SlideShare a Scribd company logo
1 of 10
Download to read offline
1
Презентация по
дискретной математике
Производящие функции
2Глава 4. Производящие функции.
4.2. Решение рекуррентных соотношений
Рекурентная последовательность – числовая последовательность, в которой
каждый член, кроме нескольких первых, задается с помощью функции некоторых
предыдущих членов.
{ ai = αβi
}i=0..
Рассмотрим, например, уже знакомую нам геометрическую прогрессию
Если функция линейная, то и рекуррентное соотношение называют линейным.
a0 = α
ai+1 = βai , i = 0..
Пусть f(x) – производящая функция последовательности { ai }i=0..
f(x) = a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ ... = α + βa0x + βa1x2
+ βa2x3
+ ...
= α + βx(a0 + a1x + a2x2
+ ...) = α + βx f(x)
f(x) (1 - βx) = αотсюда
f(x) = α / (1 - βx) – уже знакомая нам формула
3Глава 4. Производящие функции.
Еще несколько примеров
{ ai = α + βi }i=0..
Рассмотрим арифметическую прогрессию
a0 = α
ai+1 = β + ai , i = 0..
Пусть f(x) – производящая функция последовательности { ai }i=0..
f(x) = a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ ...
= α + (β+a0)x + (β+a1)x2
+ (β+a2)x3
+ ...
= α + β (x + x2
+ x3
+ ...) + x(a0 + a1x + a2x2
+ ...)
= α + βx/(1-x) + xf(x)
f(x) (1 - x) = α + βx/(1-x)отсюда 2
)1(1
)(
x
x
x
xf
−
+
−
=
βα
в частности, для { ai = i }i=0..
2
)1(
)(
x
x
xf
−
=
4Глава 4. Производящие функции.
Последовательность чисел Фибоначчи
Если полученную производящую функцию удается разложить в степенной ряд, то
можно получить явное выражение для членов рекуррентной последовательности.
F0 = F1 = 1
Fi+2 = Fi + Fi+1 , i = 0..
f(x) = F0 + F1x + F2x2
+ F3x3
+ ...
= 1 + x + (F0 + F1)x2
+ (F1 + F2)x3
+ ...
= 1 + x + x2
f(x) + x(f(x) - 1)
f(x) (1 - x - x2
) = 1отсюда 2
1
1
)(
xx
xf
−−
=
Для того, чтобы найти явное выражение для чисел Фибоначчи надо разложить
найденную функцию f(x) в степенной ряд, а для этого мы представим ее в виде суммы
функций, которые являются производящими для известных нам последовательностей.
{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... }
Будем искать выражение для f(x) в виде
x
B
x
A
xf
βα −
+
−
=
11
)(
где α = 1/x1, β = 1/x2, а x1 и x2 – корни квадратного трехчлена 1 – x – x2
5Глава 4. Производящие функции.
Последовательность чисел Фибоначчи
∑∑
∞
=
∞
=
+=
−
+
−
=
−−
=
00
2
111
1
)(
i
ii
i
ii
xBxA
x
B
x
A
xx
xf βα
βα
1)1()1( =−+− xBxA αβ



=+
=+
0
1
αβ BA
BA
откуда следует
βα
β
βα
α
−
−
=
−
= BA ,
откуда получаем Fi = Aαi
+ Bβi
Определим значения A, B, α и β.
Найдем корни квадратного трехчлена 1 – x – x2
. 2
51
2
411
2,1
±−
=
+±−
=x
2
51
)15)(15(
)15(2
15
21
1
+
=
+−
+
=
−
==
x
α
2
51
)15)(15(
)15(2
15
21
2
−
=
+−−−
+−
=
−−
==
x
β
52
15 +
=
−
=
βα
α
A
52
15 −
=
−
−
=
βα
β
B
6Глава 4. Производящие функции.
Последовательность чисел Фибоначчи
Окончательно получаем Fi =
ii
ii
BA 






