Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Συν - μετρία

709 views

Published on

  • Login to see the comments

Συν - μετρία

  1. 1. Μελίσσια 2015 Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ
  2. 2. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Σελ. 2 Α. Επικάλυψη με κανονικά πολύγωνα Σελ. 3 Β. Επικάλυψη με τυχαία (;) πολύγωνα Σελ. 9 Γ. Κάλυψη επιπέδου με μη περιοδικούς σχηματισμούς Σελ. 12 Δ. Η συμμετρία ως σχέδιο και ως μαθηματικά Σελ. 14 Ε. Ισομετρίες ταινιών Σελ. 19 ΣΤ. Ισομετρίες επιπέδου – πλακοστρώσεις Σελ. 25 Ζ. Ισομετρίες επιπέδου στο έργο του Escher Σελ. 37 Η. Τρισδιάστατες συμμετρίες Σελ. 41 Θ. Η συμμετρία στη φύση και στην ανθρώπινη δραστηριότητα Σελ. 45 Παράθεμα Σελ. 52 Αρθρογραφία – βιβλιογραφία Σελ. 60
  3. 3. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 2 Εισαγωγή Στην ύλη της γεωμετρίας της Α’ Λυκείου υπάρχουν κάποιες παράγραφοι σχετικά με την συμμετρία , ως προς κέντρο και ευθεία. Την παράγραφο αυτή, αν τη διδάξουμε, προσπαθούμε να την ξεπετάξουμε ως άχρηστη αφού δεν ενδείκνυται για ασκήσεις… Όμως αν προσέξουμε τη φύση γύρω μας , αν προσέξουμε τα ζώα και τους ανθρώπους θα διαπιστώσουμε πως η κανονικότητα που διέπει τη συμμετρία είναι παντού. Πρέπει να ασχοληθούμε περισσότερο μαζί της. Να παρατηρήσουμε τα διακοσμητικά πλακάκια σε κάθε κτήριο , ναό. Τα βιτρό των παραθύρων , τα σχέδια των διαφόρων κιγκλιδωμάτων, το καθρέφτισμα των δένδρων στην ήρεμη επιφάνεια των νερών , τις διατάξεις στο πέταγμα των αποδημητικών πουλιών. Να παρατηρήσουμε και να αναλογιστούμε. Το κατάλληλο εργαλείο για τη δράση αυτή τα Μαθηματικά. Να ανακαλύψουμε τη σχέση ανάμεσα στην τέχνη και στα Μαθηματικά, την σχέση ανάμεσα στη συμμετρία που μας περιβάλλει και τα Μαθηματικά. Μια τέτοια ενασχόληση μπορεί να συγκινήσει περισσότερο και τους μαθητές μας που χασμουριούνται βαριεστημένοι από την συνεχή διαδοχή θεωρημάτων αποδείξεων και ασκήσεων που συνιστούν της σχολική μαθηματική καθημερινότητα. Όπως και στον πίνακα του Escher “reptiles” πρέπει και εμείς να αφήσουμε την κανονικότητα του επιπέδου και μέσω της γνώσης να αναρριχηθούμε να συλλάβουμε την κριμένη αρμονία και να την εφαρμόσουμε στην καθημερινή μας ζωή, να ανακαλύψουμε τη φύση και μετά να αναστοχαστούμε για να συνεχίσουμε το πιο ωραίο ταξίδι αυτό των ερωτημάτων και των απαντήσεων. Ένα ταξίδι γεμάτο αφετηρίες και τερματισμούς…
  4. 4. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 3 Α. Επικάλυψη με κανονικά πολύγωνα Όποτε βρεθείτε σε εκκλησία σας προτρέπω να εξετάσετε με επιμονή τα βιτρό στα παράθυρα ή τις πλακοστρώσεις του δαπέδου της. Παρατηρήστε τα σχέδια, που σχηματίζονται από τους διάφορους συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων. Με πόσους όμως διαφορετικούς συνδυασμούς μπορούμε να σχηματίσουμε ένα βιτρό ή μία πλακόστρωση ; Για να μπορέσουμε να δώσουμε μία μαθηματική απάντηση στο ερώτημα αυτό, ας θυμηθούμε ορισμένες βασικές γνώσεις από την Γεωμετρία. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν είναι ισόπλευρο και ισογώνιο. Σε ένα κανονικό πολύγωνο εξετάζουμε δύο χαρακτηριστικές γωνίες του. Την κεντρική γωνία νω για την οποία ισχύει ο ν 360 ω ν , όπου ν ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου και την γωνία του νφ για την οποία ισχύει ότι : ο ν νω φ 180 . Άρα για το κανονικό εξάγωνο του διπλανού σχήματος έχουμε ότι : ο ο 6 360 ω 60 6 και ο ο ο ο 6 νφ 180 ω 180 60 120 Είναι προφανές ότι ένα τετράγωνο βιτρό ή πλακάκι χρησιμοποιείται για την κάλυψη οποιασδήποτε επιφάνειας όμως : 1. Πότε ένα κανονικό πολύγωνο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα για την κάλυψη μιας επιφάνειας; 2. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά πολύγωνα για καλυφθεί πλήρως μία επιφάνεια;
  5. 5. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 4 Για να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα πλακόστρωσης ένα κανονικό πολύγωνο ν- πλευρών θα πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός μ ώστε ο ο ο ο ν 360 μ φ 360 μ (180 ) 360 ... μ ν 2μ 2ν ν ή παραγοντοποιώντας την τελευταία σχέση καταλήγουμε (μ 2)(ν 2) 4 δηλαδή μ 2 2 μ 2 4 μ 2 1 ή ή ν 2 2 ν 2 1 ν 2 4 Άρα μ=4 και ν=4 ή μ=6 και ν=3 ή μ=3 και ν=6 Δηλαδή μία πλήρης πλακόστρωση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας: 4 τετράγωνα ή 6 τρίγωνα ή 3 εξάγωνα. Για να χρησιμοποιήσουμε τρία διαφορετικά κανονικά πολύγωνα για πλακόστρωση πρέπει κατά αρχή να ισχύει : ο ν μ κφ φ φ 360 , ώστε να μπορούμε να καλύψουμε πλήρως την επιφάνεια γύρω από την κοινή κορυφή τους . Αντικαθιστώντας καταλήγουμε στην συνθήκη : 1 1 1 1 ν μ κ 2 . Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς τους φυσικούς ν, μ, κ ( η λ ύ σ η π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι σ τ ο π α ρ ά θ ε μ α ) καταλήγουμε στις λύσεις : (5,5,10) , (12,12,3) , (8,8,4) , (3,7,42), (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15), (4,5,20) και (4,6,12) Με παρόμοια λογική βρίσκουμε και λύση με τέσσερα πολύγωνα (4,4,6,3), (6,6,3,3) , (3,3,4,12) αλλά και με πέντε πολύγωνα (3,3,3,4,4) και (3,3,3,3,6) Ενώ είναι λογικό (;) ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν έξι διαφορετικά πολύγωνα για πλήρη επι κάλυψη του επιπέδου.
  6. 6. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 5 Προσοχή όμως οι λύσεις που βρήκαμε προηγουμένως δεν είναι όλες δεκτές. Οι συνδυασμοί βρέθηκαν με προϋπόθεση να καλύπτεται πλήρως το επίπεδο γύρω από μία κορυφή. Αυτό μπορεί να ισχύει χωρίς όμως να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συνδυασμό για να καλύψουμε πλήρως το επίπεδο γύρω από οποιαδήποτε κορυφή. Για παράδειγμα ο συνδυασμός (5,5,10) δεν καλύπτει ως μονάδα κάλυψης το επίπεδο. Όμως το αποτέλεσμα τουλάχιστον καλλιτεχνικά είναι ικανοποιητικό! Παρόμοιο θεαματικό αποτέλεσμα καταλήγουμε και στην περίπτωση (24,8,3) που όπως θα παρατηρήσετε για να καλυφθεί πλήρως το δάπεδο θα πρέπει να προστεθεί στην όλη σύνθεση και ένα τετράγωνο. Θα είναι ενδιαφέρον να προσπαθήσει κάποιος να χρησιμοποιήσει τις μη δεκτές λύσεις που βρήκαμε προηγουμένως (3,10,15) , (4,5,20) , (3,7,42) , (3,9,18) , για να φτιάξουμε όμορφες πλακοστρώσεις όπου η μονάδα που χρησιμοποιείται να αλλάζει από κορυφή σε κορυφή, όπως στα δύο προηγούμενα παραδείγματα.
