ثانوية خمس نجوم | هدفنا مساعدة الطلاب adelmahmod86.blogspot.com/ مخطط الهندسة الفراغية للصف الثالث الثانوي علمي رياضة 2016 مخطط الهندسة الفراغية للصف الثالث الثانوي علمي رياضة 2016

1. ‫المستويات‬ ‫و‬ ‫المستقيمات‬
‫للمستقيمات‬ ‫النسبية‬ ‫األوضاع‬
‫الفراغ‬ ‫فى‬ ‫المستويات‬ ‫و‬
‫بمستوى‬ ‫مستقيم‬ ‫عالقة‬
)(‫المستوى‬ ‫يقطع‬ ‫المستقيم‬:
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬=}‫حـ‬{
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫ب‬
‫ا‬
‫حـ‬
)٣(‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫بتمامه‬ ‫يقع‬ ‫المستقيم‬:
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬=‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫ب‬
‫ا‬
)١(‫المستوى‬ ‫يوازى‬ ‫المستقيم‬:
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬//
BBBB‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬=ZZZZ
‫ا‬‫ب‬ ‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫بمستو‬ ‫مستوى‬ ‫عالقة‬
)(‫يتطابقان‬ ‫المستويان‬:
=
)١(‫يتقاطعان‬ ‫المستويان‬:
=‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫ا‬‫ب‬
)٣(‫متوازيان‬ ‫المستويان‬:
=ZZZZ
‫لثال‬ ‫الموازيان‬ ‫المستقيمان‬‫ث‬
‫متوازيان‬ ‫الفراغ‬ ‫فى‬
‫حقيقة‬
‫عالقة‬‫بمستقيم‬ ‫مستقيم‬
)١(‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫يتقاطعان‬ ‫المستقيمان‬:
"‫و‬‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫فى‬ ‫يقعان‬"
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=}‫ا‬{
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬ ‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫ا‬
)(‫المستقيمان‬‫متوازيان‬
"‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫فى‬ ‫يقعان‬ ‫و‬"
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=ZZZZ
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
)٣(‫المستقيمان‬‫متخالفان‬:
"‫يقعان‬ ‫ال‬‫فى‬‫واحد‬ ‫مستو‬ِ"
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=ZZZZ
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫حـ‬
‫بين‬ ‫الزاوية‬
‫مستقيمين‬
‫متخالفين‬
‫يصنعھا‬ ‫التى‬ ‫الزوايا‬ ‫إحدى‬ ‫ھى‬
‫مرسوم‬ ‫مستقيم‬ ‫أى‬ ‫مع‬ ‫أحدھما‬
‫لآلخر‬ ‫موازيا‬ ‫عليه‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ً
]١[‫واحدة‬ ‫إستقامة‬ ‫على‬ ‫ليست‬ ‫نقط‬ ‫ثالث‬
][‫إليه‬ ‫تنتمى‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫و‬ ‫مستقيم‬
]٣[‫متقاطعان‬ ‫مستقيمان‬
‫المستوى‬ ‫تعيين‬ ‫حاالت‬
‫أشترك‬ ‫إذا‬
‫فى‬ ‫مستويان‬
‫نقط‬ ‫ثالث‬
‫على‬ ‫ليست‬
‫إستقامة‬
‫فإنھما‬ ‫واحدة‬
‫ينطبقان‬
‫نتيجة‬
‫نتيجة‬
‫كانت‬ ‫إذا‬
