1. Παραδείγματα
Δραστηριότητες
Θεωρία
Η εξίσωση αx=β
Θυμήσου ότι
Σε αυτή την ενότητα θα:
•Θυμηθούμε από το Γυμνάσιο τις εξισώσεις
1ου βαθμού.
•Συναντήσουμε την έννοια της
παραμέτρου.
•Λύσουμε κάνοντας παράλληλα
διερεύνηση την εξίσωση αx=β , όπου οι
πραγματικοί α,β θα είναι οι παράμετροι
ενώ το x θα είναι ο άγνωστος.
 Περιεχόμενα

2. 1. Υπενθυμίσεις από το Γυμνάσιο:
Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να γραφτεί με τη μορφή (1), λέγεται εξίσωση 1ου
βαθμού με
άγνωστο το x. Λύση αυτής της εξίσωσης όταν υπάρχει, ονομάζουμε την τιμή ή τις τιμές του x
(μπορεί να είναι και άπειρες) που την επαληθεύουν.
 Παραδείγματα
• Η εξίσωση έχει ως λύση την .
• Η εξίσωση έχει ως λύση την
• Η εξίσωση δεν έχει ____________ λύση και για το λόγο αυτό λέγεται
____________.
• Η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις (δηλαδή το x μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
πραγματική τιμή) και λέγεται ____________ ή και ____________
Θυμήσου ότι:
Η εξίσωση αx=β (1)
καμία
αδύνατη
αόριστη ταυτότητα
Επαναφορά
 Επόμενη

3. Θεωρία
Η εξίσωση αx=β
Η εξίσωση θα έχει τη μορφή 0x = 1
που είναι αδύνατη!
Όλες οι προηγούμενες εξισώσεις διαφέρουν μόνο στο συντελεστή του αγνώστου
x.
1
x
2
=
1
x
3
= 1
x
4
=
1
x
5
= 1
x
6
=
1
x
7
=
Επαναφορά
 Επόμενη

4. Θεωρία:
Η εξίσωση αx = β
3. Λύση και Διερεύνηση της εξίσωσης αx = β (1)
Προηγούμενα στο 2IV, είδαμε την ανάγκη «να προβλέψουμε», την περίπτωση όπου μια
παράμετρος πάρει κάποια κρίσιμη τιμή. Αυτού του είδους … οι προβλέψεις, μας υποχρεώνουν
να κάνουμε διερεύνηση για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων α και β κατά την επίλυση της
εξίσωσης (1).
Πριν δώσουμε τον ολοκληρωμένο πίνακα λύσεων, ας ξαναδούμε τα παραδείγματα της Παραγρ.1
για τις περιπτώσεις που η εξίσωση έχει λύση, ή είναι αδύνατη ή είναι αόριστη. Μετά από
αυτό θα καταλήξουμε στον παρακάτω γενικό πίνακα λύσης της εξίσωσης που συζητάμε.
 Αρχική

5. 1. Παραμετρική εξίσωση
Α. Να επιλυθεί η εξίσωση:
(1)
(άγνωστος ο x, παράμετρος το λ).
Λύση:
Κάνουμε πράξεις ώστε να έρθει στη μορφή
.
Θα είναι τελικά οπότε από παραγοντοποίηση τριωνύμου θα γράφεται τελικά:
(2)
Διερεύνηση: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για την παράσταση (που παίζει το ρόλο της
παραμέτρου α): Να ισούται ή όχι με το 0. Πάμε:
Ι. δηλαδή .
Τότε η εξίσωση θα έχει μία λύση που προκύπτει από τη σχέση (2) αν λύσουμε ως προς x. Τότε:
ΙΙ. οπότε ή λ = 0 ή λ = 3. Σε κάθε περίπτωση αντικαθιστούμε στην εξίσωση (2) τις τιμές αυτές
για να δούμε την εξέλιξη της εξίσωσης (αδύνατη ή αόριστη, όπως αναφέρει η θεωρία μας). Πάμε:
• τότε από (2) έχουμε:
όπου φανερά είναι αδύνατη (καμία λύση).
• τότε από (2) έχουμε:
όπου φανερά είναι αόριστη (άπειρες λύσεις) δηλαδή η εξίσωση είναι ταυτότητα.
Λυμένα Παραδείγματα
 Video
 Επόμενη