  7. 7. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 6 Ας δούμε τις λύσεις σε σχήματα, γατί όπως και να το κάνουμε μία εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις, πόσο μάλλον αποδείξεις !! 1η περίπτωση : Πλακόστρωση με το ίδιο κανονικό πολύγωνο ως μονάδα κάλυψης. 2η περίπτωση : Πλακόστρωση με συνδυασμό τριών ή περισσοτέρων κανονικών πολυγώνων. 1. Δύο οκτάγωνα και ένα τετράγωνο. 2. Δωδεκάγωνο – εξάγωνο και τετράγωνο
  8. 8. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 7 3. Δύο δωδεκάγωνα και ένα τρίγωνο 4. Δύο τετράγωνα ένα εξάγωνο και ένα τρίγωνο 5. Δύο εξάγωνα και δύο τρίγωνα 6. Δύο τρίγωνα ένα τετράγωνο και ένα δωδεκάγωνο
  9. 9. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 8 7. Τρία τρίγωνα και δύο τετράγωνα 8. Τέσσερα τρίγωνα και ένα εξάγωνο Ενδιαφέρον από αισθητική – καλλιτεχνική άποψη είναι να πειραματιστεί κάποιος με τις παραπάνω πλακοστρώσεις διότι ο κάθε συνδυασμός μπορεί να αναπτυχθεί στο επίπεδο με διαφορετικούς τρόπους, όπως είδαμε στις περιπτώσεις (6,6,3,3) και (3,3,3,4,4). Ας σημειωθεί ότι υπάρχουν σίγουρα έξι διαφορετικοί τρόποι κάλυψης δαπέδου με τον συνδυασμό (3,3,3,4,4) , πέντε διαφορετικοί τρόποι για τον συνδυασμό (3,4,4,6) , δύο διαφορετικοί τρόποι για τον συνδυασμό (3,6,12) και δύο στον (3,12,12). Καλή προσπάθεια, το αποτέλεσμα σίγουρα θα σας δικαιώσει !
  10. 10. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 9 Β. Επικάλυψη με τυχαία (;) πολύγωνα. Ήταν μεγάλη έκπληξη για μένα το γεγονός ότι τελικά μπορούμε να καλύψουμε ένα δάπεδο χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε τρίγωνο ή τετράπλευρο ! Παρατηρήστε τα παρακάτω σχήματα : Ο πιο παρατηρητικός μπορεί να αντιληφθεί ότι αρχικά χρησιμοποιούμε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο ή τετράπλευρο (κυρτό ή μη κυρτό ) και στρέφοντας το κατά 180 γύρω από το μέσο της κάθε πλευράς του έχουμε το αποτέλεσμα που μας εκπλήσσει. Το τι σημαίνει στροφή αλλά και άλλους μετασχηματισμούς που αφήνουν αναλλοίωτες τις αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων αλλά και τις γωνίες μεταξύ δύο τμημάτων ( ισομετρίες) θα το μάθουμε επόμενο μέρος της εργασίας αυτής. Το 1900 ο γερμανός μαθηματικός D. Hilbert προτείνει μία λίστα από 23 άλυτα ως τότε προβλήματα. Μία απλούστερη εκδοχή ενός από αυτά είναι και το ερώτημα ποια επίπεδα σχήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κάλυψη ενός επιπέδου. Είναι προφανές ότι το πρόβλημα δεν αναφέρεται στα κανονικά πολύγωνα ή στην περίπτωση τριγώνου και τετραπλεύρου που ήδη έχουμε αναφέρει.
  11. 11. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 10 Η λύση του προβλήματος είναι πολύπλοκη, εδώ απλώς θα αναφέρουμε τα αποτελέσματα. Με κυρτά εξάγωνα μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο μόνο αν ανήκουν σε έναν από τους παρακάτω τύπους : Τύπος εξαγώνου Σχέση μεταξύ γωνιών Σχέση μεταξύ πλευρών 1ος τύπος A+B+C=2π a=d 2ος τύπος A+B+D=2π a=d , c=e 3ος τύπος A=C=E= 2 3 a=b , c=d , e=f Με κυρτά πεντάγωνα μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο μόνο αν ανήκουν σε έναν από τους παρακάτω τύπους : Τύπος πενταγώνου Σχέση μεταξύ γωνιών Σχέση μεταξύ πλευρών 1ος τύπος A+B+C=2π 2ος τύπος A+B+D=2π a=d 3ος τύπος A=C=D= 2 3 a=b , d=c+e 4ος τύπος A=C= 1 2 a=b , c=d 5ος τύπος A= 1 3 , C= 2 3 a=b , c=d 6ος τύπος A+B+D=2π , A=2C a=b=e , c=d 7ος τύπος 2B+C=2D+A=2π a=b=c=d 8ος τύπος 2A+B=2D+C=2π a=b=c=d Ας δούμε ορισμένες εφαρμογές των παραπάνω. Πεντάγωνο τύπου 5
  12. 12. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 11 Πεντάγωνο τύπου 4 Εξάγωνο τύπου 3 Εξάγωνο τύπου 1
  13. 13. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 12 Γ. Κάλυψη επιπέδου με μη περιοδικούς σχηματισμούς. Ο Άγγλος Μαθηματικός και Φυσικός Roger Penrose το 1974 παρουσίασε τρόπους κάλυψης του επιπέδου που το χαρακτηριστικό τους είναι η μη περιοδικότητά τους. Δηλαδή « … ενώ οι σχηματισμοί φαίνονται να έχουν κάποιο είδος συμμετρίας, εντούτοις είναι ένα παράξενο σύμπλεγμα επιφανειακής τάξης και απρόσμενων αποκλίσεων. Μας δημιουργείται η εντύπωση ότι οι σχηματισμοί προσπαθούν να είναι περιοδικοί αλλά δεν τα καταφέρνουν . » ( Ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών Ivars Peterson ) Οι μονάδες που χρησιμοποίησε ήταν δύο σχήματα – μία σαΐτα και τον χαρταετό. Τα σχήματα αυτά τα κατασκευάζει από έναν ρόμβο πλευράς φ=1,618 … (τον γνωστό άρρητο χρυσό αριθμό 1 5 2 ) Το τελικό αποτέλεσμα σίγουρα εντυπωσιάζει, αλλά το πιο αξιοθαύμαστο είναι ότι κάθε τέτοιος σχηματισμός περιλαμβάνει ακριβώς 1,618… περισσότερους χαρταετούς από σαΐτες. Αφού ο αριθμός αυτός είναι άρρητος είναι αδύνατο να απομονώσουμε ένα μέρος του μωσαϊκού που να περιέχει ακέραιο αριθμό κάθε σχήματος.
  14. 14. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 13 Σε μία δεύτερη μη περιοδική κάλυψη που παρουσίασε, οι μονάδες σχηματισμού του μωσαϊκού ήταν ένα ζευγάρι ρόμβων. Ένα δύσκολο πρόβλημα που ξεπηδά από τις προσπάθειες μας να κατασκευάσουμε ένα μωσαϊκό Penrose είναι ότι πάντα μπορούμε να τοποθετήσουμε τις δύο μονάδες την μία δίπλα στην άλλη, αλλά σπάνια είναι προφανής ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να γίνει η τοποθέτηση. Έτσι μπορούμε τελικά να δημιουργήσουμε διαφορετικές εκφράσεις με το αποτέλεσμα σίγουρα να μας ικανοποιεί ευχάριστα.
  15. 15. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 14 Δ. Η συμμετρία ως σχέδιο και ως μαθηματικά. Από το Γυμνάσιο μαθαίνουμε την έννοια της συμμετρίας. Εικόνες σαν τη διπλανή σχηματοποιούν και εγγράφουν στον νου μας την κατοπτρική συμμετρία ως το καθρέφτισμα ενός αντικειμένου στα ήρεμα νερά μιας λίμνης. Αλλά και το σχήμα μιας πεταλούδας μας διδάσκει την έννοια της συμμετρίας ως προς άξονα. Ένας πίνακας όπως το παρακάτω χαρακτικό του Escher μας προϊδεάζει για το τι θα ορίσουμε ως στροφή αντικειμένου ως προς κέντρο. Η λέξη συμμετρία προέρχεται από το συν και μέτρο και δηλώνει μία αλλαγή σε ένα αντικείμενο με διατήρηση όμως του μέτρου του. Οι αρχαίοι χρησιμοποιούσαν τον όρο συμμετρία με την έννοια της αρμονίας των αναλογιών και του ωραίου. Το ωραίο προκύπτει από την συμμετρία των μερών μεταξύ τους και προς το όλον. Στα μαθηματικά ως συμμετρία εννοούμε κάθε μετασχηματισμό ενός μαθηματικού αντικειμένου , διάνυσμα , τμήμα , επίπεδο σχήμα που αφήνει αναλλοίωτη την απόσταση – το μέτρο. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός λέγεται και ισομετρία. Υπάρχουν τέσσερεις βασικές ισομετρίες που θα ασχοληθούμε. Η παράλληλη μεταφορά (Translation) , ο καθρεφτισμός ή συμμετρία ως προς σημείο ή ευθεία (Reflection ή Mirror ) , η στροφή ( Rotation) και τέλος η μεταφορική συμμετρία , που πρόκειται για έναν συνδυασμό καθρεφτισμού και συμμετρίας (Glide reflection)
  16. 16. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 15 Ας δούμε μερικά παραδείγματα τέτοιων μετασχηματισμών Μεταφορά προς τα δεξιά κατά ένα συγκεκριμένο διάνυσμα. Καθρέφτισμα ή συμμετρία ως προς ευθεία. Περιστροφή του αντικειμένου κατά 180ο ως προς κέντρο το μέσο του. Μεταφορική συμμετρία, (ολισθαίνων κατοπτρισμός) πρώτα έχουμε μεταφορά του αντικειμένου κατά ένα διάνυσμα και μετά το καθρέφτισμά του ως προς μία ευθεία. Τα ευχάριστα αυτά παιχνιδίσματα θα έμεναν σαν απλές εικόνες που οι μαθητές αλλά και οι καλλιτέχνες αυτοσχεδιάζουν αν δεν ασχολείτο με την έννοια ένας μεγάλος μαθηματικός ο Arthur Cayley . Ο Arthur Cayley γεννήθηκε στις 16-8-1821 , στα δεκατέσσερά του γράφεται στο King’s College school του Λονδίνου και σε ηλικία δεκαεπτά ετών εισάγεται στο κολλέγιο Trinity του Κέμπριτζ. Το 1842 σε ηλικία 21 ετών αριστεύει στις εξετάσεις των μαθηματικών . Εκλέγεται υφηγητής στο κολλέγιο Trinity .
