Τεύκρος Μιχαηλίδης

1. Μαθηματικέςματιέςσ’
έναέργοτέχνης
Τεύκρος Μιχαηλίδης

2. Ζωγραφική: ένα παιχνίδι με τις διαστάσεις

5. Albrecht Dürer: Melencolia I (1514)

6. κόλουρο τριγωνικό τραπεζόεδρο ή κόλουρο ρομβόεδρο ή στερεό του Dürer
Κόψτε δύο μικρά τετράεδρα από δυο απέναντι
κορυφές του ρομβόεδρου

8. Edwin A. Abbot, 1884 Εσείς που έχετε την ευλογία της
σκιάς και του φωτός, εσείς που
έχετε την τύχη να έχετε δυο μάτια,
να διαθέτετε την γνώση της
προοπτικής και τη μαγεία των
χρωμάτων, εσείς που μπορείτε να
δείτε μια γωνία και ν’ ατενίσετε
ολόκληρη την περιφέρεια του
κύκλου, εσείς που ζείτε στην
ευτυχισμένη χώρα των τριών
διαστάσεων, πώς μπορείτε να
καταλάβετε πόσο δύσκολο είναι για
εμάς να ξεχωρίσουμε ο ένας το
σχήμα του άλλου;

9. Οπτική αναγνώριση στην
Επιπεδοχώρα
◦
Όλα τα πλάσματα στην Επιπεδοχώρα, έμψυχα
και άψυχα, ανεξάρτητα από το σχήμα τους,
φαίνονται σ’ εμάς ίδια: σαν ευθείες γραμμές
◦Ηχητική αναγνώριση
◦Ψηλάφηση
◦Ομίχλη

10. Ο τρισδιάστατος άνθρωπος μπορεί να παρατηρήσει την
Επιπεδοχώρα από διάφορες θέσεις της τρίτης διάστασης

11. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα αντικείμενο από δυο διαφορετικές
θέσεις της τέταρτης διάστασης και να αποτυπώσουμε την παρατήρησή
μας σ’ ένα επίπεδο;

12. Maurice Princet (1875 – 1973), ο μαθηματικός του κυβισμού
Η ίδια τετραδιάστατη εικόνα μπορεί να μας δώσει πολλές διαφορετικές προοπτικές από
διάφορα σημεία. Αυτές οι προοπτικές είναι τρισδιάστατες και συνεπώς μπορούμε να τις
αναπαραστήσουμε. Φανταστείτε αυτές τις αναπαραστάσεις να διαδέχονται η μία την άλλη
Η. Poincare, Science et Hypothèse

13. La bande a Picasso
Guillaume Apollinaire
Max Jacob
Andre Salmon
Maurice Princet

14. Maurice de Vlaminck: Ήμουν παρών στη γέννηση του κυβισμού, στην
άνθησή του, στην παρακμή του. Ο Picasso ήταν ο μαιευτήρας, ο
Guillaume Apollinaire ήταν η μαμή κι ο Princet ο νονός.
Vlaminck
Derain
Alice Princet - Derain

15. Guillaume Apollinaire
◦ H γεωμετρία είναι για τις πλαστικές τέχνες
ότι και η γραμματική για την τέχνη του
συγγραφέα
◦ Η τέχνη των νέων ζωγράφων έχει ως
ιδεώδες το άπειρο σύμπαν και στην
τέταρτη διάσταση οφείλουμε αυτές τις νέες
προδιαγραφές της τελειότητας.

16. Pablo Picasso:
Les Demoiselles
d'Avignon
(1907)

17. Pablo Picasso:
Πορτραίτο της Dora Maar
(1937)

18. Jean Metzinger:
Le Goûter
ή Tea Time
ή Femme à la Cuillère (1911)

19. Όλα τα πολύεδρα (και πολλά άλλα στερεά) έχουν
επίπεδα αναπτύγματα

20. Ένας τρισδιάστατος κύβος έχει ανάπτυγμα στις
δύο διαστάσεις

21. Ανεβαίνοντας τις διαστάσεις…
 Ένα τετράγωνο είναι ένα σχήμα 2 διαστάσεων που έχει πλευρές
ίσα ευθύγραμμα τμήματα διάστασης 1, κάθετα μεταξύ τους
 Ένας κύβος είναι ένα σχήμα 3 διαστάσεων που έχει πλευρές ίσα
τετράγωνα διάστασης 2, κάθετα μεταξύ τους.
 Ένας υπερκύβος είναι ένα σχήμα 4 διαστάσεων που έχει πλευρές
ίσους κύβους διάστασης 3, κάθετους (;) μεταξύ τους.

