هذا المستند يتناول موضوعًا محددًا بشكل شامل، ويحتوي على تفاصيل دقيقة حول جوانب مختلفة منه. يتضمن معلومات متعددة وتحليلات تساعد على فهم الموضوع بشكل أفضل. كما يبرز أهمية البحث والدراسة في هذا المجال.

1. 
- ١ -

:  ( ١ )


 
م = = = ==
أ حـ د ھـ و ى
م
 


 

أ
 ( ٣ )
 
 } 
 

أ
ب
ب
أ
 ( ٣ )
 
 
 ≠  =
 
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١١٩٩٠٥٣٦٩

2. أ ب ، أ ب = أ ب لا أ ب e أ ب ، أ ب e أ ب : 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
سأ،صأ، ع 
 أ، ٠٠٠٠
 
 سe أ ب  سe 
س ص ع
- ٢ -

 
 
ا
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ب
٠
٠
٠ د

 (  ) ص
 ، ص ١ 
 ص ٢ ، 
Z = ص ١ لاص ٢ 
،ص ١ لآص ٢ لآ أ ب = ص
ص
ص ١
ص ٢
ا
ب

 
 
 

 س س
 
س س

3. ف ١ لآ ف ٢ لآس = ف ، Z = ونلاحظ : ف ١ لا ف ٢
 
- ٣ -
 
  
س ( ٣ )
ف ٢ فإن أ ب لابد وأن تخترق المستوىسوتقطعھ فى ولتكن g ف ١ ، ب g وإذا كانت أ
حـ حیث حـ تقع فى المستوىسوتنتمى الى أ ب
 
 
 ( ٢ )
س  ، أ حـ 
 ( ٣ )
d ھـ c = أ ب ، حـ د حیث أ ب لا حـ د 
س 
  ( ٤ )
 

س
ف ١
ف ٢
حـ
ا
ب
ف
تعـــیین المستوى فى الفراغ
٠
٠
٠
ا
ب
حـ
س
ا
ب
٠ ح ٠ـ
س
ا
ب
حـ
د
ھـ
ا
حـ ب
م د
  ( ١ )
 ( ٢ )
 ( ٣ )
 ( ٤ )

4.  
 
 
 
ب
( شكل ( ١ ) شكل ( ٢
- ٤ -
أولا : علاقة المستقیم بالمســــــــتوى :
١ ) المستقیم یوازى المستوى ( ٢ ) المستقیم یقطع المستوى )
(لایشتركان فى أى نقطة ) (یشتركان فى نقطة واحدة )
٣ ) المستقیم یقع بتمامھ فى المستوى )
( جمیع نقط المستقیم تنتمى للمستوى )
ثانیا : علاقة مستوى بمستوى فى الفراغ
١ ) المستویان یتقاطعان ( ٢ ) المستویان یتوازیــــــان )
( یتقاطعان فى خط مستقیم ) ( لا یشتركان فى أى نقطة )
٣ ) أولا : علاقة مستقیم بمسـتقیم فى الفراغ : )
١ ) المستقیمان یتقاطعان فى نقطة : ( ٢ ) المستقیمان یتوازیان : )
٣ ) المستقیمان متخالفان : )
( لا یتقاطعان ولا یتوازیان ویقال ان المستقیمین غیر مستویین معا أى لا یجمعھما مستوى واحد )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
ل ١
س
حـ د
ھـ
أ
أ
ب
ل ١
حـ س ھـ د
ففى الشكل ( ١ ) أ ب ، حـ د مستقیمان متخالفان حیث حـ د یقع فى المستوىس ،
أ ب یقطع المستوىسفى النقطة أ
من نقطة أ فى المستوىسنرسم أ ھـ / / حـ د فتكون < ب أ ھـ ھى الزاویة بین
المستقیمین المتخالفین أ ب ، حـ د
( و فى شكل ( ٢
إذا كان ق ( < ب أ ھـ ) = ٩٠ قْیل أن المستقیمین المتخالفین أ ب ، حـ د متعامدین

5. مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩
 

١ ) أكمل ما یأتى : )
( أ ) المستقیم عبارة عن مجموعة ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( ب ) أى نقطتین مختلفتین یمر بھمــــــــــــا ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( حـ ) المستوى عبـــــــارة عن مجموعة ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( د ) إذا إشترك مستقیم ومستوى فى نقطتین فإن المستقیم ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
الحـــــــــــــــــــــــــــــل
( أ ) مجموعة غیر منتھیة من النقط
( ب) مستقیم وحیـــــــــــــــــد ( حـ ) مجموعة من النقط الغیر منتھیة والتى یقع
- ٥ -
علیھا المستقیم فى أى وضع من أوضاعھ
( د ) یقع بتمامھ على المستوى
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢ ) الشكل الموضح عبارة عن مستقیم ل )
أكــــــــــــمل :
( أ ) جمیع نقط المستقیم ل غیر النقطة أ
تكون مجموعتین ٠٠٠٠٠٠ كل منھما تسمى ٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( ب ) إتحاد مجموعة نقط نصف المستقیم مع النقطة أ تسمى ٠٠٠٠٠٠
الحــــــــــــــــــــــــــــــل
( أ ) منفصلتین فعلیتین من نقط المستقیم كل منھما تسمى نصف المستقیم
( ب ) شـــــــعاع
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أمام العبارة الخاطئة فیما یلى . ( × ) ٣ ) ضع علامة ( √ ) أمام العبارة الصائیة وعلامة )
س ( √ ) e ( أ ) ل
( × ) س h ل ، أ g ( ب ) أ
( × ) Z = ( حـ ) ل لا س
ل ( √ ) h س ، حـ g ( د ) حـ
( √ ) d أ c = ( ھـ ) أ حـ لا ل
لأنھما مشتركان فى أ ( × ) ( و ) أ حـ ، ل مستقیمان متخالفان
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) فى الشكل الموضح : )
( أ ) سلاص = ٠٠٠٠٠٠٠
( ب ) سلا ع = ٠٠٠٠٠ ( حـ ) ص لا ع = ٠٠٠٠٠
أ
أ
ح
ل
س
أ
س ص
ح
ع
ب د

6. ( د ) أ ب لاس = ٠٠٠٠٠
( ھـ ) ب حـ ٠٠٠٠٠٠ س ، ب حـ ٠٠٠٠٠ ع
( و ) نفرضأن ق ( < ب حـ د ) = ٩٠ ،ْ ب حـ = ٣ سم ، حـ د = ٤ سم
فإن ب د = ٠٠٠٠٠٠٠ سم
الحـــــــــــــــــــــــــل
( أ ) سلاص = أ حـ ( ب ) سلا ع = ب حـ
( حـ ) ص لا ع = حـ د ( د ) أ ب لاس = أ ب
ع e س ، ب حـ e ( ھـ ) ب حـ
( و ) نفرضأن ق ( < ب حـ د ) = ٩٠ ،ْ ب حـ = ٣ سم ، حـ د = ٤ سم
فإن ب د = ٥ سم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
سإذا وفقط إذا كان : ل ١ = ل ٢ g یتوازى مستقیمین ل ١ ، ل ٢
- ٦ -
 
ل ل ٢
 
Z = أو ل ١ لا ل ٢
المستقیمان الموازیان لثالث فى الفراغ متوازیان
ففى الشكل :
إذا كان : ل ١ / / ل ، ل ٢ / / ل
فإن ل ١ / / ل ٢
ل ١
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

7.  

