20. รูปแสดงตาแหนงและการกระจดของวตถุในชวงเวลา
รปแสดงตําแหนงและการกระจัดของวัตถในชวงเวลา t1 และ t2
ความเร็วเฉลี่ยสําหรับการเคลื่อนที่ทาง X คือ
x − x1
v = 2
− t1
x , av
t
และความเร็วเฉลี่ยสําหรับการเคลือนทีทาง Y คือ
่ ่
2
y − y
v = 2 1
− t1
y , av
t
เมื่อ t1 กับ t2 เขาใกลกันมาก ๆ ความเร็วเฉลี่ยก็จะเปนความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
2
เชนเดียวกับการคิดในหนึ่งมิติ
21. 8. เวกเตอรตําแหนงและเวกเตอรความเร็วในสองมิติ
v
เวกเตอร R1 เปน เวกเตอรตําแหนง (position vector) ที่เวลา t สําหรับวัตถุ
v
ที่มีคาทาง x เปน x และมีคา y เปน y เวกเตอร R1 จะมีขนาดและทิศชัดเจนเทียบกับ
จุดกําเนิดของโคออรดิเนต เมื่อเปลี่ยนเปน t ตําแหนงของวัตถุเปลี่ยนไปเปน เวกเตอร
v
R2
ความเร็วเฉลี่ยสามารถเขียนในรูปเวกเตอรไดเปน
v v
v R 2 − R1
v av =
t 2 − t1
โดยมีองคประกอบทาง x และ y เปนไปตามขางตน
อตราเรวเฉลยสาหรบการเคลอนทในสองมต จะตางจากความเร็วเฉลี่ยอยาง
อัตราเร็วเฉลี่ยสําหรับการเคลื่อนที่ในสองมิติ จะตางจากความเรวเฉลยอยาง
ชัดเจน ขนาดของอัตราเร็วเฉลี่ยระหวางจุด P และ Q ในขณะที่ของความเร็วเฉลี่ยจะ
เปนระยะทางตามเสนตรงระหวาง
เปนระยะทางตามเสนตรงระหวาง P และ Q หารดวยเวลา
หารดวยเวลา
23. 9. ความเรงในสองมิติ
ตามนิิยามของความเรง ซึ่ึงคืือเปลี่ยนความเร็็วตอเวลา ความเรงเฉลี่ยยอม
ปี ี
เขียนเปนสัญลักษณตามสมการตอไปนี้
v v
v v 2 − v1
a =
t 2 − t1
av
v
หากเปนความเรงเฉลี่ยระหวางจุด P และ Q ความเร็ว v และ v คือ v
2 1
ความเร็็ว (ขณะใดขณะหนึ่ง) ทีี่จุด P และ Q ตามลํําดัับ (v2 − v1 ) ป
ใ ึ v v ตองเปนการลบอยาง
เวกเตอร นั่นคือ (v − v )อาจมีขนาดและทิศเปนไปตามรูปใดรูปหนึ่งของรูปตอไปนี้
v v
2 1
v
− v1
v v v
v v v2 v2 − v1
v2 − v1 v
v2
v
v1
v
v1
24. ขนาดและทิศของความเร็วที่เปลี่ยนไปในชวงเวลา (t2 −t1 ) แสดง
ดวยเวกเตอร v v และเมอจุด
ดวยเวกเตอร (v − v ) และเมื่อจด P และ Q เขาใกลกันมากๆ ความเรงเฉลย
2 1
เขาใกลกนมากๆ ความเรงเฉลี่ย
v
v dv
กลายเปนความเรงขณะใดขณะหนึ่งไดโดย a = dt ตามสัญลักษณของ
แคลลูล ความเร็วที่เปลี่ยนไปไมจําเปนตองอย นทิศของความเร็วเดิม ซง
แคลลลัส ความเรวทเปลยนไปไมจาเปนตองอยูในทศของความเรวเดม ซึ่ง
หมายความวา ความเรงของการเคลื่อนที่ไมจําเปนตองอยูในทิศเดียวกับ
ความเรว จะเปนทขณะใดๆ กตาม
ความเร็ว จะเปนที่ขณะใดๆ ก็ตาม
แผนภาพเชิงเวกเตอรของความเรงเทียบกับเวกเตอรความเร็วที่
