تتناول الوثيقة موضوع الدوال والنهايات، حيث تشرح كيفية حساب النهايات باستخدام طرق مختلفة مثل التعويض والتحليل. كما توضح الشروط اللازمة لتوصيل الدالة عند نقطة معينة، وتذكر أنواع الدوال المتصلة. يتضمن المحتوى استخدام قواعد رياضية لتحديد وجود النهايات وخصائصها.

1. @@@@@@@@
@@@@ @@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@
‫النھايات‬
‫الدوال‬ ‫بعض‬ ‫نھاية‬
‫إليجـاد‬‫د‬)(
‫نوجد‬‫د‬)‫ا‬(‫بالتعويض‬
‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المباشر‬:
‫نھـــــــــا‬
←‫ا‬
‫حقيقى‬ ‫عدد‬=‫ل‬
]‫معينة‬ ‫كمية‬[
‫الدالة‬ ‫نھاية‬=‫ل‬
‫حقيقى‬ ‫عدد‬≠‫صفر‬
‫صفر‬
]‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫كمية‬[
‫أو‬ ‫نھاية‬ ‫ليس‬ ‫الدالة‬
‫موجودة‬ ‫غير‬ ‫النھاية‬
‫صفر‬
‫صفر‬
"‫معينة‬ ‫غير‬ ‫كمية‬"
‫نوجد‬ ‫نھاية‬ ‫لھا‬ ‫الدالة‬
‫الطرق‬ ‫بإحدى‬ ‫قيمتھا‬
‫قسمة‬‫البسط‬
‫أو‬‫أو‬ ‫المقام‬
‫كليھما‬‫على‬
‫العامل‬
‫الص‬‫ف‬‫ري‬
)–‫ا‬(
‫ا‬‫المطولة‬ ‫لقسمة‬
=‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬––––‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫لكل‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬،‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬gggg–}٠{

‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
–‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬

‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
–‫ا‬
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫نھـــــــــا‬
←‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫ا‬‫لنتيجة‬
=‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
‫لكل‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬gggg–}٠{

‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
–‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
–‫ا‬
‫نھـــــــــا‬
←‫ا‬
‫ا‬‫لنظرية‬
‫البسط‬ ‫تحليل‬
‫أو‬‫أو‬ ‫المقام‬
‫كليھما‬
‫لحذف‬
‫العامل‬
‫الص‬‫ف‬‫ري‬
)–‫ا‬(
‫التحليل‬
‫على‬ ‫الدالة‬ ‫أحتوت‬ ‫إذا‬
‫تربيعيية‬ ‫جذور‬
‫ضرب‬‫أو‬ ‫البسط‬
‫كليھما‬ ‫أو‬ ‫المقام‬×
‫مرافق‬‫أو‬ ‫البسط‬
‫ال‬‫كليھما‬ ‫أو‬ ‫مقام‬
‫لحذف‬‫العامل‬
‫الص‬‫ف‬‫ري‬)–‫ا‬(
‫ا‬‫لضرب‬×‫المرافق‬
←٠
=١
=١
=
=
‫حا‬
 ‫نھـــــــــا‬
←٠
‫طا‬

‫نھـــــــــا‬
←٠
‫نھـــــــــا‬‫حا‬‫ا‬
‫ب‬
‫ا‬
‫ب‬
‫طا‬‫ا‬
‫ب‬ ‫نھـــــــــا‬
←٠
‫ا‬
‫ب‬
‫المثلثية‬ ‫الدوال‬ ‫نھاية‬
‫ونتائجھا‬ ‫التالية‬ ‫النظرية‬ ‫نستخدم‬
‫حيث‬‫الدائرى‬ ‫بالتقدير‬ ‫مقاسة‬
‫قاعدة‬ ‫من‬ ‫بأكثر‬ ‫المعرفة‬ ‫الدالة‬ ‫نھاية‬
‫نظرية‬
‫ا‬‫د‬ ‫لدالة‬)(‫للنھاية‬ ‫تؤول‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫عندما‬←←←←‫ا‬‫فقط‬ ‫و‬ ‫إذا‬
‫اليسر‬ ‫و‬ ‫اليمنى‬ ‫نھايتھا‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬‫عند‬ ‫ى‬‫ا‬‫منھما‬ ‫كل‬ ‫و‬ ‫موجودتين‬
‫تساوى‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫أن‬ ‫أى‬:
‫د‬)= (‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫كان‬ ‫إذا‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫إذا‬:
‫د‬)‫ا‬
+
= (‫د‬)‫ا‬
–
= (‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬
‫نھــــــــــا‬
←←←←‫ا‬
‫مالحظات‬
*‫و‬ ‫يمين‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫الدالة‬ ‫قاعدة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫يسار‬‫ا‬‫نھاي‬ ‫بحث‬ ‫فيمكن‬ ‫مباشرة‬‫الدال‬ ‫ة‬‫ة‬
‫اليسرى‬ ‫و‬ ‫اليمنى‬ ‫النھاية‬ ‫بحث‬ ‫دون‬
*‫كان‬ ‫إذا‬:‫د‬)‫ا‬
+
(≠‫د‬)‫ا‬
–
(‫فإن‬:
‫د‬)(‫موجودة‬ ‫ليست‬
*‫على‬ ‫معرفة‬ ‫د‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬]‫ا‬‫ب‬ ،[‫أو‬
[‫ا‬‫ب‬ ،]‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫نھاية‬ ‫فلبحث‬‫ا‬‫نبحث‬
‫النھاية‬‫ھى‬ ‫تكون‬ ‫وجدت‬ ‫إن‬ ‫و‬ ‫فقط‬ ‫اليمنى‬
‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫نھاية‬‫ا‬،‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫نھاية‬ ‫لبحث‬ ‫و‬
‫إ‬ ‫و‬ ‫فقط‬ ‫اليسرى‬ ‫النھاية‬ ‫نبحث‬ ‫ب‬‫ن‬‫وجدت‬
‫ب‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫نھاية‬ ‫ھى‬ ‫تكون‬
‫نھـــــــ‬‫ـــا‬
←‫ا‬

2. ‫مالحظ‬‫ات‬
*‫الشروط‬ ‫من‬ ‫واحد‬ ‫شرط‬ ‫تحقق‬ ‫عدم‬ ‫يكفى‬
‫الثالثة‬‫لسابقة‬‫عند‬ ‫د‬ ‫الدالة‬ ‫إتصال‬ ‫لعدم‬
‫النقطة‬=‫ا‬
*‫د‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬)(‫عند‬ ‫معرفة‬=‫ا‬
،‫د‬)(‫و‬ ، ‫وجود‬ ‫لھا‬‫كانت‬
‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬ ‫الدالة‬=‫ا‬‫إلختالف‬
‫د‬)‫ا‬(‫عن‬‫د‬)(‫فيمكن‬
‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫الدالة‬ ‫جعل‬=‫ا‬‫بإعادة‬
‫د‬ ‫بجعل‬ ‫تعريفھا‬)‫ا‬= (‫د‬)(
‫نھـــــ‬‫ـــا‬
←‫ا‬
‫نھـــــ‬‫ـــا‬
←‫ا‬
‫نھـــــ‬‫ـــا‬
←‫ا‬
‫اإلتصال‬
‫فترة‬ ‫على‬ ‫دالة‬ ‫إتصال‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫دالة‬ ‫إتصال‬
‫تعريف‬
‫د‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬‫و‬ ‫ما‬ ‫فترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬
‫كان‬‫ت‬‫ا‬‫فإن‬ ‫الفترة‬ ‫لھذه‬ ‫تنتمى‬:‫تكون‬ ‫د‬
‫عند‬ ‫متصلة‬‫ا‬‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫إذا‬:
‫د‬)= (‫د‬)‫ا‬( ‫نھـــــــــا‬
←‫ا‬
‫شروط‬
‫إتصال‬
‫دالة‬
‫عند‬
‫نقطة‬
‫د‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬‫متصل‬‫عند‬ ‫ة‬=‫ا‬‫إذا‬
‫مجتمعة‬ ‫اآلتية‬ ‫الثالثة‬ ‫الشروط‬ ‫تحققت‬:
١–‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬=‫ا‬
‫أن‬ ‫أى‬:‫د‬)‫ا‬(‫وجود‬ ‫لھا‬
–‫د‬)(‫وجود‬ ‫لھا‬
٣–‫د‬)= (‫د‬)‫ا‬(
‫نھـــــ‬‫ـــا‬
←‫ا‬
‫نھـــــ‬‫ـــا‬
←‫ا‬
‫مالحظة‬
‫ف‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬ ‫د‬ ‫الدالة‬[ =‫ا‬‫ب‬ ،]‫األقل‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫وجدت‬ ‫إذا‬
‫حـ‬ ‫مثل‬gggg‫عندھا‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬ ‫د‬ ‫تكون‬ ‫بحيث‬ ‫ف‬‫إ‬ ‫أى‬‫أحد‬ ‫يتحقق‬ ‫لم‬ ‫ذا‬‫الشروط‬:
‫ا‬–‫حـ‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫د‬ ‫الدالة‬
‫ب‬–‫حـ‬ ‫عند‬ ‫د‬ ‫للدالة‬ ‫نھاية‬ ‫وجود‬ ‫عدم‬
‫حـ‬–‫د‬ ‫عن‬ ‫حـ‬ ‫عند‬ ‫د‬ ‫الدالة‬ ‫نھاية‬ ‫إختالف‬)‫حـ‬(
‫تعريف‬
)١(‫ف‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫د‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬[ =‫ا‬‫ب‬ ،]‫فإن‬:‫تكون‬ ‫د‬ ‫الدالة‬
‫الفترة‬ ‫لھذه‬ ‫تنتمى‬ ‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ف‬ ‫على‬ ‫متصلة‬
)(‫ف‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫د‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬] =‫ا‬‫ب‬ ،[
‫فإن‬:‫تحققت‬ ‫إذا‬ ‫ف‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫تكون‬ ‫د‬ ‫الدالة‬‫اآلتية‬ ‫الشروط‬:
‫ا‬–‫ف‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫د‬ ‫الدالة‬[ =‫ا‬‫ب‬ ،]
‫ب‬–‫عند‬ ‫اليمين‬ ‫من‬ ‫متصلة‬ ‫د‬ ‫الدالة‬‫ا‬‫أى‬:‫د‬)‫ا‬
+
= (‫د‬)(
‫حـ‬–‫عند‬ ‫اليمين‬ ‫من‬ ‫متصلة‬ ‫د‬ ‫الدالة‬‫ا‬‫أى‬:‫د‬)‫ب‬
–
= (‫د‬)(
‫نھـــــــ‬‫ـــا‬
←‫ا‬
+
‫نھـــ‬‫ـــ‬‫ــــــا‬
←‫ب‬
–
‫بعض‬
‫أنماط‬
‫الدوال‬
‫المتصلة‬
)١(‫الحدو‬ ‫كثيرات‬ ‫دوال‬‫د‬:‫على‬ ‫متصلة‬‫من‬ ‫جزئية‬ ‫فترة‬ ‫أى‬ ‫أو‬
)(‫الجبرية‬ ‫الكسرية‬ ‫الدوال‬:‫على‬ ‫متصلة‬‫من‬ ‫جزئية‬ ‫فترة‬ ‫أى‬ ‫أو‬‫المقام‬ ‫دالة‬ ‫أصفار‬ ‫عند‬ ‫عدا‬ ‫ما‬
)٣(‫المثلثية‬ ‫الدوال‬* :‫الجيب‬ ‫دالة‬:‫على‬ ‫متصلة‬‫فترة‬ ‫أى‬ ‫أو‬‫من‬ ‫جزئية‬
*‫التمام‬ ‫جيب‬ ‫دالة‬:‫على‬ ‫متصلة‬‫من‬ ‫جزئية‬ ‫فترة‬ ‫أى‬ ‫أو‬
*‫الظل‬ ‫دالة‬:‫على‬ ‫متصلة‬‫من‬ ‫جزئية‬ ‫فترة‬ ‫أى‬ ‫أو‬‫النقط‬ ‫عند‬ ‫عدا‬ ‫ما‬
