Γραμμική ΄Αλγεβρα
Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

15 Δεκεμβρίου 2013
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου

Θεώρημα
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του
L−1 που αντιστοιχούν σε ...
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου

Θεώρημα
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του
L−1 που αντιστοιχούν σε ...
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου

Θεώρημα
Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του
L−1 που αντιστοιχούν σε ...
Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1

Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.
Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1

2

Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.
Χώρος στηλών - Οι στ...
Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1

2

3

Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.
Χώρος στηλών - Οι...
Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων

1

2

3

4

Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν
οδηγό.
Χώρος στηλών -...
Συμπληρωματικότητα Χώρων
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του
μηδενόχωρου ισούται με n.
Απόδειξη.
Συμπληρωματικότητα Χώρων
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του
μηδενόχωρου ισούται με n.
Απόδειξη.

...
Συμπληρωματικότητα Χώρων
Θεώρημα
Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του
μηδενόχωρου ισούται με n.
Απόδειξη.

...
Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας
΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ορισμός
Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I
΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ορισμός
Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I
Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = ...
΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ορισμός
Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I
Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = ...
Τύποι Αντιστρόφων

B = AT A

−1

AT
Τύποι Αντιστρόφων

B = AT A

−1

C = AT AAT

AT

−1
Τύποι Αντιστρόφων

B = AT A

−1

C = AT AAT

AT

−1

Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι AT A AAT ;
΄Υπαρξη Λύσης
΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm
΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm
Το Ax = b έχει μία τουλά...
΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm
Το Ax = b έχει μία τουλά...
΄Υπαρξη Λύσης

Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες
του A παράγουν τον Rm
Το Ax = b έχει μία τουλά...
Μοναδικότητα Λύσης
Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Το Ax = b έ...
Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Το Ax = b έ...
Μοναδικότητα Λύσης

Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του
A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Το Ax = b έ...
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και
Ax = ACb = b,
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και
Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν κα...
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης

Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και
Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν κα...
Παράδειγμα

A=

4 0 0
0 5 0
Παράδειγμα

A=

4 0 0
0 5 0

m = 2, n = 3, r = 2
Πίνακες τάξης 1




2
1
1
 4
2
2 

A=
 8
4
4 
−2 −1 −1
Πίνακες τάξης 1




 
2
1
1
1
 4
 2
2
2 
 =  2 1 1
A=
 8
 4
4
4 
−2 −1 −1
−1
Πίνακες τάξης 1




 
2
1
1
1
 4
 2
2
2 
 =  2 1 1
A=
 8
 4
4
4 
−2 −1 −1
−1
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

22η Διάλεξη - Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Άλγεβρας (μέρος 1ο)

3,652 views

Published on

Υπόβαθρο και εικόνα θεωρήματος

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
3,652
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3,454
Actions
Shares
0
Downloads
45
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

22η Διάλεξη - Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Άλγεβρας (μέρος 1ο)

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 15 Δεκεμβρίου 2013
  2. 2. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου Θεώρημα Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.
  3. 3. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου Θεώρημα Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U. Απόδειξη. A = LU ⇒ L−1 A = U
  4. 4. Βάση του αριστερού μηδενόχωρου Θεώρημα Βάση του αριστερού μηδενόχωρου του A είναι οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U. Απόδειξη. A = LU ⇒ L−1 A = U
  5. 5. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό.
  6. 6. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 2 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό. Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που φέρουν οδηγό.
  7. 7. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 2 3 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό. Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που φέρουν οδηγό. Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων του ομογενούς (δες αλγόριθμο).
  8. 8. Σύνοψη - Βάσεις θεμελιωδών υποχώρων 1 2 3 4 Χώρος γραμμών - Οι γραμμές του A ή του U που φέρουν οδηγό. Χώρος στηλών - Οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που φέρουν οδηγό. Μηδενόχωρος - ΄Ενα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων του ομογενούς (δες αλγόριθμο). Αριστερός Μηδενόχωρος - οι γραμμές του L−1 που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του U.
  9. 9. Συμπληρωματικότητα Χώρων Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του μηδενόχωρου ισούται με n. Απόδειξη.
  10. 10. Συμπληρωματικότητα Χώρων Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του μηδενόχωρου ισούται με n. Απόδειξη. Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m.
  11. 11. Συμπληρωματικότητα Χώρων Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου γραμμών και του μηδενόχωρου ισούται με n. Απόδειξη. Θεώρημα Το άθροισμα της διάστασης του χώρου στηλών και του αριστερού μηδενόχωρου ισούται με m. Απόδειξη. Ανέστρεψε τον πίνακα και επανέλαβε την προηγούμενη απόδειξη.
  12. 12. Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας
  13. 13. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων Ορισμός Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I
  14. 14. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων Ορισμός Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I
  15. 15. ΄Υπαρξη Αντιστρόφων Ορισμός Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A ανν BA = I Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC = I Εάν n = m = r τότε ο αριστερός αντίστροφος ταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός.
  16. 16. Τύποι Αντιστρόφων B = AT A −1 AT
  17. 17. Τύποι Αντιστρόφων B = AT A −1 C = AT AAT AT −1
  18. 18. Τύποι Αντιστρόφων B = AT A −1 C = AT AAT AT −1 Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι AT A AAT ;
  19. 19. ΄Υπαρξη Λύσης
  20. 20. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm
  21. 21. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m (και m ≤ n)
  22. 22. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m (και m ≤ n) Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A
  23. 23. ΄Υπαρξη Λύσης Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A παράγουν τον Rm Το Ax = b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b ανν r = m (και m ≤ n) Εάν r = m (και m ≤ n) τότε υπάρχει δεξιός αντίστροφος του A
  24. 24. Μοναδικότητα Λύσης
  25. 25. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
  26. 26. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και n ≤ m)
  27. 27. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και n ≤ m) Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος του A
  28. 28. Μοναδικότητα Λύσης Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες Το Ax = b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν r = n (και n ≤ m) Εάν r = n (και n ≤ m) τότε υπάρχει αριστερός αντίστροφος του A
  29. 29. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
  30. 30. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb
  31. 31. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και Ax = ACb = b,
  32. 32. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις (C ).
  33. 33. ΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης Μια πιθανή λύση του Ax = b είναι η x = Cb μια και Ax = ACb = b, μπορεί όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις (C ). Αν το Ax = b έχει λύση τότε αυτή θα είναι της μορφής x = BAx = Bb .
  34. 34. Παράδειγμα A= 4 0 0 0 5 0
  35. 35. Παράδειγμα A= 4 0 0 0 5 0 m = 2, n = 3, r = 2
  36. 36. Πίνακες τάξης 1   2 1 1  4 2 2   A=  8 4 4  −2 −1 −1
  37. 37. Πίνακες τάξης 1     2 1 1 1  4  2 2 2   =  2 1 1 A=  8  4 4 4  −2 −1 −1 −1
  38. 38. Πίνακες τάξης 1     2 1 1 1  4  2 2 2   =  2 1 1 A=  8  4 4 4  −2 −1 −1 −1 Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί να γραφθεί στην μορφή A = uv T

×