Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (12)
Viewers also liked
Viewers also liked (16)
Similar to Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Similar to Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
- 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 7 Ιανουαρίου 2015
- 2. Ορισμός Κάθε αριθμός λ και κάθε διάνυσμα x που ικανοποιούν την σχέση Ax = λx λέγονται ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A αντίστοιχα.
- 3. Εννοιολογία Ax = λx → (A−λI)x = 0
- 4. Εννοιολογία Ax = λx → (A−λI)x = 0 Ποιός αριθμός λ έχει την ίδια δράση που έχει ο πίνακας για ορισμένα διανύσματα x;
- 5. Εννοιολογία Ax = λx → (A−λI)x = 0 Ποιός αριθμός λ έχει την ίδια δράση που έχει ο πίνακας για ορισμένα διανύσματα x; Ποιός αριθμός λ εαν προστεθεί στα διαγώνια στοιχεία ενός πίνακα τον κάνει μη-αντιστρέψιμο;
- 6. Παρατηρήσεις Τα λ και x(= 0) είναι λύσεις της εξίσωσης (A−λI)x = 0.
- 7. Παρατηρήσεις Τα λ και x(= 0) είναι λύσεις της εξίσωσης (A−λI)x = 0. Ο αριθμός λ λέγεται ιδιοτιμή του A ανν |A−λI| = 0 και αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα x το οποίο είναι η μη-μηδενική λύση του γραμμικού συστήματος (A−λI)x = 0.
- 8. Υπολογισμός Ιδιοζευγών 1. Υπολόγισε την ορίζουσα |A−λI|
- 9. Υπολογισμός Ιδιοζευγών 1. Υπολόγισε την ορίζουσα |A−λI| 2. Βρες τις ρίζες του πολυωνύμου που προέκυψε
- 10. Υπολογισμός Ιδιοζευγών 1. Υπολόγισε την ορίζουσα |A−λI| 2. Βρες τις ρίζες του πολυωνύμου που προέκυψε 3. Για κάθε μια απο τις ιδιοτιμές λi,i = 1,...,n που βρέθηκαν στο (2) λύσε το (A−λiI)xi = 0
- 11. Παράδειγμα A = 1 2 2 4
- 12. Παράδειγμα A = 1 2 2 4 λ1 = 0,x1 = 2 −1 ,λ2 = 5,x2 = 1 2
- 13. Παράδειγμα A = 0 −1 1 0
- 14. Παράδειγμα A = 0 −1 1 0 λ1 = ı,x1 = ı 1 ,λ2 = −ı,x2 = 1 ı
- 15. Παράδειγμα A = 1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1
- 16. Παράδειγμα A = 1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 λ1 = 0,x1 = 1 1 1 ,λ2 = 1,x2 = 1 0 −1 ,λ3 = 3,x3 = 1 −2 1
- 17. Παρατηρήσεις Η εύρεση ιδιοζευγών είναι μια ιδιαίτερα επίπονη διαδικασία. ΄Ενας πραγματικός πίνακας μπορεί να έχει μιγαδικές ιδιοτιμές (και ιδιοδιανύσματα). Αν ένας πίνακας έχει μηδενική ιδιοτιμή τότε αυτός είναι μη αντιστρέψιμος.
- 18. Παρατηρήσεις Το γινόμενο των ιδιοτιμών ισούται με την ορίζουσα. Αν ένας πίνακας έχει μηδενική ιδιοτιμή τότε αυτός είναι μη αντιστρέψιμος.
- 19. Παρατηρήσεις Το γινόμενο των ιδιοτιμών ισούται με την ορίζουσα. Αν ένας πίνακας έχει μηδενική ιδιοτιμή τότε αυτός είναι μη αντιστρέψιμος. Αν x είναι ιδιοδιάνυσμα ενός πίνακα τότε και το cx,∀c ∈ R είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα.
- 20. Αν ο πίνακας A έχει n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα και ο πίνακας S έχει σαν στήλες του τα ιδιοδιανύσματα αυτά τότε ο S−1 AS είναι διαγώνιος πίνακας με τις ιδιοτιμές του A κατά μήκος της διαγωνίου. S−1 AS = Λ = λ1 0 0 0 ... 0 0 0 λn
- 21. Υπολογισμός πινάκων με εκθετικά S−1 AS = Λ −→ A = SΛS−1
- 22. Υπολογισμός πινάκων με εκθετικά S−1 AS = Λ −→ A = SΛS−1 An = SΛn S−1
- 23. Παράδειγμα A = 1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1
- 24. Παράδειγμα A = 1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 λ1 = 0,x1 = 1 1 1 ,λ2 = 1,x2 = 1 0 −1 ,λ3 = 3,x3 = 1 −2 1 A20 = 1 1 1 1 0 −2 1 −1 1 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 320 1 1 1 1 0 −2 1 −1 1