Производящие функции

1. 1
ПРОИЗВОДЯЩИЕ
ФУНКЦИИ

2. 2Глава 4. Производящие функции.
4.1. Производящие функции
Метод изучения числовых последовательностей путем установления изоморфизма
между числовыми последовательностями и вещественными функциями.
{ ai }i=0.. ↔ f (x)
Изоморфизм означает, что операциям над последовательностями ставятся
в соответствие операции над функциями, так что если
{ ai }i=0.. ↔ f (x)
{ bi }i=0.. ↔ g (x) то { ai }i=0.. ⊕ { bi }i=0.. ↔ f (x) ⊗ g (x)
⊕ ↔ ⊗
{ ai }i=0.. ↔ f (x) = ∑
∞
=0i
i
i xa
Область сходимости нас не интересует, однако, область сходимости все же должна
по крайней мере существовать, тогда и функция будет иметь смысл.
Функция при этом будет однозначно определять последовательность, поскольку
ai = f (i)
(0)

3. 3Глава 4. Производящие функции.
Примеры
Несколько простых примеров числовых последовательностей и их производящих
функций
{ ai = 1 }i=0.. ↔ ∑
∞
=0i
i
x =
x−1
1
простое обобщение:
{ ai = βαi
}i=0.. ↔ ∑
∞
=0i
ii
xβα =
xα
β
−1
Формула бинома Ньютона:
(a + b)n
= ∑=
−
n
i
inii
n baC
0
отсюда:
{ ai = ∑=
n
i
ii
n xC
0
= (1 + x)n
Обобщенные биномиальные коэффициенты:
i
nC }i=0..n ↔
!
)1(...)1(
n
nppp
Cn
p
+−⋅⋅−⋅
= при произвольном вещественном p
справедлива формула:
{ ai = ∑
∞
=0i
ii
p xC = (1 + x)pi
pC }i=0.. ↔
!
)1)...(2)(1(
)!(!
!
m
mnnnn
mnm
n
Cm
n
+−−−
=
−
=, где

4. 4Глава 4. Производящие функции.
Операции над последовательностями
Сопоставим некоторым операциям над числовыми последовательностями операции
над их производящими функциями. Пусть
{ ai }i=0.. ↔ f (x)
Тогда очевидно, что
{ ai + bi }i=0.. ↔ f (x) + g (x)
{ bi }i=0.. ↔ g (x)
сложение последовательностей
{ αai }i=0.. ↔ α f (x) умножение на число
Перемножению производящих функций соответствует более сложная операция
над последовательностями:
f (x) ⋅ g (x) = ∑∑
∞
=
∞
=
⋅
00 i
i
i
i
i
i xx ba = (a0 + a1x + a2x2
+ …) ⋅ (b0 + b1x + b2x2
+ …) =
= a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1) x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2) x2
+ … = ∑ ∑
∞
= =
− 







0 0i
i
i
j
jij xba
свертка последовательностей

5. 5Глава 4. Производящие функции.
Использование производящих функций
Перевод с языка функций на язык последовательностей и обратно иногда позволяет
сравнительно легко получать соотношения, которые другим путем получить сложно.
Часто можно воспользоваться единственностью разложения функции в степенной ряд
для сопоставления коэффициентов этих степенных рядов.
Рассмотрим функцию ∑=
n
i
ii
n xC
2
0
2(1 + x)2n
=






⋅





∑∑ ==
n
i
ii
n
n
i
ii
n xCxC
00
(1 + x)2n
= (1 + x)n
⋅ (1 + x)n
=
Теперь воспользуемся формулой свертки последовательностей и приравняем
коэффициенты двух степенных рядов с индексом n.
( )∑∑∑ ===
−
===
n
i
i
n
n
i
i
n
i
n
n
i
in
n
i
n
n
n CCCCCC
0
2
00
2
1
1 1
1 2 1
1 3 13
1 4 146
Треугольник Паскаля:
Чаще всего техника работы с производящими функциями используется для
решения рекуррентных соотношений.

6. 5Глава 4. Производящие функции.
Использование производящих функций
Перевод с языка функций на язык последовательностей и обратно иногда позволяет
сравнительно легко получать соотношения, которые другим путем получить сложно.
Часто можно воспользоваться единственностью разложения функции в степенной ряд
для сопоставления коэффициентов этих степенных рядов.
Рассмотрим функцию ∑=
n
i
ii
n xC
2
0
2(1 + x)2n
=






⋅





∑∑ ==
n
i
ii
n
n
i
ii
n xCxC
00
(1 + x)2n
= (1 + x)n
⋅ (1 + x)n
=
Теперь воспользуемся формулой свертки последовательностей и приравняем
коэффициенты двух степенных рядов с индексом n.
( )∑∑∑ ===
−
===
n
i
i
n
n
i
i
n
i
n
n
i
in
n
i
n
n
n CCCCCC
0
2
00
2
1
1 1
1 2 1
1 3 13
1 4 146
Треугольник Паскаля:
Чаще всего техника работы с производящими функциями используется для
решения рекуррентных соотношений.