‫فإن‬ ‫قائمة‬
‫المستقيمان‬
‫المتخابفان‬
‫متعامدين‬

2. *‫مستطيل‬ ‫سطح‬ ‫قاعدتيه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قائم‬ ‫منشور‬ ‫ھو‬
*‫سطح‬ ‫كل‬ ‫أوجه‬ ‫سته‬ ‫له‬ ‫المستطيالت‬ ‫متوازى‬
‫مستطيل‬*‫قد‬
‫سطح‬ ‫منھما‬ ‫وجھين‬ ‫السطوح‬ ‫لمتوازى‬ ‫يكون‬‫و‬ ‫مربع‬
‫مستطيالت‬ ‫سطوح‬ ‫األوجه‬ ‫باقى‬
*‫أقطاره‬ ‫عدد‬=٤‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫جميعا‬ ‫تتقاطع‬ ‫و‬ ،ً*
‫ھى‬ ‫أبعاده‬:‫من‬ ‫رأس‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫أحرف‬ ‫ثالثة‬ ‫كل‬ ‫أطوال‬ ‫ھى‬
‫رؤوسه‬‫ھى‬ ‫أبعاده‬ ‫أن‬ ‫فرضنا‬ ‫إذا‬‫طول‬ ‫وحدة‬ ‫ع‬ ، ‫ص‬ ،
‫فإن‬:
**‫الجانبية‬ ‫مساحته‬=)+‫ص‬(×‫ع‬‫وح‬‫مربعة‬ ‫دة‬
**‫الكلية‬ ‫مساحته‬=)‫ص‬+‫ع‬ ‫ص‬+‫ع‬(‫مربعة‬ ‫وحدة‬
**‫حجمه‬=‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ‫ع‬ ‫ص‬
**‫قطره‬ ‫طول‬=]@::+:‫ص‬:@::+:‫ع‬:@:::
‫أضالع‬ ‫متوازى‬ ‫سطح‬ ‫قاعدتيه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫منشور‬ ‫ھو‬
*‫قاعدتيه‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫الجانبية‬ ‫أحرفه‬
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫مستطيالت‬ ‫سطوح‬ ‫الجانبية‬ ‫أوجھه‬ ‫أن‬ ‫أى‬
‫قائم‬،‫سطوح‬ ‫الجانبية‬ ‫األوجه‬ ‫فإن‬ ‫مائال‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ً
‫أضالع‬ ‫متوازيات‬
*‫قطر‬‫ه‬:‫رأسين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫ھو‬
‫واحد‬ ‫وجه‬ ‫فى‬ ‫ليسا‬،‫أقط‬ ‫عدد‬‫اره‬=٤
‫السطوح‬ ‫متوازى‬
‫الخاصة‬ ‫حاالته‬
*‫متوازيتين‬ ‫و‬ ‫متطابقتين‬ ‫المنشور‬ ‫قاعدتا‬
*‫الطول‬ ‫فى‬ ‫متساوية‬ ‫و‬ ‫متوازية‬ ‫الجانبية‬ ‫األحرف‬
*‫مائل‬ ‫المنشور‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫اضالع‬ ‫متوازيات‬ ‫سطوح‬ ‫ھى‬ ‫الجانبية‬ ‫األوجه‬
‫إذا‬ ‫مستطيالت‬ ‫سطوح‬ ،‫قائم‬ ‫المنشور‬ ‫كان‬
*‫قاعدتيه‬ ‫بين‬ ‫العمودى‬ ‫البعد‬ ‫طول‬ ‫ھو‬ ‫المنشور‬ ‫إرتفاع‬
*‫الجانبى‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫يساوى‬ ‫القائم‬ ‫المنشور‬ ‫إرتفاع‬
*‫أضال‬ ‫عدد‬ ‫حسب‬ ‫المنشور‬ ‫يسمى‬‫قاعدته‬ ‫ع‬"، ‫رباعى‬ ، ‫ثالثى‬٠٠٠
*‫للمنشور‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬=‫القاعدة‬ ‫محيط‬×‫اإلرتفاع‬
*‫للمنشور‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬=‫الجانبية‬ ‫المساحة‬+×‫القاعدة‬ ‫مساحة‬
*‫المنشور‬ ‫حجم‬=‫القاعدة‬ ‫مساحة‬×‫اإلرتفاع‬
‫المجسمات‬ ‫بعض‬
‫المنشور‬
‫الجس‬ ‫ھو‬‫ــ‬‫إنتقال‬ ‫من‬ ‫المتولد‬ ‫م‬
‫موازي‬ ‫مضلع‬ ‫سطح‬‫ـ‬‫لنفس‬ ‫ا‬ً‫ـــ‬‫ه‬
‫فى‬‫سطح‬ ‫يسمى‬ ‫و‬ ‫ثابت‬ ‫إتجاه‬
‫ضع‬ ‫و‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫المضلع‬‫ـــــ‬‫ه‬
‫المنشور‬ ‫قاعدة‬ ‫األخير‬ ‫و‬ ‫األول‬
