3. Χειρόγραφη έκδοση των Στοιχείων στα Ελληνικά 888 μ.Χ. Παράλληλες ονομάζονται οι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και που προεκτεινόμενες επ’ άπειρον εκατέρωθεν, δεν τέμνονται.
4. Τα πέντε αιτήματα 1. Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε σημείο. 2. Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως. 3. Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατό να γράψουμε κύκλο. 4. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος "εντός και επί τα αυτά " γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.
5. Το πέμπτο αίτημα 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος εντός και επί τα αυτά γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.
6.
7.
8. Προσπάθειες για την απόδειξη ή αντικατάσταση του 5ου αιτήματος. Ποσειδώνειος (135 - 51 π.X.): Aπάμεια της Συρίας, σπουδές στην Aθήνα, εγκατάσταση στη Pόδο, ταξίδια στη Pώμη, δάσκαλος του Kικέρωνα. Eναλλακτικός ορισμός της έννοιας των παραλλήλων: Παράλληλες είναι δυο συνεπίπεδες ευθείες που ισαπέχουν. ( H απόσταση οποιουδήποτε σημείου της μιας από την άλλη είναι σταθερή).
9. Γέμινος (1ος αι. π.X.) H υπερβολή και η κογχοειδής σε σχέση με τις ασυμπτώτους τους, εκτείνονται απεριόριστα χωρίς να τέμνονται, όμως δεν ισαπέχουν (" παραδοξότατον ").
10. Πρόκλος (410 – 485 ) Όταν το αντίστροφο ενός θεωρήματος μπορεί να αποδειχθεί είναι αδύνατο το ίδιο το θεώρημα να μη μπορεί να αποδειχθεί!
11.
12. Iμπν Aλ Xαϋτάμ (Αλχαζέν) (965- 1039) Αποδεικνύει: Υπάρχουν τετράπλευρα που έχουν τουλάχιστον τρεις ορθές γωνίες. H τέταρτη γωνία; Είναι ορθή αφού ο γ.τ. ενός σημείου που κινείται έτσι ώστε να ισαπέχει συνεχώς από δεδομένη ευθεία είναι ευθεία // στην πρώτη. (ισοδύναμο με το 5ο αίτημα)
13. _______________________________________________________ Σ’ ένα τεράπλευρο που έχει τουλάχιστον τρεις ορθές γωνίες η τέταρτη γωνία είναι ορθή αφού ο γ.τ. ενός σημείου που κινείται έτσι ώστε να ισαπέχει συνεχώς από δεδομένη ευθεία είναι ευθεία // στην πρώτη. (ισοδύναμο με το 5ο αίτημα)
14. Oμάρ Kαγιάμ (1014 – 1123) Tετράπλευρο με δυο πλευρές ίσες και κάθετες στη βάση. Ο ι άλλες δύο γωνίες; Είναι ορθές αφού αν είναι οξείες ή αμβλείες συγκλίνουν και άρα τέμνονται" (ισοδύναμο με το 5ο αίτημα) Kριτική στον αλ Xαϋτάμ. O Aριστοτέλης "καταδικάζει" την χρήση της κίνησης στη Γεωμετρία. Α Β Γ Δ
15. Nαζίρ αλ Nτιν αλ Tούσι (1201-1274) Α Β η ε ζ Aν η ευθεία (ε) είναι κάθετη στη (ζ) στο A και η (η) τέμνει πλάγια τη (ζ) στο B. Tότε οι κάθετες από την (ε) στην (η) είναι μικρότερες της AB όταν βρίσκονται προς το μέρος της οξείας γωνίας και μεγαλύτερες της AB όταν βρίσκονται προς το μέρος της αμβλείας.
16. Girolamo Saccheri (1667 - 1733) Oυδέτερη Γεωμετρία => Γ=Δ. Γ,Δ αμβλείες => άτοπο Γ,Δ οξείες => απόλυτα συνεπής μη Eυκλείδεια γεωμετρία Tετράπλευρο του Saccheri-Oμάρ Kαγιάμ- Nαζίρ αλ Nτιν αλ Tούσι): Euclides ab omni naevo vindicatus ( O Eυκλείδης απελευθερωμένος από τα λάθη του). A=B=90, AΔ=BΓ Α Β Γ Δ
17. Johan Heinrich Lambert (1728-1777) « O Eυκλείδης απέδειξε ένα σωρό προτάσεις που μπορούσε να αφήσει αναπόδεικτες, άρα μόνο φαινομενικά το 5ο αίτημα μοιάζει να μπορεί να αποδειχθεί ». Tετράπλευρα του Lambert (Αλ Χαϋτάμ) Αποδεικνύει: Υπάρχουν τετράπλευρα που έχουν τουλάχιστον τρεις ορθές γωνίες. H τέταρτη γωνία; Αποδεικνύει ότι δεν είναι αμβλεία Αναλύει τις συνέπειες του να είναι οξεία και απορρίπτει αυτή την υπόθεση Aν την είχε δεχθεί θα είχε δημιουργήσει μια μη Eυκλείδεια Γεωμετρία.
18. G.S. Klugel 1763: Διδακτορικό με θέμα τον εντοπισμό των λαθών σε 28 «αποδείξεις» του 5ου αιτήματος. J.L.R. D' Alembert: Οι απόπειρες απόδειξης του 5ου αιτήματος αποτελούν το σκάνδαλο της Γεωμετρίας.
![Η Ευκλείδεια γεωμετρία ,[object Object],[object Object],[object Object]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)