22. Ανεβαίνοντας τις διαστάσεις

23. Πώς να φτιάξετε έναν υπερκύβο

24. «Κύβοι» διαφόρων διαστάσεων

25. Τεσσεράκτιο: Το ανάπτυγμα του υπερκύβου

26. Προβολές του
υπερκύβου στον
τρισδιάστατο χώρο
και απεικόνισή τους
στο επίπεδο

27. Περιστροφή του υπερκύβου γύρω από ένα επίπεδο στον
4-διάστατο χώρο και η προβολή του στις 3 διαστάσεις

28. Salvator Dali:
Σταύρωση
Corpus Hypercubus
(1954)

29. Salvador Dali: Μυστικός Δείπνος (1955)

30. Charles Howard Hinton (1853 – 1907)
1880-1886: Scientific Romances
◦ What is the fourth dimension? (Ghosts Explained)
◦ The Persian King
◦ Stella
◦ An unfinished communication
◦ Α plane world
◦ Α picture of our universe
Tesseract
George
Boole
Ανά – Κατά (w)
Δεξιά – Αριστερά (x)
Πάνω – Κάτω (y)
Εμπρός - Πίσω (z)

31. Robert A. Heinlein (1907-1988): And He Built a Crooked House 1941
THE HOUSE OF THE FUTURE!!!
COLOSSAL—AMAZING—
REVOLUTIONARY
SEE HOW YOUR
GRANDCHILDREN WILL LIVE!
Q. TEAL, ARCHITECT

40. Η τέταρτη διάσταση ήταν κάτι για το οποίο
συζητούσες χωρίς πραγματικά να ξέρεις τι
είναι

41. z
Οι εικαστικές δημιουργίες ως
πύλη εισόδου στα μαθηματικά

42. z
Η θέση της τέχνης στα σχολικά
προγράμματα

43. z
Σύνδεση με…
 Γεωγραφία
 Ιστορία
 Τεχνολογία
 Κοινωνικές επιστήμες

44. z
Ένας πίνακας ζωγραφικής…

45. z
Μια γκραβούρα…

46. z

47. z
Ένα γλυπτό…

48. z
Ένα αρχιτεκτονικό μνημείο…

49. z
Καθένα από αυτά τα έργα τέχνης μπορεί να
αποτελέσει πύλη εισόδου προς μια μαθηματική
δραστηριότητα και ταυτόχρονα να φέρει τους
μαθημτές σε επαφή με ένα σημαντικό έργο της
παγκόσμιας πολιτιστικής κληρονομιάς

50. z
Τρίγωνα σε
μεσαιωνικές
εκκλησίες
Basilica San Clemente al Laterano (Ρώμη)
Γκραβούρα του Giusepe Vasi (1753)

51. Μεσαιωνικές εκκλησίες της Ρώμης

52. Δάπεδα από εκκλησίες της Ρώμης

53. • Ποιο κοινό στοιχείο έχουν τα διακοσμητικά μοτίβα στα
δάπεδα των τεσσάρων εκκλησιών;
• Περιγράψτε το με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια,
χρησιμοποιώντας αυστηρούς μαθηματικούς όρους

54. • Ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
• Ενώνοντας τα μέσα των πλευρών του χωρίζεται σε τέσσερα όμοια ισόπλευρα
τρίγωνα.
• Τρία από αυτά έχουν από μία κορυφή του αρχικού τριγώνου.
• Καθένα από τα «ακριανά» τρίγωνα έχει υποστεί την ίδια διαδικασία.
• Αυτό έχει επαναληφθεί και στα νέα τρίγωνα που προκύπτουν.

55. • Ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα
• Περίμετρος
• Εμβαδόν
• Ομοιότητα
• Λόγος
• Λόγος εμβαδών
• Ακολουθία

56. Πόσες φορές έχει επαναληφθεί η ίδια διαδικασία σε καθένα από τα τέσσερα διακοσμητικά;
Πόσα τρίγωνα περιέχει κάθε γενιά;
Πόσα τρίγωνα θα είχε η πέμπτη γενιά αν την κατασκευάζαμε;
Μπορείτε να σκεφτείτε κάποιο μαθηματικό τύπο που να συνδέει το πλήθος των τριγώνων κάθε
γενιάς με το πλήθος των τριγώνων της προηγούμενης;
Πόσα τρίγωνα υπάρχουν συνολικά μετά
α) το πρώτο βήμα β) το δεύτερο βήμα γ) το τρίτο βήμα δ) το ν-ιοστό βήμα;