‫خواصه‬
‫المستطيالت‬ ‫متوازى‬
‫الثالثة‬ ‫أبعاده‬ ‫تساوت‬ ‫مستطيالت‬ ‫متوازى‬ ‫ھو‬
*‫أحرفه‬ ‫عدد‬
*‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫فرضنا‬ ‫إذا‬
=‫فإن‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬ ‫ل‬:
*‫وجه‬ ‫أى‬ ‫قطر‬ ‫طول‬=‫ل‬]/‫طول‬ ‫وحدة‬
*‫قطره‬ ‫طول‬=‫ل‬]/‫طول‬ ‫وحدة‬
*‫وجه‬ ‫كل‬ ‫مساحة‬=‫ل‬‫مربعة‬ ‫وحدة‬
*‫الجانبية‬ ‫مساحته‬=٤‫ل‬‫مربعة‬ ‫وحدة‬
*‫الكلية‬ ‫مساحته‬=٦‫ل‬‫مربعة‬ ‫وحدة‬
*‫حجم‬‫ه‬=‫ل‬
٣
‫مكعبة‬ ‫وحدة‬
‫المكعب‬

3. ‫الشنتورى‬ ‫أحمد‬‫رياضيات‬ ‫موجه‬‫أمبو‬ ‫كوم‬ ‫إدارة‬‫التعليمي‬‫ة‬
‫اإلميل‬:a_shantory٢٠٠٧@yahoo.com‫للرياضيات‬ ‫الشنتورى‬ ‫منتدى‬http://shantory.yoo٧.com/forum.htm
*‫الھرم‬ ‫قاعدته‬ ‫مضلع‬ ‫أضالع‬ ‫عدد‬ ‫حسب‬ ‫يسمى‬
*‫الواصلة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطع‬ ‫ھى‬ ‫الجانبية‬ ‫أحرفه‬
‫رؤوس‬ ‫و‬ ‫رأسه‬ ‫بين‬‫قاعدته‬
*‫التى‬ ‫المثلثات‬ ‫سطوح‬ ‫ھى‬ ‫الجانبية‬ ‫أوجھه‬
‫أضالع‬ ‫ھى‬ ‫قواعدھا‬ ‫و‬ ‫الھرم‬ ‫رأس‬ ‫ھى‬ ‫رأسھا‬
‫جانبية‬ ‫أحرف‬ ‫اآلخران‬ ‫ضالعھا‬ ‫و‬ ‫الھرم‬ ‫قاعدة‬
‫للھرم‬
*‫على‬ ‫رأسه‬ ‫من‬ ‫الساقط‬ ‫العمود‬ ‫ھو‬ ‫الھرم‬ ‫إرتفاع‬
‫قاعدته‬ ‫مستوى‬
‫الھرم‬
‫تابع‬:‫المجسمات‬ ‫بعض‬
‫المستقيمة‬ ‫القطع‬ ‫جميع‬ ‫إتحاد‬ ‫ھو‬
‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الواصلة‬)‫رأس‬ ‫تسمى‬
‫الھ‬‫رم‬" (‫المستوى‬ ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ ‫ال‬
‫مضلع‬ ‫سطح‬ ‫يحوى‬ ‫الذى‬)‫يسمى‬
‫الھرم‬ ‫قاعدة‬" (‫تنتمى‬ ‫نقطة‬ ‫إلى‬
‫الھرم‬ ‫لقاعدة‬
‫خواصه‬
‫أوجھه‬ ‫ھرم‬ ‫ھو‬ ‫أو‬ ‫الستة‬ ‫أحرفه‬ ‫تساوت‬ ‫ثالثى‬ ‫ھرم‬ ‫ھو‬
‫أضالع‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫سطوح‬ ‫األربعة‬
*‫نقطة‬ ‫و‬ ‫رأسه‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫القطعة‬ ‫ھو‬ ‫إرتفاعه‬
‫قاعدته‬ ‫متوسطات‬ ‫تالقى‬
*‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫الشكل‬ ‫من‬=‫نالحظ‬ ‫ل‬:
**‫ء‬ ‫حـ‬=‫ل‬
**‫حـ‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬=‫ل‬
‫ء‬ ،‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬=‫ل‬
**‫إرتفاعه‬"‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬"=‫ل‬
]/
]/
]/
]/
‫المنتظم‬ ‫الثالثى‬ ‫الھرم‬
‫ھو‬:‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫موقع‬ ‫مركزه‬ ‫منتظم‬ ‫مضلع‬ ‫قاعدته‬ ‫ھرم‬
‫عليه‬ ‫الھرم‬ ‫رأس‬ ‫من‬
*‫منتظم‬ ‫مضلع‬ ‫الھرم‬ ‫قاعدة‬"، ‫األضالع‬ ‫متساوى‬ ‫مثلث‬
، ‫مربع‬٠٠٠٠
*‫إرت‬‫مركزھا‬ ‫عند‬ ‫القاعدة‬ ‫يالقى‬ ‫الھرم‬ ‫فاع‬
*‫الطول‬ ‫فى‬ ‫متساوية‬ ‫له‬ ‫الجانبية‬ ‫األحرف‬ ‫جميع‬
*‫الساقين‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫سطوح‬ ‫له‬ ‫الجانبية‬ ‫األوجه‬ ‫جميع‬
