Μαθηματικά Ε΄ 4. 25. ΄΄Ισοεμβαδικά σχήματα΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 4 - Κεφάλαιο 25
΄΄ Ισοεμβαδικά σχήματα ΄΄
http://e-taksh.blogspot.gr

http://sainia.gr
Ισοεμβαδικά σχήματα (16/01)
Σε ένα (ευθύγραμμο) σχήμα βασικά χαρακτηριστικά είναι οι πλευρές,
οι κορυφές, οι γωνίες, η περίμετρος και το εμβαδόν του.
Εμβαδόν είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης του μεγέθους μιας
επιφάνειας.
Τα σχήματα που έχουν την ίδια περίμετρο, λέγονται ισοπεριμετρικά
σχήματα.
Τα σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοεμβαδικά
σχήματα.

Τα παραπάνω σχήματα όχι μόνο μοιάζουν, αλλά φαίνεται να έχουν και το ίδιο
εμβαδόν. Είναι ισoεμβαδικά.

Το τετράγωνο επάνω αριστερά φαίνεται να έχει το ίδιο εμβαδο με το
ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πάνω δεξιά. Είναι ισοεμβαδικά σχήματα.
Το εξάγωνο κάτω αριστερά φαίνεται να έχει το ίδιο εμβαδο με το
παραλληλόγραμμο κάτω δεξιά. Είναι ισοεμβαδικά σχήματα.
Για να βρούμε το εμβαδόν ενός σχήματος, μπορούμε να το
χωρίσουμε σε μικρότερα και πιο απλά σχήματα.

Το σχήμα ΑΒΓΔΕΖ έχει εμβαδό ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των
σχημάτων ΑΒΓΘ και ΔΕΖΗ

Ισοεμβαδικά γεωμετρικά σχήματα Βαλασίδης Νίκος Σελίδα 1 από 2
Ισοεμβαδικά σχήματα Θεωρία:
Προσοχή : Η περίμετρος ενός γεωμετρικού σχήματος και το εμβαδόν του είναι
διαφορετικά πράγματα. Περίμετρος είναι το άθροισμα των πλευρών ενός γεωμετρικού
σχήματος, ενώ το εμβαδόν του είναι η επιφάνειας που καλύπτει.
Παράδειγμα στο παρακάτω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το εμβαδόν του είναι
γραμμοσκιασμένο ενώ η περίμετρος του ξεχωρίζει με το μαύρο έντονο χρώμα.
Ισοεμβαδικά λέγονται τα διαφορετικά μεταξύ τους σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν.
Για να βρούμε το εμβαδόν ενός σύνθετου γεωμετρικού σχήματος πρέπει να το χωρίσουμε
με τον κατάλληλο τρόπο σε επιμέρους απλά γεωμετρικά σχήματα και αφού βρούμε το
εμβαδόν καθενός ξεχωριστά να προσθέσουμε τα εμβαδά τους.
Ασκήσεις:
1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων αν ξέρεις ότι ένα
τετραγωνάκι είναι 1τ.εκ.

Ισοεμβαδικά γεωμετρικά σχήματα Βαλασίδης Νίκος Σελίδα 2 από 2
2. Να βρεις το εμβαδόν των παρακάτω γεωμετρικών σχημάτων με δύο
τρόπους, αν ξέρεις ότι ένα τετραγωνάκι είναι 1τ.εκ.
3. Να φτιάξεις δύο ισοεμβαδικά σχήματα με αυτά της άσκησης 2
Σχήμα Α Σχήμα Β