 

- ٧ -
 
ویسمى المنشور المرسوم : أ ب حـ د أ/ ب/ حـ/ د/
ملاحـــــــــظة :
ویسمى المنشور حسب عدد أضلاع قاعدتھ
فإذا كان عدد أضلاع قاعدة المنشور خمسة سمى منشور خماسى
وھكذا ،،،،
أ/
أ
ب/
قاعدة
ب
ح
د /
د
حـ /
قاعدة
وجھ جانبى
خواص
المنشـــــــــور
١ ) قاعدتا المنشور متوازیتین ومتساویتین أى مضلعان متطابقان ومتوازیان . )
سطح المضلع أ ب حـ د ھـ ≡ سطح المضلع أ/ ب/ حـ/ د/ ھـ/ B
٢ ) أضلاع المنشور متوازیة ومتساویة الطول أى أن : )
أ أ/ = ب ب/ = حـ حـ / = د د/
٣ ) ارتفاع المنشور المائل : )
ھو البعد العمودى بین مستویى قاعدتیھ
حالات خـــــــــاصة للمنشور
وجھ جانبى
حرف جانبى
١ ) متوازى الســــــــــطوح : )
( أ ) متوازى السطوح القائم :
( كل من قاعدتیھ سطح متوازى الأضلاع وأحرفھ الجانبیة عمودیةعلى مستوى قاعدتیھ كل منھا مستطیل )
( ب ) متوازى السطوح المائل :
( لھ ستة أوجھ كل منھا سطح متوازى الأضلاع وكل سطحین متقابلین منھا متوازیان ومتطابقان )
٣ ) متوازى المستطیلات : ( ٤ ) المكعب )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

8. 
م
بفرضأن ھناك منطقة مضلعة ھى سطح المضلع
أ ب حـ د ھـ واقعة فى المستوىس، م نقطة
لا تنتمى الى المستوىسفإنھ لكل نقطة ق
وجھ جانبى
حرف جانبى
تنتمى إلى المنطقة المضلعة توجد قطعة مستقیمة
م ق وإتحاد جمیع ھذه القطع المستقیمة یسمى ھرما
ھ
حیث القاعدة المضلعة ( وھى سطح المضلع
أ
ن
د
قاعدة الھرم ق
أ ب حـ د ھـ ) تسمى قاعدة الھرم ، م رأس الھرم .
ب ح
س
ویسمى الھرم الخماسى م . أ ب حـ د ھـ
حیث م رأسھ ، قاعدتھ سطح المضلع الخماسى أ ب حـ دھـ وتسمى أسطح المثلثات
م أ ب ، م ب حـ ، م حـ د ، م د ھـ ، م ھـ أ بالأوجھ الجانبیة للھرم كما أن القطع المستقیمة
م أ ، م ب ، م حـ ، م د ، م ھـ تسمى بالأحرف الجانبیة للھرم .
إرتفاع الھرم : ھو العمود الساقط من رأس الھرم على المستوى
( ملاحظة( ١
سمثل م ن وطول م ن یساوى طول إرتفاع الھرم .
یسمى الھرم ثلاثیا أو رباعیا أو خماسیا على حسب عدد أضلاع
قاعدتھ .
- ٨ -
( ملاحظة( ٢
والھرم الثلاثى م . أ ب حـ
رأسھ م وقاعدتھ سطح المثلث أ ب حـ
ویمكن كتابة الھرم الثلاثى فقط الطرق
الآتیة : م . أ ب حـ ، أ . م ب حـ
، ب . م أ حـ ، حـ . م أ ب
م
أ
ب
ح
ـ
م
د
أ
ب ح
ـ
إذا كانت الأحرف الستة للھرم الثلاثة متساویة أى كانت أوجھ
مثلثات متساویة الأضلاع سمى الھرم فى ھذه الحالة ھرما
منتظما .
فى الھرم الثلاثى المنتظم إرتفاعھ یلاقى القاعدة عند مركزھا
الھندسى


ففى الشكل : م ن ھو ارتفاع الھرم الثلاثى المنتظم حیث ن نقطة تلاقى متوسطات المثلث
أ ب حـ وھى فى نفس الوقت مركز الدائرة الخارجة والداخلة للمثلث أ ب حـ وبفرضأن
طول حرف الھرم = ل
، إرتفاعھ م ن = ع فإن أ د = ل حا ٦ْ٠

9. ل ؟ ٣
٢
؟ ٢
× = أ د = ، أ ن = أ د ، أ ن
× = أ ن = ، ن د = أ د
- ٩ -
ن د =
؟
ل ل
ل ل
ن
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــــال ١
س،ص مستویان حیث سلاص = ا ب ، حـ نقطة تقع خارج المستویین ورسم منھا
المستقیمان د حـ ھـ ، و حـ ن فقطعا المستوى سفى د ، و ، على الترتیب وقطعا المستوى
ص فى ھـ ، ن على الترتیب أثبت أن و د ، ھـ ن یتقاطعان فى نقطة على أ ب .
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
المعطیات سلاص = أ ب ، حـ نقطة خارج المستویین
، المستقیمان د حـ ھـ ، و حـ ھـ یقطعان المستوىس
فى د ، ھـ ، المستوىصفى ھـ ، ن
المطلوب إثبات أن و د ، ھـ ن یتقطعان فى نقطة على
أ ب
د ھـ ، و ن مستقیمان متقاطعان فى نقطة حـ A البرھــــان
فھما یعینان مستویا واحدا ولیكن ع B
المستوى ع e المستوى ع ، ھـ ن e د و B
د و ، ھـ ن یتقطعان فى نقطة ولتكن م B
س ص
( المستوىس ( ١ g م B و د ھو خط تقاطع المستویان س، ع A
( المستوىص ( ٢ g م B ھـ ن ھو خط تقاطع المستویان ص، ع A
( ٢ ) ، ( من ( ١
م نقطة تقاطع د و ، هـ ن B م تنتمى الى كل من المستويين س ، ص B
أ ب g م B تقع على خط تقاطع المستويين س ، ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثـــــــــال ٢
أثبت أن أضلاع المستطيل
الحــــــــــــل
أ ب ، حـ د يعينان مستويا واحدا B أ ب / / حـ د A
من المستوى س e أ د B وليكن س
أ ، ب ، حـ ، د B من المستوى س e ، ب حـ
ل ٣
٢
٣
٢
٣
ل ؟
٣
١ ٣
٣
١
٣
ل ٣
٢
ل ؟
٦
٣
م
أ
ب د حـ
ل
ل
أ
د
و
م
ھـ
ن
ب
حـ
أ د
ب حـ

10. - ١٠ -
تقع جميعا فى مستوى واحد .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثـــــــــال ٣
أ ب تقطع المستوى س فى م بحيث أ م = م ب ، ورسم من أ ، ب الشعاعان أ هـ
، ب و متوازيان ويقطعان المستوى س فى النقطتين هـ ، و على الترتيب أثبت أن
١ ) النقط هـ ، م ، و على استقامة واحدة . )
٢ ) الشكل أ هـ ب و متوازى أضلاع . )
الحـــــــــــل
فهما يعينان مستويا B أ هـ / / ب و A
ھـ و ھو خط تقاطع المستویانس،ص B ص
من المستوىص ، أ ب قطعسفى م e أ ب A
م تنتمى الى خط تقاطع المستویینس،ص B
ھـ ، م ، و على استقامة واحدة B
فى المثلثان أ هـ م ، ب م و
ھـ م و
١ ) أ م = ب م ( ٢ ) ق ( < أ ) = ق ( < ب ) بالتبادل )
٣ ) ق ( < أ م هـ ) = ق ( < ب م و ) بالتقابل بالرأس )
أ هـ / / ب و A أ هـ = ب و B المثلث أ هـ م ≡ المثلث ب و م B
الشكل أ هـ ب و متوازى أضلاع . B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثـــــــــال ٤
أ حـ تقطع المستوى س فى ب بحيث أ ب = ب حـ ، رسم أ د يقطع المستوى س
فى د ثم نصف أ د فى هـ ورسم هـ حـ فقطع المستوى س فى و أثبت أن :
أولا : النقط ب ، و ، د على استقامة واحدة .
ثانيا : ب و = و د ، هـ و = و حـ
الحــــــــــــل
أ د ، أ حـ متقاطعان فى أ فهما يعينان مستوى واحد وليكن A
المستوىص ، د ، ب ینتمیان للمستوى e د ب A ص
د ب ھو خط تقاطع المستویانس،ص B س
ھـ
من المستوىص ، و ینتمى الىس e ھـ حـ A
و تنتمى الى خط تقاطع المستویان س،ص B
د ، و ، ب على استقامة واحدة . نرسم هـ ن / / د ب ويقطع أ حـ B
فى نقطة ن . فى المثلث أ د ب فيه هـ منتصف أ د ، هـ ن / / د ب
المثلث حـ ن هـ R المثلث حـ ب و A . ن منتصف أ ب B
= = = B
أ
س
ب
١
٢
١
٢
س
ب
أ
حـ
د
و
ن
حـ ب
حـ ن
ب و
ن ھـ
حـ و
حـ هـ
٢
٣
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

11. ٢
٣
١
٢
٢
٣
١
٢
ب د × = ب و B ن هـ = ب د B ب و = ن هـ A
١
٣
١
٣
٣
٢
١
٢
ب و = د و B د و × = ب و = ب د B
٢
٢
حـ و = ٢ هـ و B ٣ هـ و × = حـ و B حـ و = حـ هـ A
٣
- ١١ -
٣
١
٢
هـ و = حـ و B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

12.  

