Υλικό διαλέξεων του μαθήματος Γραμμική Άλγεβρα με θέμα την καθετότητα και την ορθογωνιότητα

1. Ορθογωνιότητα 3.1 Κάθετα Διανύσματα & Ορθογώνιοι Υποχώροι

2. Μήκος Διανύσματος 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 2

3. Καθετότητα Διανυσμάτων Τα x και y είναι κάθετα μεταξύ τους αννxTy=0 Η ποσότητα xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο των x και y 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 3

4. Καθετότητα& Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα:Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναιορθογώνια (ανά δύο κάθετα μεταξύ τους) τότε είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη: 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 4

5. Ορθογώνιοι Υπόχωροι Δύο υπόχωροιV και W του ίδιου διανυσματικού χώρου Rnείναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v του V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w του W Παράδειγμα 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 5

6. Ορθογωνιότητα Θεμελιωδών Υποχώρων Θεώρημα: Ο χώρος γραμμών είναι ορθογώνιος στον μηδενόχωρο και ο χώρος στηλών είναι ορθογώνιος στον αριστερό μηδενόχωρο. Απόδειξη: 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 6

7. Παράδειγμα 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 7

8. Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Δοθέντος ενός υπόχωρουV του Rn, ο χώρος όλων των ορθογωνίων διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και συμβολίζεται με V Παράδειγμα: Ορθογώνιο συμπλήρωμα στον R3 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 8

9. Θεμελιώδες θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας (2ο μέρος) Απόδειξη: 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 9

10. Χρήση του Θεμελιώδους Θεωρήματος Πόρισμα: Το σύστημα Αx=b έχει λύση αννbTy=0 οποτεδήποτε ATy=0 Απόδειξη: Παράδειγμα: x1-x2=b1 x2-x3=b2 x1-x3=b3 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 10

11. Θεμελιώδες Θεώρημα Γ.Α. 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 11 Χώρος Στηλών Χώρος Γραμμών Αριστερός Μηδενόχωρος Μηδενόχωρος

12. Χώρος Γραμμών & Χώρος Στηλών Θεώρημα:Η απεικόνιση του χώρου γραμμών στον χώρο στηλών είναι αντιστρέψιμη (δηλ. για κάθε b στον χώρο στηλών υπάρχει μοναδικό xrστον χώρο γραμμών). Απόδειξη: 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 12

13. Επιλεγμένες Ασκήσεις 5-7, 11, 13-17, 19, 20 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 13

14. Ορθογωνιότητα 3.2 Εσωτερικά Γινόμενα & Προβολές σε Ευθείες

15. 1-διάστατη Προβολή n-Διάστατου Χώρου Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθεία που ορίζει το a ή ισοδύναμα Να βρεθεί το πλησιέστερο στο b σημείο p της ευθείας που ορίζει το a 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 15

16. Ανισότητα του Schwarz 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 16 Θεώρημα:Εάν θ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a και b τότε Απόδειξη:

17. Προβολή ενός Διανύσματος στην Ευθεία a (που περνά από το 0) Η προβολή του b πάνω στην ευθεία δια του a είναι Επίσης 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 17

18. Ανισότητα του Schwarz Πόρισμα: Απόδειξη: 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 18

19. Παράδειγμα Υπολογίστε την προβολή του διανύσματος [1 2 3] πάνω στην ευθεία δια του [1 1 1]. 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 19

20. Πίνακας Προβολής Θεώρημα: Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα b στην ευθεία δια του a είναι Απόδειξη: Ιδιότητες: Συμμετρικός, P2=P, τάξη 1 (r=1) Για να προβάλεις ένα διάνυσμα σε μια ευθεία a πολλαπλασίασέ το με τον πίνακα προβολής της a 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 20

21. Παραδείγματα: a=[1 1 1] a=[cos(θ) sin(θ)] 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 21

22. Επιλεγμένες Ασκήσεις 3, 5, 7, 9, 10-12, 14, 15 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 22

23. Ορθογωνιότητα 3.3 Προβολές & Προσεγγίσεις Ελάχιστων Τετραγώνων

24. Παράδειγμα (σε μια διάσταση) Πρόβλημα:Λύσε το σύστημα 2x=b1 3x=b2 4x=b3 Λύση:Μόνον εάν το b ανήκει στον χώρο στηλών, δηλ. μόνον εάν είναι πάνω στην ευθεία [2 3 4]. Όταν δεν ανήκει; 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 24

25. Λύση Ελαχίστων Τετραγώνων του ax=b, a,bєRn Ελαχιστοποίησε τον «μέσο όρο» του σφάλματος Ε2=(2x-b1)2+ (3x-b2)2+(4x-b3)2 dE2/dx=2[(2x-b1)2+ (3x-b2)3+(4x-b3)4]=0 x=(2b1+3b2+4b3)/(22+32+42) Η λύση των ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος ax=b όπου a,bєRnείναι 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 25