‫حيث‬ ‫ط‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬gggg ‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١
‫نظرية‬
‫د‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬١
‫د‬ ،‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفتين‬ ‫دالتين‬[ =‫ا‬‫ب‬ ،]‫من‬ ‫كال‬ ‫فإن‬ ‫ف‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫متصلتين‬ ‫كانتا‬ ‫و‬ً
‫ف‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫تكون‬ ‫اآلتية‬ ‫الدوال‬:)١(‫د‬١
_‫د‬)(‫د‬١
٠‫د‬)٣(‫د‬ ‫بشرط‬٠
‫د‬
‫د‬١

3. ‫اإلشتقاق‬
‫اإلشتقاق‬ ‫قواعد‬
‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫د‬)(‫تغيرت‬ ‫و‬‫من‬١
‫إلى‬
١
+‫ھـ‬‫فإن‬:‫من‬ ‫تتغير‬ ‫ص‬‫د‬)١
(‫إلى‬
‫د‬)١
+‫ھـ‬(‫فى‬ ‫التغير‬ ‫ويكون‬‫ھو‬:‫ھـ‬
‫ص‬ ‫فى‬ ‫والتغير‬"‫التغير‬ ‫دالة‬"‫ھو‬:
‫ت‬)‫ھـ‬= (‫د‬)١
+‫ھـ‬(–‫د‬)١
(
‫التغير‬ ‫متوسط‬ ‫دالة‬ ‫تسمى‬ ‫دالة‬ ‫و‬‫ھى‬:
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬)‫ھـ‬= (
‫التغير‬ ‫معدل‬ ‫و‬=
‫د‬)١
+‫ھـ‬(–‫د‬)١
(
‫ھـ‬
‫د‬)١
+‫ھـ‬(–‫د‬)١
(
‫ھـ‬
‫نھــــ‬‫ـــــ‬‫ا‬
‫ھـ‬←٠
‫التغير‬
‫عند‬ ‫د‬ ‫للدالة‬ ‫التغير‬ ‫معدل‬١
=
‫د‬ ‫للدالة‬ ‫األولى‬ ‫المشتقة‬‫عند‬١
=
‫الدالة‬ ‫لمنحنى‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬‫عند‬
‫النقطة‬)١
،١
= ((‫طا‬θ
‫حيث‬θ‫مع‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫ھى‬
‫ا‬ ‫لمحور‬ ‫الموجب‬ ‫اإلتجاه‬‫لسينات‬
‫مالحظة‬
‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫د‬)‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬(‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫دالة‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬
،‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬=‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬)(‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫دالة‬‫فإن‬:
=×
○‫نتائج‬:▪‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬] =‫د‬)([
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫فإن‬:
=‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬]‫د‬)([
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
×‫د‬/
)(
▪
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
)‫ص‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ص‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
×‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫نتائج‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
*‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫حا‬)‫ا‬+‫ب‬(
‫فإن‬:=‫ا‬‫حتا‬)‫ا‬+‫ب‬(
*‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫حتا‬)‫ا‬+‫ب‬(
‫فإن‬= :–‫ا‬‫حا‬)‫ا‬+‫ب‬(
*‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫طا‬)‫ا‬+‫ب‬(
‫فإن‬= :‫ا‬‫قا‬)‫ا‬+‫ب‬(
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
*‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫حا‬‫فإن‬= :‫حتا‬
*‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫حتا‬‫فإن‬= :–‫حا‬
*‫ذ‬‫كانت‬ ‫ا‬:‫ص‬=‫طا‬‫فإن‬= :‫قا‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫كانت‬ ‫إذا‬:، ‫د‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫بالنسبة‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلتين‬ ‫دالتين‬
‫للمتغير‬‫فإن‬:
○)‫د‬±‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬= (=‫د‬/
±‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬/
○)‫د‬٠‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬= (=‫د‬٠
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬/
+‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬٠‫د‬/
○= ( )
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬٠‫د‬/