 
 
ففى الشكل :
أ ب / / المستوى ص ، س أى مستوى يحتوى
أ ب ويقطع المستوى ص فى حـ د
أ ب / / حـ د B
س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
    
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ففى الشكل : أ ب / / حـ د والمستوى س
يحتوى حـ د ولا يحتوى أ ب فإنه
أ ب / / المستوى س
أ
ص
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٢ -
أ
حـ ب
ص د


 
حـ
س د
ب

 
 

13. ففى الشكل المقابل : أ ب / / المستوى س
أ
س د
 ( ٢ )
ص
 ( ٣ )
أ ب
ص س
- ١٣ -
س ، جـ د / / أ ب g ، حـ
س e فإن حـ د
حـ
ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ففى الشكل : س / / ص ، ع قاطع لهما
فى أ ب ، حـ د فإن أ ب / / حـ د
س
أ
ب
ح
د
ع
ففى الشكل : المستويان س ، ص متوازيان ، المستقيم أ ب يقطع ص فى أ فإنه
يقطع س فى مثلا ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  ( ٤ )


14. ص e س ، ل ٢ e ففى الشكل : ل ١ / / ل ٢ ، ل ١
، ل خط تقاطع المستويين س ، ص
فإن ل / / ل ١ / / ل ٢
ل ١ ل ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ففى الشكل : س ، ص مستويين متقاطعين
حيث س لا ص = أ ب
، ل / / س ، ل / / ص فإن
أ ب / / ل
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٤ -
١ ) فى الشكل المقابل : )
المستوىص e س لا ص = أ ب ، حـ د
ویوازى المستوىسبحیث حـ د < أ ب
أثبت أن الشكل أ ب حـ د شبھ منحرف .
الحــــــــــل
المستوىص، ویوازى المستوىس e س لا ص = أ ب ، حـ د A
الشكل أ ب حـ د شبھ منحرف B حـ د < أ ب A ، حـ د / / أ ب B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢ ) أ ب حـ مستقیم / / المستوىس . فرضت نقطة م لا تنتمى للمستقیم أ حـ وفى الوقت )
نفسھ لا تنتمى للمستوى ثم رسم م أ ، م ب ، م حـ فلاقت المستوى س فى د ، ھـ ، و
٣ فأثبت أن : على الترتیب فإذا كان م أ : أ د = ٢
( أولا ) ٢ د ھـ = ٥ أ ب ( ثانیا ) أ حـ . د ھـ = د و . أ ب
أ
س ص
ب
ل
 ( ٥ )
ب
أ
ل
س
ص
 
أ
ب
د
حـ
س
ص

15. الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
د و
أ حـ د ھـ
أ ب
- ١٥ -
أ ب / / المستوى س A
المستوى م د هـ g ، أ ، ب
م د هـ Ñ S م أ ب Ñ B أ ب / / د هـ B
( م د : م أ = د هـ : أ ب ( ١
٢ د ھـ = ٥ أ ب B ٢ = د هـ : أ ب : ٥ B
م د و Ñ S م أ ب Ñ بالمثل
( ٢ ) =
= ( ٢ ) ، ( من ( ١
م
أ ب جـ
د ھـ و
م د
م أ
د و
أ حـ
( أ حـ . د ھـ = د و . أ ب برهــــــــــــان ( ٢ B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) س ، ص مستويان بحيث سلا ص = حـ د ، المستقيم أ ب يوازى كلا من )
المستويين س ، ص أثبت أن : أ ب / / حـ د
الحـــــــــــــــــل
هناك مستوى يعين بالمستقيم أ ب والنقطة B أ ب / / س A
حـ وليكن ح يقطع المستوى س فى حـ م
( أ ب / / حـ م ( ١ B
أ ب / / ص والمستوى ح يقطع ص فى حـ ل
( أ ب / / حـ ل ( ٢ B
س ص
أ
ب
أ ب / / حـ م / / حـ ل B ( ٢ ) ، ( من ( ١
وهذا مستحيل الا إذا كان حـ م ، حـ ل تنطبق على حـ د
حـ
م ل
د
أ ب / / حـ د B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٤ ) م أ ب ، ن أ ب مثلثان فى مستويين مختلفين نصف م أ فى س ، م ب فى ص )
أثبت أن : س ص / / المستوى ن أ ب
الحـــــــــــــــل
س ، ص منتصفا م أ ، م ب
للمستوى م أ ب g س ، ص A س ص / / أ ب B
م أ ب لا ن أ ب = أ ب
س ص / / المستوى ن أ ب B
م
أ
ب
ن
س
ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٥ ) س ، ص مستويان متوازيان ، أ نقطة واقعة بين المستويين . رسم من أ )
المستقيمان ب أ حـ ، د أ هـ فقطعا المستوى س فى ب ، د ، المستوى ص فى هـ

16. أ ب
أ حـ
٢
٣
، حـ فإذا كان : = وكانت مساحة سطح المثلث أ هـ حـ = ٣٦ سم ٢
فأوجد مساحة سطح المثلث أ ب د
الحـــــــــــــــــــل
(أ ب ) ٢
(أ حـ ) ٢
- ١٦ -
المستوى س / / المستوى ص
ب د / / هـ حـ B
المثلث أ حـ هـ S المثلث أ ب د B
مساحة المثلث أ ب د
مساحة المثلث أ حـ ھـ
= = B
مساحة المثلث أ ب د
= B
مساحة المثلث أ ب د = ١٦ سم ٢ B
س
ص
أ
ب
د
ح
ھ
٤
٩
٣٦
٤
٩
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٦ ) م . أ ب حـ د هرم رباعى رأسه م وقاعدته متوازى الأضلاع أ ب حـ د قطع )
الهرم بمستوى يوازى قاعدته أ ب حـ د ويقطع م أ ، م ب ، م حـ ، م د فى س ، ص
، ع ، ل أثبت أن الشكل س ص ع ل متوازى أضلاع .
الحـــــــــــــــل
أ ب حـ د / / المستوى س ص ع ل
المستوى م أ ب تقطع المستويين
( س ص / / أ ب ( ١ B
أ ب / / د حـ B أ ب حـ د متوازى أضلاع A
بالمثل المستوى م د حـ يقطع المستويين س ص ع ل
( ل ع / / د حـ ( ٢ B ، أ ب حـ د
( س ص / / ل ع ( ٣ B ( ٢ ) ، ( من ( ١
( ٤ ) ، ( بالمثل س ل / / ص ع ( ٤ ) من ( ٣
أ
س
ص ع
ب ح
الشكل س ص ع ل متوازى اَضلاع B
م
ــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ
د
ل
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

17.  