  17. 17. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 16 Θα μπορούσε να συνεχίσει την πανεπιστημιακή του καριέρα αν φρόντιζε να χειροτονηθεί . Η ιδέα ότι θα έπρεπε να γίνει παπάς για να μη χάσει την δουλειά του τον κάνει να τα παρατήσει όλα και να ασχοληθεί με τα νομικά . Μετά από τρία χρόνια σπουδών στην Νομική σχολή γίνεται δεκτός στο δικηγορικό σύλλογο. Το 1863 το πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ δημιούργησε μια νέα έδρα μαθηματικών , την Sadlerian και την πρόσφερε στον Cayley. Στην περίοδο 1881-1882 διδάσκει στο αμερικάνικο πανεπιστήμιο John Hopkins όπου συνεργάζεται με τον φίλο του James Joseph Sylvester. Ο Cayley συνέχισε τη δημιουργική του δραστηριότητα μέχρι τον θάνατο του το 1895. Στην μαθηματική του πορεία ασχολήθηκε με τη θεωρία των αλγεβρικών αναλλοίωτων, την θεωρία των πινάκων και με τη Γεωμετρία του χώρου των ν διαστάσεων. Ο Cayley χρησιμοποιώντας ένα νέο εργαλείο των μαθηματικών τους πίνακες μετέτρεψε την εικόνα σε άλγεβρα . Οι συμμετρίες με τη βοήθεια της άλγεβρας των πινάκων Πίνακας είναι μία διάταξη στοιχείων σε γραμμές και στήλες π.χ. ο πίνακας 1 2 3 0 . Τον συμβολίζουμε με ένα γράμμα π.χ. Α και για να δηλώσουμε το πλήθος των γραμμών και των στηλών του αντίστοιχα γράφουμε ότι ο πίνακας έχει τάξη 2Χ2. Μεταξύ των πινάκων ορίζουμε μερικές πράξεις όπως : πρόσθεση – αφαίρεση μεταξύ δύο ή περισσότερων πινάκων της ίδιας τάξης προσθέτοντας – αφαιρώντας τα αντίστοιχα στοιχεία τους. Π.χ. 1 2 2 0 3 2 1 3 1 1 0 4 τον πολλαπλασιασμό πίνακα με πραγματικό αριθμό π.χ. 1 2 2 3 6 τον πολλαπλασιασμό πινάκων όπου για να γίνει πρέπει ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου και προκύπτει πίνακας με γραμμές όσες οι γραμμές του πρώτου και στήλες όσες οι στήλες του δεύτερου. Ο τρόπος με τον οποίο γίνεται ο πολλαπλασιασμός παρουσιάζεται στο παρακάτω παράδειγμα. π.χ. 3 1 1 3 1 1 2 4 2 1 4 2 10 2 1 2 Τέλος δύο πίνακες θα είναι ίσοι όταν είναι της ίδιας τάξεως και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.
  18. 18. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 17 Το περίεργο με την άλγεβρα των πινάκων είναι ότι ο πολλαπλασιασμός όπως έχει ορισθεί δεν είναι πράξη αντιμεταθετική δηλαδή γενικά μεταξύ δύο πινάκων Α και Β ισχύει ότι Ας δούμε τώρα πως η άλγεβρα των πινάκων χρησιμοποιείται για να μαθηματικοποιηθεί η έννοια του μετασχηματισμού (Αντιγράφουμε από το σχολικό βιβλίο μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου ) Τα μαθηματικά ενός Γεωμετρικού Μετασχηματισμού Γνωρίζουμε ότι συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μοναδικό στοιχείο του Β. Στην περίπτωση όπου τα Α και Β συμπίπτουν με το σύνολο E των σημείων ενός καρτεσιανού επιπέδου Oxy οι συναρτήσεις θα λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο επίπεδο ή, απλά, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί. Δηλαδή, γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι οποιαδήποτε συνάρτηση EE:T Ως προς τη συνάρτηση αυτή η εικόνα, )(MT , του σημείου ),( yxM θα συμβολίζεται με ),( yxM . Ένα παράδειγμα γεωμετρικού μετασχηματισμού είναι η συνάρτηση EE:T , ),(),( yxMyxM , η οποία αντιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του M ως προς τον άξονα xx . Ας θεωρήσουμε τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς που απεικονίζουν τα σημεία ),( yxM στα ),( yxM των οποίων οι συντεταγμένες δίνονται από ένα σύστημα της μορφής νδyγxy μβyαxx ή, ισοδύναμα, από μια εξίσωση της μορφής ν μ y x δγ βα y x (1) όπου να,β,γ,δ,μ, πραγματικοί αριθμοί. Αν 0μ και 0ν , τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή y x δγ βα y x (2) M΄(x΄,y΄)Τ M(x,y) O x y 2 M(x,y) M΄(x, y) C΄ C O x y 3
  19. 19. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 18 Στην περίπτωση αυτή ο γεωμετρικός μετασχηματισμός λέγεται γραμμικός μετασχηματισμός και ο πίνακας δγ βα λέγεται πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το σύστημα yxy yxx 22 37 ή, ισοδύναμα, από την εξίσωση y x y x 22 37 είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα τον 22 37 . Με αυτόν τον μετασχηματισμό το σημείο )2,1(A απεικονίζεται στο )6,13(A , ενώ το σημείο )2,1(B στο )2,1(B , δηλαδή στον εαυτό του. Ας θεωρήσουμε τώρα το γραμμικό μετασχηματισμό y x δγ βα y x T : και τα μοναδιαία διανύσματα )0,1(i  και )1,0(j  Τότε, η εικόνα A του πέρατος )0,1(A του διανύσματος i  έχει συντεταγμένες ),( γα , αφού γ α δγ βα y x 0 1 , ενώ η εικόνα B του πέρατος )1,0(B του διανύσματος j  έχει συντεταγμένες ),( δβ , αφού δ β δγ βα y x 1 0 . Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι: Oι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, 0)(1,A , του διανύσματος (1,0)i  είναι η πρώτη στήλη, ενώ οι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, 1)0,(Β , του διανύσματος j  είναι η δεύτερη στήλη του πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο γραμμικός μετασχηματισμός, που απεικονίζει τα πέρατα )0,1(A και )1,0(B των διανυσμάτων )0,1(i  και )1,0(j  στα σημεία )1,3(A και )2,1(B αντιστοίχως, έχει πίνακα 21 13 . (Αναλυτική παρουσίαση των τεσσάρων ισομετριών στο παράθεμα )  j  i Α΄(α,γ) Β(0,1) Α(1,0) Β΄(β,δ) O x y 4
  20. 20. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 19 Ε. Ισομετρίες ταινιών. Στο υπέροχο βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη « ο Μέτοικος και η συμμετρία» εκδόσεις Πόλις, ο ήρωας του μυθιστορήματος ο Δημήτρης σε μικρή ηλικία παίζοντας ανακάλυψε ότι υπάρχουν επτά διαφορετικοί τρόποι να αφήνεις πατημασιές στην άμμο. Τους έδωσε και ονομασίες και είναι οι : Το κουτσό ! Το περπατητό ! Φτέρνα με φτέρνα ! Το κουτσό και γυριστό! Το φτέρνα με φτέρνα και γυριστό ! Το πηδηχτό ! Το πηδηχτό και γυριστό !