–‫د‬٠‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬/
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫د‬
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫كانت‬ ‫إذا‬:‫د‬)= (‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
‫حيث‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ثابت‬
‫فإن‬:‫د‬/
)= (‫صفر‬
‫كانت‬ ‫إذا‬:‫د‬)= (
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫حيث‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬gggg
‫فإن‬:‫د‬/
)= (‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
○‫نتيجة‬:‫كانت‬ ‫إذا‬:‫د‬)= (‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫فإن‬:‫د‬/
)(=‫ا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
‫مالحظة‬
‫اإلشتقا‬ ‫قواعد‬‫ق‬
‫على‬ ‫فقط‬ ‫تطبق‬
‫القابلة‬ ‫الدوال‬
‫لإلشتقاق‬
‫الدالة‬‫د‬)(‫عند‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫تكون‬
=‫ا‬‫لمجالھا‬ ‫تنتمى‬‫إذا‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫إذا‬
‫اليسرى‬ ‫و‬ ‫اليمنى‬ ‫المشتقتين‬ ‫عندھا‬ ‫تساوت‬
‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫أى‬:‫د‬/
)‫ا‬
+
(=‫د‬/
)‫ا‬
–
(‫حيث‬:
‫د‬/
)‫ا‬
+
(=
‫د‬/
)‫ا‬
–
(=
←‫ا‬
–‫نھـــــــــا‬
‫د‬)‫ا‬+‫ھـ‬(–‫د‬)‫ا‬(
‫ھـ‬
←‫ا‬
+‫نھـــــــــا‬
‫د‬)‫ا‬+‫ھـ‬(–‫د‬)‫ا‬(
‫ھـ‬
‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫دالة‬ ‫إشتقاق‬ ‫قابلية‬
‫ص‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬=‫د‬)(
‫عند‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬=‫ا‬‫فإنھا‬
‫النقطة‬ ‫ھذه‬ ‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫تكون‬
‫نظرية‬
‫على‬ ‫دالة‬ ‫إشتقاق‬ ‫بحث‬
‫ف‬ ‫الفترة‬] =‫ا‬‫ب‬ ،: [
)١(‫قابل‬ ‫نبحث‬‫اإلشتقاق‬ ‫ية‬
‫على‬[‫ا‬‫ب‬ ،]
)(‫وجود‬ ‫نبحث‬‫د‬/
)‫ا‬
+
(
)٣(‫وجود‬ ‫نبحث‬‫د‬/
)‫ب‬
–
(
‫فترة‬ ‫على‬ ‫دالة‬ ‫إشتقاق‬

4. ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫دالة‬ ‫إشتقاق‬ ‫و‬ ‫إتصال‬ ‫و‬ ‫نھاية‬ ‫بحث‬
‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬=‫ا‬
‫د‬)‫ا‬
+
= (‫د‬)‫ا‬
–
(‫د‬)‫ا‬
+
(≠‫د‬)‫ا‬
–
(
‫عند‬ ‫نھاية‬ ‫لھا‬=‫ا‬ ‫عند‬ ‫نھاية‬ ‫لھا‬ ‫ليس‬=‫ا‬
‫عند‬ ‫مشتقة‬ ‫لھا‬ ‫ليس‬=‫ا‬
≠‫ا‬
‫غير‬‫عند‬ ‫معرفة‬=‫ا‬
‫د‬)(
=‫ا‬
‫د‬)‫ا‬
+
(≠‫د‬)‫ا‬
–
(
‫عند‬ ‫نھاية‬ ‫لھا‬ ‫ليس‬=‫ا‬
‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬=‫ا‬
‫عند‬ ‫مشتقة‬ ‫لھا‬ ‫ليس‬=‫ا‬
‫عند‬ ‫معرفة‬=‫ا‬
‫د‬)‫ا‬
+
= (‫د‬)‫ا‬
–
(
‫عند‬ ‫نھاية‬ ‫لھا‬=‫ا‬
‫د‬)‫ا‬= (‫د‬)‫ا‬
+
= (‫د‬)‫ا‬
–
(
‫عند‬ ‫متصلة‬=‫ا‬
‫د‬
/
)‫ا‬= (‫د‬
/
)‫ا‬
+
= (‫د‬
/
)‫ا‬
–
(‫د‬
/
)‫ا‬(≠‫د‬
/
)‫ا‬
+
= (‫د‬
/
)‫ا‬
–
(
‫عند‬ ‫مشتقة‬ ‫لھا‬ ‫ليس‬=‫ا‬ ‫عند‬ ‫مشتقة‬ ‫لھا‬=‫ا‬

5. ‫تابع‬:‫اإلشتقاق‬
‫مالحظة‬
‫الزمنية‬ ‫المعدالت‬
‫المرتبطة‬
‫مسائل‬ ‫حل‬ ‫خطوات‬
‫الزمنية‬ ‫المعدالت‬:
)١(‫المعطى‬ ‫تحديد‬
‫إن‬ ‫الرسم‬ ‫مع‬ ‫والمطلوب‬
‫أمكن‬
)(‫إيجاد‬‫رياضية‬ ‫عالقة‬
‫في‬ ‫المتغيرات‬ ‫بين‬ ‫تربط‬
‫والمطلوب‬ ‫المعطى‬
)٣(‫طرفي‬ ‫اشتقاق‬
‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫العالقة‬
)٤(‫بالمعطى‬ ‫التعويض‬
‫المطلوب‬ ‫اليجاد‬
‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫وجدت‬ ‫إذا‬
‫متغيرات‬ ‫عدة‬‫بإشتقاق‬
‫بالنسبة‬ ‫العالقة‬ ‫ھذه‬
‫للزمن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ع‬ ‫تنتج‬‫القة‬
‫الزمنية‬ ‫المعدالت‬ ‫بين‬
‫المتغيرات‬ ‫لھذه‬
‫الضمنى‬ ‫اإلشتقاق‬ ‫و‬ ‫الضمنية‬ ‫الدالة‬
‫إليجاد‬‫د‬ ‫الضمنية‬ ‫للدالة‬)‫ص‬ ،: (
)١(‫ص‬ ‫المتغير‬ ‫فصل‬ ‫أمكن‬ ‫إن‬ ‫صريحة‬ ‫لدالة‬ ‫تحول‬
‫مستقل‬ ‫طرف‬ ‫فى‬
)(‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫ضمنيا‬ ‫المتساوية‬ ‫طرفى‬ ‫نشتق‬ً
‫المتغيرين‬ ‫أحد‬‫على‬ ‫لنحصل‬ ‫ص‬ ‫أو‬:
