Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Ο τελεστής διάφορο για τους μαθητές Α΄ Λυκείου στη διάταξη πραγματικών αριθμών

6,964 views

Published on

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Ο τελεστής διάφορο για τους μαθητές Α΄ Λυκείου στη διάταξη πραγματικών αριθμών

  1. 1. _____________________________________________________________________ Ο τελεστής ≠ Άλγεβρα Α΄ Λυκείου §2.3: Διάταξη πραγματικών αριθμών Εργασία μαθητών από το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης Ιδιότητες – Επισημάνσεις Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος lisari.blogspot.gr lisari.blogspot@gmail.com ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2017
  2. 2. _____________________________________________________________________ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Ευχαριστούμε θερμά τον αγαπητό φίλο και τ. Σχολικό Σύμβουλο Πρόδρομο Ελευθερίου για τις χρήσιμες παρατηρήσεις που μας έστειλε.
  3. 3. _____________________________________________________________________ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1) Ιδιότητα της τριχοτομίας και ο τελεστής  Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω σχέσεις: α β, α β, α β   άρα αν α β τότε α β ή α β και αντίστροφα, δηλαδή ισχύει η εξής ισοδυναμία: α β α β   ή α β Επομένως, το σύμβολο  περιέχει τα σύμβολα της διάταξης των πραγματικών αριθμών χωρίς να γνωρίζουμε ακριβώς τη φορά της ανισότητας. Άρα είναι ένας τελεστής διάταξης όπως είναι τα σύμβολα , , ,   . 2) Για να δηλώσουμε ότι α β θα λέμε ότι:  α διάφορο του β  α άνισο του β  α διαφορετικό του β  α δεν είναι ίσο του β 3) Ισοδύναμοι συμβολισμοί Χρησιμοποιούνται τα παρακάτω σύμβολα στον προγραμματισμό αντί του συμβόλου  , γιατί δεν υπάρχει στο πληκτρολόγιο  <>  !=  = / = 4) Βασικές ιδιότητες Ι1. α β α β 0    Ι2. α β β α   (αντιμεταθετική ιδιότητα) Ι3. α β 0 α 0 και β 0     Ι4. α β α γ β γ     για οποιοδήποτε γR (γιατί,  α γ β γ α γ β γ 0 α β 0 α β             ) Ι5. α β α γ β γ     για οποιοδήποτε * γR
  4. 4. _____________________________________________________________________ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος (γιατί,  α γ β γ α γ β γ 0 α β γ 0 α β 0 και γ 0 α β και γ 0)                   ) Ι6. Για κάθε αβ 0 ισχύει: 1 1 α β α β    (γιατί, από Ι5 έχουμε: αβ 0 1 1 1 1 αβ αβ β α α β α β       ) Ι7. ν ν α β α β   για κάθε α,β 0 και ν θετικό ακέραιο (Ευθύ: Αν α β τότε θα αποδείξουμε ν ν α β . Έστω ότι ν ν α β τότε από γνωστή ιδιότητα – για α,β 0 και ν θετικό ακέραιο - έχουμε α β , άτοπο αφού α β . Αντίστροφο: Αν ν ν α β τότε θα αποδείξουμε ότι α β . Έστω ότι α β τότε ν ν α β , άτοπο αφού ν ν α β .) Ι8. ν ν α β α β   για κάθε α,β 0 και ν θετικό ακέραιο (γιατί, από Ι7 έχουμε     ν ν ν νν ν α β α β α β     ) Σημείωση: Οι ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων που ισχύουν και αντίστροφα (υπάρχει ισοδυναμία) τότε επεκτείνονται και για τον τελεστή  (αφού αποδεικνύονται με την μέθοδο της αντιθετοαντιστροφής ή απαγωγή σε άτοπο). 5) Ιδιότητες που δεν ισχύουν α) Δεν επιτρέπεται να προσθέτουμε σχέσεις με τον τελεστή  κατά μέλη, δηλαδή α β α γ β δ γ δ         ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα, 1 2 3 3 2 1       β) Δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε σχέσεις με τον τελεστή  κατά μέλη, παρόλα και αν οι όροι είναι όλοι θετικοί, δηλαδή α β α γ β δ γ δ         για α,β,γ,δ 0 ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα,
  5. 5. _____________________________________________________________________ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1 2 2 2 2 1       γ) Δεν επιτρέπεται να υψώσουμε σχέσεις με τον τελεστή  σε ένα θετικό ακέραιο αριθμό, δηλαδή ν ν α β α β   για ν θετικό ακέραιο ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα,   2 2 1 1 1 1 1 1       δ) Η μεταβατική ιδιότητα δεν ισχύει, δηλαδή α β και β γ α γ    ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα, 1 2 και 2 1 1 1   

×