57. z
Φύλλο
εργασίας

58. z
Φύλλο
εργασίας

59. z
Φύλλο
εργασίας

61. z
Φύλλο
εργασίας

62. z
Το χαλί του Sierpinski
Ένα δεύτερο σύνολο, το χαλί του
Sierpiński κατασκευάζεται
εκκινώντας από ένα τετράγωνο
με την ακόλουθη διαδικασία:
Χωρίζουμε το τετράγωνο σε
εννέα ίσα μικρότερα τετράγωνα
και αφαιρούμε το μεσαίο.
Επαναλαμβάνουμε την ίδια
διαδικασία στο καθένα από τα
οκτώ τετράγωνα που απομένουν
κ.ο.κ.

63. z
Φράκταλ
Το τρίγωνο και το χαλί του Sierpiński είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα των
μαθηματικών αντικειμένων που ονομάζονται φράκταλ. Ανάλογα αντικείμενα
μπορούμε να θεωρήσουμε και στο χώρο.

64. z
Τρισδιάστατα αντίστοιχα του τριγώνου Sierpinski
Τετράεδρο Sierpinski Σπόγγος του Menger

65. z
Μορφοκλασματική διάσταση

66. z
Τομείς που θίγονται (ανάλογα με τάξη)
Ενότητες αναλυτικού
προγράμματος
 Εμβαδόν ισοπλεύρου
 Ιδιότητες μεσοτριγώνου
 Ομοιότητα
 Γεωμετρική πρόοδος
 Όριο ακολουθίας
Δεξιότητες
Ενότητες εκτός αν.
προγράμματος
 Ανακάλυψη μοτίβου
(pattern recognition)
 Διατύπωση εικασίας
 Κλασματική διάσταση
 Fractal
 Κυψελωτά αυτόματα
 Τρίγωνο Pascal

67. William Blake : Newton

68. Sir Isaac Newton (1642 – 1727)

69. OΝόμος της παγκόσμιας έλξης
OΝόμοι της κίνησης
OΑπειροστικός λογισμός
OΦύση και διάδοση του φωτός
OΑπόδειξη των νόμων του Kepler
OΤροχιές των κομητών
OΜετάπτωση των ισημεριών
OΠαλίρροιες
OΣχήμα της Γης

70. William Blake
(1757 - 1827)
Άγγλος ποιητής, ζωγράφος, χαράκτης,
εικονογράφος και μυστικιστής.
Πολύπλευρος αλλά εκκεντρικός, χλευάστηκε από
τους σύγχρονούς του.
Σε μια εποχή θριάμβου για την επιστημονική
επανάσταση επέμεινε πεισματικά στο μυστικισμό και
την ιδιότυπη θεολογία του αμφισβητώντας έντονα
την ορθολογική μελέτη της φύσης.
Υπήρξε ιδιαίτερα επικριτικός εναντίον του Νεύτωνα
του Φράνσις Μπέικον και του Τζων Λοκ.

71. Πρώτα σχόλια;

72.  Γιατί κατά τη γνώμη σας ο Νεύτων παριστάνεται γυμνός;
 Σε ποιο θρύλο της ιστορίας των μαθηματικών παραπέμπουν η
γυμνότητα του Νεύτωνα και το γεγονός ότι μελετά σκυμμένος και
ακουμπώντας στο έδαφος;

73. Από το βιβλίο του Giammaria Mazzuchelli (1707-1765)

74. Sebastien Bourdon (1616-1671):
Ο Αρχιμήδης χαράζει
γεωμετρικά σχήματα κατά τη
διάρκεια της λεηλασίας των
Συρακουσών

75. Αρχιμήδης
Αστεροσκοπείο Archenhold Βερολίνο (1972)

76. O Θα μπορούσε το τόξο που χάραξε ο
Νεύτων να είναι ημικύκλιο;
O Πώς χρησιμοποιεί ο Νεύτων τον διαβήτη;
O Ποιο θεώρημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας
σχετίζεται με το σχήμα του Νεύτωνα;

77. O Πού βρίσκεται ο Νεύτων κατά τη
γνώμη σας;
O Να συγκρίνετε το αριστερό και το
δεξιό μέρος της εικόνας. Υπάρχει
κάποια αντίθεση;
O Ποιος είναι ο ρόλος του Νεύτωνα
ανάμεσα στα δύο μέρη της εικόνας;

