Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Άσκηση β9 / σελ. 29 σχολικό βιβλίο Β Λυκείου Κατεύθυνσης

4,973 views

Published on

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Άσκηση β9 / σελ. 29 σχολικό βιβλίο Β Λυκείου Κατεύθυνσης

  1. 1. lisari.blogspot.com Άσκηση Β9 / σχολικό βιβλίο Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με    ΑΒ 2 ΓΔ και ΑΒ/ /ΓΔ . Αν οι διαγώνιες του τραπεζίου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Κ, τότε να αποδείξετε ότι: α) 1 KΓ ΚΑ 2   και 1 ΚΔ ΚΒ 2   . β) τα σημεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά, όπου Ι μέσο του ΔΓ και ΚΑΛΒ παραλληλόγραμμο. Λύση α) Α΄ τρόπος (Αποκλειστικά με διανύσματα) Έχουμε, KΓ / /ΚΑ KΓ λΚΑ, λ  R και ΚΔ / /ΚΒ ΚΔ μΚΒ, μ  R Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι: 1 λ μ 2    Έχουμε,             ΚΑ // ΑΒ 2 ΓΔ ΑΒ 2ΔΓ ΚΒ ΚΑ 2 ΚΓ ΚΔ ΚΒ ΚΑ 2 λΚΑ μΚΒ 1 2μ ΚΒ 1 2λ ΚΑ 0                   ΚΒ 1 2μ 0 και 1 2λ 0 1 μ λ 2          Β΄ τρόπος (Αποκλειστικά με γεωμετρικές γνώσεις) Έστω Ε και Ζ τα μέσα των ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε ΚΕ ΚΓ και ΚΖ ΚΔ . 17.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3 Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
  2. 2. lisari.blogspot.com Από το τρίγωνο ΚΑΒ έχουμε, ότι το Ε είναι μέσο του ΚΑ, το Ζ είναι μέσο του ΚΒ άρα // ΑΒ 2ΓΔ ΕΖ ΓΔ 2 2    οπότε το τετράπλευρο ΕΖΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, διότι έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες! Επομένως, οι διαγώνιές του διχοτομούνται άρα ΚΕ ΚΓ και ΚΖ ΚΔ . Γ΄ τρόπος (Γεωμετρία + διανύσματα) Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΚΔΓ και ΑΒΚ είναι όμοια (δύο γωνίες ίσες), άρα ΚΓ ΚΔ ΓΔ ΚΑ ΚΒ ΑΒ   (1) όμως ΓΔ 1 ΑΒ 2ΓΔ ΑΒ 2    οπότε η σχέση (1) γίνεται: 1 ΚΓ ΚΑ 2  και 1 ΚΔ ΚΒ 2  και να τις σχέσεις τις γράψουμε διανυσματικές προκύπτει το ζητούμενο. β) Α΄ τρόπος (Αποκλειστικά με διανύσματα) Είναι,  ΚΓ ΚΔ 1 ΚΑ ΚΒ 1 1 ΚΙ ΚΑ ΚΒ ΚΛ 2 2 2 4 4            , άρα ΚΙ / /ΚΛ Κ,Ι,Λ συνευθειακά σημεία. Β΄ τρόπος (Αποκλειστικά με γεωμετρικές γνώσεις) Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία Ι, Κ και Μ είναι συνευθειακά. Τα τρίγωνα ΚΙΓ και ΚΑΜ είναι όμοια, διότι  ΓΑΒ ΑΓΔ  ΑΚ ΑΜ 2 ΚΓ ΙΓ 1   άρα 1 2Κ Κ οπότε 0 2 1ΙΚΜ Κ ΓΚΒ ΛΚΒ Κ ΓΚΒ ΛΚΒ ΓΚΑ 180        17.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3
  3. 3. lisari.blogspot.com 17.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3

×