Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบต่างๆ




                            การ เคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้ง
                           ...
3.      การขจัดของการเคลือนที่
                                 ่     คือความยาวเส้นตรงที่เชื่อมระหร่างจุดเริ่มต้นและจุดสุ...
จากรูปที่ 14.3       ขว้างวัตถุอันหนึ่งด้วยความเร็วต้น    u     ทำามุม         กับแนวระดับทำาให้วัตถุ
             เคลือนท...
รูป   14.4 (a)                  ปล่อยวัตถุตกลงมา
          รูป   14.4 (b)                   กลิ้งวัตถุตกจากที่สูงด้วยความเ...
แนวราบ       uX           =       ucos θ                   และแนวดิ่ง       uY
=           usin           θ
              ...
วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่   A→B         แนวดิ่ง


จากรูป      u = 6 , g = -10 , h = 1.75 , t = ?

                     ...
1
-4        =          8t -      2
                                 × 10t2


               1
5t2-8t - 2 × 10t2           ...
=           55             เมตร                ตอบ




 5.                                                                ...
1.        สเกตรูปการเคลื่อนทีพร้อมทั้งกำาหนดจุดต้นและจุดท้ายคือ
                                              ่           ...
u 2 sin 2θ
                                                           จากรูป             X        =                 g
    ...
รูปที่   14.7    การขจัดแนวราบเท่ากันเมื่อ          + β =                       900
                                      ...
50 2 sin 〈 2 × 37 0 〉
                   แทนค่า  ;                                              X      =               10
...
2. ทีจุดเริ่มต้นแยกความเร็วเป็น 2 แนวคือ แนวราบ uX = ucos α และแนว
                     ่
ดิ่ง   uY     = usin α
         ...
=
1
  [ sin 〈 2α − θ〉 − sin θ      ]
2
แต่sinθ            มีค่าคงทีดังนั้น
                            ่         cos α sin...
u 2 sin 〈 2 × 45 0 〉
                                       แทนค่า         1000 =                  10
                    ...
พิจารณา
การเคลื่อนที่    A→B
                                                                                             ...
A→C       ราบ
จาก   SX = UXt
                                                                                             ...
S =                ระยะความสูงเหนือเป้าหมาย          t =   เวลาที่วัตถุเคลือนที่
                                         ...
พิจารณาการเคลื่อนที่จาก            A→B
                                                                                   ...
ตัวอย่างที่7 ขว้างลูกบอลลูกหนึ่งไปแนวระดับจากจุด A ซึ่งสูงจากจุด B บนพื้นผิวเกลี้ยง 1 เมตรลูกบอล
ไปตกยังจุด C     ซึ่งอยู่...
=      0.598
m                               ตอบ




  ตัวอย่างที่           8       ลูกบอลกลิ้งตกจากบันใดทีจุดตรงขอบบันใด...
แสดงว่าลูกบอลตกมาถึงขั้นที่   6    กว่าๆ ดังนั้นลูกบอล จึงตกถึงบันใดขั้นที่   7
ตอบ


ตัวอย่างที่    9           วิถีกระสุ...
X ไป C
หาความกว้างของตึกจากการเคลือนที่
                           ่
พิจารณา X→C แนวดิ่ง จาก V =   u +gt
V = 0 , u = 60sin...
2
                                                    t2 =          4.9
                                                  ...
จ
ากโจทย์       x =  ,         θ = 45   0
                                           ,g=5

u = 20
                       ...
วิธีทำา    พิจารณาการเคลื่อนที่จาก           A→B                ในแนวเส้นตรงเพื่อหา    Vb
                                ...
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01

  • Login to see the comments

การเคลื่อนที่แบบต่างๆ01