78. Ο Blake που έζησε περίπου έναν αιώνα μετά τον
Νεύτωνα, δεν έκρυβε την αντίθεσή του προς τον
ορθολογισμό και τις ιδέες του διαφωτισμού.
Χαρακτηριστική είναι η φράση του, «Η τέχνη
είναι το δέντρο της ζωής, η επιστήμη είναι το
δέντρο του θανάτου». Θεωρούσε τη θεωρία του
φωτός του Νεύτωνα ως αντίθετη με την
πνευματική θέαση του κόσμου. Την χαρακτήριζε
μονόπλευρη σε αντίθεση με τη δική του τετραπλή
θέαση. Περιέγραφε τον επιστημονικό υλισμό ως
άγονο και αντίθετο προς το πνεύμα.
Στις ερωτήσεις που ακολουθούν να λάβετε υπόψη
σας και αυτό το στοιχείο.

79. Παρατηρήστε τη μύτη, το μάτι και το δεξιό χέρι του
Νεύτωνα. Περιγράψτε τα και εξηγήστε τι συμβολίζουν με
τον τρόπο που έχουν παρασταθεί.

80. Πώς ερμηνεύετε το γεγονός ότι τα
βράχια και τα φυτά βρίσκονται στην
πλάτη του Νεύτωνα ενώ μπροστά του
δεν υπάρχει τίποτα πέρα από τον
πάπυρό του;
Σχολιάστε το γεγονός ότι το πρόσωπο
είναι ασκητικό σε αντίθεση με το σώμα
όπου παριστάνονται και με κάποια
δόση υπερβολής οι έντονα
ανεπτυγμένοι μυς ενός
καλοθρεμμένου ανθρώπου.

81. Urizen: ήρωας της μυθολογίας του Blake, εκπρόσωπος της
παραδοσιακής σοφίας και λογικής

83. ALBRECHTDÜRER
Μελαγχολία I

84. Albrecht Dürer: Μελαγχολία (1514)

85. Μελαγχολία;
 Αίμα
 Φλέγμα
 Ξανθή χολή
 Μέλαινα χολή

86. Παρατηρήστε προσεκτικά τον πίνακα
και δημιουργήστε ένα κατάλογο με τα
αντικείμενα που απεικονίζονται
ταξινομώντας τα σε κατηγορίες

87. Η μεγάλη φιγούρα με τα φτερά
παριστάνει σύμφωνα με πολλούς
ιστορικούς της τέχνης τη γεωμετρία.
Μπορείτε να φανταστείτε γιατί;

88. Maître du Méliacin: Παρισινός
εικονογράφος XIII – XIV αιώνας
Domenico di Michelino
Allegoria dell'Architettura ~1450

89. αριθμητική - γεωμετρία – μουσική - αστρονομία

90. Αναζητήστε τα κοινά αντικείμενα στις δύο εικόνες. Ποια από
αυτά δικαιολογούν τον χαρακτηρισμό «γεωμετρία»;
Albrecht Dürer:
Μελαγχολία (1514)
Gregor Reisch
Margarita Philosophica (1503)

91. Μαγικό τετράγωνο;

92. Srinivasa Ramanujan: 22 – 12 – 1887

93. Γράψτε την ημερομηνία γέννησής σας και δημιουργήστε το
προσωπικό σας μαγικό τετράγωνο

94. Κόλουρο ρομβόεδρο Ρομβόεδρο
Κόψτε δύο μικρά τετράεδρα από δυο απέναντι κορυφές του ρομβόεδρου.
Πόσες έδρες θα έχει το νέο στερεό; Τι σχήμα θα έχουν;

96. Κόψτε τέσσερα ίσα μικρά τετράεδρα από τις κορυφές του αρχικού τετραέδρου
για να δημιουργήσετε ένα κόλουρο τετράεδρο. Πόσες έδρες θα έχει το νέο
στερεό; Τι σχήμα θα έχουν οι έδρες;

97. 26-άεδρο β
(Ρομβοκυβοκτάεδρο)
8 εξάγωνα, 12 τετράγωνα, 6
οκτάγωνα
Ημικανονικό οκτάεδρο
(κόλουρο τετράεδρο)
4 Τρίγωνα – 4 Εξάγωνα

98. 38 62α 62β 92
26α 26β 32α 32β 32γ
8 14α 14β 14γ
Τα
13
ημικανονικά
πολύεδρα
του
Αρχιμήδη

99. Max Ernst: Οι φάσεις της νύχτας

100. Νέος άνδρας προβληματισμένος από την
πτήση μιας μη Ευκλείδειας μύγας