  21. 21. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 20 Ουσιαστικά παρουσιάζει τις επτά διαφορετικές ομάδες ισομετριών ταινιών ή ομάδες συμμετρίας ζωοφόρων. Ως ζωφόρο ονομάζουμε μία συνεχή παράσταση σκηνών με ανθρώπους ή ζώα, που χρησιμοποιήθηκε για καθαρά διακοσμητικούς σκοπούς στα κλασικά χρόνια της αρχαιότητας. Κάθε τέτοιο σχέδιο επαναλαμβάνεται κατά τρόπο κανονικό κατά μήκος μιας συνεχούς και άπειρης εν δυνάμει λωρίδας. Ένας άλλος όρος που χρησιμοποιείται είναι η λέξη φρίζα ή fries που προέρχεται από την αρχαιοελληνική λέξη Φρυξ(-γός) . Ο όρος αναφέρεται στην περιοχή Φρυγία που ήταν ονομαστή για την χρυσοποίκιλτες ταινίες και ζώνες της. Οι διακοσμητικές λωρίδες εμφανίζονται και στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό σε τοιχογραφίες στα αγγεία της γεωμετρικής εποχής στα αετώματα με διάφορα σχέδια όπως μαιάνδρους, κύματα, ανθέμια κ.τ.λ. Μπορεί ο Δημήτρης να ονοματίζει τις ομάδες με βάση τα αποτυπώματα και τον τρόπο δημιουργίας τους στην άμμο, εντούτοις υπάρχει και ο επίσημος συμβολισμός ( International Two-dimensional Symbols) που ακολουθεί τους εξής κανόνες. Το πρώτο σύμβολο είναι το m αν υπάρχει κάθετος άξονας κατοπτρισμού, αλλιώς το πρώτο σύμβολο είναι το 1. Το δεύτερο σύμβολο είναι m αν υπάρχει οριζόντιος άξονας κατοπτρισμού, g αν υπάρχει συμμετρίας ολισθαίνοντος κατοπτρισμού, 2 αν υπάρχει συμμετρία ημι-στροφής ειδάλλως θέτουμε ως δεύτερο σύμβολο το 1. Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα : Η περίπτωση 11 Είναι το αποτέλεσμα μιας περιοδικής μεταφορικής επανάληψης ενός ασύμμετρου σχεδίου. Το βασικό μοτίβο καθώς επαναλαμβάνεται δίνει την εντύπωση της κίνησης, την εξέλιξη τον χρόνο. Είδος συμμετρίας Απλή μεταφορά Ολισθαίνων κατοπτρισμός Ημιστροφή Κατακόρυφος κατοπτρισμός Οριζόντιος κατοπτρισμός Κατακόρυφος - ολισθαίνων κατοπτρισμός Κατακόρυφος και οριζόντιος κατοπτρισμός
  22. 22. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 21 Η περίπτωση m1 Χρησιμοποιήθηκε για να παρουσιαστούν λατρευτικοί χοροί. Η περίπτωση 1m Χρησιμοποιήθηκε για να παρασταθούν φυτά ακόμα και μέσα σε διακοσμητικά μοτίβα. Η περίπτωση 1g Χρησιμοποιήθηκε για να εκφραστεί μία ακολουθία στοιχείων πάνω – κάτω με διαφορετική κατεύθυνση. Η περίπτωση mg Δηλώνουν κινήσεις νερού – ήλιος πάνω και κάτω από το επίπεδο του νερού Η περίπτωση 12 Επανάληψη ενός βασικού σχεδίου σε δύο αντίθετες κατευθύνσεις. Η περίπτωση mm Κλασικό διακοσμητικό στοιχείο με κατακόρυφη και οριζόντια συμμετρία
  23. 23. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 22 Αλλά γιατί μόνο 7 δυνατοί τρόποι ; Μία δικαιολόγηση – όχι απόδειξη μπορεί να δοθεί από το παρακάτω διάγραμμα : Η περίπτωση (m2,) ταυτίζεται με τις περιπτώσεις (m,m) και (m,g) ανάλογα ως προς το σημείο στο οποίο γίνεται η ημιστροφή, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.
  24. 24. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 23 Ενδιαφέρον θα αποτελεί η επίσκεψη στο αρχαιολογικό Μουσείο όπου οι μαθητές θα μπορούν να συνδυάσουν την επίσκεψη τους με την ενασχόληση σε δύο διακριτά γνωστικά αντικείμενα, αυτό της ιστορίας – γεωμετρική περίοδος της τέχνης αλλά και την ανακάλυψη των συμμετριών που εμφανίζονται στα διάφορα εκθέματα και την ταυτοποίηση τους ανάλογα με τις επτά ομάδες που προαναφέραμε. Για να κάνουμε μία καλή αρχή μπορείτε να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα; Α/Α Έκθεμα Ονομασία ομάδας συμμετρίας ζωφόρου Έλεγχος της απάντησης 1. 2. 3. 4. 5.
  25. 25. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 24 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Απαντήσεις : 1- 11 και 12 / 2- m1 / 3- 11 / 4- 1g / 5- 12 / 6- m1 / 7- 1m / 8- mg / 9- mm / 10- 12 / 11- mm / 12- 1g / 13- 1g / 14- m1 / 15- 11
  26. 26. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 25 ΣΤ. Ισομετρίες επιπέδου – πλακοστρώσεις . Αλάμπρα, το παλάτι της συμμετρίας ! Όποιος επισκεφτεί το αριστούργημα αυτό της ισλαμικής τέχνης αισθάνεται τη δύναμη της ανθρώπινης δημιουργικότητας να φθάνει στο ύψιστο βαθμό της. Η Αλάμπρα μοιάζει σαν να είναι κτισμένη πάνω στο νερό, γιατί οι Άραβες αρχιτέκτονες εκμεταλλεύτηκαν την κατοπτρική δύναμη του νερού. Ο διάκοσμος του παλατιού είναι γεμάτος εικόνων πλήρους συμμετρίας και στροφών. Οι οροφές οι τοίχοι τα δάπεδα είναι καλυμμένα με άνθη και αστέρια μιας ποικιλόμορφης δαιδαλώδους τεχνοτροπίας. Οι τοίχοι είναι στρωμένοι με πλακίδια διαφορετικών χρωμάτων διατεταγμένα έτσι ώστε να σχηματίζουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Η συμμετρία κάνει τους τοίχους να πάλλονται, δίνοντας την εντύπωση κινούμενης εικόνας. Η τεχνική αυτή αφιέρωμα στην άπειρη σοφία και μεγαλοπρέπεια του θείου. Στα ξυλόγλυπτα σχηματίζονται γραμμές οι οποίες μοιάζουν να τρέχουν η μία κάτω από την άλλη. Ξεγελιέται το μάτι, δίνοντας την αίσθηση της ύπαρξης μιας επιπλέον διάστασης.
  27. 27. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 26 Πέρα από την καθαρά αισθητική προσέγγιση αυτής της ομορφιάς, το μαγικό είναι ότι και εδώ κρύβονται Μαθηματικά ! Όπως στην περίπτωση της ζωφόρου όπου έχουμε συγκεκριμένο αριθμό ομάδων συμμετριών έτσι και στο επίπεδο αποδεικνύεται ότι τελικά υπάρχουν δεκαεπτά (17) διαφορετικές ομάδες συμμετριών. Η διάκριση γίνεται καταρχήν με το πλέγμα που χρησιμοποιούμε και μετά από τον συνδυασμό των βασικών συμμετριών που αναπτύσσονται. Παραλληλόγραμμο πλέγμα Ορθογώνιο πλέγμα Ρομβοειδές πλέγμα Τετραγωνικό πλέγμα Εξαγωνικό πλέγμα Μέσα στο στοιχειώδες σχήμα κάθε στοιχείου του πλέγματος η γεωμετρική μορφή επαναλαμβάνεται μέσω ισομετριών και έτσι σχηματίζονται πλακοστρώσεις – ψηφιδωτά, ταπετσαρίες, ξυλόγλυπτα κ.α. Ο πίνακας των 17 ομάδων επίπεδων διακοσμήσεων είναι ο παρακάτω : Στα διπλανά σχήματα τα σύμβολα δηλώνουν το κέντρο της περιστροφής με γωνία 180 , 120 , 90 , 60 αντίστοιχα. Ενώ τα σύμβολα τους άξονες κατοπτρισμού ή ολισθαίνοντος κατοπτρισμού αντίστοιχα.
  28. 28. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 27 1η περίπτωση : Παραλληλόγραμμο πλέγμα και απλή μεταφορά. 2η περίπτωση Παραλληλόγραμμο πλέγμα και περιστροφή 180 και μεταφορά 3η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και οριζόντιος κατοπτρισμός και μεταφορά 4η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά 5η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και οριζόντιοι – κατακόρυφοι κατοπτρισμοί και στροφές 180 και μεταφορά 6η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και οριζόντιοι κατοπτρισμοί - στροφές 180ο ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά
  29. 29. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 28 7η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα – στροφές 180ο – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορές 8η περίπτωση Ρομβοειδές πλέγμα – οριζόντιος κατοπτρισμός – ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά 9η περίπτωση Ρομβοειδές πλέγμα – οριζόντιος και κατακόρυφος κατοπτρισμός – ολισθαίνων κατοπτρισμός – στροφές 180ο και μεταφορά 10η περίπτωση Τετράγωνο πλέγμα – στροφές 90ο και 180ο – μεταφορές 11η περίπτωση Τετράγωνο πλέγμα – στροφές 90ο και 180ο – οριζόντιος και κατακόρυφος κατοπτρισμός – ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά 12η περίπτωση Τετράγωνο πλέγμα – στροφές 90ο και 180ο πλάγιοι κατοπτρισμοί – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά
  30. 30. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 29 13η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 120ο – μεταφορά 14η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 120ο – κατοπτρισμοί – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά 15η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 120ο – πλάγιοι κατοπτρισμοί – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά 16η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 180ο – 120ο –60ο μεταφορές 17η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 180ο – 120ο – 60ο – Κατοπτρισμοί – Ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά
  31. 31. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 30 Το πιο πιθανόν είναι η παράθεση όλων αυτών των περιπτώσεων να κούρασε… Αν αφεθούμε όμως στη δημιουργική διακοσμητική τέχνη όπως αυτή έχει αναπτυχθεί ανά τους αιώνες σίγουρα θα αποζημιωθούμε … Συμμετρία p1 - Αίγυπτος 3600 – 3200 π.χ. Συμμετρία p2 – Ουκρανία 23000 π.χ. Συμμετρία p2 – Αιγαίο – 1600 π.χ. Συμμετρία pm – Συρία – 6000 π.χ. Συμμετρία pm – Τροία – 1500 π.χ. Συμμετρία pm – Αρχαία Αίγυπτος Συμμετρία pg – Αίγυπτος – 3600-3200π.χ. Συμμετρία pmm – Ουκρανία – 120000 π.χ.