ففى الشكـــــــل :
المستوى س / / المستوى ص / / المستوى ع
، ١
ل ، ل قاطعان لهما فى د ، ٢ ١ هـ ، و للمستقيم ل ، أ ، ب ٢
، حـ للمستقيم ل فإن : أ ب
=
د ھـ
١ ) إذا كان : أ ب = ب حـ فإن : د هـ = هـ و )
٢ ) يسمى التمرين المشهور بنظــــرية تاليــــــس فى الفراغ . )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٧ -
 
أ
ب
ح
ـ
د
ھ
ـ
و
س
ص
ع
ل ١ ل ٢
ب حـ
ھـ و
 
 

 
 
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

18. ففى الشكل : أ ب ، أ حـ مستقيمان فى
أ حـ = { أ } Ç المستوى س ، أ ب
، د هـ ، د و مستقيمان فى المستوى ص
د و = { د } Ç د هـ
فإذا كان : أ ب / / د هـ
، أ حـ / / د و فإن : المستوىس / / المستوىص
ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
س من نقطة أ ، المستقيمات ل ١ ، ل ٢ ، ل ٣ يمران بالنقطة ^ ففى الشكل : المستقيم ل
ل ١ ، ل ٢ ، ل ٠٠٠٠٠ ٣ وتسمى النقطة أ بموقع العمود ^ ل B أ
ل
ل ١ ل ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٨ -
س
ص
ح أ
ـ
د
ھ
ـ
و
المســــــتقيم العمــــــــودى على مســــتوى
س
أ
ل ٣
 
 
( ٣ )
 
 
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

19. ففى الشكل : إذا كان : ل ١ ، ل ٢ مستقيمان في المستوى س
ل ٢ = { أ } ، ل مستقیم عمودى علیھما Ç حيث ل ١
  ( ٢ )
- ١٩ -
س ^ من نقطة أ فإن أ
ل ١ ل ٢
ـــــــــــــــــــــــــــ
س من نقطة أ ^ س ، ل g ففى الشكل : ل ١ ، ل ٢
فبرسم مستقيمين من نقطة أ كل منهما يوازى ل ١ ، ل ٢
ل ٢ ^ ل ١ ، ل ^ ل B
المستوى س ^ ل B
ل
/ /
ل ٢
ففى الشكل : ل ١ ، ل ٢ ، ل ٠٠٠٠٠٠٠٠ ، ٣ عمودية على ل من نقطة أ
ل ١ ، ل ٢ ، ل ٠٠٠٠٠٠٠٠ ، ٣ تقع جميعا فى مستوى واحد B
هو س عموديا على المستقيم المعلوم من نقطة أ
ل
أ
 

  ( ١ )

ل ١ ل ٢
س
س ل ١


 
 
س
ل
ل ١ ل ٢
أ
اجل
. 
أ
/ /

20.  ( ٣ )
يستفاد من النتيجة ( ٤ ) أنه لا يمكن رسم أكثر من مستوى واحد يكون عموديا على
مستقيم معلوم ويمر بنقطة معلومة لا تنتمى لهذا المستقيم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٢٠ -
١ ) محور القطعة المستقيمة : )
أ ب ^ فى الشكل المقابل : حـ منتصف أ ب ، د هـ
د هـ محور تماثل أ ب وكما نعلم أن أى نقطة B
على محور التماثل د هـ يكون على بعدين متساويين من طرفيها .
٢ ) مستوى محاور القطعة المستقيمة : )
ففى الشكل : أ ب قطعة مستقيمة ، حـ منتصفها
س مستوى عمودى على أ ب ويمر بالمقطة حـ
يسمى هذا المستوى مستوى محاور القطعة أ ب
ونلاحظ أن أى نقطة تنتمى الى المستوى س
تكون على بعدين متساويين من طرفى أ ب
د
حـ
ھـ
المستوى س g أى أن : هـ أ = هـ ب حيث هـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــال ١
فى متوازى المستطيلات ((مربع طول أحد الأقطار يساوى مجموع مربعات أطوال ثلاثة
أحرف متقاطعة فى نقطة ))
الحـــــــــــــل
س 
 ( ٤ )
 

ملاحـــــظة :
ملحوظــــات:
أ ب
ھـ
س
أ ب
حـ
س
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

21. د د عمودى على المستوى أ ب حـ د A ، نرسم ب د
ق ( < د د ب ) = ٩ْ٠ B ب د ^ د د B
( ١ ) ( د ب ) ٢ = ( د د ) ٢ + ( ب د ) ٢
أ ب حـ د مستطيل A
ق ( < د حـ ب ) = ٩ْ٠ B
( ٢ ) ب د ) ٢ = ( ب حـ ) ٢ + ( د حـ ) ٢ ) B
/ د
أ
ب حـ
أ
ب حـ
بالتعويض من ( ٢ ) فى ( ١ ) وحيث أ د = ب حـ
د ب ) ٢ = ( د د ) ٢ + ( أ د ) ٢ + ( د حـ ) ٢ وهو المطلوب إثباته ) B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــال ٢
فى الشكل المقابل : أ ب حـ د سطح مستطيل حيث
المستوى ^ ب د = { ن } ورسم ن م Ç أ حـ
أ ب حـ د أثبت أن : م أ = م ب = م حـ = م د
الحــــــــــــــــــــــل
- ٢١ -
المستوى أ ب حـ د ^ ن م A
ق ( < م ن أ ) = ٩ْ٠ B أ ن ^ م ن B
( ١ ) ( م أ ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( أ ن ) ٢
( ٢ ) بالمثل : ( م ب ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( ن ب ) ٢
( ٣ ) ، ( م حـ ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( ن جـ ) ٢
د
م
ن
أ حـ = ب د B أ ب حـ د مستطیل A ( ٤ ) ، ( م د ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( ن د ) ٢
( أ ن = ب ن = ن حـ = ن د ( ٥ B
( ٥ ) ، ( ٤ ) ، ( ٣ ) ، ( ٢ ) ، ( من ( ١
م أ ) ٢ = ( م ب ) ٢ = ( م حـ ) ٢ = ( م د ) ٢ ) B
م أ ) = ( م ب ) = ( م حـ ) = ( م د ) ) B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــال ٣
فى الشكل المقابل :
أ ب حـ د أ ب حـ د مكعب طول قطره
ب د = ٣ ٦ سم إحسب طول حرف المكعب .
/ د/
أ
ب حـ
/ /
د
الحــــــــــل
ب د ) ٢ = ل ٢ + ل ٢ + ل ٢ ( حيث ل طول حرف المكعب ) ) B ب د قطر فى المكعب A
٣ ل ٢ = ٣ × ٣٦ B ٣ ل ٢ = ٢( ٣ ٦) B ٣ ل ٢ = ب د ) ٢ ) B
طول حرف المكعب ( ل ) = ٦ سم B
د
/
/
/
/
/ /
/ /
/ /
أ
ب حـ
أ
ب حـ

22. ((الإسقــــاط العمــــــودى ))
( / شكل ( ٢
- ٢٢ -
الفصل الخامس:

أ
( شكل ( ١
س /
أ
س أ ٠
تعريف :
المسقط العمودى لنقطة معلومة على مستوى
معلوم هو النقطة التى هى موقع القطعة
المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة
( المعلومة على المستوى كما فى شكل ( ١
مسقط أ على المستوى س هى أ .
ملاحظــــــة هامة :
إذا كانت النقطة تقع على المســــــــتوى فإن مسقطها العمودى هى نفسها
أ هى مسقطها هى نفسها B س g كمــــــــــــا فى شكل ( ٢ ) أ

أ
ب
حـ
أ
ب
حـ
/
/
/
تعريف :
مسقط قطعة مستقيمة معلومةعلى مستوى
معلوم هى قطعة مستقيمة ففى الشكل أ ب
قطعة مستقيمة مسقطها على المستوى س
س e/ هى القطعة المستقيمة أ/ب
ملاحظــــــة هامة :
المستوى س يسمى (( مستوى المسقط )) والمستوى المكون من المستقيم أ ب ،
ومسقطه أ/ ب/ يسمى (( مستوى الإسقاط ))

23. 
( شكل ( ١ ) شكل ( ٢
( شكل ( ٣ ) شكل ( ٤
/
/
/
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٢٣ -
أ
ب
أ/ ب/
أ
ب
/
أ
أ ب
أ
ب/
ب
أ
أ ع
ب
ملاحظــــــة هامة :
( فى شكل ( ١ ) مسقط القطعة المستقيمة العمودية أ ب هو نقطة وفى شكل ( ٢
مسقط القطعة الستقيمة أ ب هو القطعة المستقيمة أ / ب/ أصغر من القطعة
الأصلية أ ب فى شكل ( ٣ ) مسقط القطعة المستقيمة أ ب الموازية للمستوى س
هو القطعة أ/ ب/ تساوى القطعة الأصلية أ ب مسقط القطعة المستقيمة فى شكل
٤ ) حيث طرفيها فى جهتين مختلفتين من المستوى س هو أ/ ب/ أصغر من )
القطعة الأصلية .

