Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

1. lisari.blogspot.com
Άσκηση Β9 / σχολικό βιβλίο
Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με    ΑΒ 2 ΓΔ και ΑΒ/ /ΓΔ . Αν οι διαγώνιες του
τραπεζίου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Κ, τότε να αποδείξετε ότι:
α)
1
KΓ ΚΑ
2
  και
1
ΚΔ ΚΒ
2
  .
β) τα σημεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά, όπου Ι μέσο του ΔΓ και ΚΑΛΒ παραλληλόγραμμο.
Λύση
α) Α΄ τρόπος (Αποκλειστικά με διανύσματα)
Έχουμε,
KΓ / /ΚΑ KΓ λΚΑ, λ  R και ΚΔ / /ΚΒ ΚΔ μΚΒ, μ  R
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
1
λ μ
2
  
Έχουμε,
   
 
 
   
ΚΑ //
ΑΒ 2 ΓΔ ΑΒ 2ΔΓ
ΚΒ ΚΑ 2 ΚΓ ΚΔ
ΚΒ ΚΑ 2 λΚΑ μΚΒ
1 2μ ΚΒ 1 2λ ΚΑ 0
  
   
   
     

ΚΒ
1 2μ 0 και 1 2λ 0
1
μ λ
2
    
   
Β΄ τρόπος (Αποκλειστικά με γεωμετρικές γνώσεις)
Έστω Ε και Ζ τα μέσα των ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε
ΚΕ ΚΓ και ΚΖ ΚΔ .
17.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

2. lisari.blogspot.com
Από το τρίγωνο ΚΑΒ έχουμε, ότι το Ε είναι μέσο του ΚΑ, το Ζ είναι μέσο του ΚΒ
άρα
// ΑΒ 2ΓΔ
ΕΖ ΓΔ
2 2
  
οπότε το τετράπλευρο ΕΖΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, διότι έχει δύο απέναντι
πλευρές ίσες και παράλληλες! Επομένως, οι διαγώνιές του διχοτομούνται άρα
ΚΕ ΚΓ και ΚΖ ΚΔ .
Γ΄ τρόπος (Γεωμετρία + διανύσματα)
Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΚΔΓ και ΑΒΚ είναι όμοια (δύο γωνίες ίσες), άρα
ΚΓ ΚΔ ΓΔ
ΚΑ ΚΒ ΑΒ
  (1)
όμως
ΓΔ 1
ΑΒ 2ΓΔ
ΑΒ 2
   οπότε η σχέση (1) γίνεται:
1
ΚΓ ΚΑ
2
 και
1
ΚΔ ΚΒ
2

και να τις σχέσεις τις γράψουμε διανυσματικές προκύπτει το ζητούμενο.
β) Α΄ τρόπος (Αποκλειστικά με διανύσματα)
Είναι,
 ΚΓ ΚΔ 1 ΚΑ ΚΒ 1 1
ΚΙ ΚΑ ΚΒ ΚΛ
2 2 2 4 4
 
         ,
άρα
ΚΙ / /ΚΛ Κ,Ι,Λ συνευθειακά σημεία.
Β΄ τρόπος (Αποκλειστικά με γεωμετρικές γνώσεις)
Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία Ι, Κ και Μ
είναι συνευθειακά.
Τα τρίγωνα ΚΙΓ και ΚΑΜ είναι όμοια, διότι
 ΓΑΒ ΑΓΔ

ΑΚ ΑΜ 2
ΚΓ ΙΓ 1
 
άρα 1 2Κ Κ οπότε
0
2 1ΙΚΜ Κ ΓΚΒ ΛΚΒ Κ ΓΚΒ ΛΚΒ ΓΚΑ 180       
17.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. lisari.blogspot.com
17.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3