 −−
+






 ++
=+
2
51
52
15
2
51
52
15
βα
F0 = 1
52
52
52
15
52
15
==
−
+
+
F1 = 1
54
54
54
1525
54
1525
2
15
52
15
2
15
52
15
==
+−
−
++
=






 −−
−






 ++
Проверяем подстановкой:
F2 = 2
58
5816
58
5816
4
5521
52
15
4
5521
52
15
=
+−
+
+
=






 +−−
+






 +++
Число







 +
2
51 = φ ≅ 1.618 – знаменитое «золотое сечение»
0
2
51
lim =






 −
∞→
i
i
поэтому при больших i 1
5
1 +
≈ i
iF ϕ ϕ=+
∞→
i
i
i F
F 1
limи
7Глава 4. Производящие функции.
Число расстановок скобок
Если нужно перемножить несколько матриц разного размера, то общее число
производимых при этом элементарных операций может быть различным.
A0 (2 x 10) × A1
(10 x 5)
× A2
(5 x 3)
(A0 × A1) × A2 : 2 × 10 × 5 + 2 × 5 × 3 = 130
A0 × (A1 × A2) : 2 × 10 × 3 + 10 × 5 × 3 = 210
A0
p0 × p1
A1
p1 × p2
A2
p2 × p3
… An-1
pn-1 × pn
× × × ×
Сколько всего существует способов расставить скобки в этом выражении?
P1 P2 … Pn
1 1 … P1 × Pn-1 + P2 × Pn-2 + P3 × Pn-3 + … + Pn-1 × P1
8Глава 4. Производящие функции.
Число расстановок скобок
Итак, имеем следующие рекуррентные соотношения:




>=
=
∑
−
=
− 1,
1
1
1
1
nприPPP
P
n
i
inin
Предположим, что последовательность { Pi }I = 0.. имеет
производящую функцию P(x). Тогда:
Можно положить P0=0
P(x) = P1x + P2x2
+ P3x3
+ … + Pnxn
+ …
Выражение для Pn похоже на формулу свертки последовательностей,
поэтому рассмотрим функцию P(x) ⋅ P(x) .
P(x) P(x) = P1P1x2
+ (P1P2 + P2P1)x3
+ (P1P3 + P2P2 + P3P1)x4
+ …
= P2x2
+ P3x3
+ P4x4
+ … = P(x) – x
Отсюда имеет уравнение относительно функции P:
P 2
– P + x = 0
2
411
2,1
x
P
−±
=
Очевидно, что один из корней –
посторонний. Какой? 2
411
)(
x
xP
−−
=
9Глава 4. Производящие функции.
Число расстановок скобок
2
411
)(
x
xP
−−
=
Рассмотрим разложение в ряд для функции 2
1
)41(41 xx −=− ∑
∞
=
−=
0
)4(2
1
n
nnn
xC
!
)1)...(2)(1(
)4()4( 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
C nnn +−−−
−=−
!
)2)1(4)...(28)(24)(2(
n
n −−−−−
=
)!1(
)64...(10622
−
−⋅⋅
⋅−=
n
n
n !2
2...642
)!1(
)32...(5312
n
n
n
n
n n
n
⋅⋅⋅⋅
⋅
−
−⋅⋅
⋅−=
12)12(!!
)!2( 2
−
−=
−⋅⋅
−=
n
C
nnn
n n
n
∑∑
∞
=
∞
= −
=
−
+=
1
2
0
2
12
1
2
1
12
1
2
1
2
1
)(
n
nn
n
n
nn
n xC
n
xC
n
xP n
nn C
n
P 2
12
1
2
1
−
=
9Глава 4. Производящие функции.
Число расстановок скобок
2
411
)(
x
xP
−−
=
Рассмотрим разложение в ряд для функции 2
1
)41(41 xx −=− ∑
∞
=
−=
0
)4(2
1
n
nnn
xC
!
)1)...(2)(1(
)4()4( 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
C nnn +−−−
−=−
!
)2)1(4)...(28)(24)(2(
n
n −−−−−
=
)!1(
)64...(10622
−
−⋅⋅
⋅−=
n
n
n !2
2...642
)!1(
)32...(5312
n
n
n
n
n n
n
⋅⋅⋅⋅
⋅
−
−⋅⋅
⋅−=
12)12(!!
)!2( 2
−
−=
−⋅⋅
−=
n
C
nnn
n n
n
∑∑
∞
=
∞
= −
=
−
+=
1
2
0
2
12
1
2
1
12
1
2
1
2
1
)(
n
nn
n
n
nn
n xC
n
xC
n
xP n
nn C
n
P 2
12
1
2
1
−
=

