Документ содержит задания по математической статистике, включая теоретические вопросы и задачи на проверку гипотез. Рассматриваются критерии для оценки средних значений и анализ результатов опроса. В конце включены расчеты и выводы по каждой из задач.

1. Математическая статистика
ЭКЗАМЕН
ФИО, группа
задача 1 задача 2 задача 3 задача 4 Сумма баллов
ВАРИАНТ 0
1. Теоретический вопрос.
• В каких пределах меняется коэффициент корреляции?
• О чём говорит равенство выборочного коэффициента корреляции нулю? Еди-
нице?
• Как понять, близок ли коэффициент корреляции к нулю или нет?
2. Для случайной величины с распределением
X 0 1 2 4
P 0, 5 + θ 0, 1 − θ 0, 2 0, 2
получена выборка: 1, 4, 2, 2, 0, 1.
а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм.
б) Вычислите оценку максимального правдоподобия.
3. Пусть студенты университета в начале учебного года сдают предварительное те-
стирование, оцениваемое по десятибалльной шкале. Вы предполагаете, что средняя
оценка равна 6, и решаете это проверить опросив несколько человек. Получилась
следующая выборка: 9, 5, 7, 7, 4, 10. Из наблюдений прошлых лет известно, что
дисперсия σ2
= 1. Проверьте гипотезу, что среднее равно 6, на уровне значимости
α = 0.01 против односторонних альтернатив µ > 6. Укажите минимальный уровень
значимости.
4. Опрос 39 потребителей об отношении к новой рекламе продукта показал, что 23
из них сочли рекламу удачной, трое не смогли определить свое мнение, а осталь-
ным она не понравилась. Сформулировать и проверить нулевую гипотезу о том, что
большинству реклама понравилась. Найдите минимальный уровень значимости для
проверки гипотезы против односторонних альтернатив. Отвергается ли гипотеза при
уровне значимости 5%?

2. Решения задач
1. На вопрос ответьте самостоятельно.
2. а) Функция правдоподобия имеет вид:
L(λ) = P(X = 1) · P(X = 4) · P(X = 2) · P(X = 2) · P(X = 0) · P(X = 1) =
= (0.1 − θ)2
(0.2)3
(0.5 + θ). (1)
Выпишем натуральный логарифм функции правдоподобия:
ln L = ln
(
(0.1 − θ)2
(0.2)3
(0.5 + θ)
)
И воспользуемся свойствами логарифма:
ln L = 2 ln(0.1 − θ) + ln(0.2)3
+ ln(0.5 + θ).
б) Чтобы найти максимум функции, вычислим производную по параметру θ и
приравняем ее к нулю:
(ln L)′
= −
2
0.1 − θ
+
1
0.5 + θ
= 0 ⇒ 1 + 2θ = 0.1 − θ ⇒ θ = −0.3.
Остаётся убедиться, что это действительно максимум, для этого проверим до-
статочное условие:
(ln L)′′
= −
2
(0.1 − θ)2
−
1
(0.5 + θ)2
< 0.
3. • Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:
H0 : µ = 6; H1 : µ > 6.
• Так как известна дисперсия генеральной совокупности, то для проверки гипо-
тезы используется статистика z = ¯x−µ0
σ/
√
n
.
• Критическая область является правосторонней. По таблице нормального рас-
пределения находим 1−α = 0.99 и определяем критическое значение zcr = 2.33.
Критическая область имеет вид (2.33; +∞).
• Вычислим значение статистики критерия. Cреднее значение ¯x = 9+5+7+7+4+10
6
=
7, стандартное отклонение σ = 1.
Значение статистики критерия равно z = 7−6
1/
√
6
≈ 2.45.
• Вывод. Так как z ∈ (2.33; +∞), то основная гипотеза H0 отвергается.
• Минимальный уровень значимости, начиная с которого гипотеза отвергается,
составляет 1 − z−1
(2.45) ≈ 0.007.
Ответ: при данном уровне значимости и такой альтернативе гипотеза отвергается.

3. 4. Воспользуемся критерием знаков. Пусть p – это доля тех, кому реклама понравилась.
Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:
H0 : p = 0.5 H1 : p > 0.5.
(a) Сравниваем число плюсов и минусов.
S = min{количество 0, количество 1} = min{23, 13} = 13.
(b) Вычислим статистику
z =
2S + 1 − n
√
n
=
13 + 1 − 36
√
36
≈ −3.67.
Обратите внимание, что n = 36, потому что число нулей (т.е. тех, кто не опре-
делеился) мы не учитываем.
(c) Находим минимальный уровень значимости p − value = z−1
((−3.67) ≈ 0.000.
Так как p − value < 0.05, то основная гипотеза H0 отвергается на уровне значимости
5%.
Ответ: p − value = z−1
((−3.67) ≈ 0.000, при данном уровне значимости и такой
альтернативе гипотеза отвергается.