1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
106 79 ΑΘΗΝΑ GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr www.hms.gr
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ"
ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ
ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές.
2. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές
θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ
ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα
που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή
φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές.
3. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις (3) ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η
εκφώνηση των θεμάτων (9-12 περίπου). Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει
πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης.
4. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν
αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες
των μαθητών. Η επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν
έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου.
5. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται.
6. Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός
φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου
και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστημίου 34, 106 79
Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα , εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση,
σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών.
7. Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών
Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. και δεν προβλέπεται
Αναβαθμολόγηση (διότι γίνεται εσωτερικά).
8. Η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις 24 Φεβρουαρίου 2007
στην Αθήνα. Από τους διαγωνισμούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισμό στην
Ε.Μ.Ε. και μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγεί η εθνική
ομάδα, που θα συμμετάσχει στη 24η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ρόδος, 26
Απριλίου – 2 Μαΐου 2007), στην 11η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων
(Βουλγαρία, Ιούνιος 2007) και στην 48η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Βιετνάμ,
Ιούλιος 2007).
9. Με την ευκαιρία αυτή, το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που
συμβάλλουν στην επιτυχία των Πανελληνίων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής
Μαθηματικής Εταιρείας.
10. Παρακαλούμε τον Πρόεδρο της ΤΝΕ μαζί με τα γραπτά να μας στείλει το
ονοματεπώνυμο και την ταχυδρομική διεύθυνση όλων των επιτηρητών για να τους
σταλεί ονομαστική ευχαριστήρια επιστολή από το Δ.Σ. της ΕΜΕ.
ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε.
Ο Πρόεδρος Ο Γενικός Γραμματέας
Καθηγητής Θεόδωρος Εξαρχάκος Ιωάννης Τυρλής

2. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str.
106 79 ΑΘΗΝΑ GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
Web site: www.hms.gr Web site: www.hms.gr
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ"
ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς ν που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός
42
να είναι ακέραιος.
2ν + 1
2. Θεωρούμε οξεία γωνία ΑΟΒ και την προέκταση ΟΓ της πλευράς ΟΑ. Στο ημιεπίπεδο
που ορίζεται από την ΑΓ και περιέχει το σημείο Β, φέρουμε ευθεία ΟΔ ⊥ ΟΑ και ευ-
θεία ΟΕ ⊥ ΟΒ . Αν είναι ΓΟΕ = 4ΑΟΒ , να υπολογίσετε τη γωνία ΑΟΒ .
3. Αν α , β , γ , δ είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε (γ − δ )(γ + δ ) ≠ 0 και
α +β α −β α +β α −β
+ = + ,
γ +δ γ −δ γ −δ γ +δ
να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους α , β , γ , δ ισούται με 0.
4. Να αποδείξετε ότι κάθε εξαψήφιος φυσικός αριθμός της μορφής xyzxyz , όπου x, y , z
είναι ψηφία με x≠0 διαιρείται με τους αριθμούς 7, 11 και 13.
Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες Καλή επιτυχία

3. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str.
106 79 ΑΘΗΝΑ GR. 106 79 - Athens – HELLAS
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
Web site: www.hms.gr Web site: www.hms.gr
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ " Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ "
ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Δίνεται ο αριθμός Α = 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 7 . Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο Α και
92 90 4 2
1.
ποιο είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του.
2. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούςx, y , z που είναι τέτοιοι ώστε:
x y 6
= = .
3 4 z
3. Έστω Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=6. Αν είναι
ΜΚ ⊥ ΑΒ , ΜΛ ⊥ ΑΓ Κ 1Λ1 είναι η προβολή του ΚΛ στη ΒΓ, να υπο-
και
λογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΚΚ 1Λ1Λ .
4. Οι 15 μαθητές μιας τάξης έχουν συνολικά στις τσάντες τους 115 τετράδια. Αν κάθε μαθη-
τής έχει ένα τουλάχιστον τετράδιο, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν τον
ίδιο αριθμό τετραδίων.
Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες Καλή επιτυχία

4. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str.
106 79 ΑΘΗΝΑ GR. 106 79 - Athens – HELLAS
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
Web site: www.hms.gr
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ " Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ "
ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α , β ,γ ,δ ,ε με α < β <γ <δ <ε και
η παράσταση
α δ − γ +α δ − ε + ε β −α + ε β − γ
Κ= .
β −α + β − γ + δ − γ + δ − ε
(i) Να αποδείξετε ότι: β <Κ <δ .
(ii) Αν είναι
x = (α + β )( γ + δ ) , y = (α + γ )( β + δ ) , z = (α + δ )( β + γ ) ,
να συγκρίνετε τους αριθμούς x, y , z .
2. Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε ΜΒΓ = ΜΓΒ και πάνω
στις ΜΒ και ΜΓ υπάρχουν σημεία Δ και Ε, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ και
ΜΑΔ = ΜΑΕ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
3. Αν είναι x, y > 0 και x 3 + y 2 ≤ 64 , να αποδείξετε ότι:
x 4 + y 3 < 512 .
4. Έχουμε κέρματα και χαρτονομίσματα των 1, 10 και 100 ευρώ. Είναι δυνατόν με 1000 α-
κριβώς από αυτά να σχηματίσουμε το ποσό των 50000 ευρώ;
Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες Καλή επιτυχία

5. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str.
106 79 ΑΘΗΝΑ GR. 106 79 - Athens – HELLAS
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
Web site: www.hms.gr
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ " Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ "
ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Δίνεται ότι το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x3 + κ x + λ με κ,λ ∈ έχει τις πραγματικές
ρίζες x1 , x2 , και x3 που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Να εκφράσετε την πα-
ράσταση
Γ = (1 − x12 )(1 − x2 )(1 − x3 )
2 2
συναρτήσει των κ,λ .
2. Θεωρούμε τόξο ΑΒ = 90 και προεκτείνουμε τη χορδή ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα
ΒΓ=ΑΒ. Ονομάζουμε Δ το σημείο επαφής της εφαπτομένης του τόξου ΑΒ από το Γ
και Κ το ίχνος της κάθετης από το Α προς τη ΒΔ. Να αποδείξετε ότι: ΚΒ= 2ΚΑ.
3. Αν α , β είναι θετικοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι:
α +β
⎛α4 + β4 ⎞
3
⎜ ⎟ ≥ αα β β .
⎝ α +β ⎠
4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από σημείο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΓ
και ΑΒ που τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ, αντίστοιχα. Αν είναι ΜΚ= x,
ΜΛ= y , να βρείτε το ελάχιστο της παράστασης
S = x2 + y 2
και τη θέση του σημείου Μ για την οποία λαμβάνεται αυτό.
Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες Καλή επιτυχία

6. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str.
106 79 ΑΘΗΝΑ GR. 106 79 - Athens – HELLAS
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
Web site: www.hms.gr
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ "
ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Αν log150 2 = x, log150 3 = y τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης
1− x − y
2(1− y )
A = 50
2. Δίνεται ότι το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x3 + κ x + λ με κ,λ ∈ έχει τις πραγματι-
κές ρίζες x1 , x2 , και x3 που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Να εκφράσετε
την παράσταση
Γ = (1 + x12 )(1 + x2 )(1 + x3 )
2 2
συναρτήσει των κ,λ .
3. Να λύσετε στο την εξίσωση:
3x − 1 2 x3 + 1
3 = .
2 3
4. Αν Ι είναι το έγκεντρο τριγώνου ΑΒΓ με ΒΓ=2 και ΒΑΓ = 60 , να αποδεί-
ξετε ότι:
ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ ≤ 2 3 .
Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες Καλή επιτυχία

7. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
106 79 ΑΘΗΝΑ GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr www.hms.gr
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ
67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ"
ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
Οι λύσεις είναι ενδεικτικές και όχι μοναδικές. Οποιαδήποτε
μαθηματικώς σωστή λύση είναι αποδεκτή ανεξάρτητα από τα
χρησιμοποιούμενα εργαλεία, π.χ. η Αναλυτική Γεωμετρία και ο
Απειροστικός Λογισμός μπορούν να χρησιμοποιηθούν από μαθητές
οποιασδήποτε τάξης.
Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
42
1. ∈ με ν ∈ ⇒ 2ν + 1∈ Δ 42 = {1, 2,3, 6, 7,14, 21, 42} .
2ν + 1
Επειδή ο 2ν + 1 είναι περιττός έπεται ότι:
2ν + 1 = 1 ή 2ν + 1 = 3 ή 2ν + 1 = 7 ή 2ν + 1 = 21
⇔ ν = 0 ή ν = 1 ή ν = 3 ή ν = 10 .
2. Αν θέσουμε ΑΟΒ = ω , τότε από την
υπόθεση του προβλήματος έχουμε: Γ
4ω + 90 + ω = 180 ⇔ 5ω = 90 Ο
⇔ ω = 18 Ε
Δ
Α
Β
3. Από τις υποθέσεις έχουμε
α +β α −β α +β α −β α +β α −β α +β α −β
+ = + ⇒ − = −
γ +δ γ −δ γ −δ γ +δ γ +δ γ +δ γ −δ γ −δ
2β 2β
⇒ = ⇒ 2β (γ − δ − γ − δ ) = 0
γ +δ γ −δ
⇒ −2 βδ = 0 ⇒ βδ = 0 ⇒ β = 0 ή δ = 0.
4. Έχουμε ότι

8. Ν = xyzxyz = 100000 x + 10000 y + 1000 z + 100 x + 10 y + z
= 100100 x + 10010 y + 1001z
= 1001 ⋅ (100 x + 10 y + z )
= 7 ⋅11 ⋅13 ⋅ xyz.
Άρα οι αριθμοί 7,11 και 13 διαιρούν τον αριθμό Ν.
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1. Έχουμε
Α = ( 2 ⋅ 5 ) ⋅ 22 ⋅ 34 ⋅ 7 2 = 1090 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 49 = 15876 ⋅1090 .
90
Άρα ο Α λήγει σε 90 μηδενικά και το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του είναι το 6.
2. Έχουμε
x y 6 4x
= = ⇔ 4 x = 3 y και xz = 18 ⇔ y = και xz = 18 .
3 4 z 3
Επειδή οι αριθμοί x, z είναι φυσικοί έχουμε
xz = 18 ⇔ ( x, z ) = (1,18 ) ή ( 2,9 ) ή ( 3, 6 ) ή ( 6,3) ή ( 9, 2 ) ή (18,1) ,
4x
οπότε, από την ισότητα y = προκύπτει ότι :
3
( x, y, z ) = ( 3, 4, 6 ) ή ( 6,8,3) ή ( 9,12, 2 ) ή (18, 24,1) .
3. Έχουμε
36 3 1 1
( ΑΒΓ ) = ( ΑΒΜ ) + ( ΑΓΜ ) ⇔ = ⋅ 6 ⋅ ΜΚ + ⋅ 6 ⋅ ΜΚ ⇔
4 2 2
ΜΚ + ΜΛ = 3 3 (1)
A
K
Λ
Β K1 M Λ1 Γ
Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΚ1Μ και ΛΛ1Μ γεωμετρικά ή τριγωνομετρικά έχουμε
1 1
KK1 = MK, ΛΛ1 = ΜΛ και
2 2
3 3
ΜΚ 1 = ΜΚ , ΜΛ1 = ΜΛ
2 2
3 9
Οπότε Κ 1Λ1 = ΜΚ 1 + ΜΛ1 = (ΜΚ + ΜΛ ) = .
2 2

