1. Problemi tecnici e concettuali per le previsioni
Angelo VULPIANI
Dept. of Physics, University of Rome “Sapienza”, Italy
Febbraio 2014, ROMA
Angelo VULPIANI (2014)
Problemi tecnici e concettuali per le previsioni
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2. Perch´ le previsioni?
e
Fare previsioni ` sempre stata un’aspirazione naturale ed importante;
e
perch´ si pensa sia possibile farle?
e
Osservazione della regolarit`:
a
Il vento soffia a mezzogiorno, poi gira a tramontana;
gira e rigira e sopra i suoi giri il vento ritorna ......
Ci` che ` stato sar` e ci` che si ` fatto si rifar`;
o
e
a
o
e
a
non c’` niente di nuovo sotto il sole.
e
(Ecclesiaste)
Esistono “regole” (i.e. LEGGI della NATURA)
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3. I problemi
Prima cosa da capire
Quali sono le variabili rilevanti?
Questo ` un problema MOLTO sottile, ` stato necessario aspettare Galileo
e
e
e Newton per capire che la variabile “giusta” non era solo la posizione ma
anche la velocit`.
a
Seconda cosa da capire
Che tipo di legge regola il sistema?
Il sistema ` deterministico? Cio` dato lo stato iniziale x(0) il futuro `
e
e
e
determinato; questo accade in meccanica.
Oppure c’` una regola probabilistica?
e
Diversi situazioni:
A: Le leggi di evoluzione esistono e si conoscono
B: Le leggi di evoluzione esistono e non si conoscono
C: Non sappiamo se le leggi di evoluzione esistono
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4. Caso “semplice”
Sono note le variabili “giuste” e la legge di evoluzione ` deterministica, ad
e
esempio un’eq. differenziale
dx
= F(x)
dt
sotto ipotesi generale esiste la soluzione, cio` c’` una “regola” che
e e
determina l’evoluzione
x(0) → x(t) = G[t, x(0)]
(1)
(2)
Due possibilit`:
a
A la regola ` nota esplicitamente → caso facile (in genere non
e
interessante)
B la regola non ` nota esplicitamente → caso pi` difficile ed interessante
e
u
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5. Anche nel caso in cui le leggi di evoluzione sono note, nei problemi interessanti
(caso B) nella pratica ci sono molte difficolt`:
a
I ) Il sistema pu` essere “complicato”
o
Ad esempio ci sono tante variabili.
Questo ` il caso dei problemi geofisici dove bisognerebbe trattare fenomeni
e
su piccola scala, ma la risoluzione numerica non lo consente e quindi `
e
necessaria una “modellizzazione” delle piccole scale.
II) Il sistema pu` essere caotico
o
Un piccolo errore sulle condizioni iniziali viene amplificato velocemente
(esponenzialmente)
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6. Il caos in due parole
H. J. Poincar´
e
Una causa piccolissima che sfugge alla nostra attenzione determina un
effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo
che l’effetto ` dovuto al caso. .... Ma se pure accadesse che le leggi della
e
natura non avessero pi` alcun segreto per noi, anche in questo caso
u
potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente ....
pu` accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di
o
grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un
errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile e si ha un
fenomeno fortuito.
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7. L’ effetto farfalla
Un esempio molto semplice (mappa logistica):
x(t + 1) = 4x(t)(1 − x(t))
(3)
` possibile mostrare che tipicamente un piccolo errore raddoppia ad ogni
e
passo
δx(t) ∼ 2t δx(0)
(4)
se si ha una (inevitabile) incertezza sulla condizione iniziale ` praticamente
e
impossibile conoscere lo stato del sistema dopo un certo tempo (che
dipende dal sistema)
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8. Esponente di Lyapunov
In un sistema deterministico caotico
|δx(t)| ∼ e λt |δx(0)|
(5)
quindi il sistema pu` essere predetto con una certa tolleranza ∆ solo fino
o
ad un tempo che dipende (poco) dall’incertezza iniziale e dall’ esponente
di Lyapunov λ > 0
Tp ∼
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1
∆
ln
λ
|δx(0)|
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(6)
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9. 1.0
x(n)
0.8
0.6
(d)
0.4
0.2
r=4.0
0.0
0
5
10
15
n
20
25
30
Mappa logistica (λ = ln 2 ≃ 0.693): due traiettorie a partire da condizioni
iniziali molto vicine |x(0) − x ′ (0)| = 4 × 10−6 , notare come solo dopo un
tempo ∼ 16 le due traiettorie diventino completamente diverse.
