1. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

2. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

3. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

4. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

5. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

6. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

7. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

8. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

9. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

10. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

11. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

12. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

13. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

14. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

15. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

16. §4. Выпуклые задачи
4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство
(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},
интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},
выпуклое множество A, если ∀ a, b∈A отрезок [a, b]⊂A,
т. е. ∀ a, b ∈ A точка (1 − t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,
конус K (K = ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,
аффинное множество A, если ∀ a, b ∈ A точка
(1 − t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

17. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

18. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

19. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

20. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

21. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

22. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

23. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

24. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

25. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

26. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

27. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

28. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

29. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

30. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

31. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

32. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

33. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

34. Пусть точки a1, . . . , am ∈ X,
m
i=1
tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, если
m
i=1
ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0,
m
i=1
ti = 1 —
совокупность всех выпуклых комбинаций;
коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai ti ≥ 0 ;
аффинная оболочка
aff{a1, . . . , am}:= a =
m
i=1
tiai
m
i=1
ti = 1 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

35. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

36. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

37. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

38. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

39. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

40. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

41. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

42. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

43. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

44. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

45. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

46. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

47. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

48. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

49. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

50. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

51. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

52. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

53. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

54. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

55. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

56. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

57. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

58. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

59. Теорема
1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,
аффинных) множеств является выпуклым (коническим,
аффинным) множеством.
2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое
(коническое, аффинное) множество ⇔ f(A) — выпуклое
(коническое, аффинное) множество.
3. Сдвиг A → b + A выпуклого (аффинного) множества
является выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm
¡ (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества
⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a, b ∈ A ⇒ a, b ∈ Aα ∀ α
⇒ (1 − t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1 − t)a + tb ∈ A.
2. Возьмем y, z ∈ f(A) ⇒ y = f(a), z = f(b), a, b ∈ A.
(1 − t)y + tz = (1 − t)f(a) + tf(b)
f −линейное
= f (1 − t)a + tb
⇒ (1 − t)y + tz ∈ f(A) ⇒ f(A) — выпукло. £
1
f — линейное, если f(λa + µb) = λf(a) + µf(b) ∀ a, b ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

60. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

61. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

62. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

63. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

64. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

65. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

66. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

67. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

68. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

69. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

70. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

71. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

72. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

73. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

74. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

75. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

76. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

77. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

78. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

79. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

80. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

81. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

82. Лемма (1-v)
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
¡ Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, лемма
верна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . , an} ⇒ a =
n
i=1
tiai,
n
i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 = 1, то полагаем
˜tk = tk
1−t1
при k = 2, . . . , n. Так как
n
k=2
˜tk =
n
k=2
tk
1−t1
= 1−t1
1−t1
= 1,
то ˜a =
n
k=2
˜tk ak – выпуклая комбинация, и по индукции ˜a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +
n
k=2
tk ak
= t1a1 +
n
k=2
(1 − t1)˜tk ak = t1a1 + (1 − t1)˜a ∈ A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

83. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

84. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

85. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

86. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

87. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

88. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

89. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

90. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

91. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

92. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

93. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

94. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

95. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

96. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

97. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

98. Обозначим conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Из определения (n = 1) следует, что conv A ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество conv A — выпукло.
¡ Возьмем a, b ∈ conv A ⇒ a =
m
i=1
λiai, b =
n
j=1
µjbj,
m
i=1
λi =
n
j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0; 1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)
m
i=1
λiai +t
n
j=1
µjbj =
m
i=1
(1−t)λiai +
n
j=1
tµjbj.
Заметим, что все множители (1 − t)λi и tµj неотрицательны
и
m
i=1
(1 − t)λi +
n
j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . , am, b1, . . . , bn, которая
принадлежит conv A. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

99. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

100. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

101. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

102. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

103. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

104. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

105. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

106. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ

107. Лемма 1-v.
A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . , an} ⊂ A ∀ a1, . . . , an ∈ A.
conv A:=
a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . , an}.
Лемма 2-v. Множество conv A — выпукло.
Теорема
A — выпукло ⇔ conv A = A.
¡ A — выпукло ⇒ по лемме 1-v conv A ⊂ A.
Вложение conv A ⊃ A следует из определения conv A (n = 1).
Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло
⇒ A — выпукло. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Выпуклый анализ