  1. 1. การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบต่างๆ การ เคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้ง ่ ถ้าวัตถุกำาลังเคลือนที่ไปในทิศหนึ่งแล้วมีแรงกระทำาต่อวัตถุในทิศเดียวกับการเคลือนที่เดิมจะ ่ ่ ทำาให้วัตถุนั้นเคลือนที่เร็วขึ้นและถ้าแรงนั้นมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่จะทำาให้วัตถุนั้นเคลื่อนที่ช้าลงแต่ยังคงไปในทิศ ่ เดิมซึ่งทั่งสองกรณีถอว่าเป็นการเคลื่อนที่แนวเส้นตรง แต่ถ้ามีแรงกระทำาต่อวัตถุนั้นในทิศอื่น วัตถุนั้นจะเคลื่อนที่เป็น ื แนวโค้ง เช่น การขว้างหรื่อยิงวัตถุไปในอากาศในแนวที่เอียงไปจากแนวดิ่งขณะที่วัตถุกำาลังเคลื่อนที่ไปนั้นแรงดึงดูด ของโลกจะฉุดวัตถุลงในแนวดิ่งตลอดเวลาเป็นเหตุให้วัตถุนั้นเคลือนที่ไปในแนวโค้ง ่ 1.1 ลักษณะการเคลือนที่แบบวิธีโค้ง ่ การเคลือนที่แบบวิถีโค้ง คือการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีแรงกระทำาทำามุมใดๆ กับความเร็วโดยมุมกระทำานั้นไม่คงที่ ่ เปลียนแปลงอยู่ตลอดเวลา จะได้ลกษณะการเคลื่อนที่เป็นโค้งพาราโบลาซึ่งมีการขจัดเกิดขึ้น ่ ั 2 แนวพร้อมกัน คือ แนวราบและแนวดิ่งดังนั้นความเร็วขณะใดๆของการเคลื่อนที่จะต้องประกอบด้วยความเร็ว 2 แนวคือ แนว ราบ ( VX ) และแนวดิ่ง ( VY ) ทิศของความเร็วใดๆ จะต้องสัมผัสกับเส้นโค้งการเคลือนที่เสอม ดังรูป ่ รูปที่ 14.1 ลักษณะการเคลือนที่แบบวิธีโค้ง ่ จากรูปที่ 14.1 แสดงการขว้างวัตถุจากหน้าผาสูง H ด้วยความเร็ว O กับแนวระดับวัตถุตกถึงพื้นห่าง จากจุดขว้างในแนวราบเท่ากับ x พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุจากรูป จะได้ 1 . ลักษณะการเคลื่อนที่เป็นโค้งรูปพาราโบลา 2 . ความเร็วขณะใดๆ สัมผัสกับเส้นโค้งการเคลื่อนที่ และประกอบด้วยความเร็วสองแนว คือ แนวราบ ( VX ) แนวดิ่ง ( VY ) ซึ่งมีขนาดและทิศทางดังนี้ 2 2 ขนาด V= V +VX Y Vy ทิศทาง tan θ = VX โดย VX = Vcos θ , V = Vsin θ
  2. 2. 3. การขจัดของการเคลือนที่ ่ คือความยาวเส้นตรงที่เชื่อมระหร่างจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการ เคลือนที่ ประกอบด้วยการขจัดแนวราบและแนวดิ่ง ่ จากรูป การขจัดจาก A ไป C = SAC โดย การขจัดแนวราบ SX = SAC และการขจัดเป็นศูนย์ การขจัดจาก A ไป D = SAD โดย การขจัดแนวราบ SX = x การขจัดแนวดิ่ง SY = H 2 การขจัดลัพธ์ SAD = S2 + S Y = X 2 + H 2 X ตัวอย่างการเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งโดยมีความเร่งในแนวต่างๆ ่ รูป 14.2 โค้งพาราโบลาแบบต่างๆ รูป (ก) และ (ข)วัตถุเคลือนที่ภายใต้แรงดึงดูดของโลก ่ รูป (ค) และ (ง) ประจุไฟฟ้าเคลื่อนที่ภายใต้สนามไฟฟ้า 1.2 เงื่อนไขการเคลื่อนที่แบบวิธีโค้ง การเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งประกอบด้วยการเคลื่อนที่ ่ 2 แนวพร้อมกัน คือแนวราบ แนวดิ่ง ซึงแต่ละแนวมีเงื่อนไขการเคลื่อนที่ดังนี้ ่ 1.2.1 การเคลือนที่ของวัตถุในแนวราบ ในขณะที่วัตถุอยู่ในอากาศจะมีเฉพาะแรงดึงดูดของโลก ่ (mg) ในแนวดิ่งเท่านั้นที่กระทำาต่อวัตถุ ดังนั้นแรงในแนวราบที่กระทำากับวัตถุจึงมีค่าเป็น ศูนย์ ( ∑ FX = 0 )
  3. 3. จากรูปที่ 14.3 ขว้างวัตถุอันหนึ่งด้วยความเร็วต้น u ทำามุม กับแนวระดับทำาให้วัตถุ เคลือนที่แบบวิธีโค้ง ่ พิจารณาแรงกระทำาในแนวราบ ∑ Fx = max จากรูป แรงในแนวราบ ∑ FX = 0 ∴ แทนค่าจะได้ 0 = maX , aX = 0 แสดงว่าการเคลื่อนที่ของแบบสวิธีโค้งวัตถุเคลือนทีด้วยอัตราเร็วในแนวราบคงที่ดดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ ่ ่ ในแนวราบคือ SX = UXt โดย SX = การขจัดแนวราบ  UX = ความเร็วแนวราบ = ucos θ t = เวลาของกางรเคลื่อนที่ 1.2.2 การเคลือนที่ของวัตถุในแนวดิ่ง ่ จากรูปที่14.3 จะเห็นว่าณะที่วัตถุอยู่ในอากาศจะมี เฉพะาแรง mg ในแนวดิ่งเท่านั้นที่กระทำาต่อวัตถุดังนั้นจะได้ ∑ FY = mg พิจารณาแรงในแนวดิ่ง จาก ∑ FY = maY จากรูป แรงในแนวดิ่ง ∑ FY = mg ∴ แทนค่า mg = maY จะได้ aY = g แสดงว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งวัตถุเคลื่อนที่ในดิ่งด้วยความเร่งเท่ากับ g จึงเป็นการ เคลือนของวัตถุแบบของวัตถุภายใต้แรงดึงดูดของโลก ดังนั้นสมการการเคลือนที่ในแนวดิ่งคือ ่ ่ 1. V = u + gt 3. V 2 + 2gh 1 2. h = ut + 2 gt2 4. u+v H = ( 2 ) t ข้อควรจำา ในการคำานวณการเคลื่อนที่แบบวิธีโค้ง เราจำาเป็นต้องทราบรายละเอียดต่อไปนี้ 1. วัตถุเคลื่อนจาดระดับความสูงเดียวกันโดยมีความเร็วต้น ในแนวดิ่งเท่ากันจะ ตกถึงพื้นดินในเวลาเท่ากัน ดังรูป
