ορισμοί και

1. αντίστροϕος πίνακα
Μάγδα Φώτη
30/10/2015
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

2. Διαδικαστικά
∙ Φροντιστήρια δεν θα πραγματοποιηθούν
σήμερα και αύριο.
1

3. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας
Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε
με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας
δίνει τον ταυτοτικό πίνακα.
2

4. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας
Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε
με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας
δίνει τον ταυτοτικό πίνακα.
AA−1
= A−1
A = I
2

5. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας
Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε
με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας
δίνει τον ταυτοτικό πίνακα.
AA−1
= A−1
A = I
Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που αναιρεί την
δράση του εν λόγω πίνακα.
2

6. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας
Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε
με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας
δίνει τον ταυτοτικό πίνακα.
AA−1
= A−1
A = I
Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που αναιρεί την
δράση του εν λόγω πίνακα.
Αντιστρέψιμος πίνακας είναι κάθε πίνακας που έχει
αντίστροφο.
2

7. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
3

8. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια
στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D
3

9. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια
στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D
D =



1 0 0
0 6 0
0 0 9



3

10. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια
στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D
D =



1 0 0
0 6 0
0 0 9


 D−1
=



1 0 0
0 1
6 0
0 0 1
9



∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 =
3

11. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια
στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D
D =



1 0 0
0 6 0
0 0 9


 D−1
=



1 0 0
0 1
6 0
0 0 1
9



∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P.
∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒
(
Ek,l(p)
)−1
=
3

12. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια
στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D
D =



1 0 0
0 6 0
0 0 9


 D−1
=



1 0 0
0 1
6 0
0 0 1
9



∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P.
∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒
(
Ek,l(p)
)−1
= Ek,l(−p).
3

13. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια
στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D
D =



1 0 0
0 6 0
0 0 9


 D−1
=



1 0 0
0 1
6 0
0 0 1
9



∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P.
∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒
(
Ek,l(p)
)−1
= Ek,l(−p).
E3,1
(6) =





1 0 0 0
0 1 0 0
6 0 1 0
0 0 0 1





,
3

14. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων
∙ I−1 = I
∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια
στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D
D =



1 0 0
0 6 0
0 0 9


 D−1
=



1 0 0
0 1
6 0
0 0 1
9



∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P.
∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒
(
Ek,l(p)
)−1
= Ek,l(−p).
E3,1
(6) =





1 0 0 0
0 1 0 0
6 0 1 0
0 0 0 1





,
(
E3,1
(6)
)−1
= E3,1
(−6) =





1 0 0 0
0 1 0 0
−6 0 1 0
0 0 0 1





3

15. Υπολογισµός Αντίστροϕου Πίνακα
Να υπολογισθεί ο αντίστροφος ενός δοθέντος πίνακα A
A
(
A−1
)
= I → Avj
= ej
, j = 1, 2, . . . , n
όπου vj η j-στη στήλη του A−1 και όπου ej η j-στη στήλη του I.
Αλγόριθμος
1. Λύνω γιά j = 1, . . . , n τα γραμμικά συστήματα
Avj
= ej
.
2. Τα vj είναι οι αντίστοιχες στήλες του A−1.
4

16. Ορισµός αντιστρόϕου
Ο αντίστροφος ενός πίνακα A είναι ένας άλλος πίνακας B
τέτοιος ώστε
AB = BA = I
Ο αντίστροφος συνήθως συμβολίζεται με A−1.
5

17. Αντίστροϕος του αντίστροϕου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή
(
A−1
)−1
= A
.
Proof.
6

18. Αντίστροϕος του αντίστροϕου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή
(
A−1
)−1
= A
.
Proof.
AA−1
= A−1
A = I.
6

19. Αντίστροϕος γινοµένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους.
7

20. Αντίστροϕος γινοµένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1
= B−1
A−1
.
Proof.
7

21. Αντίστροϕος γινοµένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1
= B−1
A−1
.
Proof.
(
B−1
A−1
)
(AB) = B−1
(
A−1
A
)
B = B−1
IB = B−1
B = I.
7

22. Αντίστροϕος γινοµένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1
= B−1
A−1
.
Proof.
(
B−1
A−1
)
(AB) = B−1
(
A−1
A
)
B = B−1
IB = B−1
B = I.
(AB)
(
B−1
A−1
)
= A
(
BB−1
)
A−1
= AIA−1
= AA−1
= I.
7

23. Μοναδικότητα αντιστρόϕου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Proof.
8

24. Μοναδικότητα αντιστρόϕου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Proof.
Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B
8

25. Μοναδικότητα αντιστρόϕου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Proof.
Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B = BI
8

