Η εργασία των μαθητριών Πίστη Τσακιρίδου, Έλενα Τσακμάνη

1. Ευκλείδειες Προτάσεις
ΕΛΕΝΑ ΤΣΑΚΜΑΝΗ
ΠΙΣΤΗ ΤΣΑΚΙΡΙΔΟΥ

2. Γενικές γνώσεις
 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε ως
αληθινές: τα αξιώματα.
 Κάθε άλλη πρόταση (διαφορετική από τα αξιώματα) την θεωρούμε ως αληθή μόνο εάν
έχουμε καταλήξει σε αυτή αποδεικνύοντας την με βάση τα αξιώματα (κατά συνέπεια κάθε
αποδεδειγμένη πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη μίας άλλης πρότασης.
 Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται συνθήκες της πρότασης . Στη Γεωμετρία δύο
προτάσεις μπορεί να λέγονται:
 Αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
 Αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις
των συνθηκών της άλλης,

3. Το αντικείμενο την ευκλείδειας γεωμετρίας
Η Γεωμετρία προχωράει από το πιο απλό στο πιο σύνθετο.
Θα πρέπει, ωστόσο, από κάπου να ξεκινήσουμε, από έννοιες οι οποίες προκύπτουν
άμεσα από την εμπειρία μας, όπως οι έννοιες σημείο, ευθεία και επίπεδο τις οποίες
δεχόμαστε ως πρωταρχικές χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Όμως οι έννοιες αυτές
υπόκεινται στις παρακάτω παραδοχές:
 • Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία.

• Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε
αυτή.

• Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο
κατευθύνσεις, χωρίς διακοπές και κενά.

4.  Ισχυρισμούς σαν αυτούς, που τους δεχόμαστε ως αληθείς χωρίς απόδειξη, τους ονομάζουμε
αξιώματα. Επομένως, τα αξιώματα δεν αποδεικνύονται, επιλέγονται.
 Για την Ευκλείδεια Γεωμετρία έχουν προταθεί πάρα πολλά αξιωματικά συστήματα, δηλαδή
διαφορετικές επιλογές αξιωμάτων.
 Η σειρά των αποτελεσμάτων εξαρτώνται από την επιλογή των αξιωμάτων, τα οποία δίνονται
εκεί που χρειάζονται.
 Γενικότερα, γίνεται προσπάθεια ώστε, μετά από μία νέα έννοια ή ένα νέο σημαντικό
αποτέλεσμα, να εξετάζεται τι καινούργιο μπορεί να προκύψει σε συνδυασμό με τα
προηγούμενα.
 Κάθε νέο αποτέλεσμα που προκύπτει από μία σειρά συλλογισμών θεμελιωμένη στα
αξιώματα λέγεται θεώρημα, ενώ οι άμεσες συνέπειες ενός θεωρήματος λέγονται πορίσματα.

5. Απόδειξη
 Στα μαθηματικά, απόδειξη είναι μια διαδικασία που επικυρώνει ότι κάποια μαθηματική
πρόταση είναι ορθή, μέσα στα αποδεκτά πλαίσια του πεδίου των μαθηματικών.
 Η απόδειξη πρέπει να δείχνει ότι μια πρόταση είναι αληθής για όλες τις περιπτώσεις που
εφαρμόζεται, χωρίς καμία εξαίρεση.
 Τα αξιώματα είναι οι προτάσεις αυτές που δεν γίνεται, ή δεν χρειάζεται, να αποδεικτούν.
Αυτά ήταν στο παρελθόν η βασική μελέτη των φιλόσοφων των μαθηματικών, ενώ
πρόσφατα εστιάζουν περισσότερο στη μαθηματική πρακτική, δηλαδή τι αποτελεί αποδεκτή
τακτική.

6. Πυθαγόρας
 Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ. - 496 π.Χ.) ήταν σημαντικός Έλληνας
φιλόσοφος, μαθηματικός και γεωμέτρης.
 Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα
άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με
όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις.
 Επειδή οι περισσότερες πληροφορίες γράφτηκαν πολλούς αιώνες μετά
τον θάνατό του, πολύ λίγες αξιόπιστες πληροφορίες είναι γνωστές γι ́αυτόν.
 Επίσης συχνά αναφέρεται ως σπουδαίος μαθηματικός και επιστήμονας και είναι
γνωστός για το Πυθαγόρειο Θεώρημα που έχει το όνομά του.

7. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

8.  Αρχαία: έν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσηςπλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν
περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
 Ακριβή Μετάφραση: Στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της υποτείνουσας
πλευράς που βρισκεται απέναντι από την ορθή γωνία είναι ίσο προς τα
τετράγωνα των πλευρών που περιέχουν την ορθή γωνία
 Μετάφραση: Στὰ ὀρθογώνια τρίγωνα τὸ τετράγωνο τῆς ὑποτείνουσας πλευρᾶς
ἰσοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν ποὺ περιέχουν τὴν ὀρθή
γωνία.
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

9. Απόδειξη Θεωρήματος
Αρχαία: Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ
Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν
ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ
τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ' εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
 Μετάφραση:
Ἔστω τὸ ὀρθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ μὲ ὀρθὴ τὴν γωνία ΒΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ τετράγωνο τῆς πλευρᾶς ΒΓ ἰσοῦται μὲ
τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν ΒΑ καὶ ΑΓ.Ἀπὸ τὴν πλευρά ΒΓ κατασκευάζουμε τὸ τετράγωνο
ΒΔΕΓ, καὶ ἀπὸ τὶς ΒΑ, ΑΓ τὰ τετράγωνα ΗΒ, ΘΓ (θεώρ_α΄46), καὶ ἀπὸ τὸ σημείο Α φέρομε παράλληλο πρὸς
ὀποιαδήποτε ἀπὸ τὶς ΒΔ, ΓΕ ἔστω τὴν ΑΛ (θεώρ_α΄31)· φέρομε ἐπίσης καὶ τὶς ΑΔ, ΖΓ. Καὶ ἐπειδὴ οἱ γωνίες
ΒΑΓ, ΒΑΗ εἶναι ὀρθές , τότε στὸ σημείο Α τῆς εὐθείας ΒΑ οἱ δύο εὐθεῖες ΑΓ, ΑΗ ἐφόσον δὲν κεῖνται στὰ ἴδια
μέρη σχηματίζουν γωνία ἴση μὲ δύο ὀρθές · ἄρα ἡ ΓΑ καὶ ΑΗ κεῖνται σ᾿ εὐθεία (θεώρ_α΄14) . Γιά τοὺς ἴδιους
λόγους καὶ οἱ ΒΑ, ΑΘ κεῖνται σ᾿ εὐθεία. Καὶ ἐπειδὴ ἡ γωνία ΔΒΓ εἶναι ἴση μὲ τὴν γωνία ΖΒΑ· ἐπειδὴ ἡ κάθε μία
εἶναι ὀρθὴ · ἀν προστεθεῖ ἡ κοινή ΑΒΓ·

10. Απόδειξη Θεωρήματος
Αρχαία:
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις
ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ [ἐστιν] ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ [ἐστὶ] τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς
αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. [τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·] ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ
ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς
ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.
Μετάφραση:
τότε ἡ ΔΒΑ ὅλη εἶναι ἴση μὲ ὅλη τὴν ΖΒΓ . Καὶ ἐπειδή ἡ ΔΒ ἰσοῦται με τὴν ΒΓ, καὶ ἡ ΖΒ μὲ τὴν ΒΑ, καὶ ἡ γωνία ΔΒΑ ἰσοῦται μὲ τὴν ΖΒΓ, τότε τὰ τρίγωνα ΑΒΔ καὶ ΖΒΓ ἔχουν τὶς δύο πλευρές καὶ τὴν περιεχόμενη
γωνία ἴσες μία πρὸς μία , ἄρα τὰ τρίγωνα εἶναι ἵσα · Καὶ εἶναι τὸ παραλληλόγραμμο ΒΛ διπλάσιο τοῦ τριγώνου ΑΒΔ · διότι ἔχουν τὴν ἴδια βάση τὴν ΒΔ καὶ κεῖνται στὶς ἴδιες παράλληλες τὶς ΒΔ, ΑΛ · ὅμοια τὸ
παραλληλόγραμμο ΗΒ εἶναι διπλάσιο τοῦ τριγώνου ΖΒΓ · διότι ἔχουν τὴν ἴδια βάση τὴ ΖΒ καὶ κεῖνται στὶς ἴδιες παράλληλες τὶς ΖΒ, ΗΓ. [τὰ διπλάσια τῶν ἴσων εἶναι καὶ μεταξύ τους ἴσα·] Ἄρα τὸ
παραλληλόγραμμο ΒΛ εἶναι ἴσο μὲ τὸ τετράγωνο ΗΒ. Παρόμοια λοιπὸν, φέροντας τήν ΑΕ, ΒΚ ἀποδεικνύεται ὅτι τὸ παραλληλόγραμμο ΓΛ εἶναι ἴσο μὲ τὸ τετράγωνο ΘΓ· ἄρα τὸ ὅλο τετράγωνο ΒΔΕΓ ἰσοῦται μὲ
τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων ΗΒ καὶ ΘΓ. Καὶ τὸ τετράγωνο ΒΔΕΓ εἶναι αὐτὸ πού ὁρίζεται ἀπὸ τή πλευρά ΒΓ, ἐνώ τὰ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τὶς πλευρές ΒΑ, ΑΓ. Ἄρα τὸ τετράγωνο τῆς πλευρᾶς ΒΓ ἰσοῦται μὲ τὸ
ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν ΒΑ, ΑΓ.