9. 1 1 3 3
και ΚΚ 1 + ΛΛ1 = ( MK + M Λ ) = 3 3 = .
2 2 2
1 27 3
Άρα είναι ( ΚΚ 1ΛΛ1 ) = ( ΚΚ 1 + ΛΛ1 ) Κ 1Λ1 = .
2 8
4. Αν υποθέσουμε ότι όλοι οι μαθητές έχουν διαφορετικό αριθμό τετραδίων, τότε ο
ελάχιστος αριθμός τετραδίων που μπορούν να έχουν όλοι μαζί είναι
1 + 2 + ⋅⋅⋅ + 15 = 120 > 115 .
Άρα δεν είναι δυνατόν να έχουν όλοι οι μαθητές διαφορετικό αριθμό τετραδίων,
οπότε δύο τουλάχιστον θα έχουν τον ίδιο αριθμό τετραδίων.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1. (i) Λαμβάνοντας υπόψη τις ανισότητες α < β < γ < δ < ε εύκολα βρίσκουμε ότι
Κ = γ , οπότε β < Κ < δ .
(ii) Έχουμε
x − y = (α + β )( γ + δ ) − (α + γ )( β + δ ) = αγ + βδ − αβ − γδ
= α ( γ − β ) + δ ( β − γ ) = ( γ − β )(α − δ ) < 0.
Άρα είναι x − y < 0 δηλαδή x < y .
Ομοίως λαμβάνουμε y − z = (δ − γ )(α − β ) < 0 .
2. Επειδή είναι ΜΒΓ = ΜΓΒ , το τρίγωνο
ΜΒΓ είναι ισοσκελές με Α
ΜΒ = ΜΓ. (1)
Επιπλέον, τα τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΑΕ
είναι ίσα γιατί έχουν:
ΑΜ κοινή πλευρά, ΑΔ = ΑΕ, ΜΑΔ = ΜΑΕ .
Άρα θα έχουν και
ΑΜΔ = ΑΜΕ . (2) Ε
Δ Μ
Λόγω των (1) και (2) τα τρίγωνα ΜΑΒ και
ΜΑΓ είναι ίσα, οπότε θα έχουν και
ΑΒ =ΑΓ,
Β Γ
δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
3. Επειδή είναι x, y > 0 έχουμε
x3 + y 2 ≤ 64 ⇒ x 3 < 64 και y 2 < 64 ⇒ x < 4 και y < 8 ⇒ x 4 < 4 x3 και y 3 < 8 y 2 ,
από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη λαμβάνουμε
x 4 + y 3 < 4 x 3 + 8 y 2 < 8 ( x3 + y 2 ) ≤ 8 ⋅ 64 = 512 .
4. Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε x κέρματα του ενός ευρώ, y χαρτονομίσματα των
10 ευρώ και z χαρτονομίσματα των 100 ευρώ, τότε θα έχουμε τις ισότητες
x + 10 y + 100 z = 50000 και x + y + z = 1000 , (1)
από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη λαμβάνουμε:

10. 9 y + 99 z = 49000 ⇒ 9 ⋅ ( y + 11z ) = 49000 ⇒ 9 49000 ,
που είναι άτοπο, γιατί το άθροισμα των ψηφίων του 49000 είναι ο αριθμός 13 που
δεν διαιρείται με το 9.
Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Από την υπόθεση έχουμε ότι:
Ρ ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) . (1)
Η παράσταση Κ γράφεται:
Κ ( x1 , x2 , x3 ) = (1 − x1 )(1 + x1 )(1 − x2 )(1 + x2 )(1 − x3 )(1 + x3 )
= (1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x3 )(1 + x1 )(1 + x2 )(1 + x3 )
= Ρ (1) ⎡ − ( −1 − x1 )( −1 − x2 )( −1 − x3 ) ⎤
⎣ ⎦
= −Ρ (1) Ρ ( −1) = − (1 + κ + λ )( −1 − κ + λ ) = (1 + κ ) − λ 2 .
2
2.
Γ
Β1
Β Δ
Κ
Α1
Ε Α
Ο
1ος Τρόπος
Έχουμε: ΓΔ 2 = ΓΑ ⋅ ΓΒ = 2R 2 ⋅ R 2 = 4R 2 ⇒ ΓΔ = 2R = 2 ⋅ OΔ.
Δ Δ
ˆ
Επειδή επιπλέον ΟΔΓ = 90ο , αρκεί να αποδείξουμε ότι Ο Γ Δ ≈ Α Κ Β ή ισοδύναμα
ˆ ˆ
αρκεί να αποδείξουμε ότι: OΓΔ = ΑΒΚ .
Πράγματι αν Ε είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο Ο, τότε:
OB EΓ ⇒ ΕΓ ⊥ ΟΕ ⇒ ΟΔΓΕ εγγεγραμμένο τετράπλευρο
ˆ ˆ ˆ ˆ
⇒ ΔΓΕ = ΔΟΑ ⇒ 2ΔΓΟ = 2 ⋅ ΑΒΚ
ˆ ˆ
⇒ ΔΓΟ = ΑΒΚ
2ος Τρόπος