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10. Il caos deterministico non ` una patologia matematica
e
`
E ormai ben noto, a partire dai lavori degli anni 60 di Lorenz, H´non ,
e
Chirikov etc, che i sistemi caotici sono la regola e non l’eccezione, e sono
presenti in astronomia, ottica, oceanografia, sismologia etc.
Perch` le eclissi si prevedono in grande anticipo, mentre le previsioni del tempo
e
sul prossimo fine settimana sono spesso errate?
Gli astronomi sono pi` bravi dei meteorologi?
u
Se si potremmo far fare le previsione meteo a gli astronomi...
Ma non ` cos` gli esperti di astronomia sono solo pi` “fortunati”:
e
ı,
u
i fenomeni di cui trattano sono “poco caotici”, cio` l’esponente di
e
Lyapunov dei problemi astronomici ` molti piccolo e quindi non ` troppo
e
e
difficile prevedere le eclissi. Al contrario il tempo caratteristico
dell’atmosfera, cio` 1/λ, ` di qualche giorno, quindi niente previsioni a
e
e
lungo termine.
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11. Prevedere il futuro dalla conoscenza del passato
Non sempre le equazioni del fenomeni sono note.
Spesso non ` neanche noto il vettore di stato, i.e. le variabili che descrivono ll
e
fenomeno
L’ idea di base: dagli stessi antecedenti segue la stessa conseguenza
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12. Il metodo degli analoghi (nel caso pi` semplice in cui il vettore di stato sia noto)
u
a- si conosce il passato i.e. una serie (x1 , x2 , ...., xM ) ove xj = x(j∆t)
b- si vuole prevedere il futuro, i.e. xM+t
c- si guarda il passato e si cerca un analogo, cio` situazione simile ad oggi
e
(tempo M), in pratica un vettore xk con k < M tale che |xk − xM | < ǫ
d- si predice il futuro ai tempi M + t > m, →
xM+t ≃ xk+t
Il metodo degli analoghi ` la formalizzazione della massima biblica
e
Ci` che ` stato sar` e ci` che si ` fatto si rifar`
o
e
a
o
e
a
Se si trovano gli analoghi allora ` possibile ricostruire (con una certa
e
approssimazione) la legge di evoluzione, cio` una regola del tipo
e
xt+1 = G[xt ]
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13. x
M+T’
ε
xM
xk
x
M+T
^
x =xk+T
M+T
^
x =xk+T’
M+T’
(a)
xk3 +T
xk3
xM
ε
xk2
xk1
xk2 +T
xM+T
^
x
M+T
xk1 +T
(b)
Schema del metodo degli analoghi per predire il futuro dal passato
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14. Sembra tutto facile.... per` non ` ovvio che si trovi un analogo!
o
e
Il fatto che dagli stessi antecedenti seguano le stesse conseguenze ` una
e
dottrina metafisica. Nessuno pu` negarlo. Ma non ` molto utile nel
o
e
mondo in cui viviamo, ove non si verificano mai gli stessi antecedenti e
nulla accade identico a se stesso due volte. Infatti, per quanto possiamo
saperne, uno degli antecedenti potrebbe essere la data precisa e la localit`
a
dell’ evento, in questo caso la nostra esperienza sarebbe del tutto inutile.
[...] L’ assioma della fisica che ha, in un certo senso, la stessa natura ` che
e
da antecedenti simili seguono conseguenze simili
James Clerk Maxwell
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15. Un tentativo di previsioni meteo con il metodo degli analoghi
Lorenz nel 1969 prov` ad applicare il metodo per le previsioni meteo
o
usando mappe atmosferiche (in pratica un vettore con circa mille
dimensioni)
Il risultato fu disastroso: non trov` analoghi:
o
ci sono numerosi analoghi mediocri, ma nessuno veramente buono
Lorenz aveva riscoperto, dopo circa 100 anni, quanto intuito da J.C. Maxwell
non si verificano mai gli stessi antecedenti e nulla accade identico a se stesso due
volte
la conclusione ` valida anche sostituendo ”stessi antecedenti” con ”antecedenti
e
simili”
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16. Un passo indietro
Un problema di meccanica apparentemente lontano dalle previsioni
Teorema di Ricorrenza di Poincar´
e
In un qualunque sistema meccanico la cui evoluzione avviene in una regione
limitata, dopo un certo tempo si ritorna (arbitrariamente) vicino alla condizione
iniziale.