‫متطابقة‬ ‫و‬
*‫الجانبية‬ ‫إرتفاعاته‬"‫الجانبية‬ ‫األوجه‬ ‫إرتفاعات‬"
‫الطول‬ ‫فى‬ ‫متساوية‬
*‫القائم‬ ‫الثالثى‬ ‫الھرم‬‫األضالع‬ ‫متساوى‬ ‫مثلث‬ ‫قاعدته‬
*‫مربع‬ ‫سطح‬ ‫قاعدته‬ ‫القائم‬ ‫الرباعى‬ ‫الھرم‬
‫نقطة‬ ‫أى‬ ‫المربع‬ ‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫إرتفاعه‬ ‫و‬
‫المربع‬ ‫قطرى‬ ‫تقاطع‬
‫القائم‬ ‫الھرم‬
‫الخاصة‬ ‫حاالته‬

4. ‫متوازية‬ ‫مستويات‬ ‫عدة‬ ‫قطعت‬ ‫إذا‬
‫المستقيمة‬ ‫القطع‬ ‫أطوال‬ ‫فإن‬ ‫بمستقيمين‬
‫متناسبة‬ ‫تكون‬ ‫بينھا‬ ‫المحصورة‬
‫مشھور‬ ‫تمرين‬
‫جميع‬ ‫يوازى‬ ‫فإنه‬ ‫مستويا‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬ً
‫المستوى‬ ‫ھذا‬ ‫تقاطع‬ ‫عن‬ ‫تنشأ‬ ‫التى‬ ‫المستقيمات‬
‫المستويات‬ ‫مع‬‫التى‬‫تحتوى‬‫المستقيم‬ ‫ذلك‬
‫نظرية‬
‫حقائق‬ ‫و‬ ‫نتائج‬
‫بأي‬ ‫المار‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويا‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬ً
‫ھذا‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬‫للمستقيم‬ ‫وموازيا‬ ‫المستوى‬
‫المستوى‬ ‫ھذا‬ ‫في‬ ‫بتمامه‬ ‫يقع‬ ‫المعلوم‬
‫مستوى‬ ‫منھما‬ ‫بكل‬ ‫ومر‬ ‫مستقيمين‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬
‫موازي‬ ‫تقاطعھما‬ ‫خط‬ ‫كان‬ ‫المستويان‬ ‫وتقاطع‬
‫المستقيمين‬ ‫لھذين‬
‫مستوين‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬ً
‫تقاطعھما‬ ‫خط‬ ‫يوازي‬ ‫فإنه‬ ‫متقاطعين‬
‫مستقيما‬ ‫مستو‬ ‫خارج‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬ً
‫المست‬ ‫فى‬‫المستوى‬ ‫ذلك‬ ‫يوازى‬ ‫فإنه‬ ‫وى‬
‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫مستو‬ ‫قطع‬ ‫إذا‬
‫متوازيين‬ ‫يكونان‬ ‫معھما‬ ‫تقاطعه‬ ‫فخطا‬
‫أ‬ ‫مستقيم‬ ‫قطع‬ ‫إذا‬‫اآلخر‬ ‫يقطع‬ ‫فإنه‬ ‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫حد‬
‫موازيين‬ ‫وكان‬ ‫مستو‬ ‫في‬ ‫مستقيمان‬ ‫تقاطع‬ ‫إذا‬
‫م‬ ‫كان‬ ‫آخر‬ ‫مستو‬ ‫في‬ ‫متقاطعين‬ ‫لمستقيمين‬‫ستو‬
‫ا‬‫لمستوى‬ ‫موازيا‬ ‫األولين‬ ‫لمستقيمين‬
‫اآلخرين‬ ‫المستقيمين‬
‫نظرية‬
‫مستو‬ ‫و‬ ‫مستقيم‬ ‫توازى‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودى‬ ‫المستقيم‬ ‫تابع‬:‫المستويات‬ ‫و‬ ‫المستقيمات‬
‫أن‬ ‫لمستقيم‬ ‫يقال‬‫إذا‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودى‬ ‫ه‬
‫مستقيم‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫المستقيم‬ ‫ھذا‬ ‫كان‬ً
‫يمكن‬ ‫و‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬‫المستوى‬ ‫بأن‬ ‫القول‬
‫عمودى‬‫على‬‫ھذا‬‫المستقيم‬
‫نظرية‬
‫من‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫العمودى‬ ‫المستقيم‬
