13η Διάλεξη - Ανάλυση LU (συνέχεια)

5,103 views

Published on

Ύπαρξη και μοναδικότητα

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,103
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4,828
Actions
Shares
0
Downloads
47
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

13η Διάλεξη - Ανάλυση LU (συνέχεια)

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Ανάλυση LU (συνέχεια) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 11 Νοεμβρίου 2013
  2. 2. Παραγοντοποίηση A = LU Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U. Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής κάτω απο την διαγώνιο Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν μετά την απαλοιφή
  3. 3. Παράδειγμα   −1 −1 1 2  2 1 −3 6   A=  0 0 −1 2  0 1 −1 4
  4. 4. Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4 
  5. 5. Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4    −1 −1 1 2  0 −1 −1 10   →  0 0 −1 2  0 0 −2 14
  6. 6. Παράδειγμα    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2    2 1 −3 6   →  0 −1 −1 10  A=  0  0  0 −1 2  0 −1 2 0 1 −1 4 0 1 −1 4    −1 −1 1 2 −1 −1 1 2  0 −1 −1 10  0 −1 −1 10   → →  0  0 0 −1 2 0 −1 2  0 0 0 10 0 0 −2 14     
  7. 7. Παράδειγμα A = LU   −1 −1 1 2  2 1 −3 6     0 0 −1 2  0 1 −1 4
  8. 8. Παράδειγμα   A = LU  1 0 −1 −1 1 2  2 1 −3 6   −2 1   =  0 0 0 −1 2   0 0 −1 0 1 −1 4 0 0 1 2  −1 −1 1 2 0 0   0 −1 −1 10  0 −1 2 0  0 0 0 0 10 1    
  9. 9. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του
  10. 10. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
  11. 11. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
  12. 12. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y
  13. 13. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU παραγοντοποίηση του Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b Θέτω y = Ux και έχω Ly = b Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x
  14. 14. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     
  15. 15. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1       1 6   1  4
  16. 16. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4    
  17. 17. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1    −1 −1 1 2 x1  0 −1 −1 10   x2  Ux = y ⇒   0 0 −1 2   x3 x4 0 0 0 10        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4   1   8  =    1  10    
  18. 18. Παράδειγμα   1 −1 −1 1 2  6  2  1 −3 6  x = Να λυθεί το   1  0 0 −1 2  4 0 1 −1 4     y1 1 0 0 0  −2 1 0 0   y2    = Ly = b ⇒   0 0 1 0   y3   y4 0 −1 2 1    −1 −1 1 2 x1  0 −1 −1 10   x2  Ux = y ⇒   0 0 −1 2   x3 x4 0 0 0 10        1 1  8 6   ⇒y =  1 1  10 4        1 1   8   1 =     1  ⇒x = 1 10 1    
  19. 19. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU   2 1 1  4 −6 0  −2 7 2
  20. 20. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU   2 1 1  4 −6 0  −2 7 2     2 1 1 2 1 1 1 0 0  0 −8 −2  =  −2 1 0   4 −6 0  0 0 1 −2 7 2 −2 7 2 
  21. 21. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU   2 1 1  4 −6 0  −2 7 2     2 1 1 2 1 1 1 0 0  0 −8 −2  =  −2 1 0   4 −6 0  0 0 1 −2 7 2 −2 7 2       2 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 1  0 −8 −2  =    −2 1 0   4 −6 0 0 1 0 0 8 3 −(−1) 0 1 0 0 1 −2 7 2
  22. 22. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
  23. 23. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
  24. 24. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A
  25. 25. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A ⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A
  26. 26. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A ⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A ⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A ⇒ LU = A
  27. 27. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. L1 U1 = L2 U2
  28. 28. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 2
  29. 29. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2
  30. 30. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2 Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός −1 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος 2
  31. 31. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2 Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός −1 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος 2 −1 ⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D
  32. 32. Απόδειξη Μοναδικότητας LU Θεώρημα Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι μοναδική. Απόδειξη. −1 L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 2 2 Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός −1 ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος 2 −1 ⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D −1 ⇒ D = I ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = I ⇒ U1 = U2 2

×