11. Έστω Ε το αντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο κέντρου Ο
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΔΒΕ έπεται ότι ΚΔΑ = ΑΕΒ = 45 , οπότε και
το τρίγωνο ΑΔΚ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. Άρα είναι
ΑΔ 2
ΚΑ = ΚΔ = . (1)
2
Επιπλέον, αν είναι ΑΑ1 ⊥ ΓΔ , ΒΒ1 ⊥ ΓΔ και ΟΑ = R , τότε με χρήση του τύπου
της απόστασης σημείου κύκλου από εφαπτομένη του, λαμβάνουμε
2 ΔΑ 2
⎛ ΔΑ ⎞ 2 R = ΑΑ1 = ΓΑ = 2 .
⎜ ⎟ = ΔΒ2 (2)
⎝ ΔΒ ⎠ ΒΒ1 ΓΒ
2R
ΑΔ 2
Από τη (2) έπεται ότι ΔΒ = , οπότε από την (1) έπεται ότι ΔΒ = ΚΔ = ΚΑ
2
και
ΚΒ = ΚΔ + ΔΒ = 2 ⋅ ΚΑ .
3. Από την ανισότητα αριθμητικού – γεωμετρικού μέσου έχουμε
α −φορ ές β −φορ ές
α 4 + β 4 α 3 + α 3 + ⋅⋅⋅ + α 3 + β 3 + β 3 + ⋅⋅⋅β 3 α + β 3 α 3 β α + β α β 3
α +β
=
α +β
≥ ( α ) ( β ) = (α β ) ,
από την οποία έπεται το ζητούμενο.
4. Έστω ότι είναι ΜΒ = κ και ΜΓ = λ , οπότε θα είναι κ + λ = α .
Τότε θα έχουμε
x β y γ βκ γλ Α
= και = ⇒x= και y = .
κ α λ α α α
Άρα η παράσταση S γίνεται
Λ
β 2κ 2 γ 2λ 2
S=x +y = 2 2
+ 2 (1)
α2 α
Κ
β 2κ 2 + γ 2 (α − κ )
2
⇔S=
α2
⎛ β 2 + γ 2 ⎞ 2 2γ 2 Β Γ
=⎜ ⎟κ − κ + γ 2 = f (κ ) . Μ
⎝ α α
2
⎠
Άρα η παράσταση S είναι τριώνυμο ως προς
κ με συντελεστή του κ 2 τον
−2γ 2
β2 +γ 2 α αγ 2
> 0 , οπότε η παράσταση έχει ελάχιστο για κ = − = .
α2 2(β + γ 2 )
2
β2 +γ 2
α2
αβ 2
Τότε είναι λ = α − κ = 2 , οπότε το σημείο Μ στο οπο0ίο λαμβάνεται το
β +γ 2
ΜΒ γ 2
ελάχιστο της παράστασης S χωρίζει την πλευρά ΒΓ σε λόγο = .
ΜΓ β 2
Η τιμή του ελάχιστου είναι