‫مستويھما‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعھما‬ ‫نقطة‬ً
‫مالحظات‬ ‫و‬ ‫نتائج‬
‫مستويين‬ ‫مستقيمين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫العمودى‬ ‫المستقيم‬
‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫غير‬ ‫و‬ ‫معا‬ً ً‫ھما‬
‫مستويھما‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫غير‬ ‫و‬ً
‫على‬ ‫عمودى‬ ‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫فى‬ ‫جميعھا‬ ‫تقع‬ ‫المستقيم‬
‫المعلوم‬ ‫المستقيم‬
‫على‬ ‫عمودى‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫و‬ ‫واحد‬ ‫مستوى‬ ‫يوجد‬
‫المست‬‫قيم‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫النقطة‬ ‫من‬‫ا‬‫للمستقيم‬ ‫تنتمى‬ ‫التى‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫المستوى‬ ‫أن‬ ‫بمعنى‬‫وحيد‬
‫ھو‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫محور‬:‫منتصفھا‬ ‫من‬ ‫عليھا‬ ‫العمودى‬ ‫المستقيم‬
‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬ً
‫يم‬ ‫و‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬‫معلومة‬ ‫بنقطة‬ ‫ر‬‫المستقيم‬ ‫لھذا‬ ‫تنتمى‬ ‫ال‬
‫مستويين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫مستقيم‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ً
‫أنه‬ ‫كما‬ ‫متوازيين‬ ‫يكونان‬ ‫فإنھما‬:‫كان‬ ‫ذا‬
‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫مستقيم‬ً
‫المستوى‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫فإنه‬ً
‫مستقيمة‬ ‫قطعة‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫مستوى‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ً
‫للمستوى‬ ‫تنتمى‬ ‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫فإن‬ ‫بمنتصفھا‬ ‫مارا‬ً
‫ال‬ ‫منتصف‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫تعين‬‫المستقيمة‬ ‫قطعة‬
‫محورھا‬ ‫مستوى‬ ‫المستوى‬ ‫يسمى‬ ‫و‬ ‫لھا‬ ‫محورا‬ً
‫ھو‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫محور‬:‫المستقيم‬
‫منتصفھا‬ ‫من‬ ‫عليھا‬ ‫العمودى‬

5. ‫كان‬ ‫و‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬
‫فإن‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ً
‫المستوى‬ ‫على‬ ‫المائل‬ ‫المستقيم‬ ‫مسقط‬
‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ً‫المستقيم‬ ‫ھذا‬
‫نظرية‬
‫العمودى‬ ‫اإلسقاط‬
‫ھو‬ ‫معلوم‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫معلومة‬ ‫لنقطة‬ ‫العمودى‬ ‫المسقط‬
‫العمودية‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫موقع‬ ‫ھى‬ ‫التى‬ ‫النقطة‬
‫المستوى‬ ‫على‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬
‫كان‬ ‫و‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬
‫على‬ ‫عموديا‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ‫مسقطه‬ً
‫المائل‬ ‫المستقيم‬ ‫ھذا‬ ‫كان‬ ‫فيه‬ ‫مستقيم‬
‫المستقيم‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ً
‫النظرية‬ ‫عكس‬
‫الزوجية‬ ‫الزوايا‬
‫تعاريف‬
*‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬:‫نصفى‬ ‫إتحاد‬ ‫ھى‬
‫المشترك‬ ‫حدھما‬ ‫مع‬ ‫مستويين‬
*‫تقاطع‬ ‫عن‬ ‫الناتجة‬ ‫الزوجية‬ ‫الزوايا‬
‫مستويين‬:‫نتج‬ ‫مستويان‬ ‫تقاطع‬ ‫إذا‬
‫زوجية‬ ‫زوايا‬ ‫أربع‬ ‫تقاطعھما‬ ‫عن‬
‫و‬ ، ‫متجاورة‬ ‫زوجية‬ ‫زوايا‬ ‫منھا‬
‫م‬ ‫زوجية‬ ‫زوايا‬‫بالحرف‬ ‫تقابلة‬
*‫زوجية‬ ‫لزاوية‬ ‫المستوية‬ ‫الزوايا‬:
‫ھذه‬ ‫تقاطع‬ ‫عن‬ ‫تنشأ‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫ھى‬
‫عمودى‬ ‫بمستو‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫حرفھا‬ ‫على‬
*‫حقيقة‬:‫الزوج‬ ‫الزوايا‬ ‫جميع‬‫ية‬
‫ف‬ ‫متساوية‬ ‫تكون‬ ‫زوجية‬ ‫لزاوية‬‫ى‬
‫القياس‬
‫المتعام‬ ‫المستويات‬‫دة‬
‫لمستويين‬ ‫يقال‬
‫متقاطعين‬‫أنھما‬
‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫متعامدان‬
‫الزوايا‬ ‫إحدى‬
‫ال‬ ‫الزوجية‬‫ناشئة‬
‫قائمة‬ ‫تقاطعھما‬ ‫عن‬
‫تعريف‬
‫مستقيم‬ ‫أحدھما‬ ‫فى‬ ‫رسم‬ ‫و‬ ‫مستويان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬
‫التقاطع‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫عمودى‬‫عموديا‬ ‫المستقيم‬ ‫ھذا‬ ‫كان‬ً
‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬
‫على‬ ‫عموديا‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستويين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ً
‫ثالث‬ ‫مستو‬‫عموديا‬ ‫المستويين‬ ‫ھذين‬ ‫تقاطع‬ ‫خط‬ ‫كان‬ُ
‫الثالث‬ ‫المستوى‬ ‫على‬
‫نظرية‬
‫حقيقة‬
‫مستقي‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫م‬
‫مستو‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ً
‫بھذا‬ ‫يمر‬ ‫مستو‬ ‫فكل‬
‫يكون‬ ‫المستقيم‬
‫ذلك‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ً
‫المستوى‬
‫نظرية‬
‫مستقيم‬ ‫ھو‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مستقيم‬ ‫مسقط‬
*‫المستقيم‬ ‫مسقط‬ ‫فيه‬ ‫يقع‬ ‫الذى‬ ‫المستوى‬
‫المسقط‬ ‫مستوى‬ ‫يسمى‬
*‫و‬ ‫المستقيم‬ ‫من‬ ‫يتكون‬ ‫الذى‬ ‫المستوى‬
‫اإلسقاط‬ ‫مستوى‬ ‫يسمى‬ ‫مسقطه‬
‫مستقيمة‬ ‫قطعة‬ ‫ھو‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مستقيمة‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬
‫الزاوية‬ ‫ھى‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مستقيم‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬
‫المستوى‬ ‫على‬ ‫مسقطه‬ ‫و‬ ‫المستقيم‬ ‫ھذا‬ ‫بين‬