‫أو‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬‫ص‬
)‫ص‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ص‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
×
‫ء‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
*‫ص‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬=‫د‬)(‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬
‫المشت‬ ‫ثم‬ ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫مرات‬ ‫عدة‬‫قة‬
‫ھكذا‬ ‫و‬ ‫الثالثة‬ ‫المشتقة‬ ‫ثم‬ ‫الثانية‬٠٠٠٠‫التوالى‬ ‫على‬
*‫الرموز‬ ‫بأحد‬ ‫الثانية‬ ‫للمشتقة‬ ‫يرمز‬:‫ص‬ ‫أ؛‬
//
‫أ؛‬‫د‬)(‫أ؛‬‫د‬
//
)(
،٠٠٠٠‫ھكذا‬ ‫و‬
*‫يكون‬ ‫المشتقات‬ ‫تعريف‬ ‫من‬ ‫و‬:
=( )،٠٠٠٠‫ھكذا‬ ‫و‬
‫ء‬‫ص‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬‫ص‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ال‬‫مشتقات‬
‫لدالة‬ ‫العليا‬
‫مالحظة‬
‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫د‬)‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬(،‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬=‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬)(‫فإن‬:
( ) =×
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬
‫ء‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬‫ص‬
‫ء‬
‫الھندسى‬ ‫التطبيق‬
‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫ميل‬ ‫إيجاد‬ ‫طرق‬
)١(‫بالنقطتين‬ ‫المار‬ ‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫ميل‬:
‫ا‬)١‫ص‬ ،١(‫ب‬ ،)‫ص‬ ،(‫ھو‬:
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=
)(‫ھى‬ ‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫معادلة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ص‬=
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬‫س‬+‫ھو‬ ‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫ميل‬ ‫فإن‬ ‫حـ‬:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
)٣(‫ھى‬ ‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫معادلة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬:
‫ا‬+‫ص‬ ‫ب‬+‫حـ‬=٠‫الخط‬ ‫ميل‬ ‫فإن‬
‫ھو‬ ‫المستقيم‬:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=
)٤(‫اإلتجاه‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬ ‫الذى‬ ‫المستقيم‬ ‫ميل‬
‫ھو‬ ‫ھـ‬ ‫قياسھا‬ ‫زاوية‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫الموجب‬
:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=‫ھـ‬ ‫طا‬‫يكون‬ ‫و‬:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=٠‫كان‬ ‫إذا‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازى‬ ‫المستقيم‬
،‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬<٠‫إ‬‫حادة‬ ‫زاوية‬ ‫يصنع‬ ‫المستقيم‬ ‫كان‬ ‫ذا‬
‫ا‬ ‫مع‬‫إل‬‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫الموجب‬ ‫تجاه‬،‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬>٠
‫ا‬ ‫مع‬ ‫منفرجة‬ ‫زاوية‬ ‫يصنع‬ ‫المستقيم‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫إل‬‫تجاه‬
‫لمحور‬ ‫الموجب‬‫ا‬‫لسينات‬
‫مالحظة‬:‫كان‬ ‫إذا‬:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬١
،‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬‫ميال‬‫المستقيمان‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬١
،‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫فإن‬:‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬١
//‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫كان‬ ‫إذا‬:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬١
=‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
،‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬١