26. Μοναδικότητα αντιστρόϕου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Proof.
Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B = BI = B(AC)
8

27. Μοναδικότητα αντιστρόϕου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Proof.
Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B = BI = B(AC) = (BA)C =
8

28. Μοναδικότητα αντιστρόϕου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Proof.
Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
8

29. Αντίστροϕος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b
9

30. Αντίστροϕος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b
∙ και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.
Proof.
Ax = b
9

31. Αντίστροϕος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b
∙ και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.
Proof.
Ax = b ⇒ A−1
Ax = A−1
b
9

32. Αντίστροϕος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b
∙ και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.
Proof.
Ax = b ⇒ A−1
Ax = A−1
b ⇒ x = A−1
b.
9

33. Ύπαρξη αντιστρόϕου
Θεώρημα
O αντίστροφος ενός πίνακα A υπάρχει ανν όλα τα οδηγά
στοιχεία μετά την απαλοιφή με οδήγηση του A είναι μη
μηδενικά.
Proof.
Για να υπάρχει πρέπει να μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις
στήλες του.
Πρέπει δηλαδή τα συστήματα Avj = ej για j = 1, 2, . . . , n να
έχουν όλα λύση.
10

34. Αντίστροϕος τριγωνικού
Θεώρημα
O αντίστροφος ενός άνω(κάτω) τριγωνικού πίνακα είναι
άνω(κάτω) τριγωνικός πίνακας.
Proof.
Εύκολη αλλά θέλει τον χρόνο της και είναι βαρετή.
11

35. εξέταση προόδου

36. Άσκηση
EA =



1 0 0
0 1 π
0 0 1






2 2 4
0 1 −3
−2 7 4


 =??
Α)



2 2 4
−2π 1 + 7π −3 + 4π
−2 7 4


 Β)



2 2 4
0 1 −3
2π − 2 2π + 7 4π + 4



Γ)



2 2 4 + 2π
0 1 −3 + π
−2 7 4 + 7π


 Δ)



2 2 4
0 1 −3
−2 π + 7 4 − 3π



13

37. Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
14

38. Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
14

39. Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
Α)
[
1 2
3 1
]
Β)
[
1
0
]
Γ)
[
0
3
]
Δ)
[
1
2 0
−0 1
]
14

40. Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
Α)
[
1 2
3 1
]
Β)
[
1
0
]
Γ)
[
0
3
]
Δ)
[
1
2 0
−0 1
]
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
14

41. Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
Α)
[
1 2
3 1
]
Β)
[
1
0
]
Γ)
[
0
3
]
Δ)
[
1
2 0
−0 1
]
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
[
1 3
2 4
]
x =
[
1
2
]
άρα
[ ] [ ] [ ] 14

42. Άσκηση
Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε
πραγματικό αριθμό r ̸= 0 ισχύει
(rA)−1
=
1
r
A−1
15

43. Άσκηση
Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε
πραγματικό αριθμό r ̸= 0 ισχύει
(rA)−1
=
1
r
A−1
(
1
r
A−1
)rA = (r(
1
r
A−1
))A = A−1
A = I
15

44. Άσκηση
Είναι ο πίνακας
A =



1 2 3
1 2 4
1 2 5



Αντιστρέψιμος?
A Ναι.
B Όχι.
Γ Ίσως.
D Τα έχω χαμένα.
16

45. Άσκηση
Είναι ο πίνακας
B =



1 1 1
2 2 2
3 4 5



αντιστρέψιμος?
Α Ναι.
Β Όχι.
Γ Ίσως.
17

46. Άσκηση
Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα



1 1 1
2 −1 0
3 4 5


 x =



0
0
0



έχει σαν λύση μόνον την x = ⃗0 τι ισχύει για το σύστημα



1 1 1
2 −1 0
3 4 5


 x =



−1
7
−3


?
18

47. Άσκηση
Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα



1 1 1
2 −1 0
3 4 5


 x =



0
0
0



έχει σαν λύση μόνον την x = ⃗0 τι ισχύει για το σύστημα



1 1 1
2 −1 0
3 4 5


 x =



−1
7
−3


?
Α Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x.
Β Υπάρχει το πολύ μια λύση x.
Γ Και τα δύο απο τα παραπάνω
Δ Τίποτε απο τα παραπάνω. 18

48. Άσκηση
Η ισότητα (A + B)T = AT + BT ισχύει
Α Για κάθε ζεύγος n × n πινάκων A και B.
Β Για κανένα ζεύγος n × n πινάκων A και B.
Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n πινάκων A και B ενώ για άλλα
δεν ισχύει
19

49. Άσκηση
Η ισότητα (A + B)−1 = A−1 + B−1 ισχύει
Α Για κάθε ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B.
Β Για κανένα ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B.
Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B
ενώ για άλλα δεν ισχύει
20