26. Παράδειγμα (σε Πολλές Διαστάσεις) Πρόβλημα:Λύσε το σύστημα Αx=b Λύση:Μόνον εάν το b ανήκει στον χώρο στηλών. Όταν δεν ανήκει; 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 26

27. Λύση Ελαχίστων Τετραγώνων τουΑx=b, Α єRm x n bєRn 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 27

28. Λύση Ελαχίστων Τετραγώνων Θεώρημα: Έστω Α єRm x n και bєRn Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Αx=b ικανοποιεί την εξίσωση ΑΤΑx=ATb Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο ΑTΑ είναι αντιστρέψιμος και x=(ΑΤΑ)-1ATb Απόδειξη: 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 28

29. Προβολή Διανύσματος σε Υπόχωρο Πόρισμα: Η προβολή ενός διανύσματοςbєRn πάνω στον χώρο στηλών ενός πίνακα Α єRm x n είναι p=A(ΑΤΑ)-1ATb Απόδειξη : 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 29

30. Παράδειγμα 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 30

31. Παρατηρήσεις Εάν το b ανήκει στον χώρο στηλών του Α τότε η προβολή του είναι το ίδιο το b Εάν το b είναι κάθετο στον χώρο στηλών του Α τότε η προβολή του είναι 0 Εάν ο Α είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε διανύσματος είναι ο εαυτός του Εάν ο Α έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω σε ευθεία 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 31

32. Πίνακας Εσωτερικού Γινομένου ΑΤΑ Ο πίνακας ΑΤΑ Είναι τετραγωνικός Είναι συμμετρικός Έχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον Α Είναι αντιστρέψιμος εάν ο Α έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 32

33. Πίνακες Προβολών Θεώρημα: Ο πίνακας προβολής P = A(ATA)-1ATενός πίνακα Α έχει τις εξής ιδιότητες P2=P PT=P Κάθε συμμετρικός πίνακας που ικανοποιεί τις δύο παραπάνω ιδιότητες παριστάνει προβολή. Απόδειξη : 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 33

34. Επιλεγμένες Ασκήσεις 3, 6, 8, 10-12, 17, 19, 20 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 34 τετραγωνικός και

35. Ορθογωνιότητα 3.4 Ορθογώνιες Βάσεις, Ορθογώνιοι Πίνακες & ΟρθοκανονικοποίησηGram-Schmidt

36. Εισαγωγή Ορισμός: Τα διανύσματα q1, q2 ,…,qkείναι ορθοκανονικά όταν Παραδείγματα: Κάθε πίνακας μετάθεσης . 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 36

37. Ορθογώνιοι Πίνακες Ορισμός: Ένας τετραγωνικός πίνακαςQ λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλες του είναι ορθοκανονικές Εάν οι στήλες ενός πίνακα είναι ορθοκανονικές τότε Δηλαδή ο ανάστροφός του είναι ο αντίστροφός του 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 37

38. Άλλες Ιδιότητες O πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη, τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες (δηλ. ||Qx||=||x||, (Qx)T(Qx)=xTx, γωνία(x,y)= γωνία(Qx,Qy) ) Κάθε διάνυσμα b μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Q 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 38

39. Προβολή σε Επίπεδο =Άθροισμα Προβολών σε Ορθοκανονικές Συντεταγμένες 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 39

40. Ελάχιστα Τετράγωνα Πρόβλημα: Λύσε το Qx=b όπου ο m-επί-n πίνακας Q έχει ορθοκανονικές στήλες το b δεν ανήκει στον χώρο στηλών του Q Λύση: x=QTb 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 40

41. Διαδικασία Gram-Schmidt Πρόβλημα: Δίδονται a, b, c γραμμικά ανεξάρτητα κατασκευάστε q1, q2, q3ορθοκανονικά Λύση: q1 =a/||a|| q2 =b’/||b’||, b’=b-(q1Tb) q1 q3 = c’/||c’||, c’=c-(q1Tc) q1 -(q2Tc) q2 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 41

42. Παράδειγμα 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 42

43. ΠαραγοντοποίησηQR Κάθε m-επι-n πίνακας A με γραμμικά ανεξάρτητες στήλες μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε A=QR όπου οι στήλες του Q να είναι ορθοκανονικές και ο R να είναι ένας άνω τριγωνικός και αντιστρέψιμος πίνακας. Όταν m=n τότε όλοι οι πίνακες είναι τετραγωνικοί και ο είναι Q ορθογώνιος 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 43

44. Επιλεγμένες Ασκήσεις 6, 11, 14, 16-18, 26, 27 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 44

45. Επιλεγμένες Επαναληπτικές Ασκήσεις 13, 15, 17, 19, 20, 27, 29, 30, 33, 39, 40 12/21/2009 Ορθογωνιότητα 45