Lezione sul caos deterministico

1. DETERMINISMO
CASO
CAOS

2. Riflettiamo un attimo …
• La Fisica si occupa dello studio delle leggi che regolano i fenomeni
naturali e le interazioni dei costituenti della materia.
• Generalmente l’approccio di un fisico è quello di rendere il
problema il più semplice possibile, cercando di individuare le
caratteristiche fondamentali del fenomeno in studio e trascurando
il resto.
• Ad esempio: lo studio del moto di un grave o di un pendolo,
trascurando l’attrito
• Questo metodo riduzionista ha portato a degli enormi successi,
ma si basa sull’idea, non sempre valida, che basta scomporre un
oggetto o un fenomeno in quelle che sono le sue parti fondamentali
per spiegarne il suo comportamento complessivo

3. • Non è sempre realistico descrivere con semplici figure
geometriche (coni,cerchi,cubi,triangoli, ecc.) gli oggetti che
vogliamo studiare
• Le singole componenti di un sistema fisico non interagiscono
sempre debolmente, ma sono spesso fortemente accoppiate con
termini non lineari. Ad ad esempio a differenza della semplice
forza elastica F = −kx che contiene solo un termine lineare, è
spesso più realistico considerare dei termini quadratici o di ordine
superiore
• Il tutto non è sempre la semplice somma delle singole parti.
• I fenomeni naturali sono in generale più complessi di quanto a
prima vista possa spesso sembrare ….
Basta guardarsi intorno.
In realtà …

4. DETERMINISMO CLASSICO
• Scriveva Laplace (1814):
Dobbiamo dunque considerare lo stato
presente dell’universo come effetto del suo
stato anteriore e come causa del suo stato
futuro. Un’intelligenza che, per un dato istante,
conoscesse tutte le forze di cui è animata la
natura e la situazione rispettiva degli esseri
che la compongono, se per di più fosse
abbastanza profonda per sottomettere questi
dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa
formula i movimenti dei più grandi corpi
dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla
sarebbe incerto per essa e l’avvenire, come il
passato, sarebbe presente ai suoi occhi.
Noto lo
stato del
sistema a
t=t0
Conosco lo
stato del
sistema a ogni
tempo t
successivo
Pierre Simon de Laplace
(1749-1827)

5. Tutto ciò si pone in palese contrasto
con la realtà che ci circonda.
Perchè
• il moto della pallina alla roulette
• il moto di una piuma che cade
• il tempo che farà fra due settimane
• il gocciolamento di un rubinetto
• i terremoti
sembrano essere dominati dal caso e sfidano la nostra
possibilità di previsione, nonostante siano tutti fenomeni
descrivibili con leggi deterministiche?

6. Come conciliare l’assunto fondamentale di
Laplace con l’apparente irregolarità di
questi e altri fenomeni?
Una maniera potrebbe essere quella di pensare che molti
fenomeni sembrano irregolari a causa delle difficoltà di
calcolo dovute ad esempio al fatto che l’evoluzione
temporale del sistema è data da un numero molto grande
di equazioni.
Magari con l’uso di computers abbastanza potenti riusciamo
a risolvere il problema
L’irregolarità la possiamo pensare quindi solo come
“apparente”
(dovuta a un numero molto grande di cause ognuna delle quali è però semplice)

7. Il moto browniano:
moto di un granello di polline immerso in un liquido a temperatura T
Secondo l’impostazione meccanicistica:
scriviamo le equazioni che governano il moto
di tutte le molecole e del granello e
conosceremo tutto del nostro sistema.
Ma quante equazioni dovremmo scrivere?
Langevin propone di scrivere una sola equazione
per il moto del granello che tenga conto della
forza media dovuta all’attrito col fluido e
degli urti delle molecole.
Passiamo ad un approccio di tipo statistico che
ci permette di fare previsioni.
Ad esempio, Einstein determinò il coefficiente
di diffusione …

8. Un nuovo approccio per lo studio
di sistemi a molte particelle:
• Con la nascita della meccanica statistica si
rinuncia alla descrizione e previsione dei sistemi
termodinamici in termini accurati e si passa ad
un tipo di previsioni di tipo statistico.
• Si passa a considerare i valori medi delle
grandezze fisiche.
• Questo approccio permette di determinare
molte proprietà macroscopiche a partire dalla
conoscenza delle interazioni microscopiche tra
le particelle

9. Schemi probabilistici diversi:
Probabilità di tipo epistemica, vale a dire
dovuta all’ignoranza delle precise
condizioni iniziali e di tutte le condizioni
al contorno del processo
Rispecchia la posizione del matematico
francese Pierre-Simon de Laplace
Il Caso
Il Caos
Gli ostacoli sferici per il potere defocalizzante
delle superfici curve fanno sì che piccole
differenze iniziali vengano amplificate ….dopo
pochi rimbalzi due traiettorie inizialmente simili
hanno una evoluzione completamente diversa
Rispecchia la posizione del matematico Jules-
Henri Poincaré

10. Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione
determina un effetto considerevole che non possiamo
mancar di vedere, e allora diciamo che l’effetto è
dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi
della natura e la situazione dell’universo all’istante
iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione
dello stesso universo in un istante successivo. Ma se
pure accadesse che le leggi naturali non avessero più
alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo
conoscere la situazione iniziale solo
approssimativamente. Se questo ci permettesse di
prevedere la situazione successiva con la stessa
approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo
dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato
da leggi. Ma non sempre è così; può accadere che piccole
differenze nelle condizioni iniziali ne producano di
grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle
prime produce un errore enorme nei secondi. La
previsione diventa impossibile e si ha un fenomeno
fortuito.
Henri Poincarè
(1854 – 1912)
Scriveva Poincarè in “Science et méthode”:

11. Altro schema:
• Nello schema quantomeccanico non è il fatto che, per esempio, il
vettore di stato non sia mai determinabile con precisione
assoluta o che la dinamica potrebbe essere del tipo che amplifica
esponenzialmente gli errori a imporre che ci si debba
accontentare di previsioni probabilistiche circa gli esiti dei
processi di misura.
• L’aleatorietà degli esiti è incorporata nella struttura stessa del
formalismo che, se assunto come completo, non consente neppure
di pensare che, in generale, gli esiti siano, anche se in un modo a
noi sconosciuto, predeterminati.

12. Torniamo al CAOS
• Le certezze della fisica e di altre scienze della natura
vengono oggi messe in forse da una nuova serie di
fenomeni caotici, mai osservati prima, sia per
questioni di miopia e pigrizia mentale, sia per la
mancanza di strumenti adeguati come il computer.
Questi fenomeni si rifiutano di obbedire al paradigma
della scienza classica, pur rimanendo in una cornice
deterministica. Il caos, infatti, rende impossibili le
predizioni non per una sua intrinseca natura
indeterministica, ma per la sua estrema sensibilità alle
condizioni iniziali, che dovrebbero essere date con una
precisione impossibile.
(Ian Stewart, Dio gioca a dadi?)

13. Come si innescano i comportamenti caotici
ed a che cosa sono dovuti?
I sistemi che consideriamo sono assolutamente
deterministici, nel senso che i loro
comportamenti sono regolati da equazioni
dinamiche che in linea di principio consentono
di calcolare ad ogni istante lo stato del
sistema, se è esattamente noto lo stato
iniziale.
Come è possibile che si manifestino
comportamenti imprevedibili?

14. Forse è responsabile l’incertezza
dello stato iniziale?
• L’incertezza dello stato iniziale esatto di un
sistema deterministico può avere conseguenze
drastiche sulla sua evoluzione successiva.
• Ma tutto ciò non si verifica per i sistemi
lineari: stati iniziali che differiscono tra di
loro di piccole quantità evolvono mantenendo
limitata questa differenza, cioè danno luogo a
traiettorie che rimangono vicine tra loro.

15. Facciamo un esempio di sistema lineare:
Caduta di un grave:
azz  0)0( bvv  0)0(
)(
2
1
)0()0()( 2
tbagttvztz 
  btagtbttvazgtbttvazz 22
2
1
2
1 2
00
2
00 






Nota come z cresce linearmente con t
Note le condizioni iniziali:
Possiamo ricavare:
Pertanto ricaviamo:

16. La non linearità è un requisito necessario perché
possa manifestarsi un comportamento caotico
Per un sistema non lineare : un cambiamento, anche
piccolo, dello stato iniziale, aumenta esponenzialmente
al passare del tempo; quindi due traiettorie vicine
all’istante iniziale divergono esponenzialmente tra
loro. Questo avviene di solito in un sistema dinamico
non lineare per certi valori dei parametri che lo
caratterizzano.
Sistemi caotici
Sistemi non lineari
Sistemi dissipativi
Sistemi conservativi
Si contraggono in regioni limite del
loro spazio delle fasi, cioè
presentano un attrattore che ha un
aspetto diverso a seconda se il
sistema è regolare o caotico
Sia in quelli caotici che non, le
traiettorie non si contraggono non
convergono verso un attrattore,
poiché rimangono confinati a
superfici di energia costanti. Il
volume nello spazio delle fasi si
conserva
Sistemi caotici
Sistemi non lineari
Sistemi dissipativi
Sistemi conservativi
Si contraggono in regioni limite del
loro spazio delle fasi, cioè
presentano un attrattore che ha un
aspetto diverso a seconda se il
sistema è regolare o caotico
Sia in quelli caotici che non, le
traiettorie non si contraggono non
convergono verso un attrattore,
poiché rimangono confinati a
superfici di energia costanti. Il
volume nello spazio delle fasi si
conserva

17. Stretching and folding
• L’insorgere del caos
deterministico è legato alle
trasformazioni che provocano
stiramenti e ripiegamenti.
Pensiamo al modo in cui un
fornaio impasta. La pasta viene
alternativamente spianata e
ripiegata, per poi essere
spianata nuovamente e così di
seguito: una goccia di
cioccolato immersa nella pasta
si allunga ed il ripiegamento
riporta vicini punti lontani.
Questo insieme di stiramento
e ripiegamento avviene per le
traiettorie nello spazio delle
fasi.