  32. 32. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 31 Συμμετρία pmm – Μέση ανατολή Συμμετρία pgg – Ιράν – 5000 π.χ. Συμμετρία pgg – Αιγαίο 1600 π.χ. Συμμετρία cm – Συρία – 6000 π.χ. Συμμετρία cm – Παλάτι της Κνωσού Συμμετρία cm – Αίγυπτος – 2000 π.χ. Συμμετρία cmm – νεολιθική εποχή Συμμετρία p3 – Αρχαία Αίγυπτος
  33. 33. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 32 Εξαγωνικές συμμετρίες : 1ο σχήμα P3 , Αραβικό 2ο σχήμα p31m, Κινέζικο 3ο σχήμα p3m1 Περσία Εξαγωνικές συμμετρίες p6 , από Κρήτη και Κυκλάδες Εξαγωνικές συμμετρίες p6m από Περσία – 6000 π.χ.
  34. 34. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 33 Συμμετρίες p4 από Αρχαία Αίγυπτο Συμμετρίες p4g από Κρήτη και Αίγυπτο. Συμμετρίες p4m Νεολιθικής εποχής
  35. 35. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 34 Θα αναρωτιέται κάποιος – μα πως είναι δυνατόν να εντοπίσω το είδος της συμμετρίας που αναπτύσσεται σε μία πλακόστρωση; Η απάντηση είναι ότι η δεξιότητα αυτή είναι μία πολύ δύσκολη διαδικασία. Για να σας παρηγορήσω αρκεί να αναφέρουμε ότι η διαπίστωση ότι στο παλάτι της Αλάμπρας υπάρχουν και οι 17 μορφές συμμετρίας επιπέδου έγινε σταδιακά. Συγκεκριμένα το 1944 η Edith Muller βρήκε 11. Το 1980 ο Grunbaum βρήκε άλλες δύο. Το 1987 ο Rafael Perez Gomez και ανεξάρτητα ο Jose Maria Montesinos ανακάλυψαν τις υπόλοιπες τέσσερις. Προς χάριν της αισθητικής τέρψης, σας παρουσιάζω τη μαγεία της ισλαμικής τέχνης και τους 17 τρόπους επίπεδης ισομετρίας όπως εμφανίζονται στο παλάτι της συμμετρίας!
  36. 36. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 35
  37. 37. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 36 Λέγεται ότι το 1492 καθώς ο τελευταίος μουσουλμάνος ηγεμόνας εγκατέλειπε την Γρανάδα στράφηκε για μια τελευταία στιγμή προς την Αλάμπρα και δάκρυσε. Η μητέρα του τον μάλωσε λέγοντάς του : « Μη δακρύζεις σαν γυναίκα για κάτι που δεν μπόρεσες να υπερασπιστείς σαν άνδρας »
  38. 38. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 37 Ζ. Ισομετρίες επιπέδου στο έργο του Escher . Ο Maurits Cornelis Escher, 17 Ιουνίου 1898 – 27 Μαρτίου 1972 , ήταν Ολλανδός εικαστικός καλλιτέχνης. Εκτός από το σχέδιο και τη γραφιστική δούλεψε επίσης με τις τεχνικές της ξυλογραφίας, της λιθογραφίας και της χαλκογραφίας. Το 1922 ήταν μια σημαντική χρονιά για τον Escher , ο οποίος ταξίδεψε σε πόλεις της Ιταλίας και στην Ισπανία όπου τα περίτεχνα διακοσμητικά σχέδια στην Αλάμπρα τον επηρέασαν βαθύτατα. Χρησιμοποιώντας γεωμετρικά πλέγματα ως βάση των σχεδίων του, όπως και η Ισλαμική τέχνη στην Αλάμπρα, δημιούργησε συνθέσεις πλακοστρώσεων τις οποίες επικάλυπτε με πρόσθετα σχέδια. Έχοντας κατανοήσει την έννοια των 17 ομάδων συμμετρίας επιπέδου δημιούργησε περιοδικές επικαλύψεις με 43 χρωματιστά σχέδια διαφόρων τύπων συμμετρίας. Το 1941, συνόψισε τα συμπεράσματά του σε ένα τετράδιο, το οποίο ονόμασε «η τακτική διαίρεση τομέων σε ασύμμετρα παραλληλισμένα πολύγωνα». Με ποια τεχνική όμως εργαζόταν ο Escher ; Τα παρακάτω σχέδια προσπαθούν να δώσουν απάντηση στο ερώτημα αυτό.
  39. 39. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 38 1ο παράδειγμα Ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Σχηματίζουμε μία τεθλασμένη γραμμή ΑΠΣΜ, μέχρι το μέσο Μ της ΑΒ. Στρέφουμε κατά 180ο το πολύγωνο ΑΠΣΜΑ γύρω από το Μ Στρέφουμε τις δύο περιοχές γύρω από το Α κατά 60ο . Στρέφουμε τις δύο νέες περιοχές κατά 60ο γύρω από το Γ. Χρωματίζουμε με μπλε χρώμα το σχηματιζόμενο πολύγωνο. Στρέφουμε το πολύγωνο αυτό κατά 60ο γύρω από το Γ. Την διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνουμε συνεχώς για τα εμφανιζόμενα χωρία μέχρι όσου να συμπληρωθεί η περιοχή γύρω από το Γ. Το επίπεδο μπορεί να γεμίσει με κατάλληλες στροφές ή μεταφορές των εμφανιζόμενων περιοχών. Η πλακόστρωση πραγματοποιείται σε εξαγωνικό πλέγμα με στροφές 180ο – 60ο και μεταφορές. Πρόκειται για μία πλακόστρωση τύπου p6. Η τεχνολογία μπορεί να δημιουργήσει πιο χαοτικές ισομετρίες επιπέδου!
  40. 40. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 39 2ο παράδειγμα Ξεκινάμε από το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Σχηματίζουμε δύο τυχαίες τεθλασμένες γραμμές ΑΕΖΔ και ΑΗΘΒ. Μεταφέρουμε οριζόντια και κατακόρυφα τις τεθλασμένες κατά διανύσματα ίσα με τις πλευρές του παραλληλογράμμου. Ορίζουμε το σχηματιζόμενο χωρίο – χρώμα μπλε. Μεταφέρουμε το χωρίο αυτό οριζόντια και κατακόρυφα κατά διανύσματα ίσα με τις πλευρές του παραλληλογράμμου. Συνεχίζουμε την μεταφορά των σχηματιζόμενων χωρίων οριζόντια – κατακόρυφα κατά τα ίδια διανύσματα. Καλύπτουμε όλο το επίπεδο με τα σχήματα αυτά. Η πλακόστρωση πραγματοποιείται σε παραλληλόγραμμο πλέγμα και μεταφορές. Πρόκειται για μία πλακόστρωση τύπου p1. Μοντέρνα τέχνη; Ή απλώς μεταφορές χρησιμοποιώντας το geogebra!
  41. 41. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 40 3ο παράδειγμα Σχηματίζουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ Βρίσκουμε τα μέσα Μ,Ν των ΑΒ και ΑΔ και το κέντρο του Ο Σχηματίζουμε τα διανύσματα και Σχηματίζουμε τυχαίο χωρίο ΑΕΖΜΑ Στρέφουμε το χωρίο κατά 90ο γύρω από το Α. Βρίσκουμε τα συμμετρικά των δύο χωρίων ως προς την ΜΝ. Σχηματίζεται το μπλε σχήμα. Στρέφουμε το σχήμα αυτό γύρω από το Ο κατά γωνίες 90ο , 180ο , 270ο . Συμπληρώνουμε την πλακόστρωση με μεταφορά των τεσσάρων χωρίων οριζόντια και κατακόρυφα κατά διανύσματα και . Η πλακόστρωση πραγματοποιείται σε τετράγωνο πλέγμα με κατοπτρισμούς – στροφές κατά 90ο , 180ο , 270ο και μεταφορές. Πρόκειται για μία πλακόστρωση τύπου p4g. Ισομετρία επιπέδου p4g από το geogebra!