Ισοεμβαδικά σχήματα (1) 12/1/11
 Εμβαδόν ενός σχήματος ονομάζουμε το αποτέλεσμα από τη μέτρηση της
επιφάνειας του.
 Μονάδα μέτρησης του εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο.
 Ισοεμβαδικά λέγονται τα σχήματα που είναι διαφορετικά, αλλά έχουν το
ίδιο εμβαδόν.
Στο μάθημα αυτό θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε το εμβαδόν ενός σχήματος με βάση
ένα τετραγωνάκι που έχει πλευρά 1 εκ. Σε επόμενα μαθήματα θα μάθουμε πως βρίσκουμε το
εμβαδόν με κάποιους «μαθηματικούς τύπους».
1. Βρίσκω το εμβαδόν των παρακάτω γεωμετρικών σχημάτων. Ποια από
αυτά είναι ισοεμβαδικά. = 1 τ. εκ.
Α) εμβαδόν: …………..τ. εκ
Β) εμβαδόν: …………..τ. εκ
Γ) εμβαδόν: …………..τ. εκ
Δ) εμβαδόν: …………..τ. εκ
Ισοεμβαδικά είναι τα
σχήματα: ……………………..
……………………………………..

2. Βρίσκω το εμβαδόν των
σχημάτων:
(θυμήσου ότι προσπαθώ να χωρίζω τα σύνθετα σχήματα σε πιο απλά για να μπορέσω να βρω
το εμβαδόν τους)
Α) εμβαδόν: …………..τ. εκ
Β) εμβαδόν: …………..τ. εκ
3. Βρίσκω:
Α) την περίμετρο του σχήματος ΑΒΓΔΕΖ: ………………………………
Β) το εμβαδόν του σχήματος ΑΒΓΔΕΖ: ……………………………………
= 1 τ. εκ.
4. Βρίσκω:
 την περίμετρο του σχήματος α:
………..………………………..
 το εμβαδόν του σχήματος α :
…………………………………..
 την περίμετρο του σχήματος β:
………………..………………..
 το εμβαδόν του σχήματος β :
…………………………………..
5. Παρατηρώ τα σχήματα και απαντώ:
 Τι σχέση έχει το εμβαδόν του τριγώνου με το εμβαδόν του τετραγώνου;
…………………………………………………………………………………………………………………………
 Τι σχέση έχει το εμβαδόν του τετραγώνου με το εμβαδόν του ορθογωνίου;
…………………………………………………………………………………………………………………………
 Τι σχέση έχει το εμβαδόν του τριγώνου με το εμβαδόν του ορθογωνίου;
…………………………………………………………………………………………………………………………
Όνομα: ……………………………………………………………………………………… Nansy Tzg

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
53
Μάθημα 48ο
Τάγκραμ - Ισοεμβαδικά σχήματα
 Η μέτρηση της επιφάνειας, την οποία καταλαμβάνει ένα σχήμα, λέγεται εμβαδό του
σχήματος.
 Δύο διαφορετικά σχήματα μπορούν να έχουν το ίδιο εμβαδό (καταλαμβάνοντας ίσες
επιφάνειες). Τα σχήματα αυτά λέγονται Ισοεμβαδικά.
 Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός σύνθετου σχήματος χωρίζοντάς το σε επί
μέρους απλούστερα σχήματα.

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
54
Ασκήσεις
1. Από ποια επιμέρους σχήματα αποτελείται το παρακάτω σχήμα ;
2. Με ποια σχήματα μπορώ να κατασκευάσω το παρακάτω πουλί ;
3. Από ποια επιμέρους σχήματα αποτελείται το παρακάτω σχήμα ;

146
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ
ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ
Ðåñéå÷üìåíá:
23. ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ ............................................ óåë. 147
24. ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò ............................... óåë. 151
25. ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá .................................................. óåë. 154
26. Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ,
ïñè. ôñéãþíïõ............................................................. óåë. 159
27. Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí -
Áíôßóôñïöïé áñéèìïß ................................................... óåë. 163
28. Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá ................ óåë. 167
29. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç........................... óåë. 170
30. ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á) ............... óåë. 173
31. ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â) ............... óåë. 176
32. ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò åðéöÜíåéáò - ÌåôáôñïðÝò ............. óåë. 179
33. ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò ............................................ óåë. 181
34. Äéáßñåóç áêåñáßïõ êáé êëÜóìáôïò ìå êëÜóìá ............ óåë. 184
35. ÓôñáôçãéêÝò åðéëýóçò ðñïâëçìÜôùí .......................... óåë. 187
ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò ................................................. óåë. 190
Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïò
âéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçí
Ýããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.
Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:
ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ
Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:
ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓ
ÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÐËÏÕÌÁÊÇÓ ÊÙÍÓÔÁÍÔÉÍÏÓ
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ
Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:
FORWARD CREATIVE BUREAU
210 9585645
DTP - ÃñáöéêÜ:
ÔÓÅËÉÊÈÅÏ×ÁÑÉÄÏÕ ÖÙÔÅÉÍÇ
ÅéêïíïãñÜöçóç:
ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓ
ÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇË
ÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
Copyright:
Ç. ÌáíéáôÝáò
ÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.
ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝá
ôçë. 210 9546555