More Related Content

What's hot

ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18kuzinolga
 
производная
производнаяпроизводная
производнаяmsrudenko67
 
Одномерные массивы целых чисел
Одномерные массивы целых чиселОдномерные массивы целых чисел
Одномерные массивы целых чиселAndrey Dolinin
 
Derivative lesson
Derivative lessonDerivative lesson
Derivative lessonmarinarum
 
9 1.1 - системы счисления
9 1.1 - системы счисления9 1.1 - системы счисления
9 1.1 - системы счисленияjula-mam
 
11 дифференцирование показательной и логарифмической функций
11 дифференцирование показательной и логарифмической функций11 дифференцирование показательной и логарифмической функций
11 дифференцирование показательной и логарифмической функцийNatali Ivanova
 
Reshenie zadach v8_egje_po_matematike
Reshenie zadach v8_egje_po_matematikeReshenie zadach v8_egje_po_matematike
Reshenie zadach v8_egje_po_matematikedimonz9
 
Matematicheskie trenazhery
Matematicheskie trenazheryMatematicheskie trenazhery
Matematicheskie trenazheryssusera868ff
 
Презентация на тему: Повторение курса информатики 7 класс
Презентация на тему: Повторение курса информатики 7 классПрезентация на тему: Повторение курса информатики 7 класс
Презентация на тему: Повторение курса информатики 7 класс2berkas
 
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornyaFunkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornyaИван Иванов
 
JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...
JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...
JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...JSFestUA
 
20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_raster
20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_raster20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_raster
20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_rasterComputer Science Club
 
Лекция 11. Методы разработки алгоритмов
Лекция 11. Методы разработки алгоритмовЛекция 11. Методы разработки алгоритмов
Лекция 11. Методы разработки алгоритмовMikhail Kurnosov
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integralDimon4
 

What's hot (20)

Vzaimno obratnye funkcii
Vzaimno obratnye funkciiVzaimno obratnye funkcii
Vzaimno obratnye funkcii
 
ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18
 
производная
производнаяпроизводная
производная
 
23
2323
23
 
Одномерные массивы целых чисел
Одномерные массивы целых чиселОдномерные массивы целых чисел
Одномерные массивы целых чисел
 
Derivative lesson
Derivative lessonDerivative lesson
Derivative lesson
 
9 1.1 - системы счисления
9 1.1 - системы счисления9 1.1 - системы счисления
9 1.1 - системы счисления
 
Svojstva funkcii
Svojstva funkciiSvojstva funkcii
Svojstva funkcii
 
презентация к уроку 3
презентация к уроку 3презентация к уроку 3
презентация к уроку 3
 
11 дифференцирование показательной и логарифмической функций
11 дифференцирование показательной и логарифмической функций11 дифференцирование показательной и логарифмической функций
11 дифференцирование показательной и логарифмической функций
 
Reshenie zadach v8_egje_po_matematike
Reshenie zadach v8_egje_po_matematikeReshenie zadach v8_egje_po_matematike
Reshenie zadach v8_egje_po_matematike
 
Matematicheskie trenazhery
Matematicheskie trenazheryMatematicheskie trenazhery
Matematicheskie trenazhery
 
Презентация на тему: Повторение курса информатики 7 класс
Презентация на тему: Повторение курса информатики 7 классПрезентация на тему: Повторение курса информатики 7 класс
Презентация на тему: Повторение курса информатики 7 класс
 
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornyaFunkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
 
JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...
JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...
JS Fest 2019/Autumn. Adam Leos. So why do you need to know Algorithms and Dat...
 