12. 2
⎛ αγ 2 ⎞ ⎛ β 2 + γ 2 ⎞ ⎛ αγ 2 ⎞ 2γ 2 ⎛ αγ 2 ⎞ 2 β 2γ 2
f⎜ 2 ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⋅⎜ 2 ⎟ +γ = 2 .
⎝ β +γ 2 ⎠ ⎝ α 2 ⎠⎝ β 2 + γ 2 ⎠ α ⎝ β +γ 2 ⎠ β +γ 2
2ος τρόπος
Μέσω της σχέσης (1) θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε ως εξής:
⎛ α 2 α 2 ⎞ ⎛ β 2κ 2 γ 2 λ 2 ⎞ ⎛ α 2 α 2 ⎞ β 2γ 2
S ⋅ ⎜ 2 + 2 ⎟ = ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜ 2 + 2 ⎟ ≥ (κ + λ ) = α 2 ⇒ S ≥ 2
2
⎝β γ ⎠ ⎝ α α ⎠⎝ β β ⎠ β +γ 2
β2 γ 2
οπότε έχουμε: Smin = .
β2 + γ 2
βκ γλ
κ γ2
Η ισότητα ισχύει όταν α = α ή = , δηλαδή όταν το σημείο Μ χωρίζει τη
α α λ β2
β γ
γ2
ΒΓ σε λόγο .
β2
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1. 150 x = 2, 150 y = 3
1− x − y 1− x − y
1− x − y 1− x − y
⎛ 150 ⎞ 2(1− y ) ⎛ 150 ⎞ 2(1− y )
A=⎜ ⎟ =⎜ y ⎟
= (1501− y ) 2(1− y ) = 150 2
⎝ 3 ⎠ ⎝ 150 ⎠
1− x − y 1− x − y
150 150
= (1501− y ) 2(1− y ) = 150 2 = 1501− x − y = x+y
= =
150 150 x ⋅150 y
150
= = 25 = 5.
2⋅3
2ος τρόπος
⎛ 150 ⎞
log150 ⎜ ⎟
1− x − y ⎝ 6 ⎠ log 50 = 1 log 25 = log 5.
log150 A = = log150 50 =
2 (1 − y )
150 150 150
⎛ 150 ⎞ 2
2 log150 ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
Άρα Α=5.
2. Από την υπόθεση έχουμε ότι:
Ρ ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) . (1)
Η παράσταση Κ γράφεται:
Κ ( x1 , x2 , x3 ) = ( i − x1 )( −i − x1 )( i − x2 )( −i − x2 )( i − x3 )( −i − x3 )
= ( i − x1 )( i − x2 )( i − x3 )( −i − x1 )( −i − x2 )( −i − x3 )
= Ρ (1) Ρ ( −1) = ( −i + κ i + λ )( i − κ i + λ ) = λ 2 + (κ − 1) .
2