  4. 4. รูป 14.4 (a) ปล่อยวัตถุตกลงมา รูป 14.4 (b) กลิ้งวัตถุตกจากที่สูงด้วยความเร็วต้นแนบราบ u1 ตกถึงพื้นห่าง X1 รูป 14.4 (c) กลิงวัตถุตกจากที่สูงด้วยความเร็วต้นแนวราบ ้ u2 ตกถึงพื้นห่าง X2 เนื่องจากการเคลื่อนในแนวดิ่งของวัตถุทั่งสามรูปมีข้อมูลในแนวดิ่งเท่ากันคือ u = 0 , g =g, 1 2 h = h ดังนั้นเมื่อแทนค่าในสมการ h = ut + 2 gt จะคำานวณหาค่า t ได้เท่า กัน จึงสรุปได้ว่าเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลือนทีทั้งสามรูปเท่ากัน ่ ่ 2. ณ ระดับเดียวกันอัตราเร็วขาขึ้นเท่ากับอัตราเร็วขาลง และเวลาขาขึ้นเท่ากับเวลาขาลง รูปที่ 14.5 (a) ปาวัตถุจากพื้นดิน รูปที่ 14.5 (b) ปาวัตถุจาก หน้าผา จากรูป 14.5 (a) 14.5 (b) จะได้ uA = Vb ทำามุม และ กับแนวระดับเท่ากันเวลาที่เคลือนที่จาก ่ A  C เท่ากับเวลาที่เคลื่อนที่จาก C  → → B 3. ความสัมพันธ์ของการเคลือนที่แนวราบและแนวดิ่งมีเวลา ่ t เป็นตัวรวมเพราะการ ขจัดแนวราบและแนวดิ่งเกิดขึ้นพร้อมกัน 1.3 การคำานวณการเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้ง ่ เพื่อความสะดวกและรวดเร็วในการคำานวนเราสามรถจัด ขั้นตอนการคำานวนเป็นขั้นตอนต่างๆ ได้ดังนี้ 1. ให้สังเกตรูปการเคลือนที่ของวัตถุพร้อมทั้งกำาหนดจุดเริ่มต้น และจุดสุดท้ายของการ ่ เคลือนทีตามข้อมูลที่โจทย์ต้องการ ่ ่ 2. ทีจุดเริ่มต้นแยกความเร็วเป็น ่ 2 แนวคือ
  5. 5. แนวราบ uX = ucos θ และแนวดิ่ง uY = usin θ 3. ให้ตรวจสอบการคำานวณจากสมการแนวราบ และแนวดิ่งถ้าแนวดิ่งใหนมีข้อมูล ครบให้คำานวณจากแนวนั้น 4. ถ้าทั้งแนวราบและแนวดิ่งมีข้อมูลไม่ครบให้สร้างสมการการเคลือนทีทั้ง ่ ่ 2 แนว โดยมีเวลา (t) เป็นตัวร่วมแล้วแก้สมการหาค่าที่ต้องการ 5. ความเร็วขณะใดๆ ของการเคลื่อนที่จะต้องประกอบด้วยความเร็วแนวราบและดิ่งเสมอซึ่งมีขนาด ดังนี้ ขนาด V = v2 + v2 x y vy ทิศทาง tan θ = vx ข้อสังเกต ในการเลือกจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการเคลือนที่ให้พยายามเลือกจุดคู่ททราบการขจัดทั้งแนวรายบ ่ ี่ และแนวดิ่งหรือจุดคู่ที่มความสัมพันธ์ของการกระจัด หรือจุดคู่ที่ทราบข้อความมากที่สุดออกมาพิจารณา ี ตัวอย่างแสดงขั้นตอนการคำานวณวิธีโค้ง 1. จากรูปจงหา ก . เวลาจาก A ไป B ข . ระยะ A ไป B แนวราบ วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B แนวดิ่ง จากรูป u=8 , g = -10 , h = 0 , t = ? จาก h = ut 1 +2 gt2 จะได้ 0 = 1 8t - 2 × 10t2 8t 8 = 5t2 , = 5 = 1.6 S ตอบ พิจารณาการ เคลือนที่ ่ A→B แนวราบ จาก SX = uX t จะได้ X = 6× 1.6 = 9.6 ตอบ 2. จากรูปจงหา ก . เวลาจาก A ไป B . ข ระยะจาก A ไป B แนวราบ
  6. 6. วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B แนวดิ่ง จากรูป u = 6 , g = -10 , h = 1.75 , t = ? 1 จาก h = ut + 2 gt2 จะได้ 1 1.75 = 6t + 2 (-10) t2 1.75 = 6t – 5t2 5t2 – 6t + 1.75 = 0 4 คูณตลอด ; 20t – 24 t+ 7 2 = 0 (10t –7) (2t – 1 ) = 0 t = 0.5 , 0.7 S เวลา t = 0.5 s เป็นเวลาขาขึ้น จาก A ไป C เวลา t = 0.7 s เป็นเวลาขาลง จาก A ไป B จากรูป ต้องการหาเวลาขาลง จะได้ 0.7 นาที ตอบ พิจารณาการเคลื่อนที่ A ไป B แนวราบ จาก SX = uXt จะได้ X 8 × 0.7 = 5.6 เมตร ตอบ 3. จากรูป จงหา ก . เวลาจาก A ไป B ข. ระยะจาก A ไป B แนวราบ วิธีทำา คิดการ เคลือนที่ ่ A→B แนวดิ่ง จากรูป u = 8 , g = -10 , h = -4 , t = ? จาก h 1 2 = ut + 2 gt จะได้
  7. 7. 1 -4 = 8t - 2 × 10t2 1 5t2-8t - 2 × 10t2 = 0 (5t +2) (t – 2) = 0 t = 2 , -0.4 s ∴ เวลาจาก A ไป B นาน 2 นาที ตอบ คิดการเคลื่อนที่ A ไป B แนวราบ จาก SX = uXt แทนค่า X = 6 × 2 = 12 เมตร ตอบ 4. จากรูป ยิงกระสุนปืนด้วยความเร็ว 100 m/s ทำามุม 370 ห่างจากกำาแพงตึก 80 เมตร จงหาความสูงที่กระสุนกระทบตึก วิธีทำา คิดการเคลื่อนที่ A ไป B แนวราบ จาก SX = uXt จะได้ 80 = 80t t = 1 คิดการเคลื่อนที่ A ไป B แนวดิ่ง จากโจทย์ u = 60 , g = -10 , t = 1 , h = ? 1 จาก h = ut + 2 gt2 จะได้ 1 h = 60 t - 2 × 10t2 แทนค่า h = 60 × 1 – 5 × 1