20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_raster
20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_raster20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_raster
20110919 computer graphics_galinsky_lecture02_raster
 
Основы NumPy
Основы NumPyОсновы NumPy
Основы NumPy
 
Лекция 11. Методы разработки алгоритмов
Лекция 11. Методы разработки алгоритмовЛекция 11. Методы разработки алгоритмов
Лекция 11. Методы разработки алгоритмов
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integral
 

Similar to производящие функции(продолжение)

производящие функции
производящие функциипроизводящие функции
производящие функцииMariya_Lastochkina
 
kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.pptkasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.pptssuser12dca4
 
задание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetзадание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetLeva Sever
 
Uravnenie kasat
Uravnenie kasatUravnenie kasat
Uravnenie kasatAlex_Tam
 
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторикаRoman Brovko
 
Определенный интеграл
Определенный интегралОпределенный интеграл
Определенный интегралssuser4d8a9a
 
0. основы r
0. основы r0. основы r
0. основы rmsuteam
 
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения нелинейных уравненийМетоды решения нелинейных уравнений
Методы решения нелинейных уравненийTheoretical mechanics department
 
Pyton – пробуем функциональный стиль
Pyton – пробуем функциональный стильPyton – пробуем функциональный стиль
Pyton – пробуем функциональный стильPython Meetup
 
Лекция 11: Методы разработки алгоритмов
Лекция 11: Методы разработки алгоритмовЛекция 11: Методы разработки алгоритмов
Лекция 11: Методы разработки алгоритмовMikhail Kurnosov
 

Similar to производящие функции(продолжение) (20)

Integral1
Integral1Integral1
Integral1
 
производящие функции
производящие функциипроизводящие функции
производящие функции
 
000
000000
000
 
kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.pptkasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
 
Egje po matematike_zadaniya_s5
Egje po matematike_zadaniya_s5Egje po matematike_zadaniya_s5
Egje po matematike_zadaniya_s5
 
задание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetзадание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvet
 
Функциональное программирование.Списки. Функции высших порядков
Функциональное программирование.Списки. Функции высших порядковФункциональное программирование.Списки. Функции высших порядков
Функциональное программирование.Списки. Функции высших порядков
 
Uravnenie kasat
Uravnenie kasatUravnenie kasat
Uravnenie kasat
 
8
88
8
 
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
 
Functions
FunctionsFunctions
Functions
 
Определенный интеграл
Определенный интегралОпределенный интеграл
Определенный интеграл
 
Scala #3
Scala #3Scala #3
Scala #3
 
0. основы r
0. основы r0. основы r
0. основы r
 
Question04
Question04Question04
Question04
 
10474
1047410474
10474
 
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения нелинейных уравненийМетоды решения нелинейных уравнений
Методы решения нелинейных уравнений
 
Pyton – пробуем функциональный стиль
Pyton – пробуем функциональный стильPyton – пробуем функциональный стиль
Pyton – пробуем функциональный стиль
 
Алгоритмы сортировки
Алгоритмы сортировкиАлгоритмы сортировки
Алгоритмы сортировки
 
Лекция 11: Методы разработки алгоритмов
Лекция 11: Методы разработки алгоритмовЛекция 11: Методы разработки алгоритмов
Лекция 11: Методы разработки алгоритмов
 

More from Mariya_Lastochkina

More from Mariya_Lastochkina (6)

теория рекурсивных функций
теория рекурсивных функцийтеория рекурсивных функций
теория рекурсивных функций
 