6. Γ. Όμοια η εξίσωση:
Λύση:
Αρχικά θα πρέπει . Τότε η εξίσωση με πράξεις θα γράφεται:
(1)
Όπως και προηγούμενα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
• τότε θα υπάρχει μία λύση x με
. Θα πρέπει όμως να είναι και άρα
.
Τελικά για η εξίσωση έχει μοναδική λύση.
• η εξίσωση γράφεται που φανερά είναι αδύνατη (καμία λύση).
B. Αν η εξίσωση (1) δεν είναι αδύνατη να δείξετε ότι τότε η εξίσωση
(2) έχει μοναδική λύση.
Λύση:
Η εξίσωση (1) είναι αδύνατη όταν (αφού τότε γράφεται ). Άρα θα πρέπει .
Τότε η εξίσωση (2) θα έχει μοναδική λύση την .
Λυμένα Παραδείγματα
 Αρχική

7. 2. Ασκήσεις για εξάσκηση
Στην επόμενη σελίδα θα βρείς μερικές ασκήσεις για εξάσκηση.
Δραστηριότητες
Η εξίσωση αx=β
1. Με χρήση λογισμικού
Με τη δραστηριότητα που ακολουθεί, μπορούμε να διαπιστώσουμε και γεωμετρικά
την έννοια
της παραμέτρου.
Στη δραστηριότητα λύνουμε γεωμετρικά την εξίσωση του παραδείγματος λx = 1
(1)
όπου λ είναι παράμετρος. Για την κατανόησή της ας θυμηθούμε ότι:
Οι συναρτήσεις με τύπους y = λx και y = 1 παριστάνουν ευθείες σε ένα σύστημα
συντεταγμένων xOy, οπότε λύνοντας την εξίσωση (1), ουσιαστικά αναζητάμε (αν
υπάρχουν)
τα κοινά τους σημεία.
 Δραστηριότητα
 Ασκήσεις για εξάσκηση

8. Η εξίσωση αx=β
Ασκήσειςγιαεξάσκηση
Για εξάσκηση
1. Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, η εξίσωση:
.
2. Δίνεται η εξίσωση .
Να βρείτε τις τιμές των λ,κ   για τις οποίες η εξίσωση είναι: Ι. ταυτότητα ΙΙ. Αδύνατη.
3. Να βρεθεί ο μ  ώστε η εξίσωση να έχει μοναδική λύση το 0.
4. Αν η εξίσωση είναι αδύνατη, να βρεθεί ο λ  .
5. Αν η εξίσωση
είναι ταυτότητα (δηλαδή έχει άπειρες λύσεις) , να προσδιοριστούν οι
πραγματικοί λ και μ.
6. Να βρεθούν τα λ και μ  , ώστε η εξίσωση
Ι. Να έχει μοναδική λύση
ΙΙ. Να αληθεύει για κάθε x.
ΙΙΙ. Να είναι αδύνατη.
7. Να βρεθούν οι τιμές του λ (αν υπάρχουν) ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να είναι αδύνατες:
Α.
Β.
Γ.
8. Να λύσετε τις εξισώσεις:
Α.
Β.
Γ.
Δ.
 Επόμενη

9. Η εξίσωση αx=β
Ασκήσειςγιαεξάσκηση
9. Αν οι α, β είναι πραγματικοί με να λυθεί η εξίσωση:
.
10. Α. Αν η εξίσωση είναι αόριστη, να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:
Β. Να λυθεί η εξίσωση:
11. Να λυθεί η εξίσωση:
.
Υπόδειξη: Να αφαιρέσετε και από τα δύο μέλη τον αριθμό -1-1.
12. Α. Να βρείτε την τιμή το λ για την οποία η εξίσωση: είναι αδύνατη.
Β. Να βρείτε την τιμή της παράστασης αν η εξίσωση είναι αόριστη.
 Αρχική

10. Η εξίσωση αx=β
Ασκήσειςγιαεξάσκηση
9. Αν οι α, β είναι πραγματικοί με να λυθεί η εξίσωση:
.
10. Α. Αν η εξίσωση είναι αόριστη, να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:
Β. Να λυθεί η εξίσωση:
11. Να λυθεί η εξίσωση:
.
Υπόδειξη: Να αφαιρέσετε και από τα δύο μέλη τον αριθμό -1-1.
12. Α. Να βρείτε την τιμή το λ για την οποία η εξίσωση: είναι αδύνατη.
Β. Να βρείτε την τιμή της παράστασης αν η εξίσωση είναι αόριστη.
 Αρχική