*‫يساوى‬ ‫أو‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مستقيمة‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬ ‫طول‬
‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫ھذه‬ ‫طول‬
*‫طولھا‬ ‫فإن‬ ‫المستوى‬ ‫توازى‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬=
‫المستوى‬ ‫على‬ ‫مسقطھا‬ ‫طول‬
*‫فإن‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫م‬‫س‬‫طولھا‬ ‫و‬ ، ‫نقطة‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ‫قطھا‬=‫صفر‬
‫مستو‬ ‫على‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫مسقط‬ ‫طول‬=
‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫طول‬×‫زاوية‬ ‫تمام‬ ‫جيب‬
‫المست‬ ‫ميل‬‫المستوى‬ ‫على‬ ‫لھا‬ ‫الحامل‬ ‫قيم‬
‫ھى‬ ‫مستو‬ ‫و‬ ‫مستقيمة‬ ‫قطعة‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬
‫ومسقطھا‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬
‫المستقيم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫ھى‬ ‫أو‬ ‫المستوى‬ ‫على‬
‫المستوى‬ ‫و‬ ‫المستقيمة‬ ‫للقطعة‬ ‫الحامل‬

6. ‫ا‬‫ب‬
‫نظريات‬ ‫براھين‬
‫نظرية‬
‫يمر‬ ‫مستو‬ ‫فكل‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫مستقيم‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ً
‫المستوى‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫المستقيم‬ ‫بھذا‬ً
‫المعطيات‬:MMMM‫المس‬‫توى‬‫حـ‬ ‫فى‬ ‫يقطعه‬ ‫و‬
،‫يمر‬ ‫مستوى‬
‫و‬ ‫بالمستقيم‬
‫يقطع‬‫المستوى‬
‫فى‬
‫المطلوب‬:‫أن‬ ‫إثبات‬:MMMM
‫العمل‬:‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫نرسم‬MMMM
‫البرھان‬:AAAAMMMM‫المستوى‬
BBBBMMMM
‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫يقع‬ ‫الذى‬
BBBB‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬)‫ھـ‬ ‫حـ‬ ‫ء‬= (٩٠ْ
AAAAMMMM‫فى‬ ‫يقع‬ ‫و‬
‫المستوى‬،MMMM
‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫يقع‬ ‫و‬
BBBB‫مستوية‬ ‫زاوية‬ ‫ھى‬ ‫ھـ‬ ‫حـ‬ ‫ء‬
‫الزوايا‬ ‫إلحدى‬‫عن‬ ‫الناتجة‬ ‫الزوجية‬
‫تقاطع‬،
AAAA‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬)‫ھـ‬ ‫حـ‬ ‫ء‬= (٩٠ْ
BBBBMMMM
‫ء‬ ‫حـ‬
‫حـ‬‫ھـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫حـ‬‫ھـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ا‬‫ب‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫حـ‬‫ھـ‬
‫ا‬‫ب‬
‫ا‬‫ب‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫النظرية‬ ‫عكس‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫مسقطه‬ ‫كان‬ ‫و‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬
‫ھذا‬ ‫كان‬ ‫فيه‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ً
