Разбор заданий ЕГЭ по информатике

1. Задание №18 – повышенный уровень (1 балл)
Время – 3 минуты
Проверяемые элементы содержания: знание
основных понятий и законов математической
логики
ЕГЭ
2017

2. Задание №1.*
Введём выражение М  К, обозначающее
поразрядную конъюнкцию М и К (логическое «И»
между соответствующими битами двоичной
записи). Определите наименьшее натуральное число
А, такое что выражение
(x  39 = 0)  ( (x  42 = 0)  (x  A ≠ 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение
1 при любом натуральном значении переменной х).
* № 182, ege18.doc - http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm

3. Шаг 1.
Упростите
логическое
выражение.
Применив законы математической логики,
получаем выражение:
(x  39 = 0)  (x  42 ≠ 0)  (x  A ≠ 0) = 1.
Это нужно знать!
А  В  А  В

4. Шаг 2.
Запишите
значения
поразрядных
конъюнкций,
представленных
в задании.
3910 = 1001112
4210 = 1010102
Разряды:
Х:
Х  39:
Х  42:
5 4 3 2 1 0
a b c d e f
a 0 0 d e f
a 0 c 0 e 0
(x  39 = 0)  (x  42 ≠ 0)  (x  A ≠ 0) = 1

5. Шаг 3.
Найдите те
значения Х, для
которых:
x  39 ≠ 0,
x  42 = 0.
(x  39 = 0)  (x  42 ≠ 0)  (x  A ≠ 0) = 1
Х  39:
Х  42:
a 0 0 d e f
a 0 c 0 e 0
Т.к. Х  42 = 0, то значения битов а, с, е в искомых Х должны
быть равны 0.
Т.к. Х  39 ≠ 0, то значение хотя бы одного из битов а, d, е или f
в искомых Х должно быть равно 1. Из рассмотренного выше
биты d или f могут быть равны 1.
Таким образом, получаем искомое множество значений Х:
Разряды:
Х:
5 4 3 2 1 0
0 b 0 1 0 1
В этой записи «0» обозначает обязательное положение «0» в
двоичной записи числа Х, а «1» соответствует возможному
положению «1». Бит b может быть любым.

6. Шаг 4.
Для найденных
Х найдите min
значение А,
такое что :
x  А ≠ 0.
(x  39 = 0)  (x  42 ≠ 0)  (x  A ≠ 0) = 1
Разряды:
Х:
5 4 3 2 1 0
0 b 0 1 0 1
Для того, чтобы x  А ≠ 0, необходимо в тех битах, где у Х стоит
«1», у А тоже поставить «1».
В тех битах, где у Х стоят «0», у А могут быть различные значения
(аналогично в бите b). Но, так как искомое А должно быть
минимальным, то в этих битах нужно поставить «0».
Разряды:
А:
5 4 3 2 1 0
0 0 0 1 0 1
А = 1012 = 510
Ответ: 5.

7. Задание №2.*
Введём выражение М  К, обозначающее поразрядную
конъюнкцию М и К (логическое «И» между
соответствующими битами двоичной записи).
Определите наибольшее натуральное число А, такое что
выражение
((x  30 = 0) (x  43 = 0))  ((x  19 ≠ 0)  (x  A = 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1
при любом натуральном значении переменной х).
* № 175, ege18.doc - http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm

8. Шаг 1.
Упростите
логическое
выражение.
Применив законы математической логики,
получаем выражение:
(x  30 ≠ 0) (x  43 ≠ 0)  (x  19 = 0)  (x  A = 0) = 1
Это нужно знать!
А  В  А  В
(А  В)  А  В

9. Шаг 2.
Запишите
значения
поразрядных
конъюнкций,
представленных
в задании.
3010 = 0111102
4310 = 1010112
(x  30 ≠ 0) (x  43 ≠ 0) 
(x  19 = 0)  (x  A = 0) = 1
1910 = 0100112
Разряды:
Х:
Х  30:
Х  43:
5 4 3 2 1 0
a b c d e f
0 b c d e 0
a 0 c 0 e f
Х  19: 0 b 0 0 e f

10. Шаг 3.
Найдите те
значения Х, для
которых:
(x  30≠0) 
(x  43 ≠ 0) = 0,
x  19 ≠ 0.
Решение системы сводится к решению 3-х систем:
(x  30 ≠ 0) (x  43 ≠ 0) 
(x  19 = 0)  (x  A = 0) = 1
x  30 = 0
x  43 ≠ 0
x  19 ≠ 0
x  30 ≠ 0
x  43 = 0
x  19 ≠ 0
x  30 = 0
x  43 = 0
x  19 ≠ 0

11. Шаг 3.
Найдите те
значения Х, для
которых:
(x  30≠0) 
(x  43 ≠ 0) = 0,
x  19 ≠ 0.
x  30 = 0
x  43 ≠ 0
x  19 ≠ 0
x  30 ≠ 0
x  43 = 0
x  19 ≠ 0
x  30 = 0
x  43 = 0
x  19 ≠ 0
Разряды:
Х:
Х  30:
Х  43:
5 4 3 2 1 0
a b c d e f
0 b c d e 0
a 0 c 0 e f
Х  19: 0 b 0 0 e f
, значит b=c=d=e=0
, значит f=1
, значит a или f =1
, значит a=c=e=f=0
, значит b или d =1
, значит b=1
, значит b=c=d=e=0
, значит a=c=e=f=0
, значит b, e или f =1
Решение системы:
Х: a 0 0 0 0 1
Х: 0 1 0 d 0 0
Решений нет

12. Шаг 4.
Для найденных
Х найдите max
значение А,
такое что :
x  А = 0. Разряды:
Х:
5 4 3 2 1 0
Для того, чтобы x  А = 0, необходимо в тех битах, где у Х стоит
«1», у А поставить «0» (аналогично с битами a и d, которые могут
принимать любые значения).
В тех битах, где у Х стоят «0», у А могут быть различные
значения. Но, так как искомое А должно быть максимальным, то
в этих битах нужно поставить «1».
Разряды:
А:
5 4 3 2 1 0
0 0 1 0 1 0
А = 10102 = 1010
Ответ: 10.
(x  30 ≠ 0) (x  43 ≠ 0) 
(x  19 = 0)  (x  A = 0) = 1
a 0 0 0 0 1
0 1 0 d 0 0