1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή με πίνακες
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
5 Νοεμβρίου 2013

2. Ασκήσεις
Περιγράψτε το γινόμενο (απο δεξιά και απο
αριστερά) ενός πίνακα A με έναν πίνακα E k,l
τέτοιον ώστε

 1, i = j;
p, i = k , j = l;
bi,j =

0, ειδάλως.

3. Παράδειγμα

1
5
A=
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15

4
8

12
16

i = j;
 1,
ei,j =
−p, i = k , j = l; E 3,1 =

0,
ειδάλως.

4. Παράδειγμα

1
5
A=
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15

4
8

12
16


1
i = j;
 1,
 0
ei,j =
−p, i = k , j = l; E 3,1 = 
−p

0,
ειδάλως.
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

0
1

5. Συμπέρασμα
Ο πολλαπλασιασμός από τα αριστερά ενός πίνακα
A και ενός δεξιού μέλους b με τον πίνακα
(Θεμελειώδη πίνακα απαλοιφής) E k,l ισοδυναμεί με
την απαλοιφή του l αγνώστου από την k εξίσωση.

6. Θεώρημα
Η j στήλη του γινομένου δύο πινάκων AB ισούται
με τον γραμμικό συνδυασμό των στηλών του A με
συντελεστές τις συνιστώσες της j στήλης του B.
Απόδειξη

7. Θεώρημα
Η i γραμμή του γινομένου δύο πινάκων AB ισούται
με τον γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του B με
συντελεστές τις συνιστώσες της i γραμμής του A.
Απόδειξη

8. Ανάστροφος και Αντίστροφος
Ανάστροφος ενός πίνακα A είναι ένας νέος
πίνακας που συμβολίζεται με AT και προκύπτει
απο τον A αν κάνουμε τις στήλες του γραμμές και
τις γραμμές του στήλες.

9. Ανάστροφος και Αντίστροφος
Ανάστροφος ενός πίνακα A είναι ένας νέος
πίνακας που συμβολίζεται με AT και προκύπτει
απο τον A αν κάνουμε τις στήλες του γραμμές και
τις γραμμές του στήλες.
Αντίστροφος ενός πίνακα A είναι (αν υπάρχει)
ένας νέος πίνακας που συμβολίζεται με A−1 για
τον οποίο ισχύει ότι AA−1 = A−1 A = I .

10. Συμμετρικός Πίνακας
΄Ενας πίνακας A είναι συμμετρικός ανν A = AT .

11. Συμμετρικός Πίνακας
΄Ενας πίνακας A είναι συμμετρικός ανν A = AT .
΄Ενας πίνακας A είναι συμμετρικός ανν
ai,j = aj,i .

12. Αντίστροφος Πίνακας

13. Αντίστροφος Πίνακας
Αντίστροφος είναι ο πίνακας
που αναιρεί την δράση του
εν λόγω πίνακα.

14. ΄Ασκηση
Δώστε τον αντίστροφο ενός
Ταυτοτικού πίνακα I

15. ΄Ασκηση
Δώστε τον αντίστροφο ενός
Ταυτοτικού πίνακα I
Διαγώνιου πίνακα D

16. ΄Ασκηση
Δώστε τον αντίστροφο ενός
Ταυτοτικού πίνακα I
Διαγώνιου πίνακα D
Πίνακα αντιμετάθεσης P

17. ΄Ασκηση
Δώστε τον αντίστροφο ενός
Ταυτοτικού πίνακα I
Διαγώνιου πίνακα D
Πίνακα αντιμετάθεσης P
Θεμελειώδους πίνακα απαλοιφής E k,l