  42. 42. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 41 H. Τρισδιάστατες συμμετρίες. Το θέμα της συμμετρίας επεκτείνεται και στο χώρο – στις τρεις διαστάσεις. Από τον καιρό του Πλάτωνα ήταν γνωστό ότι υπάρχουν μόνο 5 κανονικά πολύεδρα. Δηλαδή 5 κυρτά στερεά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά πολύγωνα. Τα στερεά αυτά είναι : Κάθε κανονικό πολύγωνο χαρακτηρίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος φυσικών αριθμών (π,ε) . Ο αριθμός π δηλώνει των αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου που έχει ως έδρα το αντίστοιχο κανονικό πολύεδρο. Ο αριθμός ε δηλώνει των αριθμών των εδρών που ενώνονται στην τυχαία κορυφή του πολυέδρου. Για παράδειγμα στο τετράεδρο ισχύει ότι π=3 αφού οι έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα και ε=3 αφού τρία ισόπλευρα τρίγωνα ενώνονται σε κάθε κορυφή για να σχηματιστεί το τετράεδρο. Άρα το τετράεδρο αντιστοιχίζεται στο ζεύγος (3,3), ο κύβος στο (4,3), το οκτάεδρο στο ζεύγος (3,4), το δωδεκάεδρο στο (5,3) και το εικοσάεδρο στο (3,5). Γιατί όμως υπάρχουν μόνο 5 κανονικά στερεά; Η απόδειξη μοιάζει με την αντίστοιχη απόδειξη του ερωτήματος πόσα κανονικά πολύγωνα χρειαζόμαστε για την κάλυψη του επιπέδου. Έστω ε το πλήθος των κανονικών πολυγώνων που χρειαζόμαστε με π πλευρές το κάθε ένα. Το άθροισμα των ε γωνιών είναι μικρότερο των 360ο άρα : 360 2 2 (180 ) 360 (1 ) 2 2 2 2 ( 2) 2( 2) 4 ( 2)( 2) 4 με , 3 Για π=3 έχουμε 6 άρα ε=3 ή 4 ή 5 οπότε έχουμε τα πολύγωνα (3,3) , (3,4) και (3,5) Για π=4 έχουμε 2( 2) 4 2 2 4 άρα ε=3 άρα έχουμε το πολύγωνο (4,3) Για π=5 έχουμε 3( 2) 4 3,33... άρα ε=3 οπότε έχουμε το πολύγωνο (5,3) Για π>5 έχουμε ότι ε<3 αδύνατο.
  43. 43. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 42 Επιπλέον ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707- 1783) είχε αποδείξει ότι ανάμεσα στον αριθμό Ε των εδρών τον αριθμό Α των ακμών και τον αριθμό Κ των κορυφών ενός στερεού ισχύει η ισότητα : Κ-Α+Ε=2 Επιπλέον για κάθε κανονικό πολύεδρο ισχύουν και οι ισότητες : εΚ=2Α =πΕ, με τη βοήθεια των τεσσάρων σχέσεων μπορούμε να καταλήξουμε στους τύπους : 4 2 4 , , 2 2 2 2 2 2 Οπότε τελικά έχουμε : Ο Πλάτων έδωσε στα στερεά αυτά μεταφυσικές διαστάσεις αντιστοιχίζοντάς τα με τη φωτιά τη γη τον αέρα το σύμπαν και το νερό αντίστοιχα Αργότερα ο Γερμανός αστρονόμος Κέπλερ τα χρησιμοποίησε ατυχώς για να περιγράψει το ηλιακό σύστημα στο βιβλίο του “ Mysterium Cosmographicum” ανακατεύοντας επιστημονικά στοιχεία με τον μυστικισμό.
  44. 44. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 43 Ο μαθηματικός που έκανε τη διαφορά ήταν για άλλη μία φορά ο Αρχιμήδης, κατασκευάζοντας 13 ημικανονικά στερεά. Τα στερεά αυτά έχουν κανονικά πολύγωνα ως έδρες αλλά όχι όμοια. Πρόκειται για συμμετρικά στερεά, με όλες τις στερεές γωνίες τους ίσες. Η πρώτη γνωστή αναφορά στα πολύεδρα αυτά γίνεται από τον Έλληνα μαθηματικό Πάππο τον Αλεξανδρινό 4ο αιώνα π.χ. Στον διπλανό πίνακα παρουσιάζονται οι διεθνής ονομασίες των 13 ημικανονικών πολυγώνων , τα αναπτύγματά τους , ο αριθμός των ακμών και εδρών τους.
  45. 45. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 44 Το 1809 φτιάχτηκε ένα στερεό που αποτελείται από 12 τεμνόμενα πεντάγωνα. Το περίεργο αυτό κατασκεύασμα ονομάστηκε μεγάλο δωδεκάεδρο. Αργότερα ανακαλύφθηκαν και άλλα τρία παρόμοια περίεργα στερεά. Το μεγάλο και το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο και το μεγάλο εικοσάεδρο. Το ερώτημα που έμπαινε ήταν αν υπήρχαν και άλλα τέτοια περίεργα στερεά;. Η Γαλλική ακαδημία επιστημών αποφάσισε το 1811 να απονείμει βραβείο σε όποιον αποδείκνυε ότι τα πέντε πλατωνικά στερεά και τα τέσσερα νέα στερεά είναι όλα τα τρισδιάστατα αντικείμενα που μπορούμε να φτιάξουμε από πανομοιότυπα κανονικά πολύγωνα. Το βραβείο το κέρδισε ο Γάλλος μαθηματικός Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857). Δεν υπάρχουν άλλα στερεά που κατασκευάζονται από πανομοιότυπα πολύγωνα, ο αγώνας ανακάλυψης νέων περίεργων στερεών έμοιαζε ότι είχε φθάσει στο τέλος του. Έως ότου ο Richard Buckminster Fuller (1895-1983) , μαθηματικός και αρχιτέκτονας παρουσίασε τον γεωδαιτικό θόλο. Μία δομή που αποτελείται από ένα σύνθετο σύμπλεγμα 120 ισόπλευρων τρίγωνων και 60 ισοσκελών. Μία δομή που αποτελείται από 180 έδρες που διαμορφώνουν μια κατά προσέγγιση σφαιρική επιφάνεια.
  46. 46. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 45 Ζ. Η συμμετρία στη φύση και στην ανθρώπινη δημιουργικότητα Το πρώτο κλασικό παράδειγμα συμμετρίας και πλακόστρωσης είναι αυτό του τρόπου σχηματισμού της κερήθρας από τις μέλισσες. Γιατί όμως εξάγωνο και όχι τετράγωνο ή εφαπτόμενοι κύκλοι; Αποδεικνύεται ότι από ένα άπειρο πλήθος δομών τις οποίες θα μπορούσαν να έχουν επιλέξει οι μέλισσες, τα εξάγωνα είναι τα σχήματα που απαιτούν το λιγότερο κερί για το σχηματισμό του μεγαλύτερου πλήθους κοιλοτήτων στην κερήθρα με την μεγαλύτερη χωρητικότητα. Το 1999, ο καθηγητής Tomas Hails παρείχε τη μαθηματική απόδειξη του προβλήματος που αποκάλεσε «εικασία της κερήθρας». Απέδειξε ότι τα κανονικά εξάγωνα είναι ο καλύτερος τρόπος για να καταμεριστεί ένας χώρος σε ίσα τμήματα με την ελάχιστη δομική στήριξη. Το επόμενο παράδειγμα είναι οι συμμετρικές δομές σχηματισμού των χιονονιφάδων. Πάντοτε σχηματίζονται εξαγωνικές μορφές με κάθε είδους συμμετρίας κατοπτρική – στροφές κατά 60ο , 120ο Τα κανονικά πολύεδρα με τη μορφή Ακτινόζωων, πρωτόζωα με ακτινωτή συμμετρία Η ακτινωτή συμμετρία έχει ως κέντρο ένα σημείο στο χώρο και εκτείνεται προς κάθε διεύθυνση από το κέντρο προς κάθε πιθανό σημείο.
  47. 47. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 46 Στη κρυσταλλική κατάσταση τα μόρια αραδιάζονται σε δεκάδες ή ακόμη και εκατοντάδες χιλιάδες πανομοιότυπα μόρια σχηματίζοντας ένα σύνολο που χαρακτηρίζεται από μία εντυπωσιακή κανονικότητα. Η κανονικότητα αυτή βασίζεται σε κρυσταλλικά πλέγματα που αναπτύσσονται που επιτρέπουν στα συνιστώσα μόρια να επαναλαμβάνονται στο χώρο, όπως περίπου και μία πλακόστρωση στο επίπεδο. Η αντίστοιχη ταξινόμηση των κρυστάλλων σύμφωνα με το είδος συμμετρίας που υπάρχει περιλαμβάνει 230 πιθανές διατάξεις στο χώρο. Ο κατάλογος έγινε από τον Ρώσο κρυσταλλογράφο Jevgraf Stepanovitj Fjodorov ( 1853-1919). Στα μέσα της δεκαετίας του 1980 ανακαλύφθηκε ένα εντελώς νέο είδος υλικού με φυσική κατάσταση ενδιάμεση της κρυσταλλικής και της άμορφης. Το υλικό αυτό έμοιαζε να βασίζεται στη πενταπλή συμμετρία παραβιάζοντας θεμελιώδεις νόμους της κρυσταλλογραφίας ( όλοι οι κρύσταλλοι εμφανίζουν συμμετρία – στροφές τύπου 2-3-4-6) Το νέο υλικό ονομάστηκε Σεχτμανίτης από τον Daniel Shechtman που το ανακάλυψε (Νόμπελ 2011) . Το μοντέλο που μπορούσε να προσομοιάσει το παράξενο αυτό υλικό ήταν οι πλακοστρώσεις του Πενρόουζ οι οποίοι όπως και οι ημικρύσταλλοι διαθέτουν πενταπλή συμμετρία αλλά είναι σε θέση να καλύψουν το επίπεδο με αναρίθμητους τρόπους. Οι χημικοί συνηθίζουν να οπτικοποιούν τη διάταξη μορίων φτιάχνοντας πλαστικά μοντέλα από χρωματιστές μπαλίτσες συνδεδεμένες μεταξύ τους με μικρά ελάσματα. Τη δεκαετία του 1950 μία φαρμακευτική εταιρεία βρήκε ένα φάρμακο για την ναυτία. Το απλοποιημένο μοντέλο της χημικής ένωσης αποτελείτο από μία τετραεδική διάταξη γύρω από μία κεντρική βάση άνθρακα.