‫المستقيم‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫المائل‬ ‫المستقيم‬ً
‫المعطيات‬:‫المستوى‬ ‫على‬ ‫مائل‬
،MMMM‫المستوى‬
،MMMM
‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫الواقع‬
‫المطلوب‬:‫أن‬ ‫إثبات‬:
MMMM
‫البرھان‬:AAAAMMMM‫المستوى‬
BBBBMMMM‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫الواقع‬
،AAAAMMMM
BBBBMMMM‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫عمودى‬
،
BBBBMMMM‫مستويھما‬
"‫أى‬:‫المستوى‬‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ب‬"
BBBBMMMM‫فى‬ ‫يقع‬ ‫مستقيم‬ ‫أى‬
‫المستوى‬‫ا‬‫ا‬‫ا‬‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ب‬BBBBMMMM
‫ح‬‫ء‬ ‫ـ‬
‫ا‬‫ب‬
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ب‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ب‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ب‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬ ‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ا‬‫ب‬
‫نظرية‬
‫عموديا‬ ‫كان‬ ‫و‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ً
‫المستقيم‬ ‫مسقط‬ ‫فإن‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬
‫ھذا‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ‫المائل‬ً
‫المستقيم‬
‫المعطيات‬:‫المستوى‬ ‫على‬ ‫مائل‬
،MMMM‫الواقع‬‫المستوى‬
،MMMM‫المستوى‬
‫المطلوب‬:‫أن‬ ‫إثبات‬:
MMMM
‫البرھان‬:AAAAMMMM‫المستوى‬
BBBBMMMM‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫الواقع‬
،AAAAMMMM
BBBBMMMM‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫عمودى‬
،
BBBBMMMM‫مستويھما‬
"‫أى‬:‫المستوى‬‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ب‬"
BBBBMMMM‫فى‬ ‫يقع‬ ‫مستقيم‬ ‫أى‬
‫المستوى‬‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ب‬BBBBMMMM
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ا‬‫ب‬
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ء‬ ‫حـ‬ ‫ب‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ب‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫ا‬‫ب‬
‫ا‬‫ب‬
‫ء‬ ‫حـ‬
‫نظرية‬
‫البرھان‬:AAAA//BBBB=ZZZZAAAAeeee
BBBB=ZZZZAAAA،‫ھو‬ ‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫في‬ ‫يقعان‬
BBBB//
‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
‫فإنه‬ ‫مستويا‬ً
‫جميع‬ ‫يوازى‬
‫التى‬ ‫المستقيمات‬
‫تقاطع‬ ‫عن‬ ‫تنشأ‬
‫مع‬ ‫المستوى‬ ‫ھذا‬
‫المستويات‬‫التى‬
‫تحتوى‬‫ذلك‬
‫المستقيم‬
‫المعطيات‬:
‫يوازي‬
‫المستوى‬
‫مستو‬ ‫أي‬
‫يحتوى‬
=
‫حـ‬‫د‬
‫المطلوب‬:‫إثبات‬
‫أن‬://
‫حـ‬‫ء‬ ‫ا‬‫ب‬
‫ا‬‫ب‬
‫ا‬‫ب‬
‫ا‬‫ب‬‫حـ‬‫ء‬
‫ا‬‫ب‬‫ا‬‫ب‬‫حـ‬‫ء‬
‫حـ‬‫ء‬ ‫ا‬‫ب‬‫حـ‬‫ء‬ ‫ا‬‫ب‬