.3600
x = -200 -1800 = -2000 (tidak memenuhi) 2. Cos x = Cos a0 maka:
x = 200- 180 = -1600 (tidak memenuhi) x = ± a + k.3600
k=0→x= 200 + 0 3. Tan x =Tan a0 maka:
x = -200 + 0 = -20 (tidak memenuhi) x = a + k.1800
x = 200 + 0 = 200
k = 1 → x = ± 200 +1800
x = -20 +1800 = 1600
x = 20 +1800 = 2000
K=2→x= 200 + 3600
x = -200 + 3600 = 3400
x = 200 + 3600 = 3800 (tidak memenuhi)
HP: {200 , 1600 , 2000 ,3400 }

Adaptif



5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan x = tan 300 dalam selang:
00 ≤ x ≤ 3600
Rangkuman I
Penyeleaian: Persamaan trigonometri berdasarkan
x = 30 0 + k. 1800
perioditas
k = -1 → x = . . .? 1. Sin x = Sin a0 maka:
k = 0 → x = 300 x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0)
+k.3600
k = 1 → x = 300 + 1800
2. Cos x = Cos a0 maka:
x = 210 0
x = ± a + k.3600
k = 2 → x = 300 + 3600 3. Tan x =Tan a0 maka:
x = 3900 (tidak mememnuhi) x = a + k.1800
Himpunan penyelesaian: {300 , 2100}
6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan 2x = Tan450 : 00 ≤ x ≤ 3600
Penyelesaian:
2x = 450 +k.1800 ↔ x = 22,50 + k.90
K = 0 → x = 22.50 + 0 x 90 = 22.50
K = 1 → x = 22.50 + 1 x 90 = 112.50
K = 2 → x = 22.50 + 2 x 90 = 202.50
K = 3 → x = 22.50 + 3 x 90 = 292.50
K = 4 → x = 22.50 + 4 x 90 = 382.50 (tidak memenuhi)
Himpunan penyelesaian: {22.50, 112.50, 202.50, 292.50}

Adaptif


PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi

4. Persamaan berbentuk : Sin x = Cos a0
Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai
kwadran, kita ketahui bahwa: Sin x = Cos a0
00 ≤ a ≤ 900
maka: Cos a0 = Sin (90 - a0) dan Cos a0 = Sin (90 + a0) sehjngga terdapat
dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni:

0 0 0 0 Sinx Sin 900 a0
Sinx Cosa Cosa Sin 90 a
Sinx Sin 900 a0
Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas.
5. Persamaan berbentuk : Cos x =Sin a0
Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai
kwadran, kita ketahui bahwa: Cos x =Sin a0 dalam selang 00 ≤ a ≤ 900
maka: Sin a0 = Cos (90 - a0) dan Sin a0 = Cos (90 + a0) sehjngga terdapat
dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni:

Cosx Cos 900 a 0
Cosx Sina0 Sina0 Cos 900 a0
Cosx Cos 900 a0
Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas.
Adaptif



7. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 400 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600
Penyelesaian:
Cos x = Sin 400
Sin 400 = Cos (900 ± 400 )
Rangkuman II
I. Cos x = Cos 900 - 400 Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas
Cos x = Cos 500 1. Sin x = Sin a0 maka:
x = ± 50 0 + k. 3600 x = a0 + k.3600 dan x = (180- a0) +k.3600
k = 0 → x = ± 500 + 0 2. Cos x = Cos a0 maka:
x = -500 + 0 = -500 < 0 (tidak memenuhi) x = ± a + k.3600
X = 500 + 0 = 500 x = a + k.1800
k = 1 → x = ± 500 + 3600
x = -500 + 3500 = 3000 Sinx Cosa 0 Cosa 0 Sin 900 a 0
x = 500 + 3500 = 4100 >0 (tidak memenuhi)
4. Sinx Sin 900 a 0
II. Cos x =Cos 90 + 400
Cos x = Cos 1300 , maka: Sinx Sin 900 a 0
x = ±1300 + k. 3600
k = 0 → x = ± 1300 + 0 Cosx Sina0 Sina0 Cos 900 a 0
x= -1300 + 0 = -130 < 0 (tidak memenuhi) 5. Cosx Cos 900 a 0
x = 1300 + 0 = 1300
Cosx Cos 900 a 0
k=1 → x = ± 130 0 +3600

x = - 1300 +3600 = 2300
x = 1300 +3600 = 4900 > 0 (tidak memenuhi)
HP.{500 . 1300 , 2300 , 3000}

Adaptif


8. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 300 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600
Penyelesaian:
Rangkuman II
Sinx = Cos 400
Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas
I. Cos 400 = Sin (90 ±40) 1. Sin x = Sin a0 maka:
Sin x = Sin 50 0 maka:
x = a0 + k.3600 dan x = (1800 - a0) +k.3600
x = (1800 – 500) + K. 3600 2. Cos x = Cos a0 maka:
x = 1300 + k.3600 x = ± a + k.3600
k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300
x = a + k.1800
k = 1 → x = 1300 + 3600 = 3900 (tidak memenuhi)
dan Cosx Sina0 Sina0 Cos 900 a 0
x = 50 + k.3600
4. Cosx Cos 900 a 0
k = 0 → x = 50 0 + 0 = 500

k = 1 → x = 500 + 3600 = 4100 (tidak memenuhi) Cosx Cos 900 a 0
II. Cos 40 = Sin (900 +400)
Sin x = Sin 1300 maka: Sinx Cosa 0 Cosa 0 Sin 900 a 0
x = (1800 – 1300) + K. 3600 5.
Sinx Sin 900 a 0
x = 500 + k.3600 0 0
Sinx Sin 90 a
k = 0 → x = 500 + 0 = 500
x = 1300 + k.3600
k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300
HP: {50, 130,}

Adaptif


PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi

6. Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c
Simaklah uraian berikut ini.
r Cos ( - ) = r. Cos Cos + r. Sin Sin = c
Misalkan; a = r. Cos dan b = r. Sin . Terdapat hubungan yakni
a2 + b2 = r2 Cos2 +r2 Sin2
a2 + b2 = r2 (Cos2 + Sin2 )
a r 2 Sin a
a2 + b2 = r2↔ r 2
a b 2 dan 2
Tan Tan
b r Cos b
Persamaan persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c dapat
diselesaik dengan terlebih dahulu mengubah persamaan itu menjadi bentuk;
r Cos(x - ) = c dan memenuhi persyaratan apabila:
c c 2 2 ; 2
Cos( x ) 1 1 r c r c r c r 0 c r 0 c r2
r r
Dari itu maka harus dipenuhi syarat: c2 ≤ a2 + b2
Kesimpulannya:
Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c ; r a 2 b2
memenuhi syarat; c2 ≤ r2
a = r Cos a
b = r Sin ; Tan
b
Adaptif

7. trigonometri

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to 7. trigonometri

Similar to 7. trigonometri (20)

More from Manaek Lumban Gaol

More from Manaek Lumban Gaol (20)

7. trigonometri