решетки
решеткирешетки
решетки
 
теория множеств
теория множествтеория множеств
теория множеств
 
множества и отношения
множества и отношениямножества и отношения
множества и отношения
 
деревья
деревьядеревья
деревья
 
графы
графыграфы
графы
 

производящие функции(продолжение)

  • 2. 2Глава 4. Производящие функции. 4.2. Решение рекуррентных соотношений Рекурентная последовательность – числовая последовательность, в которой каждый член, кроме нескольких первых, задается с помощью функции некоторых предыдущих членов. { ai = αβi }i=0.. Рассмотрим, например, уже знакомую нам геометрическую прогрессию Если функция линейная, то и рекуррентное соотношение называют линейным. a0 = α ai+1 = βai , i = 0.. Пусть f(x) – производящая функция последовательности { ai }i=0.. f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... = α + βa0x + βa1x2 + βa2x3 + ... = α + βx(a0 + a1x + a2x2 + ...) = α + βx f(x) f(x) (1 - βx) = αотсюда f(x) = α / (1 - βx) – уже знакомая нам формула
  • 3. 3Глава 4. Производящие функции. Еще несколько примеров { ai = α + βi }i=0.. Рассмотрим арифметическую прогрессию a0 = α ai+1 = β + ai , i = 0.. Пусть f(x) – производящая функция последовательности { ai }i=0.. f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... = α + (β+a0)x + (β+a1)x2 + (β+a2)x3 + ... = α + β (x + x2 + x3 + ...) + x(a0 + a1x + a2x2 + ...) = α + βx/(1-x) + xf(x) f(x) (1 - x) = α + βx/(1-x)отсюда 2 )1(1 )( x x x xf − + − = βα в частности, для { ai = i }i=0.. 2 )1( )( x x xf − =
  • 4. 4Глава 4. Производящие функции. Последовательность чисел Фибоначчи Если полученную производящую функцию удается разложить в степенной ряд, то можно получить явное выражение для членов рекуррентной последовательности. F0 = F1 = 1 Fi+2 = Fi + Fi+1 , i = 0.. f(x) = F0 + F1x + F2x2 + F3x3 + ... = 1 + x + (F0 + F1)x2 + (F1 + F2)x3 + ... = 1 + x + x2 f(x) + x(f(x) - 1) f(x) (1 - x - x2 ) = 1отсюда 2 1 1 )( xx xf −− = Для того, чтобы найти явное выражение для чисел Фибоначчи надо разложить найденную функцию f(x) в степенной ряд, а для этого мы представим ее в виде суммы функций, которые являются производящими для известных нам последовательностей. { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... } Будем искать выражение для f(x) в виде x B x A xf βα − + − = 11 )( где α = 1/x1, β = 1/x2, а x1 и x2 – корни квадратного трехчлена 1 – x – x2
  • 5. 5Глава 4. Производящие функции. Последовательность чисел Фибоначчи ∑∑ ∞ = ∞ = += − + − = −− = 00 2 111 1 )( i ii i ii xBxA x B x A xx xf βα βα 1)1()1( =−+− xBxA αβ    =+ =+ 0 1 αβ BA BA откуда следует βα β βα α − − = − = BA , откуда получаем Fi = Aαi + Bβi Определим значения A, B, α и β. Найдем корни квадратного трехчлена 1 – x – x2 . 2 51 2 411 2,1 ±− = +±− =x 2 51 )15)(15( )15(2 15 21 1 + = +− + = − == x α 2 51 )15)(15( )15(2 15 21 2 − = +−−− +− = −− == x β 52 15 + = − = βα α A 52 15 − = − − = βα β B