  48. 48. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 47 Με τη λήψη όμως του φαρμάκου παρουσιάστηκαν προβλήματα. Πως ένα ασφαλές φάρμακο τελικά δημιουργούσε προβλήματα; Το πρόβλημα εντοπίστηκε στο γεγονός ότι μπορούμε να διατάξουμε με δύο τρόπους τέσσερις έγχρωμες μπάλες γύρω από ένα άτομο άνθρακα. Οι δύο αυτές διατάξεις έχουν μία κατοπτρική συμμετρία , αποτελούν δύο διακριτά μόρια διότι δεν μπορούμε να τα στρέψουμε ώστε η μία διάταξη να μοιάζει στην άλλη. Το ένα μόριο είναι καθρέφτης του άλλου. Η δεξιόστροφη εκδοχή του φαρμάκου λειτουργούσε θεραπευτικά ενώ ο αριστερόστροφος ξάδελφος του αποτελούσε καταστρεπτικός συνδυασμός με την ίδια πρωτεΐνη. Σε πολλές χημικές ενώσεις παρουσιάζονται δύο εκδοχές με διαφορετικές ιδιότητες. Η δεξιόστροφη και η αριστερόστροφη συμμετρία εμφανίζεται στα στερεοϊσομερή αλλά στα αμινοξέα και στο DNA. Ας επιμείνουμε λίγο στη Χημεία και ας εξετάσουμε τρία ακόμα στοιχεία με συμμετρίες που εκπλήσσουν. Το διαμάντι αλλά και τον γραφίτη. Το 1985 φτιάχτηκε ένα μόριο που αποτελείτο από 60 μόρια άνθρακα , το μόριο ονομάστηκε fullerenes (φουλερένιο ) και συμβολίζεται C60 . Το μοντέλο που μας βοηθά στην προσομοίωση του μορίου αυτού είναι το ημικανονικό στερεό του Αρχιμήδη που μοιάζει με μπάλα ποδοσφαίρου και που αποτελείται από κανονικά πεντάγωνα και εξάγωνα.
  49. 49. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 48 Η ανθρώπινη δραστηριότητα που έχει επηρεαστεί περισσότερο από την έννοια της συμμετρίας είναι σίγουρα η τέχνη σε όλες της εκφάνσεις της. Αν είναι παρατηρητικός κάποιος μπορεί να αναζητήσει στη ζωγραφική στη γλυπτική στην αρχιτεκτονική θέματα που ζωντανεύουν όλες οι μορφές της συμμετρίας. Χαρακτηριστικά παραδείγματα : το «σπίτι στο θόλο» του αρχιτέκτονα Richard Buckminster Fuller η τεράστια σφαίρα στο μουσείο των επιστημών στο Parc de la Villette στο Παρίσι σχεδιασμένη από τον Ελβετό αρχιτέκτονα Bernard Tschumi. Πιο πάνω βλέπουμε τρία χαρακτηριστικές φωτογραφίες από την έκθεση : με θέμα « Η Αρχιτεκτονική συμμετρία στους δρόμους του Άμστερνταμ».
  50. 50. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 49 Αλλά και έργα ζωγραφικής όπως : «το μυστήριο του μυστικού δείπνου» του Salvador Dali όπου η συνάντηση του Ιησού με τους μαθητές του λαμβάνει χώρα μέσα σε ένα κανονικό δωδεκάεδρο, το πλατωνικό σύμβολο του σύμπαντος. το έργο « the mud bath» του Άγγλου ζωγράφου David Garshen Bomberg (1890 – 1957) όπου μπορεί κανείς να αναζητήσει επαναλαμβανόμενο μοτίβο πλακόστρωσης. σε όλα τα έργα του Vásárhelyi Győző (1906-1997), του ζωγράφου από την Ουγγαρία πρόδρομου της οπτικής τέχνης (op art). Οι κλασικές πλακοστρώσεις παίρνουν όγκο – φουσκώνουν – κάμπτονται. Το χρώμα παίζει με τις αισθήσεις μετατρέποντας το απίθανο σε πιθανό.
  51. 51. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 50 Μία πολύ ενδιαφέρουσα πρόταση για την ενασχόληση των μαθητών μας με τα μαθηματικά είναι το πρόγραμμα που διεθνώς έχει τον τίτλο math in the city. Τι περιλαμβάνει το πρόγραμμα αυτό; Την καταγραφή όποιων μαθηματικών δομών μπορεί η φαντασία των μαθητών μας να βρει – φωτογραφίζοντάς τα, ζωγραφίζοντάς τα ή κατασκευάζοντάς τα. Ο κατάλογος αυτός ή η έκθεση των φωτογραφιών- κατασκευών μπορεί να αποτελέσει το έναυσμα να βλέπουμε τα μαθηματικά με ένα τρόπο πιο φιλικό. Ας δούμε μερικά παραδείγματα από μαθητές που συμμετέχουν σε αντίστοιχα προγράμματα στο εξωτερικό. Τα Μαθηματικά στη Segovia : Μερικές ισομετρίες ζωφόρων που υπάρχουν σε κτήρια στη Segovia
  52. 52. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 51 Αλλά και ισομετρίες επιπέδου Τύπος p6m Τύπος p4m Τύπος p4g Τα Μαθηματικά στoν Domus via del Gemignano, Città di Castello : Τα Μαθηματικά στoν St. Benedetto Church, Norcia Τα Μαθηματικά στον St. Agostino Church, Amelia
  53. 53. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 52 Τα Μαθηματικά στον St. Pietro Church, Assisi Τα Μαθηματικά στο Gateway Arch in St Louis Μια ανοικτή πρόσκληση ! https://www.youtube.com/watch?v=mS40bprKtx8
  54. 54. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 53 ΠΑΡΑΘΕΜΑ 1η αναφορά Άσκηση : Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί ,x y για τους οποίους ισχύει η ισότητα : 1 1 1 x y n όπου n ένας δοσμένος φυσικός αριθμός. Λύση : Η δοσμένη ισότητα γράφεται διαδοχικά 1 1 1 1 1 1 1 y n ny x x y n x n y x ny y n (1) Από την διαίρεση :( )ny y n καταλήγουμε ότι 2 ( )ny y n n n άρα 2 ny n n y n y n Άρα η (1) γράφεται 2 n x n y n (2) Θέτουμε y n a . επειδή 2 /n a έχουμε ότι υπάρχει b N ώστε 2 n a b (3) Οπότε (3) (2) a b x n x n b a . Άρα τελικά έχουμε : ,x n b y n a με 2 a b n Στην περίπτωση όπου αναζητάμε τρία διαφορετικά κανονικά πολύγωνα με κοινή κορυφή που καλύπτουν εξολοκλήρου το επίπεδο γύρω από το κοινό σημείο καταλήγουμε στην εξίσωση : 1 1 1 1 ν μ κ 2 Ας προσπαθήσουμε να τη λύσουμε … Αν ν=3 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 Με βάση την βασική άσκηση που λύσαμε προηγουμένως επειδή αναζητούμε τους φυσικούς α,β με 2 6 36a , καταλήγουμε στον πίνακα : μ=6+α κ=6+β α β 7 42 1 36 8 24 2 18 9 18 3 12 10 15 4 9 12 12 6 6
  55. 55. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 54 Δηλαδή η περιοχή γύρω από ένα σημείο του επιπέδου καλύπτεται με τους εξής συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων : (3,7,42) , (3,8,24) , (3,9,18) , (3,10,15) , (3,12,12) Από τις λύσεις αυτές δεκτή είναι μόνο η (3,12,12) , όλες οι άλλες καλύπτουν την περιοχή γύρω από μία κορυφή αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μονάδα για την πλήρη κάλυψη του επιπέδου. Αυτό φαίνεται στο διπλανό σχήμα όπου έχει σχεδιαστεί η μονάδα (3,9,18). Αν ν=4 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 Με βάση την βασική άσκηση που λύσαμε προηγουμένως επειδή αναζητούμε τους φυσικούς α,β με 2 4 16a , καταλήγουμε στον πίνακα : Δηλαδή η περιοχή γύρω από ένα σημείο του επιπέδου καλύπτεται με τους εξής συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων : (4,5,20) , (4,6,12) και (4,8,8) Από τις λύσεις αυτές δεκτές είναι οι (4,6,12) και (4,8,8) Αν ν=5 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 3 2 5 10 . Η συγκεκριμένη εξίσωση έχει λύση την μ=5 και κ=10 , άρα παίρνουμε τον συνδυασμό (5,5,10) που όμως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα για την κάλυψη του επιπέδου. Αν ν=6 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 1 2 6 3 . μ=4+α κ=4+β α β 5 20 1 16 6 12 2 8 8 8 4 4
