Описательная статистика, цели. Вариационный ряд Полигон частот Гистограмма Гистограмма, пример. Выбор числа интервалов Выборочные характеристики Характеристики положения и рассеяния Выборочные характеристики двумерной выборки

1. Описательная статистика
Грауэр Л.В.

2. Описательная статистика
Цель
обработка
систематизация
графическое представление
расчет числовых статистических характеристик
эмпирических данных

3. Зачем нужна описательная статистика?
Выявить ошибки в данных
Увидеть структуру данных
Найти нарушения в статистических предположениях
Сгенерировать гипотезы

4. Порядковые статистики. Вариационный ряд
ξ, X[n] = (X1, . . . , Xn)
Порядковые статистики:
X(1) = min {X1, . . . , Xn} — первая порядковая статистика,
X(2) = min {X1, . . . , Xn} X(1) — вторая порядковая статистика,
X(3) = min {X1, . . . , Xn} X(1), X(2) — третья порядковая
статистика,
. . .
X(n) = max {X1, . . . , Xn} — n-ая порядковая статистика.
Вариационный ряд: X(1) X(2) . . . X(n).

5. Примеры
Рост баскетболистов
X[10]=(205, 184, 207, 198, 195, 187, 201, 177, 191, 194)
Количество попаданий в мишень из 5 выстрелов
X[10]= (5, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 3)

6. Статистический ряд
(X(1) X(2) . . . X(n)) ⇒ (Z(1) < Z(2) < . . . < Z(k))
xi Z(1) Z(2) . . . Z(k)
ni n1 n2 . . . nk
ni /n n1/n n2/n . . . nk/n
i
j=1 nj /n n1/n 2
j=1 nj /n . . . 1
Пример
X[10]= (5, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 3)

7. Полигон частот

8. X[10]= (5, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 3)

9. Группированный статистический ряд. Гистограмма
Интервал (a, b), где a ≤ X(1) и X(n) ≤ b разобьем
a0 = a < a1 < a2 < . . . < ar = b,
(ai−1, ai ], i = 1, . . . , r.
ni — количество элементов выборки, попавших в (ai−1, ai ].
n1 + n2 + . . . + nr = n,
∆i = ai − ai−1,
hi =
ni
∆i n
.

10. Группированный статистический ряд
xi [a0, a1] (a1, a2] . . . (ar−1, ar ]
ni n1 n2 . . . nr
ni /n n1/n n2/n . . . nr /n
Гистограмма
f ∗
n (x) =



0, если x a0;
h1, если a0 < x a1;
. . .
hr , если ar−1 < x ar ;
0, если x > ar .

12. Пример
X[n] :
38 60 41 51 33 42
45 21 53 60 68 52
47 46 49 49 14 57
54 59 67 47 28 48
58 32 42 58 61 30
xi [14, 23] (23, 32] (32,41] (41, 50] (50,59] (59,68]
ni
ni
n

14. Как выбрать K?
X[1000] ∝ N(5, 1)
r = 100 r=4

15. r = [1 + 3.2 lg n] r = 1.72n1/3

16. Выборочные числовые характеристики
Выборочное среднее
¯X = a∗
1 =
1
n
n
i=1
Xi
Выборочный начальный момент r-го порядка
a∗
r =
1
n
n
i=1
Xr
i

17. Выборочная дисперсия
D∗
= D∗
X[n] =
1
n
k
i=1
Xi − ¯X
2
Выборочный центральный момент r-го порядка
µ∗
r =
1
n
n
i=1
Xi − ¯X
r

18. Выборочная квантиль xp порядка p —
([np] + 1) элемент X(1) ≤ X(2) ≤ . . . ≤ X(n).
Квартили Q1, Q2, Q3 — квантили порядков 0.25, 0.5, 0.75
Выборочная медиана
x∗
med =



X(k+1), n = 2k + 1
X(k) + X(k+1)
2
, n = 2k

19. Пример
X[10]= (5, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 3)

20. Выборочные характеристиками положения
выборочное среднее
выборочная медиана
выборочная мода

21. Выборочные меры рассеяния
размах R = Xmax − Xmin
средний межквартильный размах
персентильный размах P90 − P10,
выборочная дисперсия
исправленная дисперсия ˜s2
= nD∗
X[n]/(n − 1)
среднее квадратическое отклонение s =
√
s2
Коэффициент вариации v = s/ ¯X

22. Оценка формы распределения
коэффициент асимметрии Sk1 = µ∗
3/s3
коэффициент эксцесса K = µ∗
4/s4 − 3
Квантильный коэффициент асимметрии
Sk2 = (Q3 − Q1 − 2Q2)/(Q3 − Q1)

23. Ящики с усами

24. Выборочные характеристики многомерных выборок
(ξ, η)T
X1
Y1
, . . . ,
Xn
Yn
Выборочный коэффициент корреляции
rξ,η =
1
n
n
i=1 Xi Yi − ¯X ¯Y
˜sX ˜sY

25. Диаграммы рассеивания