 
 

24. ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ب/
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
العلاقة بين طول قطعة مستقيمة وطول مسقطها على مستوى
- ٢٤ -
ل ١
ل ٢
ھـ
س
ومن الواضح أن :
٠ ≤ ھـ ≤ ٩ْ٠
الزاوية بين قطعة مستقيمة ومستوى
س
أ
أ/
تعريف :
الزاوية بين قطعة مستقيمة ومستوى هى
الزاوية بين القطعة المستقيمة ومسقطها
على المستوى س . أو هى الزاوية بين
المستقيم الحامل لهذه القطعة والمستوى
ب
س
ھـ
ھـ
أ
أ/
ب
ل
ب/
و
أ/ ب/ = أ حـ B أ/ أ حـ ب/ مستطيل A
حتـا هـ = A ،
أ حـ = أ/ ب/ = أ ب حتـا هـ B
ح
أ حـ
أ ب
جیب تمام × طول مسقط قطعة مستقیمة على مستوى = طول القطعة المستقیمة
زاویة میل المستقیم الحامل لھا على المستوى .
٠ ≤ حتا ھـ ≤ ١ Bْ حتا ٠ ≥ْ حتا ھـ ≥ حتا ٩٠ Bْ وحیث ٠ ≤ ھـ ≤ ٩٠
٠ ≤ أ/ ب/ ≤ أ ب B أ/ ب/ = أ ب حتا ھـ A

25. تمــــــــــارين محلولة
١ ) أ ب حـ د أ/ ب/ حـ/ د/ متوازى مستطیلات أذكــــــــــــــــر : )
( أ ) مسقط أ ب على المستوى ب حـ حـ/ ب/
( ب ) مسقط حـ/ د/ على المستوى أ ب حـ د .
( حـ ) مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب/ أ /
( د ) مسقط أ ب/ على المستوى حـ د د/ حـ/
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
أ/
د/
ب/ حـ/
مسقط أ ب على المستوى ب حـ حـ/ ب/ ھو B ب حـ ^ أ ب B أ ب حـ د مستطیل A
النقطة ب
( ب ) مسقط حـ/ د/ على المستوى أ ب حـ د . ھو حـ د
مسقط أ على أ ب ب/ أ/ ھو أ نفسھا A / ( حـ ) مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب/ أ
مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب/ أ / ھو أ ب B ومسقط حـ على أ ب ب/ أ/ ھو ب
( د ) مسقط أ ب/ على المستوى حـ د د/ حـ/ ھو د حـ/
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــــــــــــــــــــــــــــال ٢
أ ب حـ أ/ ب/ حـ / منشور ثلاثى أحرفھ أ أ/ ، ب ب/ ، حـ حـ/ تمیل على مستوى القاعدة
أ ب حـ بزاویة ٦٠ وْطول كل من ھذه الأحراف یساوى ٣ ١٢ سم إحسب .
١ ) طول مسقط ب ب / على مستوى القاعدة أ ب حـ . )
٢ ) طول القطعة المستقیمة المرسومة من ب/ عمودیة على القاعدة أ ب حـ . )
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
المثلث ب/ م ب قایم الزاویة فى م ، ق ( < ب/ ب م ) = ٦ْ٠ A
ق ( < م ب/ ب ) = ٣ْ٠ B
مسقط الحرف ب ب / على القاعدة ھى م ب A
١
ب م = ٣ ٦ سم B / ب م = ب ب A
ب م ) ٢ = ( ب ب/ ) ٢ – ( ب م ) ٢ ) A
٣٢٤ = ٢( ٢ ــ ( ٣ ٦ ( ٣ ١٢ ) = ب م ) ٢ ) B
ب م = ١٨ سم B
- ٢٥ -
أ
ب
د
ح
أ
ب
ح
أ/
ب/
حـ/
٦ْ٠
٣ ١٢ سم
م
٢

26. ((  ))
(( ٤ ))

 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٢٦ -
س
أ
ب
د
ح
ن
ففى الشكل : أ ب مائل علىس وعمودى
حـ د ^ ب ن B على حـ د
حيث ب ن مسقط أ ب على س
((  ))
(( ٤ ))

 
س
أ
د
ح
ن
ففى الشكل : أ ب مائل علىس ب ن مسقط
حـ د ^ ھذا المستقیم على المستوى ب ن
حـ د ب ^ فإن أ ب
اللهم اجعل هذا العمل خالصا لوجهك الكريم

27.  

س
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
أ ب ١٢
١٣
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٢٧ -
١ ) فى شكل المقابل : )
أ ب ، أ د مائلان على المستوى س ،
حـ د ^ المستوى س وكان هـ ب ^ أ هـ
الواقع فى س فإذا كان : ب د = ٥ سم
، أ د = ١٣ سم فأحسب طول أ ب ، وقياس
زاوية أ د ب
أ
ھـ
ح ب د
حـ د ^ ھـ ب A ھـ ب مسقط أ ب علىس B س^ أ ب مائل علىس، أ ھـ A
ق ( < أ ب د) = ٩ْ٠ B حـ د ^ أ ب B
١٢ سم = ٢٥ - ١٦٩ = أ ب = ( أ د ) ٢ – ( ب د ) ٢
٦ْ٧ /٢٢ // ق ( < أ د ب ) = ٤٨ B = = ( حا ( <أ د ب A
أ د
٢ ) فى شكل المقابل : )
أ ب حـ د متوازى أضلاع فيه ق ( < حـ )
^ ٦٠ ،ْ ب حـ = ٢٠ سم ، رسم د هـ =
المستوى أ ب حـ د حيث د هـ = ١٠ سم
أ ب ^ ثم رسم هـ و
أثبت أن : هـ و = ب حـ
أ
ب
ح
ھـ
د
و
٦ْ٠
٢٠ سم
١٠ سم
و د ^ هـ د B المستوى أ ب حـ د ^ هـ د A العمل : نرسم و د
( أ ب ( نظرية ٤ ^ د و B و د مسقط هـ و على المستوى أ ب حـ د B

28. المثلث أ و د قائم الزاویة فى و ، ق ( < أ ) = ٦٠ خْواصمتوازى الأضلاع B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٢٨ -
B
و د = ٣ ١٠ سم فى المثلث و ھـ د القائم فى Bْ ق ( < أ د و ) = ٣٠
٢٠ = ٢( ١٠ ) + ٢( و ھـ = ( ٣ ١٠ B < و د ھـ
و ھـ = ب حـ B
٣ ) سصع مثلث فیھ ق ( < س عص) = ٣ْ٠ )
، ع س = ١٢ سم رسمت س ل عمودية على مستوى
ص ع ^ المثلث بحيث كان س ل = ٨ سم ثم رسمت ل م
تقابله فى م أوجد طول كل من س م ، ل م وكذلك قياس
زاوية ميل ل م على المستوى س ص ع .
س م ^ س ل B المستوى س ص ع ^ س ل A
مسقط ل م على المستوى هو س م B
س م ع قائم الزاوية فى م Ñ B ص ع ^ س م B
م س ل قائم الزاوية فى س Ñ A س م = ٦ سم B
١٠ سم = ٢( ٦ ) + ٢( ل م = ( ٨ B
حـا ( < ل م س ) = A
٥ْ٣ / ٧ / / ق ( < ل م س ) = ٤٨ B
وهى الزاوية التى يميل بها المستقيم ل م على
المستوى
س
٣ْ٠
ل
ص ع
م
١٢ سم
٨ سم
٨
١٠