  56. 56. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 55 Με βάση την βασική άσκηση που λύσαμε προηγουμένως επειδή αναζητούμε τους φυσικούς α,β με 2 3 9a , καταλήγουμε στον πίνακα : Δηλαδή η περιοχή γύρω από ένα σημείο του επιπέδου καλύπτεται με τους εξής συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων : (6,4,12) , (6,12,6) Από τις λύσεις αυτές δεκτές είναι οι (4,6,12) και (4,8,8). Άρα τελικά οι περιπτώσεις που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι : (12,12,3) , (4,6,12) , (8,8,4) Δουλεύοντας με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε τους συνδυασμούς (4,4,6,3) , (6,6,3,3) , (3,3,4,12) αν χρησιμοποιούμε τέσσερα κανονικά πολύγωνα και οι περιπτώσεις : (3,3,3,4,4) και (3,3,3,3,6) αν χρησιμοποιούμε πέντε κανονικά πολύγωνα. μ=3+α κ=3+β α β 4 12 1 9 6 6 3 3
  57. 57. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 56 2η αναφορά : Βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί 1. Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων Καλούμε συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο ),( yxM του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του ),( yxM ως προς την αρχή των αξόνων. . 10 01 10 01 y x y x yxy yxx yy xx Άρα, η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα I 10 01 . 2α. Συμμετρία ως προς τον άξονα xx . Ισχύει: y x y x yxy yxx yy xx 10 01 10 01 . Άρα, η συμμετρία ως προς τον άξονα xx είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα 10 01 . 2β. Συμμετρία ως προς τον άξονα yy . Ισχύει: y x y x yxy yxx yy xx 10 01 10 01 . Άρα η συμμετρία ως προς τον άξονα yy είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα 10 01 . O x y 7 C΄ C Μ(x,y) Μ΄(-x,-y) O x y 9 C΄ C Μ΄(x, y) Μ(x,y) O y x 10 C΄ C Μ΄( x, y) Μ(x,y)
  58. 58. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 57 2γ. Συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία xy . Ισχύει: y x y x yxy yxx xy yx 01 10 01 10 . Άρα, η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία xy είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα 01 10 . 3. Στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και θ μια θετική ή αρνητική γωνία. Καλούμε στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο ),( yxM του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο πέρας ),( yxM , του διανύσματος MO που είναι η τελική θέση του OM , αν αυτό στραφεί γύρω από το Ο κατά γωνία θ. Αν φ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα OM με τον άξονα xx και ρ το μέτρο του διανύσματος OM , τότε θα ισχύει: φρy φρx ημ συν (1) και )ημ( )συν( θφρy θφρx (2). Έτσι, θα ισχύει θφρθφρy θφρθφρx θφθφρy θφθφρx ημ)συν(συν)ημ( ημ)ημ(συν)συν( )ημσυνσυνημ( )ημημσυνσυν( θyθxy θyθxx συνημ ημσυν)1( y x θθ θθ y x συνημ ημσυν . Άρα, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα θθ θθ συνημ ημσυν . O y x 11 C΄ ε C Μ΄(y,x) Μ(x,y) O x 12 Μ΄(x΄,y΄) ρ φ θ y Μ(x,y)
  59. 59. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 58 Ειδικότερα: α) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία 2 π θ έχει πίνακα 01 10 . β) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία πθ έχει πίνακα I 10 01 και είναι η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων. γ) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία 2 3π θ έχει πίνακα 01 10 . δ) Τέλος, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία πθ 2 έχει πίνακα 10 01 και είναι η ταυτοτική απεικόνιση. ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Για να θυμόμαστε τον πίνακα των παραπάνω γραμμικών μετασχηματισμών, αρκεί να θυμόμαστε ότι η πρώτη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του σημείου )0,1(A , ενώ η δεύτερη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του )1,0(B . Για παράδειγμα, ο πίνακας της συμμετρίας ως προς τον άξονα xx είναι ο 10 01 που έχει για πρώτη και δεύτερη στήλη τις συντεταγμένες των συμμετρικών ως προς τον άξονα xx των σημείων )0,1(A και )1,0(B αντιστοίχως. 5. Παράλληλη μεταφορά. Έστω ),( 21 δδδ  ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου Oxy . Καλούμε παράλληλη μεταφορά κατά διάνυσμα δ  το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο ),( yxM του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο ),( yxM που ορίζεται από την ισότητα δMM  (Σχ. 14). Επειδή ),( yyxxMM , έχουμε ),(),( 21 δδyyxxδMM  2 1 δyy δxx 2 1 δyy δxx 2 1 δ δ y x y x 2 1 10 01 δ δ y x y x .  δ  δ O y x 14Μ΄(x΄,y΄) Μ(x,y)
  60. 60. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 59 Ένα παράδειγμα : Η περίπτωση της μεταφορικής συμμετρίας : Μεταφέρουμε το σημείο Α(x,y) κατά το διάνυσμα (1,0) στη θέση Α’(x’,y’) Ισχύει ότι ' 1 0 1 1 1 ' 0 1 0 0 x x x x y y y y Βρίσκουμε το συμμετρικό Α”(x’’,y’’) του Α’ ως προς τον άξονα χ’χ. Ισχύει ότι : '' 1 0 ' 1 0 1 1 '' 0 1 ' 0 1 x x x x y y y y
  61. 61. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 60 Βιβλιογραφία – Αρθρογραφία 1. Ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών - Ivars Peterson - Εκδόσεις : W.H.Freeman Γιαλλελής – Μανωλάκης 2. Συμμετρία , το στοιχείο της τάξης – David Wade – Εκδόσεις : Αλεξάνδρεια. 3. Κανόνας και Διαβήτης πρακτικές γεωμετρικές κατασκευές – Andrew Sutton - Εκδόσεις : Αλεξάνδρεια. 4. Γεωμετρία και Αρχιτεκτονική – Κουρνιάτης Νίκος - Εκδόσεις : Τζιόλα. 5. Θεωρία Ομάδων , ο μαθηματικός, η συμμετρία και το τέρας – Marcus du Sautoy – Εκδόσεις : Τραυλός. 6. Ο Μέτοικος και η συμμετρία – Μιχαηλίδης Τεύκρος - Εκδόσεις : Πόλις. 7. Συμμετρία : μία διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση – Διπλωματική εργασία της Μιχαλοπούλου Μεταξίας. – Ε.Κ.Π.Α. 8. Διόφαντου Αριθμητικά – η άλγεβρα των αρχαίων ελλήνων – Επιμέλεια Ευάγγελου Σταμάτη – Ο.Ε.Δ.Β. 1963. 9. Οι συμμετρίες στην Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου – Διπλωματική εργασία της Βασιλικής Παπαγιαννακοπούλου – Πανεπιστήμιο Αθηνών – Πανεπιστήμιο Κύπρου. 10.Πώς να καλύψουμε ένα επίπεδο με πολύγωνα – R.B.Kerhner - Μαθηματική Επιθεώρηση Ελληνικής μαθηματικής εταιρείας , τεύχος 9 – 1978 . 11.Κάλυψη επιπέδου με κανονικά πολύγωνα – Γιάννη Αλοίμονου - Μαθηματική Επιθεώρηση Ελληνικής μαθηματικής εταιρείας , τεύχος 9 – 1978 . 12.Βικιπαίδεια 13. Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης - Ανδρεαδάκης – Κατσαργύρης – Μέτης – Μπρουχούτα ς– Παπασταυρίδης – Πολύζος. – Ο.Ε.Δ.Β 14.Οι Μαθηματικοί – E.T.Bell – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. 15. Ιστοσελίδα Frieze symmetries at the Ashmolean Museum http://www.mathsinthecity.com/sites/frieze-symmetries-ashmolean- museum 16. The Plane symmetry Groups : Their recognition and notation – Doris Schattschncider – American mathematical Monthly, Volume 85, Issue 6 ( Jun.-Jul. 1978), 439-450. 17. Μαθηματικά και τέχνη : Διακοσμητικά σχήματα με χρήση λογισμικού – Μπάμπη Τουμάση και Τάσου Αρβανίτη - 19ο Πανελλήνιο Συνέδριο μαθηματικής Παιδείας. 18. Βοήθεια Geogebra – εγχειρίδιο έκδοσης 4.2 19. M.C. Escher - The Graphic WorK – Μουσείο Ηρακλειδών. 20. Η Ιστορία των Μαθηματικών – Richard Mankiewicz – Εκδόσεις Αλεξάνδρεια. 21.http://weavesilk.com/

×