  8. 8. = 55 เมตร ตอบ 5. จากรูปเครืองบินบินที่ระดับความสูง ่ 1000 เมตร ด้วย อัตราเร็ว 50 เมตร / วินาที ได้ปลดลูกระเบิดลงมาจงหา 1. ระเบิดตกถึงพื้นใช้เวลานานเท่าใด 2. ระเบิดตกถึงพื้นห่างจากจุดเริ่มปลดระเบิดเป็น ระยะแนวราบเท่าใด 3. ระเบิดตกถึงพื้นด้วยความเร็วเท่าใด วิธีทำา ก . คิดการเคลือนที่ ่ A→B แนวดิ่ง จากรูป u = 0 , g =10 , h = 1000 , t = ? 1 2 1 จาก h = ut + 2 gt จะได้ 1000 = 0 + 2 × 10t2 t = 200 , t = 10 2 = 14. 14 s ตอบ . ข คิดการเคลือนที่ ่ A→B แนวราบ จาก SX = uXt จะได้ X = 50 × 14.14 =707 เมตร ตอบ . ค หาความเร็วที่จุด B ความเร็วแนวราบ VX = 50 m/s หาความเร็วแนวดิ่งจาก V2 Y 2 = uY + 2gh จะได้ V2Y = 0 +2 × 10 × 1000 = 2000 จากรูป Vb = vx + v y 2 2 = 502 + 20000 = 22500 = 150 m/s ตอบ 1.4 การหาระยะทางแนวราบที่ไกลทีสุดของการเคลื่อนที่วิธีโค้ง ่ กำาหนดให้ ปาวัตถุด้วยความเร็วต้น u จากพื้นดิน ทำามุม กับแนวระดับวัตถุตกถึงพื้นห่างจากจุดเริ่มต้น เท่ากับ X ต้องการหามุม ที่ทำาให้ได้ระยะ X มากที่สุด วิธีทำา คำานวณหาค่า X ตามขั้นตอนที่กล่าวไว้ในหัวข้อที่ 1.3
  9. 9. 1. สเกตรูปการเคลื่อนทีพร้อมทั้งกำาหนดจุดต้นและจุดท้ายคือ ่ A และ B 2. ทีจุด ่ A แยกความเร็ว 2 แนวคือ แนวราบ uX = ucos θ , แนวดิ่ง uY = usin θ 3. เนื่องจากแนวราบไม่รู้เวลาจึงหา X ไม่ได้ ดังนั้นจึงพิจารณาการเคลื่อนที่แนวดิ่ง พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B แนวดิ่ง จาก โจทย์ UY = usin θ , g = -g , h = 0 , t = ? 1 2 1 จาก h = ut + 2 gt จะได้ 0 = (usin θ ) t - 2 gt2 t = 2u sin θ g -------- 1 พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B แนวราบ 2u sin θ จาก SX = UXt จะได้ X = (ucos θ ) ( g ) u 2 sin 2θ X = g ------- 2 จากสมการ 2 X จะมีค่ามากทีสุดเมื่อ ่ sin2 θ มีค่ามากที่สุด = 1 sin2 θ = 1 = sin 900 2θ = 900 ; θ = 900 2 = 450 แสดงว่าการขว้างวัตถุให้ตกในระยะแนวราบไกลที่สด มุมของความเร็วต้นจะต้องเท่ากับ ุ 450 สรุป การเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งจะได้ การขจัดแนวราบ ณ ระดับเดียวกัน ่ u 2 sin 2θ X = g ดังรูป
  10. 10. u 2 sin 2θ จากรูป X = g u = ความเร็วต้น g = ความเร่งของโลก = มุมทีความเร็วต้นทำากับแนวระดับ ่ เงื่อนไขการเคลือนที่ของวัตถุด้วยความเร็วต้นทำามุม ่ 45 0 กับแนวระดับ แยกการพิจารณาเป็น 2 แบบ 1. ถ้าต้องการขว้างวัตถุให้ตกในระยะแนวราบไกลที่สด แสดงว่าความเร็วต้นของการขว้างจะต้องทำา ุ มุม 45 0 กับแนวราบ ดังรูป 14.6 (a) 2. ถ้าต้องการขว้างวัตถุให้วัตถุถึงที่หมาย โดยใช้ความเร็วต้นน้อยที่สดแสดงว่าความเร็วต้นจะต้องทำามุม ุ 45 0 กับแนวระดับ ดังรูป 14.6 (b) รูปที่ 14.6 (a) รูปที่ 14.6 (b) ระยะตกไกลสุดเมือ ่ u ทำามุม = 450 ระยะตกถึงที่หมายโดย u น้อย ที่สดเมื่อ ุ = 45 0 จากรูป 14.6 (a) Xmax เมือ u ่ ทำามุม 45 0 กับแนวระดับ จากรูป 14.6 (b) u2 〉 u1 〉 u ถ้า + β = 900 จะได้การขจัดแนวราบมีค่าเท่ากัน ดังรูป ขว้างวัตถุด้วยความเร็วต้น u ทำามุม และ กับแนวระดับ โดยมุมทั้งสองรวมกันเท่ากับ 900 วัตถุไปถึงพื้นระดับห่างจากจุดเริ่มต้นเท่ากับ X
  11. 11. รูปที่ 14.7 การขจัดแนวราบเท่ากันเมื่อ + β = 900 u 2 sin 2θ พิสูจน์ จากการขจัดแนวราบ X = g u 2 sin 2θ ถ้า = θ จะได้ X1 = g ------- 1 u 2 sin 2β ถ้า = β จะได้ X2 = g ------ 2 แต่ + β = 900 ∴ β = 900 - θ u 2 sin 2〈90 0 − θ〉 แทนค่าใน 2 X2 = g , X2 = u 2 sin 〈180 0 − 2θ〉 g u 2 sin 2θ X2 = g ------- 3 จะได้ 1 = 3 นั้นคือการขจัดแนวราบ X1 = X2 แสดงว่าถ้า + β = 90 0 แล้วจะได้การขจัดแนวราบเท่า กัน ตัวอย่างที่ 1. ปืนกระบอกหนึ่งสามารถยิงกระสุนได้ไกลที่สด ุ 250 เมตร จงหาว่าถ้าต้องการยิงทำามุม 37 0 จะยิงให้กระสุนไปได้ไกลกี่เมตร u 2 sin 2θ วิธีทำา จาก X g จากโจทย์ XmaX = 250 m , θ = 450 , g = 10 , u = ? u 2 sin 〈 2 × 45 0 〉 แทนค่า 250 = 10 u2 = 2500 ; u = 50 m/s ถ้า u = 50, θ = 370 , X = ?