29. ٤) م أ ، م ب ، م ب ثلاث قطع مستقيمة غير مستوية )
المستوى أ ب حـ ^ ومتعامدة مثنى مثنى ، رسمت م هـ
تقابله فى هـ فإذا قطع أ هـ الضلع ب حـ فى د فأثبت أن
ب حـ وأستنتج أن ^ المستوى م ب حـ وأن م د ^ م أ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٢٩ -
هـ د × ( م هـ ) ٢ = أ هـ
م أ عمودى B م أ عمودى على كل من م ب ، م حـ A
( المستوى م ب حـ ( ١ ^ م أ B على مستویھما
المستوى أ ب حـ ^ م ھـ A ب حـ ^ م أ B
المستوى أ م ھـ ^ ب حـ B ب حـ ^ م ھـ B
المستوى أ م د ^ ب حـ B أ د ^ ب حـ B
( م د برھــــــــــــا ( ٢ ^ ب حـ B
ق ( < أ م د ) = ٩٠ فْیھ B م د ^ أ م A
أ د حیث م ھـ عمودى على المستوى أ ب حـ ^ م ھـ
( ھـ د برھــــــــــــان ( ٣ × م ھـ ) ٢ = أ ھـ ) B
من نظریة إقلیدس
أ
م
ھـ
د
ب حـ
اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا وذدنا علما

30. الزاويـــــــة
الزوجيــــــــــة
ب
٠ ٠
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٣٠ -
حـ
س ص
د
أ
تعریف :
إذا كان : س ، ص نصفى مستویین لھما حد
مشترك ھو حـ د فإن : إتحاد نصفى المستویین
مع حدیھما المشترك ’’ زاویة زوجیة ’’
یسمى حـ د (( بحرف الزاویة الزوجیة )) ·
كما یسمى نصفى المستویین س، ص ·
مع حـ د (( وجھا للزاویة الزوجیة ))
 
١ ) الزاویة الزوجیة حـ د ( ٢ ) الزاویة الزوجیة س– حـ د ــص )
صg س ، ب g ٣ ) الزاویة الزوجیة أ - حـ د - ب حیث أ )
الزاويـــــــــة الزوجيـــــة
الناتجة عن تقاطع مستويين
ص
س
أ
ب
حـ
د
ھـ
و
٠
٠
٠ ٠
 
 
 
  ·

 ·
 

31. الزاوية المســـــــتوية
لزاويـــــــة زوجيـــــة
- ٣١ -
أ
د حـ ھـ
ص
س
ب

قطعھا المستوى ع العمودى على أ ب وقطع
الوجھسفى حـ د ، الوجھ ص فى حـ ھـ
 
 
تعریف :
الزاویة المستویة لزاویة زوجیة ھى
الزاویة التى تنشأ من تقاطع ھذه الزاویة
الزوجیة بمستوى عمودى على حرفھا
ع
م
ن
حقیقــــــــــــــــــــــــــة
جمیع الزوایا المستویة لزاویة زوجیة تكــــــــــــون متساویة فى القیاس
تعــــــــــــــریف
قیاس الزاویة الزوجیة ھو قیاس أى زاویة من زوایاھا المســــــــــتویة

32.  

المستوى ^ أ ب حـ فیھ ق ( < أ ) = ٣٠ ،ْ أ ب = ١٠ سم ، رسم ب د
أ جـ یقابلھ فى ھـ أثبت ^ أ ب حـ بحیث كان ب د = ٥ سم ثم رسم ب ھـ
أ حـ ثم أوجد طول كل من ب ھـ ، د ھـ وقیاس الزاویة الزوجیة ^ أن د ھـ
( ب - أ حـ - د ) .
الحــــــــــــــــل
٥ سم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣
٤
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٢ -
د
أ
ب
٣٠ حْـ
ھـ
١٠ سم
ب ھـ ^ د ب B المستوى أ ب حـ ^ د ب A
د ھـ مائل على المستوى أ ب جـ ومسقطھ A
أ حـ ( نظریة ) ^ د ھـ B أ حـ ^ ب ھـ
( برھــــــــــــــــــــان ( ١
المثلث أ ھـ ب قائم فى ھـ ، ق ( < أ ) = ٣ْ٠ A
ب ھـ = ٥ سم ( نتیجة ) B
فى المثلث د ب ھـ القائم فى ب
ق ( د ھـ ب ) = ٤ْ٥ B د ب = ب ھـ = ٥ سم
وھى زاویة مستویة تساوى الزاویة الزوجیة
( ب – أ حـ - د )
مستوى ^ ٢ ) أ ب حـ مثلث فیھ طـا أ = ، أ ب = ١٥ سم ، رسم ب د )
أ حـ یقابلھ فى ھـ . أوجد طول ب ھـ ^ المثلث بحیث ب د = ٩ سم ثم رسم ب ھـ
أ حـ قم أوجد قیاس الزاویة الزوجیة ( < ب – أ حـ - د ) ^ وأثبت أن د ھـ
حـ د
ھـ ٩ سم
أ ب
١٥ سم
٣
٤
حـا أ = B = طـا أ A
٣
٣ ٥
٥
٩ سم = × حـا أ = ١٥ × ب ھـ = أ ب B
د ھـ مائل على المستوى أ ب جـ ومسقطھ A
أ حـ ^ د ھـ B المستوى أ ب حـ ^ ب ھـ

33. المثلث د ھـ ب قائم فى ب ، ب ھـ = د ب = ٩ْ٠ A
ق ( < د ھـ ب ) = ٤٥ وْھى تساوى ق ( < ب – أ حـ - د ) B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستوى المثلث فإذا كان ^ ٣ ) أ ب حـ مثلث قا ئم الزاویة فى ب ، رسم ب د )
ب أ = ب حـ = ب د فأثبت أن المثلث أ حـ د متساوى الأضلاع ثم أوحد قیاس
الزاویة الزوجیة ( < ب - أ حـ - د ) .
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٣ -
B ث
أ حـ
أ
ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د
المثلثات أ ب حـ ، أ ب د ، د ب حـ كلھا قائمة A
لأن د ب عمودى المستوى أ ب حـ وھى متطابقة
أیضا بضلعین والزاویة المحصورة القائمة
المثلث أ حـ د مثلث B أ ب = حـ د = أ د B
( متساوى الأضلاع برھـــــــــــــــــان ( ١
أ حـ ثم نصل ھـ د ^ نرسم ب ھـ
أ حـ ^ أ ب حـ متساوى الساقین ، ب ھـ Ñ A
ب ھـ = أ حـ ( نظریة ) B ھـ منتصف أ حـ
فى المثلث أ ب حـ نفرضأن أ ب = ب حـ = س
ب ھـ = B أ حـ = س ٢ B
طـا ( < ب ھـ د ) = = A
٥٤ وْھى زاویة مستویة / ق ( ب ھـ د ) = ٤٤ B
تساوى ق ( < ب – أ حـ - د )
ھـ
١
٢
س ٢
٢
د ب
ب ھـ
٢ س
س ٢

