Successfully reported this slideshow.
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

15 Νοεμβρίου 2013
Διανυσματικός Χώρος

Ορισμός
Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο ‘διανυσμάτων’
εξοπλισμένο με πρόσθεση διανυσμάτων και πο...
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του...
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του...
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του...
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του...
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του...
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του...
Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του...
Διανυσματικός Υπόχωρος

Ορισμός
Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν
0 ∈ U,
Διανυσματικός Υπόχωρος

Ορισμός
Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν
0 ∈ U,
∀x, y ∈ U, x + y ∈ U
Διανυσματικός Υπόχωρος

Ορισμός
Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν
0 ∈ U,
∀x, y ∈ U, x + y ∈ U
∀c ∈ ...
Μηδενόχωρος
Θεώρημα
Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι
διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A...
Μηδενόχωρος
Θεώρημα
Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι
διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A...
Μηδενόχωρος
Θεώρημα
Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι
διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A...
΄Ασκηση

Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε ο N (A) είναι υπόχωρος
του
1

Rn

2

Rm

3

R n και του R m

4

δεν μπορούμε...
΄Ασκηση

Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε είναι το σύνολο των
λύσεων του μη-ομογενούς συστήματος Ax = b = 0
διανυσματι...
΄Ασκηση

Ποιός είναι N (A) αν ο A είναι ένας n × n αντιστρέψιμος πίνακας;
Χώρος στηλών

Ορισμός
Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυ...
Χώρος στηλών

Ορισμός
Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυ...
Χώρος γραμμών

Ορισμός
Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συν...
Χώρος γραμμών

Ορισμός
Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συν...
Αριστερός μηδενόχωρος

Ορισμός
Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα
διανύσματα x που ικανοποιούν την εξί...
Αριστερός μηδενόχωρος

Ορισμός
Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα
διανύσματα x που ικανοποιούν την εξί...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

15η διάλεξη - Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι

4,849 views

Published on

Ορισμοί παραδείγματα

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

15η διάλεξη - Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 15 Νοεμβρίου 2013
  2. 2. Διανυσματικός Χώρος Ορισμός Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο ‘διανυσμάτων’ εξοπλισμένο με πρόσθεση διανυσμάτων και πολλαπλασιασμό διανύσματος με αριθμό. Παραδείγματα R, R 2 , R 3 , . . . Πίνακες 2-επι-3 Πολυώνυμα βαθμού το πολύ 4 ...
  3. 3. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn
  4. 4. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn :
  5. 5. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g :
  6. 6. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση (f + g )(t) = f (t) + g (t) ∀t∈R
  7. 7. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . (f + g )(t) = t 2 + e t . Τότε
  8. 8. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . Τότε (f + g )(t) = t 2 + e t . Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν αριθμό c:
  9. 9. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . Τότε (f + g )(t) = t 2 + e t . Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν αριθμό c: cf είναι η συνάρτηση (cf )(t) = c(f (t)) for all t ∈ R Παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = sin(t). Τότε (5f )(t) = 5sin(t).
  10. 10. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον Rn Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν στοιχεία του Rn : Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι μια συνάρτηση ∀t∈R (f + g )(t) = f (t) + g (t) παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = t 2 , g (t) = et . Τότε (f + g )(t) = t 2 + e t . Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν αριθμό c: cf είναι η συνάρτηση (cf )(t) = c(f (t)) for all t ∈ R Παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = sin(t). Τότε (5f )(t) = 5sin(t).
  11. 11. Διανυσματικός Υπόχωρος Ορισμός Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν 0 ∈ U,
  12. 12. Διανυσματικός Υπόχωρος Ορισμός Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν 0 ∈ U, ∀x, y ∈ U, x + y ∈ U
  13. 13. Διανυσματικός Υπόχωρος Ορισμός Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν 0 ∈ U, ∀x, y ∈ U, x + y ∈ U ∀c ∈ R και ∀x ∈ U, cx ∈ U
  14. 14. Μηδενόχωρος Θεώρημα Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και συμβολίζεται με N (A)). Απόδειξη. ΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος Ax = 0.
  15. 15. Μηδενόχωρος Θεώρημα Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και συμβολίζεται με N (A)). Απόδειξη. ΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος Ax = 0. Av = 0, Aw = 0 ⇒ Av + Aw = 0 ⇒ A(v + w ) = 0 ⇒ v + w είναι λύση του ομογενούς.
  16. 16. Μηδενόχωρος Θεώρημα Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και συμβολίζεται με N (A)). Απόδειξη. ΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος Ax = 0. Av = 0, Aw = 0 ⇒ Av + Aw = 0 ⇒ A(v + w ) = 0 ⇒ v + w είναι λύση του ομογενούς. Av = 0, ⇒ λAv = 0 ⇒ A(λv ) = 0 ⇒ λv είναι λύση του ομογενούς.
  17. 17. ΄Ασκηση Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε ο N (A) είναι υπόχωρος του 1 Rn 2 Rm 3 R n και του R m 4 δεν μπορούμε να αποφανθούμε
  18. 18. ΄Ασκηση Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε είναι το σύνολο των λύσεων του μη-ομογενούς συστήματος Ax = b = 0 διανυσματικός υπόχωρος;
  19. 19. ΄Ασκηση Ποιός είναι N (A) αν ο A είναι ένας n × n αντιστρέψιμος πίνακας;
  20. 20. Χώρος στηλών Ορισμός Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(A).
  21. 21. Χώρος στηλών Ορισμός Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(A). Παρατήρηση - Ο R(A) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R m .
  22. 22. Χώρος γραμμών Ορισμός Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(AT ).
  23. 23. Χώρος γραμμών Ορισμός Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(AT ). Παρατήρηση - Ο R(AT ) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R n .
  24. 24. Αριστερός μηδενόχωρος Ορισμός Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα x που ικανοποιούν την εξίσωση x T A = 0T και συμβολίζεται με N (AT ).
  25. 25. Αριστερός μηδενόχωρος Ορισμός Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα x που ικανοποιούν την εξίσωση x T A = 0T και συμβολίζεται με N (AT ). Παρατήρηση - Ο N (AT ) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R ? .

×