18. Ed ancora …
• Poiché un sistema presenti un comportamento caotico, deve
essere un sistema non lineare, ma non tutti i sistemi non lineari
sono necessariamente caotici.
• Partiamo dalla seconda legge della dinamica: da essa si può
calcolare lo stato del sistema se tale stato è noto ad un certo
istante. Partiamo dalle accelerazioni (F/m) ed integrando
risaliamo alle v(t) e x(t). Vi sono sistemi per cui ciò in forma
analitica non si può fare. Fu Poincarè che collegò tale risultato
con il concetto di non integrabilità.
I sistemi lineari
Sono integrabili
I sistemi non lineari Sono integrabili
Sono non integrabili e presentano comportamento
caotico

19. Dunque, cosa è il
caos deterministico ?
• Evoluzione temporale di un sistema deterministico
con dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
• Non predicibilità dell’evoluzione del sistema a lungo
termine
• Piccole differenze sulle condizioni iniziali si
amplificano con crescita esponenziale, producendo
traiettorie completamente imprevedibili.
l è l’esponente di Lyapunov
se l=0 la distanza si
mantiene costante, se
l<0 le traiettorie si
avvicinano, se l>0 le
traiettorie divergono

20. Si riconosce la presenza del caos in tutti i casi in
cui si ottengono traiettorie limitate che soddisfano
le seguenti tre condizioni:
• sensitività rispetto alle condizioni iniziali: partendo da due
diverse condizioni iniziali, arbitrariamente vicine tra loro, la
distanza tra le rispettive traiettorie cresce esponenzialmente e,
dopo un numero finito di iterazioni, diventa dello stesso ordine di
grandezza della variabile di stato
• transitività (o mixing): i punti della traiettoria generata,
partendo da una generica condizione iniziale, ricoprono
densamente una zona dello spazio delle fasi
• esistenza di infiniti cicli repulsivi, con i punti periodici densi nella
regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.
Le proprietà 2 e 3 implicano la 1 che è la più semplice ed evidente.

21. Esempi di caos deterministico
Che CAOS … !!!

22. Esempio di gioco caotico:
Pendolo di Todd
Filmato
Pagina internet

23. Il pendolo caotico
Filmato 1
Filmato 2
Filmato 3
Filmato 4

24. Biliardo semplice
FilmatoFilmatoFilmato
Filmati in parallelo

25. Biliardo con ostacolo
Filmato
Filmato
Il matematico russo
Sinai ha provato in
maniera rigorosa che
questo tipo di
biliardo
è caotico
Detto anche biliardo di Sinai

26. Biliardo con ostacoli
• Un tavolo da biliardo con ostacoli
fissi di sezione circolare
presenta una sensibilità alta nella
dipendenza dalle condizioni
iniziali: una minima differenza
nella direzione della velocità con
cui una palla viene lanciata può
tradursi dopo soli due o tre urti
in traiettorie esponenzialmente
divergenti.

27. Come mai avviene ciò?
Supponiamo di avere sullo stesso tavolo da biliardo una palla reale
ed una immaginaria che occupano inizialmente la stessa
posizione. Si spingono simultaneamente le due palle in direzioni
leggermente diverse, ma con la stessa velocità. Le traiettorie
della palla vere e della palla immaginaria formano dunque un
certo angolo alfa. Vediamo che la distanza tra le due palle sarà
proporzionale al tempo trascorso. Se il centro della palla reale
e il centro della palla immaginaria, dopo un secondo, è di un
micrometro, cioè un millesimo di millimetro, la loro distanza
dopo venti secondi si sarà dilatata a venti micrometri che è
ancora una distanza molto piccola.
Utilizziamo una analogia per cercare di capire
Dunque una riflessione su un bordo
rettilineo del tavolo da biliardo non
apporta niente di nuovo: le traiettorie
riflesse formano lo stesso angolo alfa
di prima e la distanza tra le due palle
rimane proporzionale al tempo.

28. Ma se sul tavolo da biliardo ci sono ostacoli
rotondi, che corrispondono a specchi
convessi ?
In realtà, in capo a un certo tempo, l’angolo diventa grande, le
traiettorie si allontanano e, mentre una delle due palle urta un
ostacolo, l’altra continua il suo moto senza incontrarlo. A partire da
questo momento i due movimenti non hanno più alcun rapporto fra loro.
Dopo un nuovo urto contro un ostacolo rotondo, però, le traiettorie
divergono, e formano un angolo alfa primo che sarà il doppio di alfa,
dopo un nuovo urto divergeranno di un angolo quattro volte alfa.
Dopo dieci urti, l’angolo sarà moltiplicato per 1024 e così via. Se si
avrà un urto al secondo, l’angolo fra le traiettorie della palla reale e
della palla immaginaria crescerà in modo esponenziale col tempo. Si
può dimostrare matematicamente che anche la distanza tra le due
palle crescerà in modo esponenziale col tempo: avremo così una
dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.

29. Anche una semplice
deformazione dalla
forma sferica può
indurre una forte
sensibilità alle
condizioni iniziali.
Il biliardo a forma di stadio