Integral ganda digunakan untuk menghitung luas dan volume benda dua dan tiga dimensi. Integral ganda membagi daerah menjadi subdaerah kecil dan menjumlahkan luas/volume subdaerah tersebut. Terdapat dua cara menghitung integral ganda yaitu dengan variable x atau y dianggap konstan terlebih dahulu. Integral ganda diterapkan untuk menghitung luas daerah terbatas dan volume benda.

1. INTEGRAL RANGKAP
INTEGRAL GANDA
Integral untuk fungsi satu variable, kita
membentuk suatu partisi dari interval [a,b]
menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k
= 1, 2, 3, 4, ….n.
∑∫ =
∞→
∆=
n
k
b
a
dxxf
1
kk
n
x)f(xlim)(
Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral
untuk fungsi dua variable.
Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada
suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian
daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang
masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An
1

2. Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk
dan bentuklah jumlah :
2

3. AyxfAyxfAyxfAyxf nnn
n
k
kkk ∆++∆+∆=∆∑=
),(.......),(),(),( 222
1
111
Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka
integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas
daerah R didefinisikan :
∑∫∫ =
∞→
∆=
n
k
kkk
n
R
AyxfdAyxf
1
),(lim),(
Untuk menghitung integral lipat dua dapat
digunakan integral berulang yang ditulis dalam
bentuk :
a. ∫∫∫∫ =
RR
dxdyyxfdAyxf ),(),(
∫ ∫ 









=
=
=
b
a
yfy
yfy
dydxyxf
)(
)(
2
1
),(
3

4. dimana integral yang ada dalam kurung
harus dihitung terlebih dahulu dengan
menganggap variable y konstanta, kemudian
hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b. ∫∫∫∫ =
RR
dydxyxfdAyxf ),(),(
∫ ∫ 









=
=
=
b
a
yfy
yfy
dxdyyxf
)(
)(
2
1
),(
dimana integral yang ada dalam kurung
harus dihitung terlebih dahulu dengan
menganggap variable x konstanta, kemudian
hasilnya diintegral kembali terhadap x.
4

5. Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan
(b) secara umum akan memberikan hasil yang
sama.
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS
PERSEGI PANJANG
Bentuk umum :
∫∫∫∫ = dxdyyxfdAyxf
R
),(),(
dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d }
a,b,c dan d adalah konstanta
5

6. Contoh :
∫∫
1
0
2
1
.1 dxdy
∫∫ +
4
2
2
1
22
)(.2 dxdyyx
∫∫ +
4
2
2
1
2
)3(.3 dydxyxy
∫∫ +
4
2
2
0
)2cos(sin.4
π
θθθ drdr
6

7. INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS
BUKAN PERSEGI PANJANG
∫∫∫∫ ==
=
)(f
)(
2
1
dx),(),(.
x
xfy
b
axR
dyyxfdAyxfa
dimana :
R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }
7

8. ∫∫∫∫ ==
=
)(f
)(
2
1
dy),(),(.
y
yfx
d
cyR
dxyxfdAyxfb
dimana :
R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }
8

9. Contoh :
∫∫
1
0
2
2
.1
x
x
dydxxy
∫ ∫ +
2
1
3
)(.2
y
y
dxdyyx
∫ ∫
+2
0 2
2
2
.3
xx
x
dydxx
∫ ∫
2 2sin
2cos
2.4
π
π
θ
θ
θdrd
9

10. APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA
Aplikasi integral lipat dua yang
bentuk umumnya : ∫∫R
dAyxf ),(
dapat dijelaskan sbb :
1. LUAS
Luas bidang dapat dipandang sebagai integral
lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat
dua menjadi :
∫∫∫∫∫∫ ===
RR
dydxdxdyAatau
R
dAA
Dalam koordinat polar :
10

11. ∫∫∫∫
=
=
==
2
1
2
1
dd
υ
ρ
βθ
αθ
θρρ
R
dAA
contoh :
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2
dan 2y = x + y
Jawab :
11

12. ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
=−==
−=−−−=
===
2
0
2
2
0
2
0
2
0
y-2
4-2y
2
0
y-2
4-2yR
6)612()y
2
3
-(6y
dy)y36(dy)4y2y2(
dtxdxdydAA
2.
12