ορισμ

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Ορίζουσες
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
14 Ιανουαρίου 2014

2. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R

3. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R τέτοια ώστε
1
Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα

4. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R τέτοια ώστε
1
Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2
Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο

5. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R τέτοια ώστε
1
Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2
Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3
|I | = 1

6. Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή
Εαν οι πίνακες A, B, C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και
κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων
γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός
συνδυσμός των |B| και |C |.

7. Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή
Εαν οι πίνακες A, B, C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και
κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων
γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός
συνδυσμός των |B| και |C |.
a + ta
c
a b
c d
b + tb
d
+t
a
c
=
b
d

8. Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
a b
c d
=−
c d
a b

9. Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
a b
c d
=−
c d
a b
Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο

10. Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
a b
c d
=−
c d
a b
Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο
κάθε γραμμή της ξεχωριστά’

11. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν

12. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη

13. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν

14. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου

15. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| = 0

16. Πορίσματα, Υπολογισμός Ορίζουσας
|A| = ±|U|
|A| = ±(γινόμενο των οδηγών)
Για να υπολογίσω την ορίζουσα ενός πίνακα αρκεί να κάνω
απαλοιφή και να πολλαπλασιάσω τους οδηγούς που θα βρω.

17. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους

18. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

19. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

20. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.

21. Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) det Aij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1) × (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον A
διαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.

22. Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) det Aij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1) × (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον A
διαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j) :

23. Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) det Aij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1) × (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον A
διαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j) :


+ − + ···
− + − · · ·


+ − + · · · .


. . . ..
. . .
.
. . .

24. Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας
Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στη
γραμμή και έχουμε
|A| = ai,1 Ci,1 + ai,2 Ci,2 + . . . + ai,n Ci,n

25. Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας
Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στη
γραμμή και έχουμε
|A| = ai,1 Ci,1 + ai,2 Ci,2 + . . . + ai,n Ci,n
Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων
οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.

26. Παράδειγμα


2 3 −4
A = 0 −4 2 
1 −1 5

27. Παράδειγμα


2 3 −4
2 −4
A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det
1 5
1 −1 5

28. Παράδειγμα


2 3 −4
2 −4
A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det
1 5
1 −1 5
C23 = − det
2 3
1 −1

29. Παράδειγμα


2 3 −4
2 −4
A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det
1 5
1 −1 5
C22 = 2 · 5 − (−4) · 1 = 14
C23 = − det
C23 = −(2 · (−1) − 3 · 1) = 5
2 3
1 −1

30. Παράδειγμα


2 3 −4
2 −4
A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det
1 5
1 −1 5
C22 = 2 · 5 − (−4) · 1 = 14
C23 = − det
2 3
1 −1
C23 = −(2 · (−1) − 3 · 1) = 5
det A = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46

31. Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|

32. Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
A−1 =
Asymp
|A|