  12. 12. 50 2 sin 〈 2 × 37 0 〉 แทนค่า ; X = 10 2500 X = 10 (2sin370 cos370) 3 4 X = 250 × 2 × 5 × 5 240 m ∴ ถ้ายิงกระสุนทำามุม 370 จะตกไกล = 240 เมตร ตอบ ตัวอย่างที่ 2. ลูกบอลหนึ่งถูกตีด้วยความเร็วต้น 30 / เมตร วินาที จงคำานวณหาว่าลูกบอลนี้จะตกไกลสุดเป็น ระยะทางเท่าไร และคำานวณหาทิศทาง 2 ทิศทางที่ทำาให้ลูกบอลนี้สามารถตกไปได้ไกล 6 เมตร u sin 2θ 2 วิธีทำา จาก ถ้า u = 30 m/s , θ = 450 , g = 10 , g XmaX = ? 30 2 sin 〈 2 × 450 〉 แทนค่า ; XmaX = 10 900 × 1 XmaX = 10 = 90 m ∴ = ลูกบอลตกใกล้สด ุ 90 เมตร ตอบ ถ้า X = 6m , u = 30 , g = 10 θ = ? 30 2 sin 2θ แทนค่า ; 6 = 10 60 1 sin2θ = 900 = 15 2θ = 3.820 , 176.180 θ = 1.910 , 88.090 ตอบ 15. การหาระยะไกลสุดบนพื้นเอียงของการเคลือนที่แบบวิธีโค้ง ่ กำาหนดให้ วัตถุเคลือนที่บนพื้น เอียงซึ่งทำามุม ่ กับแนวระดับ ด้วยความเร็วต้น u และทำามุม α กับแนว ระดับวัตถุตกถึงพื้นเอียงที่จดห่างจากจุดเริ่มต้น ุ R จงหามุม α ที่ทำาให้วัตถุบนพื้นเอียงไกลที่สด ุ วิธีทำา คำานวณตามขั้นตอนในหัวข้อ 1.3 1. จากข้อมูลที่กำาหนดให้ การทำาสเกตรูปพร้อมทั้งกำาหนดจุดเริ่มต้นและจุดสุดคือ A และ B
  13. 13. 2. ทีจุดเริ่มต้นแยกความเร็วเป็น 2 แนวคือ แนวราบ uX = ucos α และแนว ่ ดิ่ง uY = usin α 3. เนื่องจากแนวราบและแนวดิ่งมีข้อมูลไม่ครบจึงสร้างสมการการเคลื่อนที่ 2 แนวโดยมี t เป็นตัวร่วม A→B ราบ  จาก SX = uXt จะได้ Rcosθ = 〈u cosα 〉 t t = R cos θ u cos α ------ 1 A→B ดิ่ง  จากรูป u = usin α , g = -g , h = Rsin θ , t = R cos θ u cos α 1 2 R cos θ 1 R cos θ 2 จาก h = ut + 2 gt จะได้ Rsinθ = 〈 u sin α〉〈 u cos α 〉 − g〈 2 u cos α 〉 sin α cos θ 1 R cos 2 θ R หารตลอด จะได้ sin θ = cos α − g 2 2 u cos 2 α gR cos 2 θ sin α cosθ 2u 2 cos 2 α = cosα − sin θ gR cos 2 θ sin α cos θ − cos α sin θ 2u 2 cos 2 α = cos α gR cos 2 θ sin 〈α − θ〉 2u 2 cos 2 α = cos α R = 2u cos α sin 〈α − θ〉 2 g cos 2 θ ------- 2 2u 2 จากสมการ 2 g cos 2 θ มีค่าคงที่ ดังนั้น R จะมีค่ามากทีสุดคือ ่ cos α sin 〈α − θ 〉 มากที่สดด้วย ุ การหาค่ามากที่สดของ ุ cos α sin 〈α − θ 〉 cos α sin 〈α − θ 〉 = 1 [ sin 〈α + α − θ〉 − sin 〈α − α + θ〉 ] 2
  14. 14. = 1 [ sin 〈 2α − θ〉 − sin θ ] 2 แต่sinθ มีค่าคงทีดังนั้น ่ cos α sin 〈α − θ〉 มีค่ามากที่สุดเมือ ่ sin 〈2α − θ〉 มีค่ามากสุดซึ่งเท่ากับ sin 900 ∴ sin 〈 2α − θ 〉 = sin900 90 + θ 2α − θ = 900 ; α = 2 θ = 45 0 + 2 ------- ∗ แสดงว่าการขว้างวัตถุให้ตกในระยะไกลสุดบนพื้นเอียง จะต้องขว้างด้วยความเร็วต้น ทำามุม θ 450+ 2 เมื่อ θ คือมุมของพื้นเอียงทำากับแนวระดับ ในทำานองเดียวกัน ถ้าขว้างวัตถุจากจุดบนพื้นเอียงลงมาข้างล่างให้ได้ระยะตกใกลสุดบนพื้นเอียงเราจะ θ ต้องขว้างวัตถุด้วยความเร็วต้นทำามุม 450 - 2 ดังรูป สรุป การขว้างวัตถุให้ได้ระยะตกไกลสุดในแนวต่างๆ แยกพิจารณาได้ดังนี้ 1. ขว้างวัตถุบนพื้นระดับให้ได้ระยะตกไกลสุดแนวราบ แสดงว่า α = 450 2. ขว้างวัตถุบนพื้นเอียงจากจุดเชิงพื้นเอียง ให้ได้ระยะตกไกลสุดตามพื้นเอียงแสดงว่า θ α = 450 + 2 3. ขว้างวัตถุบนพื้นเอียงจากจุดบนพื้นเอียง ให้ได้ระยะตกไกลสุดตามพื้นเอียงแสดงว่า θ α = 450 − 2 ตัวอย่าง 3 ระยะตกไกลสุดของอนุภาคบนแนวระดับเท่ากับ 1,000 เมตรจงคำานวณหาระยะตกไกลสุดถ้า ยิงจากจุดบนและล่างของพื้นเอียงที่ทำามุม 30 กับแนวราบกำาหนด g = 10 m/s2) 0 วิธีทำา หาความเร็วต้นจากระยะตกไกลสุดบนพื้นราบ u 2 sin 2θ จาก X = g จากโจทย์ XmaX = 1,000 , g = 10 , θ = 45 0