MMMM‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫كان‬ ‫إذا‬:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬١
×‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬=–١
–١
‫ص‬–‫ص‬١
‫ب‬
–‫ا‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
*‫ميل‬ ‫إليجاد‬ ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫إستخدام‬
‫منحنى‬ ‫على‬ ‫العمودى‬ ‫و‬ ‫المماس‬
)١(‫الدالة‬ ‫لمنحنى‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬
‫ص‬=‫د‬)(‫النقطة‬ ‫عند‬)١‫ص‬ ،١(
‫عليه‬ ‫الواقعة‬( ) =)١
‫ص‬ ،
١
(
)(‫العمودى‬ ‫ميل‬‫على‬‫الدالة‬ ‫منحنى‬
‫ص‬=‫د‬)(‫النقطة‬ ‫عند‬)١‫ص‬ ،١(
‫عليه‬ ‫الواقعة‬=
*‫لمنحنى‬ ‫العمودى‬ ‫و‬ ‫المماس‬ ‫معادلتا‬:
)١(‫للمنحنى‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬
‫ص‬=‫د‬)(‫النقطة‬ ‫عند‬)١‫ص‬ ،١(
‫ھى‬:‫ص‬–‫ص‬١=‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬)–١(
)(‫العمودى‬ ‫معادلة‬‫للمنحنى‬
‫ص‬=‫د‬)(‫النقطة‬ ‫عند‬)١،‫ص‬١(
‫ھى‬:‫ص‬–‫ص‬١=)–١(
‫حيث‬:‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬( ) =)‫س‬
١
‫ص‬ ،
١
(
–١
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬ )()١
‫ص‬ ،
١
(
–١
‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬

6. ‫أن‬ ‫يقال‬١‫د‬ ‫للدالة‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬
)(‫كان‬ ‫إذا‬‫أحد‬ ‫تحقق‬ ‫ت‬‫الشرطين‬:
١–‫د‬
/
)١(‫و‬ ‫وجود‬ ‫لھا‬
‫الصفر‬ ‫تساوى‬
–‫د‬
/
)١(‫موجودة‬ ‫غير‬
‫الدالة‬ ‫سلوك‬
‫الجبرى‬ ‫المقدار‬ ‫إشارة‬
‫الجبرى‬ ‫المقدار‬ ‫إشارة‬ ‫نبحث‬:
‫د‬)= (‫ا‬+‫ب‬+، ‫حـ‬‫ا‬‫حـ‬ ، ‫ب‬ ،gggg
)١(‫كان‬ ‫إذا‬‫ا‬=‫ب‬=‫فإن‬ ‫صفر‬‫د‬ ‫إشارة‬)(
‫لكل‬ ‫حـ‬ ‫إشارة‬ ‫نفس‬ ‫ھى‬gggg
)(‫كان‬ ‫إذا‬:‫ا‬‫ا‬‫ا‬‫ا‬=‫إشارة‬ ‫فإن‬ ‫صفر‬‫د‬)(
١–‫د‬ ‫تكون‬)= (‫صفر‬‫عندما‬=
–‫إ‬ ‫تكون‬‫د‬ ‫شارة‬)(‫ب‬ ‫إشارة‬ ‫نفس‬ ‫ھى‬
‫عندما‬<
٣–‫د‬ ‫إشارة‬ ‫تكون‬)(‫ب‬ ‫إشارة‬ ‫عكس‬ ‫ھى‬
‫عندما‬>
)٣(‫كان‬ ‫إذا‬:‫ا‬≠‫صفر‬‫إشارة‬ ‫لتعيين‬‫د‬)(
‫المعادلة‬ ‫جذرى‬ ‫نوجد‬‫ا‬+‫ب‬+‫حـ‬=٠
١–‫فإن‬ ‫تخيليين‬ ‫الجذران‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫د‬)(‫لھا‬
‫إشارة‬ ‫نفس‬‫ا‬‫ل‬‫كل‬gggg
–‫متساويين‬ ‫حقيقيين‬ ‫الجذران‬ ‫كان‬ ‫إذا‬"‫ل‬"
‫فإن‬‫د‬)(=٠‫عندما‬=‫ل‬‫د‬ ،)(
‫إشارة‬ ‫نفس‬ ‫لھا‬‫ا‬‫عندما‬gggg–}‫ل‬{
٣–‫متساويين‬ ‫حقيقيين‬ ‫الجذران‬ ‫كان‬ ‫إذا‬"‫ل‬،‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬"
‫فإن‬* :‫د‬)(=٠‫عندما‬gggg}‫ل‬،‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬{
*‫د‬)(‫إشارة‬ ‫عكس‬ ‫لھا‬‫ا‬‫عندما‬
gggg[، ‫ل‬‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬]
*‫د‬)(‫إشارة‬ ‫نفس‬ ‫لھا‬‫ا‬‫عندما‬
gggg–[‫ل‬،‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬]
–‫ب‬
‫حـ‬
–‫ب‬
‫حـ‬
–‫ب‬
‫حـ‬
‫الدالة‬ ‫تناقص‬ ‫و‬ ‫تزايد‬
‫نظرية‬:‫كانت‬ ‫إذا‬‫الدالة‬‫د‬)(‫قابلة‬
‫فى‬ ‫لإلشتقاق‬]‫ا‬‫ب‬ ،: [
١–‫على‬ ‫متزايدة‬ ‫د‬ ‫تكون‬]‫ا‬‫ب‬ ،[‫إذا‬
‫د‬ ‫كانت‬
/
)(<٠‫لكل‬gggg]‫ا‬‫ب‬ ،[
–‫على‬ ‫متناقصة‬ ‫د‬ ‫تكون‬]‫ا‬‫ب‬ ،[‫إذا‬
‫د‬ ‫كانت‬
/
)(>٠‫لكل‬gggg]‫ا‬‫ب‬ ،[
–––‫د‬
/
)(
‫د‬)(
+ + +
‫إذا‬‫كانت‬‫الدالة‬‫د‬)(‫معرفة‬
‫على‬]‫ا‬‫ب‬ ،[‫قيمة‬ ‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫و‬
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫أو‬ ‫عظمى‬١
gggg]‫ا‬‫ب‬ ،[‫فإن‬‫د‬
/
)١(=٠
‫الصغرى‬ ‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬
‫لدالة‬ ‫المحلية‬
‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫تعيين‬
‫لدالة‬ ‫المحلية‬ ‫الصغرى‬
‫بإستخدام‬‫األولى‬ ‫المشتقة‬:
١–‫كان‬ ‫إذا‬:‫د‬
/
)(٠‫لقيم‬‫يسار‬ ‫على‬
١‫مباشر‬‫د‬ ،
/
)(٠‫لقيم‬‫يمين‬ ‫على‬
١‫مباشرة‬‫فإن‬١‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫قيمة‬ ‫عندھا‬ ‫نقطة‬
–‫كان‬ ‫إذا‬:‫د‬
/
)(٠‫لقيم‬‫يسار‬ ‫على‬
