Для уроков элективного курса "Математические основы информатики"

1. МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ИНФОРМАТИКИ

2. Название формулы
в определении
Формула,
соответствующая
определению
Формула, не
соответствующая
определению
Элементарная
дизъюнкция
Xν¬X
Xν¬Z
¬XνYν¬Z
XνY&X
Элементарная
конъюнкция
¬X&X
X&Z
X&¬Y&¬Z
XνY&X
Элементарная дизъюнкция - дизъюнкция
переменных или их отрицаний, в которой каждая
переменная встречается не более одного раза.
Элементарная конъюнкция - конъюнкция
переменных или их отрицаний, в которой каждая
переменная встречается не более одного раза.

3. ДНФ
X&¬XνX&Y&¬Z
X&Yν¬YνX&Z
ДНФ можно
построить для
всякой формулы
(путем
преобразования)
КНФ
(XνYν¬X) &(¬XνZ)
X&(¬XνY) &(Xν¬Z)
KНФ можно
построить для
всякой формулы
(путем
преобразования)
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) -
формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных
конъюнкций.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) -
формула, имеющая вид конъюнкции элементарных
дизъюнкций.

4. Название
формулы в
определении
Формула,
соответствующая
определению
Формула, не
соответствующая
определению
СДНФ X&Y&¬ZνX&Y&Z X&Yν¬YνX&¬Z
СКНФ
(¬XνYνZ) &
(Xν¬YνZ)
(XνYν¬X) &(¬XνZ)
Совершенная дизъюнктивная нормальная
форма (СДНФ) - ДНФ, в которой нет одинаковых
элементарных конъюнкций и все конъюнкции состоят из
одного и того же набора переменных, в который каждая
переменная входит только один раз (возможно, с
отрицанием).
Совершенная конъюнктивная нормальная
форма (СКНФ) - КНФ, в которой нет одинаковых
элементарных дизъюнкций и все дизъюнкции состоят из
одного и того же набора переменных, в который каждая
переменная входит только один раз (возможно, с
отрицанием).

5. Алгоритм построения СДНФ
Х У F(X,У)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
F(X,У) = X  Y  X Y
Алгоритм построения СКНФ
Х У F(X,У)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
F(X,У) = (X  Y)  (X Y)

6. Задача
Реализовать
булеву функцию
с использованием
минимального
количества
логических
элементов.
Минимизация булевых функций
в классе ДНФ
ДНФ называется минимальной, если она
содержит наименьшее общее число вхождений
переменных по сравнению со всеми
равносильными ей ДНФ.
Процесс нахождения минимальной ДНФ
называется минимизацией в классе ДНФ.

7. Способ 1
Построение
минимальной ДНФ
из СДНФ
тождественными
преобразованиями.
Задание.
Минимизировать булеву функцию
f(x, y, z) = (x  y  z)  (x  y  z) 
(x  y  z)  (x  y  z).
f(x, y, z) = (x  y  z)  (x  y  z)  (x  y 
z)  (x  y  z) =
= x  z  (y y)  y  z  (x  x) =
= x  z  y  z
Для нахождения минимальной ДНФ необходимо
перебрать все возможные способы применения
законов алгебры логики к исходной формуле.

8. Способ 2
Построение
минимальной ДНФ
из СДНФ методом
минимизирующих
карт.
Минимизирующей картой для
функции от n переменных
f(x1,x2,…,xn-1,xn)называется следующая
таблица:
x1 x2 … xn-1 xn x1x2 x1x3 … xn-2xn xn-1xn … x1x2…xn-1xn
x1 x2 … xn-1 xn x1x2 x1x3 … xn-2xn xn-1xn … x1x2…xn-1xn
x1 x2 … xn-1 xn x1x2 x1x3 … xn-2xn xn-1xn … x1x2…xn-1xn
… … … … … … … … … … … …
x1 x2 … xn-1 xn x1x2 x1x3 … xn-2xn xn-1xn … x1x2…xn-1xn

9. Шаг 1
Вычеркнуть из
таблицы все
строки, в которых
конъюнкция
последнего столбца
не входит в СДНФ
функции.
Задание.
Минимизировать булеву функцию
f(x, y, z) = (x  y  z)  (x  y  z) 
(x  y  z)  (x  y  z) методом
минимизирующих карт.
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz

10. Шаг 2
Конъюнкции
вычеркнутых
строк вычеркнуть
во всех остальных
строках таблицы.
Задание.
Минимизировать булеву функцию
f(x, y, z) = (x  y  z)  (x  y  z) 
(x  y  z)  (x  y  z) методом
минимизирующих карт.
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz

11. Шаг 3
Если в строке
остались конъюнкции
с различным числом
сомножителей, то
конъюнкции с не
минимальным числом
сомножителей
оставить только
тогда, когда они
встречаются в других
строках.
Задание.
Минимизировать булеву функцию
f(x, y, z) = (x  y  z)  (x  y  z) 
(x  y  z)  (x  y  z) методом
минимизирующих карт.
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz

12. Шаг 4
Отметить
конъюнкции,
оставшиеся
единственными на
строке. Вычеркнуть
строки, в которых
имеются такие же
конъюнкции.
Задание.
Минимизировать булеву функцию
f(x, y, z) = (x  y  z)  (x  y  z) 
(x  y  z)  (x  y  z) методом
минимизирующих карт.
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz

13. Задание.
Минимизировать булеву функцию
f(x, y, z) = (x  y  z)  (x  y  z) 
(x  y  z)  (x  y  z) методом
минимизирующих карт.
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
x y z xy xz yz xyz
Шаг 5
Всеми возможными
способами выбрать из
каждой строки по
одной из оставшихся
конъюнкций и
составить для каждого
случая ДНФ. Из
полученных ДНФ
выбрать минимальную.
f(x, y, z) = xz  yz

14. Задание.
Минимизировать булеву функцию, заданную вектором
f(x, y, z) = (10110011) методом минимизирующих
карт.
Ответ: y  xz.

15. Домашняя самостоятельная работа
Минимизировать булеву функцию методом
минимизирующих карт (по вариантам).
F(x1, x2, x3) Вариант
X1 X2 X3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1