  15. 15. u 2 sin 〈 2 × 45 0 〉 แทนค่า 1000 = 10 10000 = u2 , u = 100 m/s ถ้าขว้างวัตถุจากเชิงพื้นเอียง เนื่องจาก วัตถุไกลสุดบนพื้นเอียง θ ∴ α = 450 + 2 30 α = 450 + = 600 2 แสดงว่า ความเร็วต้นทำามุม 60 0 กับแนว ระดับ พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B A→B ราบ จาก SX = uX . t 3 3R แทนค่า ⋅ R = 50t จะได้ t = 2 100 ------ 1 R 3R A→B ดิง ่ u = 50 3 , g = -10 , h = 2 , t = 100 1 R 3R 1 3R 2 จาก h = ut + 2 gt แทนค่า = 〈50 3 〉〈 〉 − 10〈 〉 2 100 2 100 R 3R 3R 2 2 = 2 − 5〈 10000 〉 ; -R = − 3R 2 2000 R 2000 = = 666.67 m 2 3 ∴ ระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง = 666.67 เมตร ตอบ ถ้าวัตถุเคลื่อนที่จากพื้นเอียง เนื่องจากวัตถุตก ไกลสุด θ ∴ α = 450 − 2 30 α = 450 − = 300 2
  16. 16. พิจารณา การเคลื่อนที่ A→B A →B ราบ จาก SX = uXt แทนค่า 3 R = 50 3.t 2 จะได้ R t = 100 ------- 1 R R A→B ดิง ่ u = 50 , g = -10 , h = - 2 , t = 100 1 2 R R 1 R 2 จาก h = ut + 2 gt แทนค่า - 2 = 50〈 〉 − × 10〈 100 2 100 〉 R R R2 - 2 = 2 − 5〈10000 〉 − R2 - R = 2000 ; R = 2000 m ∴ ระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง = 2000 m ตอบ 1.6 การเคลือนที่ของวัสตถุที่กำาหนดความสัมพันธ์การขจัดแนวราบและแนวดิ่งมาให้ ่ เนื่องจากการเคลื่อนที่ของวัตถุในลักษณะนี้โจทย์กำานดความสัมพันธ์ของการขจัดแนวราบและแนวดิ่งมาให้สมการแนวราบ และแนวดิ่งจึงมีตัวร่วมเพิ่มขึ้นจากเดิมอีก 1 ตัวคือ การขจัดและเวลา ดังนั้นการคำานวณในแนวดิ่งจึงใช้สมการ ่ h u+v = 2 t ค่าความเร็งของวัตถุจะไม่เกี่ยวข้องกับการคำานวณ ตัวอย่างที่ 4 จงคำานวณหามุมในการยิ่งวัตถุใดๆ เพือให้ระยะที่ขึ้นไปได้สูงสุดเท่ากับระยะที่วัตถุตกในแนวราบ ่ วิธีทำา เขียนรูปแสดงการเคลื่อนที่ ∴การเคลือนที่จาก A→B ่ และจาก A→C เราไม่รู้ การขจัดเพียง 1 ตัวเหมือนกันคือ X แต่การเคลื่อนที่ จาก A→C เรารู้ความสัมพันธ์ระหว่างการขจัดแนว ราบและแนวดิ่ง จึงเลือกการเคลือนทีจาก ่ ่ A→C มาพิจารณา พิจารณาการ เคลือนทีจาก ่ ่ A→C
  17. 17. A→C ราบ จาก SX = UXt แทนค่า X = u cos θ〉 t 2 x t = 2u cosθ ------ 1 x A→C ดิ่ง u = usinθ , V = 0 , h = X , t = 2u cos θ u+v u sin θ + 0 x จาก h = 2 ⋅t จะได้ x = 2 〈 2u cos θ 〉 sin θ 1 = 4 cosθ , 4 = tan θ θ = tan-1 4 = 760 ตอบ 1.7 การยิงกระสุนปืนให้ถูกเป้าหมาย ในการยิงกระสุนปืนให้ถูกเป้าหมายนั้นจะต้องทำาการเล็งวัตถุให้สูงกว่าตำาแหน่ง เป้าหมายเป็นระยะเท่ากับระยะทีกระสุนในแนวดิ่งภายใต้แรงดึงดูดของโลก ในระยะเวลาเท่ากับเวลาที่กระสุนเคลื่อนทีจาก ่ ่ จุดเริ่มต้นจนถึงเป้าหมาย ดังรูป จากรูป ปาวัตถุทจุด ี่ A ด้วยความเร็วต้น u ต้องการ ให้วัตถุถูกเป้าหมายที่จุด C ต้องทำาการ เล็ง เหนือเป้าหมาย C เป็นระยะ BC หาระยะ BC ถ้าวัตถุเคลือนทีจาก ่ ่ A ไป C นาน t s หาระยะ BC ได้ดังนี้ 1 จาก S = ut + gt 2 2 แทน 1 ค่า BC = 0 + gt 2 2 1 2 ∴ S = 2 gt
  18. 18. S = ระยะความสูงเหนือเป้าหมาย t = เวลาที่วัตถุเคลือนที่ ่ ตัวอย่างที่ 5 ชายคนหนึ่งต้องการยิงปืนให้ตรงเป้าที่จุด Y เข้าต้องเล็งปากกระบอกปืนไปยังจุด X ซึ่งอยู่เหนือจุด Y เท่าใด กระสุนจึงจะกระทบเป้าหลังจากเคลือนที่ในอากาศ ่ นาน 1 วินาที วิธีทำา สเกตรูปการเคลือนที่ของกระสุนดังรูปขวามือ ่ 1 2 หาระยะ XY จากสมการ S = 2 gt 1 จากโจทย์ g = 10 , t = 1 จะได้ S = 2 × 10 × 12 S = 5 m ∴ ระยะ xy = 5 เมตร ตอบ 1.8 ตัวอย่างการเคลือนที่แบบวิธีโค้งของวัตถุ ่ 1 ก้อน การคำานวณให้ทำาตามขั้นตอนในหัวข้อ 1.3 ดัง ตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 6 ขว้างวัตถุขึ้นจากพื้นดินทำามุม 530 กับแนวระดับ วัตถุนั้นวิ่งไปชนผนังตึกตรงจุดสูงจากพื้นดิน 15 ม . ผนังตึกอยู่ห่างจากจุดขว้างเป็นระยะทางในแนวราบ 30 . ม จงหา . ก ความเร็วต้นของการขว้าง ข. ขณะชนผนังตึกวัตถุวิ่งไปด้วยความเร็วเท่าใด วิธีทำา สเกตรูปการเคลื่อนที่