11. Γενικό συμπέρασμα θεωρήματος
 Αρχαία: ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσηςπλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχου
σῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
 Μετάφραση: Άρα στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της πλευράς απέναντι από
την ορθή γωνία (της υποτείνουσας δηλαδή) είναι ίσο προς τα τετράγωνα των πλευρών
που περιέχουν την ορθή γωνία. Αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.

12. Το αντίστροφο του Πυθαγορείου
Θεωρήματος
 Μετάφραση:
 Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των
τετραγώνων των δύο ( κάθετων) πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη
μεγαλύτερη πλευρά (υποτείνουσα) είναι ορθή.

13. Άλλες αποδείξεις του θεωρήματος
Το πυθαγόρειο θεώρημα ίσως έχει περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο
1. Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων
2. Απόδειξη του Ευκλείδη
3. Απόδειξη με ανακατανομή
4. Απόδειξη με χρήση διαφορικών

14. Άλλες αποδείξεις του θεωρήματος
 Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων
Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι ο λόγος δύο οποιονδήποτε αντιστοίχων πλευρών ομοίων
τριγώνων, είναι σταθερός, ανεξάρτητα από το μέγεθος των τριγώνων. (Γεωμετρία Β Λυκείου)
 Απόδειξη του Ευκλείδη
Το μεγάλο τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Κατασκευάζεται ένα τρίγωνο που
έχει το μισό εμβαδόν του αριστερού ορθογωνίου. Στη συνέχεια κατασκευάζεται ένα άλλο τρίγωνο που
έχει το μισό εμβαδόν του τετραγώνου πάνω αριστερά. Τα δύο αυτά τρίγωνα συμπίπτουν,
αποδεικνύοντας ότι το αριστερό τετράγωνο έχει ίσο εμβαδόν με το αριστερό ορθογώνιο. Ομοίως το δεξί
τετράγωνο έχει ίσο εμβαδόν με το δεξί ορθογώνιο. Σχηματίζοντας το αρχικό τετράγωνο στην
υποτείνουσα, παρατηρείται ότι το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο άλλων
τετραγώνων.

15. Άλλες αποδειξεις του θεωρήματος
 Απόδειξη με ανακατανομή
Έχει γίνει ήδη αναφορά στην πυθαγόρεια απόδειξη, η οποία
είναι απόδειξη με ανακατανομή. Η ίδια ιδέα εκφράζεται από
την κινούμενη εικόνα, η οποία αποτελείται από ένα μεγάλο
τετράγωνο, πλευράς a+b, που περιέχει τέσσερα όμοια
ορθογώνια τρίγωνα. Τα τρίγωνα εμφανίζοντα σε δύο
κατανομές, η πρώτη από τις οποίες αφήνει ακάλυπτη μία
περιοχή που αποτελείται από δύο τετράγωνα, πλευράς a και
b και η δεύτερη ένα τετράγωνο πλευράς c. Το εμβαδόν του
εξωτερικού τετραγώνου δεν αλλάζει,, όπως και το εμβαδόν
των τεσσάρων τριγώνων, επομένως προκύπτει ότι
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/c
ommons/6/65/Pythag_anim.gif

16. Σας ευχαριστουμε πολύ για την προσοχη
σας

17. Πηγές και Βίντεο
ΠΗΓΕΣ
 https://el.m.wikipedia.org/wiki/Μαθηματική_απόδειξη
 http://2lyk-nafpakt.ait.sch.gr/files/pr1_ab.pdf
 https://el.m.wikipedia.org/wiki/
 http://www.physics.ntua.gr/mourmouras/euclid/book1/postulate47.html#peri
 http://www.p-theodoropoulos.gr/ergasies/mathimat-pithag.pdf
 http://dspace.lib.ntua.gr:8080/xmlui/bitstream/handle/123456789/48988/%CE%91%20%CE%9C%CE%95%CE%A1%CE%9F%CE%A3%28%CE%9A%CE%95
%CE%A61-3%29final%20%CE%9C%CE%AC%CF%81%CE%B9%CE%BF%CF%823-converted-merged.pdf?sequence=1&isAllowed=y
ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΒΙΝΤΕΟ
 https://www.youtube.com/watch?v=p-0SOWbzUYI&t=211s
 https://www.youtube.com/watch?v=7_cC4rAxK0I&ab_channel=dut888
 https://drive.google.com/file/d/1gTzm8t9rxPp13o1GJizna9M3SJxBx7cc/view