ขณะหนง ซึ่งโดยทั่วไปความเรงอาจทํามมขณะหนึ่งที่ไมตั้งฉากกับความเร็วดัง
ขณะหนึ่ง ซงโดยทวไปความเรงอาจทามุมขณะหนงทไมตงฉากกบความเรวดง
รูปขางตน และสามารถจะมองไดวา มีองคประกอบหนึ่งของความเรงที่ตั้งฉาก
กบความเรว
กับความเร็ว
26. ซงหมายถงความเรวของทศตรงกนขามกบการเคลอนทของตนเอง สิ่ง
ซึ่งหมายถึงความเร็วของทิศตรงกันขามกับการเคลื่อนที่ของตนเอง สง
ที่อยูนิ่งดานขาง หรือหลังของผูสังเกตก็จะปรากฏมีความเร็วเชนเดียวกัน ดวย
ความเรวทมทศตรงกนขามกบความเรวของตนเองแตขนาดเทากน v เมอให
ความเร็วที่มีทิศตรงกันขามกับความเร็วของตนเองแตขนาดเทากัน (− v )เมื่อให
od
v v
vod เปนความเร็วของผูสังเกต ( observer ) ให vR แทนความเร็วของเม็ด
v v
หรอ v v
ฝน ความเร็วของเม็ดฝนที่ผสังเกตในรถเหนจะเปน v R − vod หรือ vR +(−vod)
ความเรวของเมดฝนทผู งเกตในรถเห็นจะเปน
นั่นเอง และสามารถแสดงขนาดและทิศทางไดดังรูปตอไปนี้ v
vod
แสดงความเร็วสัมพัทธที่ผู
v v v
สังเกตเห็น vR − vod − vod
v
vR
v
− vod
29. 2. นักเบสบอลขวางลูกบอลออกไปในแนวระดับดวยความเร็ว 42.5 m ที่ระยะสูงจาก
พื้นดิน 2 m
ก. เวลาที่ลูกบอลเคลื่อนที่ถึงคนรับลูกซึ่งอยูหางจากคนขวาง 18.5 m
ข. ลูกบอลจะอยูสูงจากพืื้นเทาใด
วิธีทํา ตังแกนอางอิงทีี่พื้น (จุดเริ่มตนไมไดอยูที่จุด 0,0)
้ ไ
เมื่อคาตามแกน x
x0 = 0m ; v = 42.5m / s ; x = 18.5m ; v = 42.5m / s ; a
0x x x = 0m / s 2 ; t =?
คาตามแกน y
y 0 = 2m; y = ? ; voy = 0m / s ; v y = ? ; a y = −9.8m / s 2
30. ก. หาเวลาจากการเคลื่อนที่ในแนวแกน x
x= x0 + v0 x t +
1
axt
2
เนืื่องจากเปนการเคลืื่อนทีี่แบบโปรเจกไตลความเรงในแนวแกน x ( ax= 0 )
ป โป ไ ใ
x0 = 0 จะได
t = x = 18.5(m)
v0 x 42.5(m / s )
= 0.435 s
ข. พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวแกน y เมื่อความเร็วตนในแนวแกน y เปนศูนย ( voy = 0 )
y = y +v t+ 1a t
0
2
0y y
2
แต a = − g = −9.8m / s
y
2
y = a = − g = −9.8m / s
y
2
= 1.07 m
31. r r r r
3. แมลงวันตัวหนึ่งบินอยูที่ตําแหนง
ู r = 2i − 3t j + 5tk
2
ซึ่งเปนฟงกชั่นของเวลา
จงหา ก. ความเร็วเปนฟงกชั่นของเวลา
ข. ความเรงเปนrฟงกชั่นของเวลา r
r d (2i − 3t j + 5tk )
r r
วิธีทํา ก. = = dt dr 2
v dt
r r
= − r6tj + 5k r r
d (− 6tj + 5k )
dv
ข. = = dt dt
r
= −6j
r r r
4. ฟุตบอลมีความเร็ว ในหนวย m/s ตอความเร็ว เปลี่ยนเปน
35i +12j + 25k
r r r
32i + 10 j + 5k ภายในเวลา 2s จงหา
r r r
r Δv v 2 − v1
วธทา
วิธีทํา ก.