  19. 19. พิจารณาการเคลื่อนที่จาก A→B A→B ราบ จาก SX = uX .t ∴ 30 = 〈u cos 530 〉 t 30 = 3 〈u × 〉 5 t 50 t = u ------- 1 4u A→B ดิ่ง u = usin530 5 , g = -10 , h = 15 50 , t = u 1 2 4u 50 1 50 2 จาก h = ut + 2 gt จะได้ 15 = 〈 〉〈 〉 − × 10〈 〉 5 u 2 u 50 2 15 = 40 – 5 〈 u 〉 50 50 2 -25 = -5 〈 u 〉 ; 5 〈 〉 2 u ∴ ความเร็วต้นของวัตถุ = 10 5 = 10 × 2.236 = 22.36 m/s ตอบ ความเร็วที่ชนผนังจะต้องประกอบด้วยความเร็วแนวราบและแนวดิ่ง 3 uX = ucos530 = 10 5× 5 =6 5 m/s 4 หา VY จาก V = u + gt จะได้ u = usin530 = 10 5× 5 = 8 5 g = -10 , t = 50 50 = = 5 u 10 5 แทนค่าจะได้ V = 8 5 − 10 5 = −2 5 เป็นลบแสดงว่าชนผนังขาลง ∴ V = = 2 2 ความเร็วขณะชน vX + vy 〈6 5 ) 2 + 〈 2 5 ) 2 = 180 + 20 = 200 = 14.14 m/s ∴ วัตถุชนผนังตึกด้วยความเร็ว = 14.14 m/s ในทิศลง ตอบ
  20. 20. ตัวอย่างที่7 ขว้างลูกบอลลูกหนึ่งไปแนวระดับจากจุด A ซึ่งสูงจากจุด B บนพื้นผิวเกลี้ยง 1 เมตรลูกบอล ไปตกยังจุด C ซึ่งอยู่ห่างจาก B 0.6 เมตร แล้วสะท้อนจาก C ไปตกยังจุด D ซึ่งอยู่ห่างจากจุด C 0.9 เมตร ดังรูป 1. จงหาความเร็วต้นของลูกบอลที่ขว้าง 2. จงหาว่าเมื่อสะท้อนครั้งแรกลูกบอลจะขึ้นไปสูงสุดเท่าใด วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่ จาก A→C A →C ดิ่ง u = 0 , g = 10 , h = 1 , t = ? จาก h 1 2 = ut + 2 gt จะได้ 1 1 = 0+ 2 × 10 t2 t2 = 1 1 5 จะได้ t = 5 A →C ราบ จาก SX = uXt แทนค่า 1 0.6 = u× 5 u= 0.6 5 = 1.3 m/s ∴ ความเร็วต้นของลูกบอล = 1.3 m/s ตอบ หาระยะทีลูกบอลกระดอนขึ้นสูงสุด ่ เนื่องจากลูกบอลกระทบพื้นเกลี้ยง ดังนั้นจึงไม่มีแรงในแนวราบความเร็วแนวราบคงที่เนื่องจาดจุด C เรา ทราบเฉพาะความเร็วแนวราบเท่านั้น ความเร็วแนวดิ่งไม่ทราบ แต่ที่ E เราทราบความเร็วทั้ง 2 แนวคือแนวราบและแนวดิ่ง ดังนั้นจึงเลือกการเคลือนที่จาก ่ E→D มาพิจารณา E→D ราบ จาก SX = uXt แทนค่า 0.45 = 1.3 t T 0.45 = 1.3 = 0.346 s E→D ดิง ่ u = 0 , g = 10 , t = 0.346 , h = ? 1 2 1 จาก h = ut + 2 gt แทนค่า h = 0+ 2 × 10〈0.346〉 2
  21. 21. = 0.598 m ตอบ ตัวอย่างที่ 8 ลูกบอลกลิ้งตกจากบันใดทีจุดตรงขอบบันใดพอดีด้วยอัตราเร็ว ่ ตามแนวระดับเท่ากับ 2.5 / เมตร วินาที ถ้าแต่ละขั้นของบันใดสูง 20 . ซ ม พอดี และกว้าง 20 . ซ ม เท่ากับ ลูกบอลจะตกลงที่บันใด ขั้นที่เท่าไร โดยคิดว่าขั้นที่หนึ่งคือขั้นที่ตำ่ากว่าระดับที่ลูกบอลจะตก วิธีทำา จากข้อมูลโจทย์ทำาการ สเกตรูปให้ลกบอลตก ู ถึงบันใด ขั้นที่ n พิจารณา การเคลื่อนที่ A→B A→B ราบ จาก SX = uX . t แทนค่า 0.2n = 2.5t จะได้ t 2n = 25 ------- 1 A→B ดิ่ง u = 0 , g = 10 , h = 0.2n , 2n T = 25 จาก h= 1 ut + 2 gt2 แทนค่า 1 2n 0.2n = 0+ 2 × 10〈 25 〉 2 0.2n 4n 2 = 5 625 0.2 × 625 n = 5× 4 = 6.25
  22. 22. แสดงว่าลูกบอลตกมาถึงขั้นที่ 6 กว่าๆ ดังนั้นลูกบอล จึงตกถึงบันใดขั้นที่ 7 ตอบ ตัวอย่างที่ 9 วิถีกระสุนโปรเจคไตล์ยิงเฉียดขอบตึกที่จด ุ A และ B ดังรูปลูกปืนมีความเร็ว 60 เมตร/วินาที ถ้าจุดเริ่มต้นยิงห่างตัวตึก 80 เมตร จงหา ก. ความสูงของตึก h ข. ความกว้างของตึก b วิธีทำา กำาหนดจุด เริ่มต้นเป็น X และจุดสูงสุด เป็น C หาความสูงของตึก จากการ เคลือนที่ ่ X ไป A พิจารณา X→A แนวราบ จาก SX = uXt จากโจทย์ SX = 80 m , uX =60cos600 แทนค่า 80 = 〈60 cos 600 〉 t 1 80 = 60 × ×t 2 80 8 t = = 30 3 s พิจารณา X→A แนวดิ่ง 1 2 จาก h = ut + 2 gt 8 u = 60sin600 , g = -10 m/s2 , t = 3 s 8 1 8 แทนค่า h = 〈60 sin 600 〉〈 〉 3 + 2 〈− 10〉〈 〉 2 3 3 8 5 × 64 = 〈 60 × × 〉 - 〈 9 〉 2 3 = 138.56 – 35.56 = 103 m ∴ ความสูงของตึก = 103 m ตอบ