  • 6. 6Глава 4. Производящие функции. Последовательность чисел Фибоначчи Окончательно получаем Fi = ii ii BA         −− +        ++ =+ 2 51 52 15 2 51 52 15 βα F0 = 1 52 52 52 15 52 15 == − + + F1 = 1 54 54 54 1525 54 1525 2 15 52 15 2 15 52 15 == +− − ++ =        −− −        ++ Проверяем подстановкой: F2 = 2 58 5816 58 5816 4 5521 52 15 4 5521 52 15 = +− + + =        +−− +        +++ Число         + 2 51 = φ ≅ 1.618 – знаменитое «золотое сечение» 0 2 51 lim =        − ∞→ i i поэтому при больших i 1 5 1 + ≈ i iF ϕ ϕ=+ ∞→ i i i F F 1 limи
  • 7. 7Глава 4. Производящие функции. Число расстановок скобок Если нужно перемножить несколько матриц разного размера, то общее число производимых при этом элементарных операций может быть различным. A0 (2 x 10) × A1 (10 x 5) × A2 (5 x 3) (A0 × A1) × A2 : 2 × 10 × 5 + 2 × 5 × 3 = 130 A0 × (A1 × A2) : 2 × 10 × 3 + 10 × 5 × 3 = 210 A0 p0 × p1 A1 p1 × p2 A2 p2 × p3 … An-1 pn-1 × pn × × × × Сколько всего существует способов расставить скобки в этом выражении? P1 P2 … Pn 1 1 … P1 × Pn-1 + P2 × Pn-2 + P3 × Pn-3 + … + Pn-1 × P1
  • 8. 8Глава 4. Производящие функции. Число расстановок скобок Итак, имеем следующие рекуррентные соотношения:     >= = ∑ − = − 1, 1 1 1 1 nприPPP P n i inin Предположим, что последовательность { Pi }I = 0.. имеет производящую функцию P(x). Тогда: Можно положить P0=0 P(x) = P1x + P2x2 + P3x3 + … + Pnxn + … Выражение для Pn похоже на формулу свертки последовательностей, поэтому рассмотрим функцию P(x) ⋅ P(x) . P(x) P(x) = P1P1x2 + (P1P2 + P2P1)x3 + (P1P3 + P2P2 + P3P1)x4 + … = P2x2 + P3x3 + P4x4 + … = P(x) – x Отсюда имеет уравнение относительно функции P: P 2 – P + x = 0 2 411 2,1 x P −± = Очевидно, что один из корней – посторонний. Какой? 2 411 )( x xP −− =
  • 9. 9Глава 4. Производящие функции. Число расстановок скобок 2 411 )( x xP −− = Рассмотрим разложение в ряд для функции 2 1 )41(41 xx −=− ∑ ∞ = −= 0 )4(2 1 n nnn xC ! )1)...(2)(1( )4()4( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n C nnn +−−− −=− ! )2)1(4)...(28)(24)(2( n n −−−−− = )!1( )64...(10622 − −⋅⋅ ⋅−= n n n !2 2...642 )!1( )32...(5312 n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅ ⋅ − −⋅⋅ ⋅−= 12)12(!! )!2( 2 − −= −⋅⋅ −= n C nnn n n n ∑∑ ∞ = ∞ = − = − += 1 2 0 2 12 1 2 1 12 1 2 1 2 1 )( n nn n n nn n xC n xC n xP n nn C n P 2 12 1 2 1 − =
  • 10. 9Глава 4. Производящие функции. Число расстановок скобок 2 411 )( x xP −− = Рассмотрим разложение в ряд для функции 2 1 )41(41 xx −=− ∑ ∞ = −= 0 )4(2 1 n nnn xC ! )1)...(2)(1( )4()4( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n C nnn +−−− −=− ! )2)1(4)...(28)(24)(2( n n −−−−− = )!1( )64...(10622 − −⋅⋅ ⋅−= n n n !2 2...642 )!1( )32...(5312 n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅ ⋅ − −⋅⋅ ⋅−= 12)12(!! )!2( 2 − −= −⋅⋅ −= n C nnn n n n ∑∑ ∞ = ∞ = − = − += 1 2 0 2 12 1 2 1 12 1 2 1 2 1 )( n nn n n nn n xC n xC n xP n nn C n P 2 12 1 2 1 − =