Γραμμική ΄Αλγεβρα
Επίλυση m × n συστήματος
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

25 Νοεμβρίου 2013
Παρατήρηση

Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση ...
Παρατήρηση

Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση ...
Παρατήρηση

Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση ...
Παρατήρηση

Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση ...
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b
 
 
u
b
1 0 0
1 3 3 2  
v   1
Ax = LUx =  2 1 0   0 0 3 1 ...
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b

Ax = LUx = 



1 3 3
0 0 3
0 0 0

 
 
u
b
1 0 0
1 3 3 2  
v ...
Ορισμοί

xγ

νικη :

όλες οι λύσεις του Ax = b
Ορισμοί

xγ
xoµoγ

όλες οι λύσεις του Ax = b
νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
νικη :
Ορισμοί

xγ

όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγ νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη : μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
νι...
Ορισμοί

xγ

όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγ νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη : μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
Ελ...
Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax = b

1

Απαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c)

2

Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και ...
Παράδειγμα



1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3 
1 3 1 6 −4
Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4
...
Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4
...
Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4
...
Παράδειγμα




1 0 0
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3 
1 1 1
0 0 0 0 −0
1 3 1 6 −4
...
Παράδειγμα (συνέχεια)
 
 
 
5
5
5
2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y
Ax =
7
7
7
Παράδειγμα (συνέχεια)

Ax


1 0 0
 0 1 0
1 1 1

 
 
 
5
5
5
2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y
=
7
7
7
 
  ...
Παράδειγμα (συνέχεια)

Ax


1 0 0
 0 1 0
1 1 1

 
 
 
5
5
5
2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y
=
7
7
7
 
  ...
Παράδειγμα (συνέχεια)

xγ

νικη

= xειδικη +xoµoγ

νoυς
Παράδειγμα (συνέχεια)

xγ

νικη

= xειδικη +xoµoγ

νoυς

 
 
 
 
5
−3
−2
1
0
 1
 0
0
 
 
 
 
= 2...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

18η Διάλεξη - Γενική λύση μη-ομογενούς

4,601 views

Published on

υπολογισμός όλων των λύσεων

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

18η Διάλεξη - Γενική λύση μη-ομογενούς

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Επίλυση m × n συστήματος Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 25 Νοεμβρίου 2013
  2. 2. Παρατήρηση Θεώρημα Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
  3. 3. Παρατήρηση Θεώρημα Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος. Απόδειξη. ΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = b
  4. 4. Παρατήρηση Θεώρημα Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος. Απόδειξη. ΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = b τότε Aw = b και Av = b
  5. 5. Παρατήρηση Θεώρημα Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος. Απόδειξη. ΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = b τότε Aw = b και Av = b συνεπώς A(w − v ) = 0.
  6. 6. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b Ax = b
  7. 7. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b Ax = b ⇒ LUx = b
  8. 8. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b
  9. 9. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b     u b 1 0 0 1 3 3 2   v   1 Ax = LUx =  2 1 0   0 0 3 1    = b2 w b3 −1 2 1 0 0 0 0 y   
  10. 10. ΄Υπαρξη Λύσης Ax = b Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1 b  Ax = LUx =   1 3 3 0 0 3 0 0 0     u b 1 0 0 1 3 3 2   v   1 2 1 0   0 0 3 1    = b2 w b3 −1 2 1 0 0 0 0 y    u   b1 2   v b2 − 2b1  1   =  w  0 b3 − 2b2 + b1 y  
  11. 11. Ορισμοί xγ νικη : όλες οι λύσεις του Ax = b
  12. 12. Ορισμοί xγ xoµoγ όλες οι λύσεις του Ax = b νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0 νικη :
  13. 13. Ορισμοί xγ όλες οι λύσεις του Ax = b xoµoγ νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0 xειδικη : μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b νικη :
  14. 14. Ορισμοί xγ όλες οι λύσεις του Ax = b xoµoγ νoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0 xειδικη : μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό. νικη :
  15. 15. Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax = b 1 Απαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c) 2 Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη ) 3 4 Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση (xoµoγ νoυς ) xγ νικη = xειδικη + xoµoγ νoυς
  16. 16. Παράδειγμα   1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  1 3 1 6 −4
  17. 17. Παράδειγμα     1 0 0 1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3  1 1 1 0 0 0 0 −0 1 3 1 6 −4 
  18. 18. Παράδειγμα     1 0 0 1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3  1 1 1 0 0 0 0 −0 1 3 1 6 −4     x1   1 3 0 2 −1 x2  0    0 0 1 4 −3  x3  = 0 ⇒   0 0 0 0 −0 x4  0 x5 
  19. 19. Παράδειγμα     1 0 0 1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3  1 1 1 0 0 0 0 −0 1 3 1 6 −4     x1   1 3 0 2 −1 x2  0    0 0 1 4 −3  x3  = 0 ⇒   0 0 0 0 −0 x4  0 x5   −3  1   s1 =  0 ,    0 0 
  20. 20. Παράδειγμα     1 0 0 1 3 0 2 −1 1 3 0 2 −1 A =  0 0 1 4 −3  →  0 1 0   0 0 1 4 −3  1 1 1 0 0 0 0 −0 1 3 1 6 −4     x1   1 3 0 2 −1 x2  0    0 0 1 4 −3  x3  = 0 ⇒   0 0 0 0 −0 x4  0 x5       −3 −2 1  1  0 0       s1 =  0 , s2 = −4 , s3 = 3        0  1 0 0 0 1 
  21. 21. Παράδειγμα (συνέχεια)       5 5 5 2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y Ax = 7 7 7
  22. 22. Παράδειγμα (συνέχεια) Ax  1 0 0  0 1 0 1 1 1       5 5 5 2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y = 7 7 7       5 5 y1  y2  = 2 ⇒ y1 = 5, y2 = 2, y3 = 0 ⇒ y = 2 7 0 y3
  23. 23. Παράδειγμα (συνέχεια) Ax  1 0 0  0 1 0 1 1 1       5 5 5 2 ⇒ LUx = 2 ⇒ Ly = 2 , Ux = y = 7 7 7       5 5 y1  y2  = 2 ⇒ y1 = 5, y2 = 2, y3 = 0 ⇒ y = 2 7 0 y3     5  x1   0 1 3 0 2 −1  0 5      0 0 1 4 −3  x3  = 2 ⇒ x1 = 5, x3 = 2 ⇒ xειδικη = 2     0 0 0 0 0 −0  0 0 0 0 
  24. 24. Παράδειγμα (συνέχεια) xγ νικη = xειδικη +xoµoγ νoυς
  25. 25. Παράδειγμα (συνέχεια) xγ νικη = xειδικη +xoµoγ νoυς         5 −3 −2 1 0  1  0 0         = 2+c1  0+c2 −4+c3 3 .         0  0  1 0 0 0 0 1

×