13. 2x 2 + 1
3. Η συνάρτηση h ( x ) = είναι γνησίως αύξουσα, άρα αντιστρέφεται και
3
⎧ 3x − 1 1
⎪3 , x≥
⎪ 2 3
h −1 ( x ) = ⎨
⎪− 3 1 − 3x , x < 1
⎪
⎩ 2 3
1
Άρα (1) ⇔ h −1 ( x ) = h ( x ) με x ≥ .
3
Αφού f γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία των G h −1 , G h θα βρίσκονται στη πρώτη
διχοτόμο y=x.
2x 3 + 1 ⎫ 2x 3 + 1 ⎫
y = h ( x )⎪
⎫ y= ⎪ x= ⎪
Έχουμε: ⎬⇔ 3 ⎬⇔ 3 ⎬⇔
y=x ⎪
⎭ ⎪ ⎪
y=x ⎭ y=x ⎭
⎧ 3 −1
⎪ 3 + 1 ⎫⎫
⎪ ⎧ 3 − 1⎫⎫
⎪ ⎪
2x 3 − 3x + 1 = 0 ⎫ x ∈ ⎨1, ,− ⎬⎪ x ∈ ⎨1, ⎬⎪ 1
⎬⇔ ⎪
⎩ 2 2 ⎪⎬ ⇔
⎭ ⎪
⎩ 2 ⎪ ⎬ αφού x ≥ .
⎭
y=x ⎭ ⎪ ⎪ 3
y=x ⎭ y=x ⎭
⎧ 3 − 1⎫
⎪ ⎪
Άρα (1) ⇔ x ∈ ⎨1, ⎬.
⎪
⎩ 2 ⎪⎭
2ος τρόπος
2x 3 + 1 ⎫ 2x 3 + 1 ⎫ (2)
y = h (x) ⎫ y = h ( x )⎪
⎫ y= ⎪ y= ⎪
⎪ 3 ⎪ 3 ⎪
⎬⇔ ⎬⇔ ⎬⇔ ⎬
y = h ( x )⎭
−1
x = h ( y )⎭ 2y + 1 ⎪
3
2 3
⎪ ⎪ x= x − y = ( y − x ) (3)
3 ⎪
3 ⎭ ⎪ 3 ⎪
⎭
( 3) ⇔ x = y ή 2x 2 + 2yx + 2y 2 + 3 = 0 ( 4) ⇔ x = y αφού η ( 4 ) έχει
Δ = − (12y 2 + 24 ) < 0, ∀y ∈ κ.λπ.
Δ
4. Θεωρούμε τον περιγεγραμένο κύκλο C1 ( K, R ) του A B Γ και τον συμμετρικό του
C 2 ( Λ, R ) ως προς τη ΒΓ. Τότε το Λ θα είναι μέσο του μικρού τόξου ΒΓ.
Έστω Α΄ το αντιδιαμετρικό του Α στον C1 και Α΄΄ το αντιδιαμετρικό του Κ στον
C2.
Το τρίγωνο ΒΑ΄΄Γ είναι ισόπλευρο οπότε IΑ΄΄ = IB + IΓ . Επίσης
ˆ ˆ
BIΓ = ΒΚΓ = 120ο .
Επομένως IA + IB + IΓ = ΙΑ + ΙΑ΄΄.
Αλλά IA΄΄ ≤ ΚΑ΄΄ = 2R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου) και
IA = AΛ − R < A΄Λ − R = KA΄ = R.
2 3 2 2 3
Άρα IA + IB + IΓ ≤ 3R = 3 = 2 3 , αφού ΒΓ=2 ⇒ R = = .
3 3 3

14. A΄
A
K
Ι
Β Γ
Λ
Α΄΄
2ος τρόπος
Έστω ΙΑ=x, IB=y, IΓ=ω
ˆ
A
Τότε = 30o ⇒ x = 2ρ
2
BIΓ = 120ο ⇒ y 2 + ω2 + yω = 4 ⇒ ( y + ω) − yω = 4 ⇒ ( y + ω) = 4 + yω ⇒
ˆ 2 2
y + ω = 4 + yω = 4 + λ με λ=yω.
1
Εξάλλου ( IBΓ ) = ⋅ρ ⋅ 2 = ρ
2
1 3 λ 3 λ 3
( IBΓ ) = yω = , οπότε ρ = .
2 2 4 4
λ 3
Αρκεί λοιπόν + 4+λ ≤ 2 3, ή λ 3 +2 4+λ ≤ 4 3 .
2
2 2 2 3 8 8
Όμως R 3 = 2 ⇒ R = και R > ρ ⇒ > ⇒ 8 > 3λ ⇒ > λ ⇒ 4 > > λ .
3 3 4 3 3
Οπότε αρκεί 2 4 + λ ≤ 3 ( 4 − λ ) , ή 4 ( 4 + λ ) ≤ 2 ( 4 − λ ) , ή 3λ 2 − 28λ + 32 ≥ 0
2
που ισχύει αφού Δ=−188.
A
30
x
ρ I
120
y ω
Β Γ