ก a = Δt
= Δt
= ( ) ( )
r r r r r r
32i + 10 j + 5k (m / s ) − 35i + 12 j + 25k (m / s )
2s
= ( )(
r r r
− 1.5i − j − 10k m / s 2 )
32. r
ข. a = a = a x + a y + a z2
2 2
= (− 1.5m / s ) + (− 1m / s ) + (− 10m / s )
2 2 2 2 2 2
= 10.2 m / s 2
เพอความสะดวกในการคานวณเราสามารถใชแคลลูลสเขาชวยในการ
เพื่อความสะดวกในการคํานวณเราสามารถใชแคลลลัสเขาชวยในการ
เปลี่ยน เปน ds พิจารณาดังนี้
r r r
จากนยามของตาแหนง
จากนิยามของตําแหนง : r = xi + yj + zk
r
r r r r r r
จากนิยามของการกระจัด : dr = r2 − r1 = dxi + dyj + dzk
r r r r
r dr
จากนิยามของความเร็ว : v=
dt
= vxi + v y j + vz k
r
จากนยามของอตราเรว
จากนิยามของอัตราเร็ว : v = v = v x + v y + v z2
2 2
r r r
จากนิยามของความเรง : r dv
a=
dt
= axi + a y j + az k
33. 5. จงหาความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของเข็มยาวนาฬิกาซึ่งยาว 10cm ดังรูป
วิธีทํา จากรูป เมื่อตั้งระบบแกนพิกัดฉากดังรูป พิจารณาเข็มนาฬิกากอนถึง
ตําแหนงสูงสุดเล็กนอย โดยทํามุม θ นอยๆ กอนถึงแกน y จะไดวา
2 r
= − r sin ⎛⎜⎝ Δ2θ ⎞⎟⎠i + r cos⎛⎜⎝ Δ2θ ⎞⎟⎠ j
r r
r1
จากนั้นพิจารณาเข็มนาฬิกา ภายหลัง
ผานจุดสูงสุดเล็กนอย โดยทํามุม θ 2
นอยๆ กับแกน y ไปทางขวา
มือ ดังนั้น จะไดวา
r
r2 = ⎛ Δθ
r sin ⎜
i
⎞r ⎛ Δθ ⎞ r
⎟ i + r cos ⎜ ⎟j
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
เมื่อ r คือความยาวของเข็มนาฬิกา
จากคากาจดของการกระจด
จากคํากําจัดของการกระจัด
r r r
Δr = r2 − r1
⎛ Δθ ⎛ Δθ ⎞ r ⎫ ⎧ ⎛ Δθ ⎛ Δθ ⎞ r ⎫
= ⎧
⎨r sin ⎜
⎩ ⎝ 2
⎞r
⎟i + r cos⎜
⎠
⎟ j ⎬ − ⎨− r sin ⎜
⎝ 2 ⎠ ⎭ ⎩ ⎝ 2
⎞r
⎟i + r cos⎜
⎠
⎟ j⎬
⎝ 2 ⎠ ⎭
34. ⎛ Δθ ⎞r
= 2r sin ⎜
⎝ 2
⎟i
⎠
⎛ Δθ ⎞ Δθ
พิจารณา Δθ นอยมากๆ จะได
r
จะได
sin ⎜
⎝
⎟≈
2 ⎠ 2
r
Δ r = ( rΔ θ ) i
จากนิยามของความเร็ว
r Δr
r
rΔθ r
v = Δt = Δt i
ให Δ t → 0 ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเขียนไดเปน
r rdθ r
v = i dt
เมอ
เมื่อ θ คือระยะทางเชิงมมของการหมนเปนคาคงที่ เมื่อหมนครบ 1
คอระยะทางเชงมุมของการหมุนเปนคาคงท เมอหมุนครบ
รอบจะได
r ⎛ 2π ⎞ r r 2π r
v = r ⎜ T ⎟i
⎝ ⎠
= T i
แทนสมการ
r π( )
v =
2 0 .1m ˆ
i
60 s
=
⎛ mm ⎞ ˆ
⎜ 10 . 5 ⎟ i
⎝ s ⎠
35. 6. สมการที่มักพบอยูบอยๆ มีกี่สมการ อะไรบาง
ตอบ มี 4 สมการ ไ แก
ได
v = u + at ( ู )
(สูตร 1)
⎛u+v⎞
s=⎜ ⎟t (สูตร 2)
⎝ 2 ⎠
1 2 (สูตร 3)
s = ut + at
2
และ v 2 − u 2 = 2as (สูตร 4)