  23. 23. X ไป C หาความกว้างของตึกจากการเคลือนที่ ่ พิจารณา X→C แนวดิ่ง จาก V = u +gt V = 0 , u = 60sin60 , g = -10 m/s2 0 0 = 60sin600 + 〈−10〉 t 60 3 t = × = 3 3 s 10 2 พิจารณา X→C แนวราบ จาก SX = uXt b SX = 80 + 2 , uX = 60cos600 , t = 3 3 b ∴ 80 + 2 = 〈60 cos 600 〉〈 3 3〉 1 = 60 × 2 × 3 3 = 90 × 1.732 b = 〈155.88 − 80〉 × 2 = 151.76 m ∴ ข . ความกว้างของตึก = 151.76 m ตอบ ตัวอย่างที่ 10 คูนำ้ากว้าง4 เมตร มีลักษณะดังรูป นักขี่มอเตอร์ไซด์คันหนึ่งต้องการจะขี่รถข้ามคูนำ้านี้ g = 9.8 เมตร/วินาที ) 2 กำาหนด 1. จงหาความเร็วน้อยที่สุดของมอเตอร์ไซด์ทจะข้ามคูได้พอดี ี่ 2. จงหาความเร็วที่จุด B เป็นเท่าใด วิธีทำา . ก ความเร็วน้อยที่สดทีจะข้ามคูนำ้าได้พอดี แสดงว่าข้ามถึงจุด ุ ่ B พอดี 1 2 พิจารณา A→B แนวดิ่ง จาก h = ut+ 2 gt h = 2 m , u = 0 , g = 9.8 m/s2 1 แทนค่า 2 = 0+ 2 〈9.8〉 t2
  24. 24. 2 t2 = 4.9 = 0.408 , t = 0.64 s พิจารณา A→B แนวราบ จาก SX = uXt SX = 4 m , uX = u m/s , t = 0.64 s แทนค่า 4 = u 〈0.64〉 4 u = 0.64 = 6.25 m/s ∴ ความเร็วน้อยที่สุดของมอเตอร์ไซด์ที่จะข้ามคูได้พอดี = 6.25 m/s ตอบ ข . พิจารณา A→B แนวดิ่ง จาก V2 = u2 + 2gh V = Vy m/s , u = 0 , g = 9.8 m/s2 , h = 2 m แทนค่า V2Y = 0 + 〈 2 × 9.8 × 2〉 = 39.2 ∴ Vb = v2 + u 2 y แทนค่า Vb = 39.2 + 〈6.25〉 2 = 39.2 + 39.1 = 78.3 = 8.85 m/s ∴ ความเร็วที่จุด B = 8.85 m/s ตอบ ตัวอย่างที่ 11 พื้นเอียงอันหนึ่งทำามุมกับแนวระดับ 300 ยิงลูกบอลขึ้นไปตามพื้นเอียงทำามุม 45 0 กับแนวระดับบนพื้นเอียง ถ้าลูกบอลมีความเร็วต้น 20 / เมตร วินาที และไม่คิดแรงเสียดทานของพื้นเอียงกับ ลูกบอล 1 ก . จงหาระยะความยาวซึ่งเป็นความกว้างของพื้นเอียง  ระยะ   ข . ลูกบอลอยู่สูงจากระดับพื้นดินมากที่สดเท่าใด ุ วิธีทำา เนื่องจากวัตถุ เคลือนที่แบบโปรเจคไตล์ ่ บน พื้นเอียงดังนั้นความเร่งที่เกิดกับวัตถุ ตาม แนวพื้นเอียงจึงมีค่า = gsin30 0 = 1 10 × 2 =5 m/s2 ∴ u sin 2θ 2 จาก X = g
  25. 25. จ ากโจทย์ x =  , θ = 45 0 ,g=5 u = 20 20 2 sin 〈 2 × 45 0 〉 ∴ = 5 = 400 5 = 80 m ตอบ พิจารณาการเคลื่อนที่จาก A→C หา h A→C แนวเอียง u = 20sin450 = 10 2 , g = -5 , v = 0 , h = ? จาก V2 = u2 + 2gh , 0 = 〈10 2 〉 2 − 2 × 5 × h 200 h = 10 = 20 m y ∴ h = sin 30 0 1 y = hsin300 = 20 × 2 = 10 m ∴วัตถุจะอยูสูงจากพื้นดินมากที่สุด ่ = 10 m ตอบ ตัวอย่างที่ 12 จากรูป ช่างไม้คนหนึ่งปล่อยให้คอนเริ่มไถลจากการหยุดนิ่งที่จุด ้ A โดยระยะ ระยะทางจุด A ไปยังหลังคา = 40 เมตร จงหาระยะ X ทีคอน ่ ้ ตก
  26. 26. วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่จาก A→B ในแนวเส้นตรงเพื่อหา Vb 10 u = 0 , a = gsin300 = 2 ª 5 , s = 40 m , vb = ? จาก vb2 = u2+2as แทนค่า vb2 = 0+2 × 40 vb2 = 400 , vb = 20 m/s การเคลื่อนทีจาก B→C เป็นแบบวิธีโค้ง ่ B→C แนวดิ่ง u = 10 , h = 120 , t = ? 1 1 h= ut+ 2 gt2 = 120 = 10t + 2 × 10 t2 120 = 10t + 5t2 ; t2+2t-24 = 0 〈 t + 6〉〈 t − 4〉 = 0 t = 4, -6 B→C แนวราบ SX = uXt ∴ X′ = 〈10 3 〉 4 = 3 = 69.28 m จากรูป x = x′+1 = 69.28+1 = 70.28 m ตอบ ตัวอย่างที่ 13. ยิงโปรเจคไตค์ขึ้นไปในอากาศทิศทำามุมค่าหนึ่งกับแนวระดับ พบว่าอัตราเร็วต้น ในแนวแกน x และ y ของโปรเจคไตค์เป็น uX และ uy ตามลำาดับ ถ้า g = สนามความโน้มถ่วงจงหาค่า R และ h ก . R = 2u X u y uy 2 g , h = 2g ข . R = 2u X u y uX 2 g , h = 2g

×