In effetti il teorema vale sotto ipotesi molto generali.
Storicamente il teorema ebbe una grande importanza per il problema della
reversibilit`. Boltzmann mostr` con argomenti probabilistici che in un
a
o
sistema con N particelle per avere un ritorno vicino alla stato iniziale
bisogna aspettare un tempo
T R ∼ τ0 C N
ove τ0 ` un tempo caratteristico del sistema e C > 1, per un sistema
e
macroscopico (N almeno 1020 ) TR ` spaventosamente grande, molto
e
maggiore dell’et` dell’universo.
a
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17. Un teorema facile ma importante
L’intuizione di Boltzmann ` stata formalizzata nel
e
Lemma di Kac
In un sistema ergodico il tempo medio di ritorno τ (A) in un insieme A `
e
inversamente proporzionale alla probabilit` P(A) che il sistema durante la
a
sua evoluzione si trovi in A:
τ (A) =
τ0
P(A)
ǫ
Consideriamo un insieme di dimensioni lineari O(ǫ) allora P(A) ∼ ( L )D e
quindi
L D
ǫ
ove L ` la variazione tipica della singola componente del vettore di stato e
e
D ` la dimensione dell’attrattore.
e
D indica il numero minimo di gradi di libert` efficaci del sistema.
a
τ (A) ∼ τ0
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18. Conseguenze (belle e brutte) del lemma di Kac
L’ intuizione di Boltzmann ` esatta → per corpi macroscopici, poich´
e
e
D ∼ N ≫ 1, l’irreversibilit` non ` in contrasto con il teorema di Poincar´
a
e
e
Il lemma di Kac spiega l’insuccesso di Lorenz e le difficolt` delle previsioni meteo
a
dalle serie storiche
Quanto lontano devo andare nel passato per trovare un analogo?
Il problema ` del tutto equivalente a chiedersi il tempo di ricorrenza →
e
Per trovare almeno un analogo con precisione ǫ si deve andare indietro un
tempo ordine
L D
τ0
ǫ
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19. Brutte notizie....
Per trovare un analogo la lunghezza M della serie deve essere almeno dello stesso
ordine del tempo medio ritorno
Mmin ∼
τ0 L
∆t ǫ
D
Il povero Lorenz non poteva trovare un analogo, nell’atmosfera D ` enorme
e
Anche con una precisione non altissima, diciamo il 5% cio` L/ǫ = 20
e
abbiamo che non appena D ` grande si deve andare indietro un tempo
e
estremamente lungo, ad esempio se D = 6 servirebbero circa 6 × 107
tempi caratteristici, se D = 8 si arriva a 2 × 1010 .
Per una precisione dell’ 1% i tempi diventano rispettivamente 1012 e 1016 .
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20. 100
εmin(M)/εmax
10-1
10-2
10-3
10-4
N=20
N=21
10-5
101
M-1/DA
102
103
104
105
106
107
108
M
Precisione percentuale di un analogo in funzione del numero di dati a
disposizione.
Un esempio in due sistemi con D ≃ 3.1 (cerchi) e D ≃ 6.6 (quadrati).
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21. Qualche buona notizia
Ci sono casi interessanti in cui il metodo funziona: le maree
Il motivo ` il valore basso di D che varia da posto a posto ma ` sempre tra 3 e 4
e
e
e quindi la serie non deve avere una lunghezza proibitiva.
Nei sistemi con struttura multiscala, cio` con variabili lente e veloci, pu`
e
o
accadere che D dipende dalla risoluzione ǫ, questo a volte permette previsioni a
risoluzione non altissima.
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22. Ancora notizie mediamente brutte...