34. مستوى المستطیل ^ ٤ ) أ ب حـ د مستطیل تقاطع قطراه فى م ، رسم م س )
بحیث كان م س = ب حـ ثم رسمت س أ ، س ب أثبت أن
( أولا ) س أ = س ب
. ( ثانیا ) ظل الزاویة الزوجیة ( < س - أ ب - حـ ) = ٢
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٤ -
أ
د
م
س
ب حـ
أ جـ = ب د B أ ب حـ د مستطیل A
أ م = ب م = حـ = د م B
^ أ م س ، ب م س القائمان حیث س م ÑÑ
على كل مستقیم في المستوى أ ب جـ د فیھما
١ ) أ م = ب م ( ٢ ) س م مشترك )
٣ ) ق ( < أ م س ) = ق ( < ب م س ) = ٩ْ٠ )
ب م س Ñ k أ م س Ñ B
( أ س = س ب برھـــــــــــــــا ( ١ B
أ ب ثم نصل ھـ م ^ نرسم س ھـ
( أ ب ( ١ ^ ھـ م B ھـ م مسقط س ھـ A
فى المثل أ ب حـ القائم فى ب ، م متصف أ حـ
( ، م ھـ / / ب حـ وذلك من ( ١
( ھـ م = ب حـ ، ٢ ھـ م = ب حـ ( ٢ B
طـا ( < س ھـ م ) = B ( ٢ ) ، ( من ( ١
طـا ( < س ھـ م ) = = ٢ B
حیث ب حـ = س م
طـا ( < س - أ ب - حـ ) = ٢ B
ھـ
١
٢ س م
ھـ م
٢س م
س م

35. المستويات المتعامدة
تعریف :
یقال لمستویان متقاطعان أنھمـــــــــــا متعامدان إذا كانت إحــــدى الزوایـــــــــــــا
الزوجــــــــــــــیة الناشــــــــــــــئة عن تقاطعھمــــــــــــــــــــا قائمة .
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نظـــــــــــرية
( ٥ )
إذا كان مستقیم عمودیا على مستوى فكل مستو یمر بھـــــــذا المستقیم
یكـــــــــون عمودیا على ذلك المســــــــــــــــــــــــــــــــتوى
- ٣٥ -
س
ص
أ
ب
ھـ حـ
د
ففى الشكل المستقیم حـ د عمودى على المستوىس والمستوى ص
المستوى س ^ المستوى ص B مار بالمستقیم حـ د

36. تمـــــــــــارين محلولة
( نظریــــــــة ( ٥
المستــــــــوى أ ب حـ ، ^ ١ ) د أ ب حـ ھرم ثـــــــــــلاثى فیھ أ د )
المستوى د أ ب ثم إستنتج ^ ق ( < أ ب حـ ) = ٩٠ أْثبت أن حـ ب
من ذلك أن المســــــــــــتویین د ب أ ، د ب حـ متعـــــــــــــامدان
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٦ -
د
أ
ب
حـ
أ ب ، ^ أ د B المستوى أ ب حـ ^ أ د A
أ ب د ^ المستوى أ ب حـ B ب حـ
المستوى أ ب حـ e ب حـ A
( المستوى أ ب د برھان ( ١ ^ ب حـ B
المستوى د ب حـ مار بالمستقیم ب حـ A
المستوى د ب حـ ، د ب أ متعامدین B
) أ ب حـ د مستطیل تقاطع قطراه فى م ثم رسم م ھـ مستوى ^ ٢ )
المستطیل بحیث كان م ھـ = ب حـ ، ط منتصف أ ب ، ١
ن متصف د حـ أثبت أن
أولا : ق ( < ط ھـ ن ٩٠ ٢
) = ثْانیا : المستویین ھـ أ ب ، ھـ حـ د متعامدان
أ
د
ھـ
م
ط ن
ب جـ
نرسم ط م فى المثلث أ ب حـ ط ، م منتصفى
١
٢ ١
ط م = ب حـ B أ ب ، أ حـ على الترتیب
ط م = ھـ م B ھـ م = ب حـ A
٢
ط م ^ ھـ م B المستوى أ ب حـ د ^ ھـ م A

37. ق ( < ھـ ط م ) = ق ( < ط ھـ م ) B ھـ م ط مثلث قائم فیھ ھـ م = ط م B
ق ( < ھـ ط م ) = ٤٥ بْالمثل ق ( ن ھـ م ) = ٤ْ٥ B
( ق ( < ط ھـ ن ) = ٩٠ بْرھــــــــــــــــان ( ١ B
(( لاحظ أن : ط م // ب حـ ، م ن // ب حـ ومشتركان فى نقطة حـ
ط ن یمر بنقطة م )) B
المستوى ھـ أ ب والمستقیم ھـ ن یمر e ط ھـ A ھـ ن ^ ط ھـ A
المستویین ھـ أ ب ، ھـ د حـ متعامدین B بالمستوى د ھـ حـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) س،ص مستویان متقاطعان فى أ ب وقیاس الزاویة الزوجیة )
بینھما ٦٠ رْسم فى المستوىسالمربع أ ب حـ د ثم نصفت حـ د فى ھـ
المستوى ص یقابلھ فى و ، نصفت أ ب فى م ثم رسمت ھـ م ^ ورسم ھـ و
، و م أثبت أن المستویین ھـ و أ ، ھـ و ب متعامدین .
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
ھـ منتصف د حـ ، م منتصف أ ب و A
- ٣٧ -
ص
س
أ
ب
د
حـ
ھـ
م
أ ب ^ ھـ م B ھـ م / / أ د / / ب حـ B
أ ب ^ ھـ م مائلة على المستوىص ، ھـ م A
ھـ و م > A أ ب أیضا ^ مسقطھا و م B
زاویة مستویة للزاویة الزوحیة
ق ( ھـ و م ) = ٦ْ٠ B ( ( < ھـ - أ ب – و
١
٢ ١
و م = ھـ م = Bْ ق ( < و ھـ م ) = ٣٠ B
ق ( < أ و م ) = ٩ْ٠ B أ ب
٢
المستوى ^ أ و B كل من ب و ، ھـ و ^ أ و B
المستوى أ ھـ و مار المستقیم أ و A ھـ و ب
المستوى أ ھـ و والمستوى ھـ و ب متعامدین

38. نظـــــــــــرية
( ٦ )
إذا تعامد مستویان ورسم فى إحداھما مستقیم عمودى على خط التقاطع
كان ھذا المستقیم عمودیا على المستوى الآخر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٣٨ -
س
ص
أ
ب
ھـ حـ
د
ففى الشــــــــــــــــكل :
إذا كان : س ، ص مستویان متعامدان وكان خط تقاطعھما المستقیم أ ب
أ ب ^ ، حـ ھـ مستقیم یقع فى المستوىسوكان ھـ حـ
المستوى ص . ^ فإن ھـ حـ
إذا كان كل من مستویین متقاطعین عمودیا على مستو ثالث كان خط تقاطع
ھذین المستویین عمودیا على المستوى الثالث
ع س ص
ففى الشكل : س، ص مسویین عمودیان
على المستوى ع وكان المستقیم ل خط
تقاطع المســـــــتویین س، ص فإن ل
عمودى على المســــــــــــــــــتوى ع
ل

39. تمـــــــــــارين محلولة
( نظریــــــــة ( ٦
١ ) أ ب حـ أ/ ب/ حـ/ منشور ثلاثى قائم قاعدتھ أ ب حـ مثلث متساوى )
الســــــــــــــــاقین حیث حـ أ = حـ ب فإذا كانت د منتصف أ ب فأثبت أن
المســــــــــــــتوى أ ب ب/ أ/ ^ حـ د
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٩ -
أ
ب
حـ
أ/
ب/
حـ/
د
المنشور أ ب حـ أ/ ب/ حـ/ قـــــــــــائم A
أ أ/ ، ب ب/ ، حـ حـ/ عمودیة على B
المستوى ^ المستوى أ/ أب ب/ B . القاعدتین
د منتصف أ ب A أ ب حـ
أ ب ، أ ب ھو خط التقاطع بین ^ حـ د B
المستوى أ/ أب ب/ والمستوى أ ب حـ
المستوى أ/ أب ب/ ^ حـ د B
٢ ) دائرة مركزھا م ، أ ب وتر فیھا ، د أ ب مستوى عمودى على )
المستوى د أ ب ^ مستوى الدائرة فإذا كانت ن منتصف أ ب فأثبت أن : م ن
م ٠
أ
ب
ن
مستوى الدائرة ^ المستوى د أ ب A
أ ب ^ م ن B ن منتصف أ ب A
م ن مار بمستوى الدائرة A
المستوى أ ب د ^ م ن B
د