١‫د‬ ، ‫مباشرة‬
/
)(٠‫لقيم‬‫يمين‬ ‫على‬
١‫فإن‬ ‫مباشرة‬١‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫قيمة‬ ‫عندھا‬ ‫نقطة‬
‫د‬
/
)( –––
١
+ + +
‫ع‬‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫د‬
/
)( + + +
١
–––
‫ص‬‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬
‫بإستخدام‬‫الثانية‬ ‫المشتقة‬:
١–‫كان‬ ‫إذا‬:‫د‬
/
)(=٠،‫د‬
//
)١(<٠
‫فإن‬)١،‫د‬)١( (‫نقطة‬‫محلية‬ ‫صغرى‬
–‫كان‬ ‫إذا‬:‫د‬
/
)(=٠،‫د‬
//
)١(>٠
)١،‫د‬)١( (‫نقطة‬‫محلية‬ ‫عظمى‬
‫مالحظة‬
‫كانت‬ ‫إذا‬:‫د‬
//
)١(=٠
‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نستخدم‬
‫للدالة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقط‬

7. ‫تابع‬:‫الدالة‬ ‫سلوك‬
‫التعيين‬ ‫خطوات‬
‫إذا‬‫كانت‬‫الدالة‬‫د‬)(‫معرفة‬
‫على‬]‫ا‬‫ب‬ ،[‫فإن‬:
*‫فى‬ ‫لھا‬ ‫المطلقة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬
‫ھذ‬‫فى‬ ‫قيمة‬ ‫أكبر‬ ‫ھى‬ ‫الفترة‬ ‫ه‬
‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫مجموعة‬
*‫لھا‬ ‫المطلقة‬ ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬
‫فى‬ ‫قيمة‬ ‫أصغر‬ ‫ھى‬ ‫الفترة‬ ‫ھذه‬ ‫فى‬
‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫مجموعة‬
‫الصغرى‬ ‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬
‫لدالة‬ ‫المطلقة‬
*‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نوجد‬
*‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫عندھا‬ ‫التى‬ ‫النقط‬ ‫نعين‬=‫صفر‬
‫المعطاه‬ ‫للفترة‬ ‫تنتمى‬ ‫و‬
*‫و‬ ‫موجودة‬ ‫غير‬ ‫المشتقة‬ ‫عندھا‬ ‫التى‬ ‫النقط‬ ‫نعين‬
‫المعطاه‬ ‫للفترة‬ ‫تنتمى‬
*‫نوجد‬‫عليھا‬ ‫حصلنا‬ ‫التى‬ ‫النقط‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫قيم‬
‫السابقتين‬ ‫الخطوتين‬ ‫فى‬ ‫جميعا‬ً‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫كذا‬ ‫و‬
‫طرفى‬ ‫عند‬‫المعطاه‬ ‫الفترة‬
*‫السابقة‬ ‫القيم‬ ‫مجموعة‬ ‫فى‬ ‫قيمة‬ ‫أكبر‬ ‫نوجد‬
‫فى‬ ‫للدالة‬ ‫المطلقة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ‫ھى‬ ‫فتكون‬
‫مجموعة‬ ‫فى‬ ‫قيمة‬ ‫أصغر‬ ‫نوجد‬ ‫و‬ ‫المعطاه‬ ‫الفترة‬
‫ال‬‫المطلقة‬ ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬ ‫ھى‬ ‫فتكون‬ ‫السابقة‬ ‫قيم‬
‫المعطاه‬ ‫الفترة‬ ‫فى‬ ‫للدالة‬
‫الحل‬ ‫خطوات‬
‫فى‬ ‫تصاغ‬ ‫حياتية‬ ‫مشكالت‬ ‫ھى‬
‫م‬ ‫الھدف‬ ‫يكون‬ ‫رياضى‬ ‫قالب‬‫نھا‬
‫أصغر‬ ‫أو‬ ‫قيمة‬ ‫أكبر‬ ‫على‬ ‫الحصول‬
‫ما‬ ‫لمتغير‬ ‫قيمة‬
‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫تطبيقات‬
‫لدالة‬ ‫المطلقة‬ ‫الصغرى‬
)١(‫قيم‬ ‫أكبر‬ ‫إيجاد‬ ‫المراد‬ ‫المتغير‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬‫أو‬ ‫ة‬
‫آخر‬ ‫واحد‬ ‫متغير‬ ‫فى‬ ‫كدالة‬ ‫له‬ ‫قيمة‬ ‫أصغر‬"
‫المستقل‬"‫المسألة‬ ‫بمعطيات‬ ‫باإلستعانة‬ ‫ذلك‬ ‫و‬
)(‫الفترة‬ ‫ھو‬ ‫فيكون‬ ‫المستقل‬ ‫المتغير‬ ‫مجال‬ ‫نحدد‬
‫المرا‬‫أو‬ ‫المطلقة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ‫إيجاد‬ ‫د‬‫الصغرى‬
‫فيھا‬ ‫المطلقة‬
)٣(‫تنتم‬ ‫التى‬ ‫و‬ ‫للدالة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقط‬ ‫نوجد‬‫للفترة‬ ‫ى‬
‫السابقة‬
)٤(‫و‬ ‫السابقة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقط‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫نوجد‬
‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ‫لمعرفة‬ ‫الفترة‬ ‫طرفى‬ ‫عند‬
‫المطلقة‬‫المطلقة‬ ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬ ‫أو‬
––– +++
‫التحدب‬
١–‫إذا‬‫كانت‬‫د‬
//
)(>٠‫ف‬‫ى‬[‫ا‬‫ب‬ ،]
‫فإن‬‫المنحنى‬‫يكون‬‫م‬‫حدبا‬ً‫ألعلى‬‫في‬‫ھذه‬‫الفترة‬
–‫إذا‬‫كانت‬‫د‬
//
)(<٠‫ف‬‫ى‬[‫ا‬‫ب‬ ،]
‫فإن‬‫المنحنى‬‫يكون‬‫م‬‫حدبا‬ً‫ألسفل‬‫ف‬‫ي‬‫ھذه‬‫الفترة‬
‫ألسفل‬‫د‬)(
‫د‬
//
)(
‫ألعلى‬
‫نقطة‬‫اإلنقالب‬
‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫ھي‬‫إلى‬ ‫التحدب‬ ‫مناطق‬ ‫بين‬ ‫تفصل‬
‫منحن‬ ‫من‬ ‫ألعلى‬ ‫التحدب‬ ‫مناطق‬ ‫و‬ ‫أسفل‬
‫الدوال‬ ‫منحنيات‬ ‫رسم‬
‫د‬ ‫الدالة‬ ‫منحنى‬ ‫لرسم‬)" (‫حدود‬ ‫كثيرة‬
‫الدرجة‬ ‫من‬‫فأقل‬ ‫الثالثة‬"‫نتبع‬‫الخطوا‬‫اآلتية‬ ‫ت‬:
١–‫نوجد‬‫د‬
/
)(‫د‬ ،
//
)(
–‫د‬ ‫نستخدم‬
/
)(‫تعيين‬ ‫فى‬:
‫ا‬–‫د‬ ‫حيث‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬
/
)(<٠
،‫د‬ ‫حيث‬ ‫التناقص‬ ‫مناطق‬
/
)(>٠
‫ب‬–‫الصغرى‬ ‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫نقط‬‫ا‬‫لمحلية‬
‫ا‬"‫وجدت‬ ‫إن‬"‫د‬ ‫حيث‬
/
)= (٠
٣–‫د‬ ‫نستخدم‬
//
)(‫تعيين‬ ‫فى‬:
‫ا‬–‫حيث‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫التحدب‬ ‫مناطق‬
‫د‬
//
)(>٠‫مناطق‬ ،‫التحدب‬
‫د‬ ‫حيث‬ ‫أسفل‬ ‫إلى‬
//
)(<٠
‫ب‬–‫اإلنقالب‬ ‫نقط‬"‫وجدت‬ ‫إن‬"
‫د‬ ‫حيث‬
//
)= (٠
٤–‫مثل‬ ‫الرسم‬ ‫على‬ ‫المساعدة‬ ‫النقط‬ ‫بعض‬ ‫نعين‬:
‫ا‬–‫المنح‬ ‫تقاطع‬ ‫نقط‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫نى‬
‫د‬ ‫المعادلة‬ ‫بحل‬)= (٠"‫أمكن‬ ‫إن‬"
‫محور‬ ‫مع‬ ‫المنحنى‬ ‫تقاطع‬ ‫نقط‬ ‫و‬‫الصادات‬
‫بوضع‬=٠‫أى‬)٠‫د‬ ،)٠( (
‫ب‬–‫عن‬ ‫بالتعويض‬ ‫األخرى‬ ‫النقط‬ ‫بعض‬
‫د‬ ‫إيجاد‬ ‫و‬ ‫قيمة‬ ‫بأى‬)(
٥–‫تر‬‫و‬ ‫جدول‬ ‫فى‬ ‫السابقة‬ ‫النقط‬ ‫تيب‬
‫توصيلھا‬ ‫و‬ ‫بيانيا‬ ‫تمثيلھا‬ً

8. aaaa]‫د‬١
)(‫د‬)(٠٠٠٠
‫د‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
)[ (‫ء‬=aaaa]‫د‬١
)(‫ء‬
aaaa‫د‬)(‫ء‬٠٠٠aaaa]‫د‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
)(‫ء‬
‫قاعدة‬
aaaa
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ء‬=+‫ث‬
‫حيث‬:‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬≠–١‫ثاب‬ ‫ث‬ ،‫ت‬

‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١
aaaa‫ء‬=+‫ث‬،
aaaa‫ا‬‫ء‬=‫ا‬+‫ث‬
‫مالحظة‬
aaaa‫ا‬
‫ن‬
‫ء‬=+‫ث‬
‫حيث‬:‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬≠–١،‫ا‬،‫ثوابت‬ ‫ث‬
‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١‫نتيجة‬
‫مالحظات‬
aaaa)‫ا‬+‫ب‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ء‬=+‫ث‬
‫حيث‬:‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬≠–١‫؛‬‫ا‬،، ‫ب‬‫ثوابت‬ ‫ث‬
)‫ا‬+‫ب‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١
‫ا‬)‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١(
AAAA‫نعلم‬‫ص‬ ‫مشتقة‬ ‫أن‬‫بالنسبة‬‫إلى‬‫ھى‬
BBBBaaaa‫ء‬=aaaa‫ص‬ ‫ء‬=‫ص‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫ء‬‫ص‬
‫ء‬
‫المتغيرات‬ ‫فصل‬:‫كان‬ ‫إذا‬:=
‫فإن‬:aaaa‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬)‫ص‬(‫ص‬ ‫ء‬=aaaa‫د‬)(‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫د‬)(
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬)‫ص‬(
‫ص‬=‫د‬)(
‫ء‬‫ص‬
‫ء‬
‫ص‬ ‫ء‬
‫ء‬
‫تكامل‬
‫تفاضل‬ ‫تفاضل‬
‫تكامل‬
‫ھندسى‬ ‫تطبيق‬
‫كان‬ ‫إذا‬:‫ص‬=‫د‬)(‫ھى‬
‫منحنى‬ ‫معادلة‬‫فإن‬:‫المماس‬ ‫ميل‬
‫نقطة‬ ‫أى‬ ‫عند‬ ‫له‬)‫ص‬ ،(
‫عليه‬ ‫تقع‬=‫ص‬
/
=‫د‬
/
)(
‫تكون‬ ‫بالتالى‬ ‫و‬‫ھى‬ ‫معادلته‬:
‫د‬)= (aaaa‫د‬
/
)(‫ء‬
‫مالحظة‬
‫التكامل‬
‫تعريف‬
‫د‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬)(‫إيجاد‬ ‫أمكن‬ ‫و‬ ‫متصلة‬ ‫دالة‬
‫ت‬ ‫دالة‬)(‫قابلة‬‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫لإلشتقاق‬
‫مجالھا‬ ‫فى‬‫بحيث‬:‫ت‬
/
)= (‫د‬)(
‫فإن‬:‫ت‬)= (aaaa‫د‬)(‫ء‬
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫إذا‬:‫ت‬
/
)= (‫د‬)(
‫نظريات‬
*aaaa‫حا‬)‫ا‬+‫ب‬(‫ء‬=
–‫حتا‬)‫ا‬+‫ب‬(+‫ث‬
*aaaa‫ح‬‫ت‬‫ا‬)‫ا‬+‫ب‬(‫ء‬=
‫حتا‬)‫ا‬+‫ب‬(+‫ث‬
*aaaa‫قا‬)‫ا‬+‫ب‬(‫ء‬=
–‫ط‬‫ا‬)‫ا‬+‫ب‬(+‫ث‬
*aaaa‫حا‬‫ء‬=–‫حتا‬+‫ث‬*aaaa‫حتا‬‫ء‬=‫حا‬+‫ث‬
*aaaa‫قا‬‫ء‬=‫طا‬+‫ث‬
١
‫ا‬
١
‫ا‬
١
‫ا‬
‫المثلثية‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬ ‫تكامل‬