Quasi sempre il vettore di stato x non ` noto, questo ` il caso dei terremoti, si `
e
e
e
costretti ad usare solo una serie temporale di una qualche variabile
u1 , u2 , ....., uM
si deve affrontare il problema della ricostruzione dello spazio delle fasi a partire
da {uj }.
Questo ` matematicamente possibile (teorema di Takens 1980), nella pratica
e
rimane il problema della D: se ` troppo grande (diciamo pi` di 5 o 6) allora i dati
e
u
non bastano.
* I problemi non migliorano se si usa un modello stocastico, ad esempio catene di
Markov, se gli stati sono troppi non si riesce a stimare le probabilit` di transizione
a
{pi→j }
* Nel problema delle previsioni usando serie storiche l’eventuale presenza del caos
non ` il problema principale: se D ` troppo grande semplicemente non si trova
e
e
nessun analogo e quindi il problema dell’incertezza non si pone.
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23. Domande e perplessit`
a
* Quasi sempre D non ` piccolo
e
* In finanza (ed in altre scienze ”pratiche”) non ` chiaro se
e
a] il sistema sia deterministico (quasi sicuramente non lo `)
e
b] quali siano le ”variabili giuste”
c] il sistema sia stazionario
Come si pu` essere ottimisti nello sperare di costruire modelli e fare
o
previsioni?
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24. Dobbiamo essere realistici
Capire cosa non ` possibile fare ` uno degli aspetti pi` importanti della Scienza
e
e
u
Sapere che sai quando sai, e che non sai quando non sai, questa ` la vera
e
conoscenza (Confucio)
* Esiste una (nefasta) corrente di pensiero, che purtroppo prende sempre
pi` piede, seconda la quale visto che siamo nell’era dei dati in abbondanza
u
si pu` fare a meno delle teorie, basta usare i dati
o
Una grande ingenuit` ...... Kac insegna che l’esponeziale non perdona!!
a
Fare previsioni ` difficile, specialmente del futuro
e
(Mark Tawain)
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25. Richardson il grande visionario
Cap` che i metodi ”empirici” per le previsioni meteo in uso all’inizio del XX secolo
ı
(± parenti del metodo degli analoghi) dovevano essere superati.
Richardson durante la prima guerra mondiale guidava (disarmato in quanto
pacifista) le autoambulanze sul fronte francese, tra un turno e l’altro concep`
ı
un’idea visionaria per le previsioni meteorologiche: utilizzare le equazioni
fondamentali della dinamica dei fluidi e della termodinamica per determinare lo
stato futuro dell’ atmosfera. Il manoscritto del libro che scrisse tra un turno e
l’altro al fronte, Weather Prediction by Numerical Process, and` perduto durante
o
la battaglia della Champagne nell’ aprile del 1917, venne fortunosamente ritrovato
mesi dopo sotto un mucchio di carbone.
Per la realizzazione del sogno di Richardson si dovr` aspettare fino agli
a
anni 50 con due ”ingredienti” assolutamente non banali:
a la messa a punto di equazioni efficaci
b computer per i calcoli numerici
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26. Qualche Ref sull’argomento
* L.F. Richardson Weather Prediction by Numerical Process (Cambridge
University Press, 1922)
* E.N. Lorenz Three approaches to atmospheric predictability Bull. Am. Met.
Soc. 50, 345 (1969)
* E.N. Lorenz The essence of chaos (UCL Press, 1995)
* A.S. Weigend and N.A. Gershenfeld (Editors) Time series prediction
(Addison-Wesley Pub., 1994)
* H. Kantz and T. Schreiber Nonlinear time series analysis (Cambridge University
Press, 1997)
* M. Cencini , F.Cecconi and A.V. Chaos: from simple models to complex
systems (World Scientific Pub., 2009)
* F.Cecconi, M. Cencini, M. Falcioni and A.V. The prediction of future from the
past: an old problem from a modern perspective Am. J. Phys. 80, 1001 (2012)
* F. Cecconi. M. Cencini e F. Sylos Labini Si puo’ prevedere il futuro? Le Scienze
Giugno 2013, pagina 32
* A. Vulpiani Problemi e limiti delle previsioni Le Scienze Giugno 2013, pagina 36
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