40. ٣ ) أ ب حـ مثلث قائم الزاویة فى ب فیھ أ ب = ٦ سم ، أ حـ = ١٠ سم )
، د نقطة لا تنتمى لمستوى المثلث أ ب حـ بحیث د أ = د ب = د حـ = ١٢
سم فإذا كانت ھـ منتصف أ حـ ورسم ب ھـ ، د ھـ فأثبت أن المستویین
د أ حـ ، أ ب حـ متعامدان . وإذا فرضت النقطة و على أ حـ بحیث كان
المستوى د أ حـ ^ أ و = ٣٫٦ فأثبت أن : وب
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٤٠ -
أ ج
ب
٦ سم
١٠ سم
د
١٢ سم
ھـ
أ د = د حـ ، ھـ منتصف أ حـ A
أ حـ ، د ھـ = ١٣ سم من ^ د ھـ B
فیثاغورس فى المثلث أ ب حـ القائم
ب ھـ متوسط فیھ B ، ھـ منتصف أ حـ
ب ھـ = أ حـ = ٥ سم B
١
٢
المثلث د ھـ ب قائم B د ب = ١٢ A
ق ( < د ھـ ب ) = ٩ْ٠ B
ب ھـ ^ د ھـ B
و
٣٦ = ١٠ × أ حـ = ٣٫٦ × أ و A المستوى أ ب حـ ^ المستوى أ د حـ B
ق ( < أ ب حـ ) = ٩ْ٠ A ، أ حـ × أ ب ) ٢ = أ و ) B ٣٦ = أ ب ) ٢ ) A
المستوى أب حـ e ب و A ، أ حـ ^ ب و B
المســـــــــتوى أ حـ د ^ ب و B

41. تطبيــــقات
فى الهـــــــــرم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٤١ -
أ
ب ح
د
ھ
ن
قاعدة الھرم
حرف جانبى
وجھ جانبى
س
م
فى الشكل ھرم خماسى :
رأسھ النقطة ( م ) ·
*وقاعدتھ سطح المضلع أ ب حـ د ھـ
* ارتفاعھ : ھو طول العمود الساقط من
رأس الھرم الى قاعدتھ أ ب حـ د ھـ
وأحرفھ الجانبیة : ھى م أ ، م ب ·
، م حـ ، م د ، م ھـ
* وأوجھھ الجانبیة : ھى سطوح المثلثات
م أ ب ، م ب حـ ، م حـ د ، م د ھـ ، م ھـ أ
الھـــــــــــــــــرم القـــــــــــــائم
تعریف :
الھرم القائم ھو ھرم قاعدتھ على شـــــــــكل مضلع منتظم مركزه موقع العمود
المرســـــــــــــوم من رأس الھرم علیھــــــــــــــــــــــــا
شروط
الهــــــــرم القائم
یكون الھرم قائم :إذا تحقق الآتى :
١ ) تكون قاعدة الھرم مضلع منتظم أى أن : )
( أ ) أطوال أضلاعھ متساویة ( ب ) قیاسات زوایاه الداخلیة متساویة
٢ ) إرتفاع الھرم یلاقى القاعدة عند مركزھا حیث مركز الشكل المنتظم ھو )
مركز الدائرة التى تمر برؤوسة من الخارج

42. الهــــــــرم
الثلاثى القائم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٤٢ -
م
أ
ب
ح
ـ
الھرم الثلاثى القائم :
١ ) قاعدتھ سطح مثلث متساوى الأضلاع )
٢ ) ارتفاعھ یلاقى القاعدة فى نقطة تقاطع متوسطاتھ )
أو أرتفــــــــــــاعاتھ
٣ ) أ د = ، أ ن = )
ن د = حیث ل طول ضلع المثلث
ن
د
ل ٣
٢
ل ٣
٣
ل ٣
٦
الهــــــــرم
الرباعى القائم
م
أ ب
ح
ـ
د
الھرم الرباعى القائم :
١ ) قاعدتھ سطح مربع )
٢ ) ارتفاعھ یلاقى القاعدة فى نقطة تقاطع قطریھ )
فإذا كان طول ضلع المربع ھو ل فإن
٣ ) أ حـ = ٢ ، أ ن = )
٤ ) جمیع أحرفھ الجانبیة متساویة : م أ = م ب = م حـ )
= م د
٥ ) جمیع أوجھھ الحانبیة مثلثات متساویة الساقین )
ومتطابقة
٦ ) جمیع إرتفاعاتھ الجانبیة متساویة وھى ارتفاعات )
المثلثات المتساویة الأضلاع
ن
ل
ل ل
٢
٢

43. تمــــــــــارين
على الهـــــرم
أ ب فإذا كان ^ أ حـ ، م أ ^ ١ ) م أ ب حـ ھرم ثلاثى فیھ م أ )
م أ = ١٢ سم فأوجد طول أرتفاع الھرم .
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٤٣ -
م
أ
ب
ح
ـ
أ ب ^ أ حـ ، م أ ^ م أ A
المستوى أ ب حـ ^ م أ B
أ م ھو أرتفاع الھرم B
أرتفاع الھرم = ١٢ سم B
المستوى أ ب حـ ، أ ب = أ حـ = ١٠ سم ^ ٢ ) م أ ب حـ ھرم ثلاثى فیھ م أ )
، م أ = ٨ سم ، ب حـ = ١٢ سم فإذا كانت د منتصف ب حـ فأوجد .
أولا : طول أ د ( ثانیا ) ق ( < م – ب حـ - أ )
( ثالثا ) أثبت أن المستویین م أ د ، م ب حـ متعامدین
م
أ
ب
ح
ـ
١٠ سم
١٠ سم
٨ سم
٢د ١ سم
المثلث أ ب حـ فیھ أ حـ = أ ب = ١٠ A
ب حـ ^ أ د B ، د منتصف ب حـ
٨ سم = ٢( ٦ ) - ٢( أ د = ( ١٠ A
نصل م د
أ د ^ أ م B المستوى أ ب حـ ^ أ م A
المثلث أ م د قائم فى أ فیھ أ م = م د B
ق ( < أ د م ) = ٤ْ٥ B
ق ( < م – ب حـ - أ ) = ٤ْ٥ B

44. المستوى أ م د ^ ب حـ B ب جـ ^ ب حـ ، أ د ^ م د A
المستویین أ م د ، م حـ ب B المستوى م حـ ب یمر المستقیم ب حـ A
متعامدان
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) م أ ب حـ د ھرم رباعى قائم رأسھ م وطول ضلع قاعدتھ یساوى )
طول إرتفاع الوجھ الجانبى م أ ب إحسب ق ( < م – أ ب – حـ )
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٤٤ -
م
أ
ب
ح
ـ
د
ھـ
الوجھ م أ ب مثلث متساوى الساقین ، م ھـ A
أ ب ^ أ ھـ B ارتفاع ھذا الوجھ
أ ن ب قائم ، ن ھـ متوسط A ، ھـ منتصف أ ب B
ن ھـ = أ ب = ل B خارج من رأس القائمة
م ھـ ، م ن عمودیین على المستوى أ ب حـ د
الزاویة م ھـ ن زاویة مستویة للزاویة الزوجیة B
حتـا ( < م ھـ ن ) = = = A
ق ( < م ھـ ن ) = ٦ْ٠ B حیث أ ب = م ھـ = ل
ن
١
٢
ھـ ن
ھـ م
ل
٢ ل
١
٢
الحمد لله وحده الذى بنعمتھ تتم الصالحات الحمد لله الذى أعاننى على
إنھـــــــــــــــــــــاء ھذه المذكـــــــــــــــــرة فى وقت وجیز

45. - ٤٥ -