147
23. ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 26
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
Ôá ÷ñÞìáôá ðïõ ôçò Ýìåéíáí åßíáé: Tá ÷ñÞìáôá ðïõ åß÷å ç ¢ííá Þôáí 30 . ¸äù-
óå ôï 30% ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò. ( ÄçëáäÞ áí
åß÷å 100 Ýäùóå ôá 30 ). Áðï ôá 30 ðïõ
åß÷å Ýäùóå 30 ÷
30
100
=
900
100
= 9 .
¢ñá ôçò Ýìåéíáí 30 - 9 = 21
• Ôï ðïóïóôü ðåñéåêôéêüôçôáò íåñïý óôï óþìá ôïõ Êùíóôáíôßíïõ åßíáé 68%. Óýìöùíá ìå
ôçí Ýíäåéîç ôçò æõãáñéÜò ôï âÜñïò ôïõ Êùíóôáíôßíïõ åßíáé 50ê. ¢ñá óôï óþìá ôïõ õðÜñ-
÷ïõí
68
100
÷ 50 =
3400
100
=
3400
100
34ê. íåñïý.
• ¸óôù Â ôï âÜñïò ìïõ. Ôüôå ôï íåñü åßíáé
68
xB 0,68xB
100
=

148
¢óêçóç á
Ìéá ïìÜäá ðïäïóöáßñïõ áðïôåëåßôáé áðï 20 Üôïìá.Ôï
50% åßíáé ¸ëëçíåò, ôï 40% åßíáé ¢ããëïé êáé ôï 10% åß-
íáé ÂñáæéëéÜíïé.Ðüóïé åßíáé ïé ‘Åëëçíåò, ðüóïé ïé ¢ããëïé
êáé ðüóïé ïé ÂñáæéëéÜíïé;
Ôï 30% åßíáé ôï ðïóïóôü ðïõ Ý÷åé öôéÜîåé áðï
ôï âñá÷éüëé. ÄçëáäÞ, áí ôï âñá÷éüëé åßíáé 100
÷Üíôñåò èá Ý÷åé öôéÜîåé ôéò 30. Åäþ, ïé ÷Üíôñåò
ðïõ Ý÷ïõí öôéá÷ôåß åßíáé 15 ( ôï ìéóü ôïõ 30 ).
¢ñá ôï âñá÷éüëé èá Ý÷åé 50 ÷Üíôñåò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
Ç ðåñéåêôéêüôçôá ôïõ èáëáóóéíïý íåñïý óå áëÜôé åßíáé 4%. ÄçëáäÞ ôá 100ê. èáëáóóéíïý íå-
ñïý äßíïõí 4ê. áëÜôé.
• Ç 1ç óõóêåõáóßá ðåñéÝ÷åé 1ê. áëÜôé. ¢ñá ãéá ôçí ðïóüôçôá áõôÞ ÷ñåéÜóôçêáí 100 : 4 = 25ê.
èáëáóóéíïý íåñïý.
• Ç 2ç óõóêåõáóßá ðåñéÝ÷åé 400 ãñáìì. áëÜôé. ¢ñá ÷ñåéÜóôçêáí 40 : 4 = 10ê. èáëáóóéíïý íåñïý.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ

149
To 50% ôùí áèëçôþí åßíáé ¸ëëçíåò, ïðüôå óôïõò 100 áèëçôÝò ïé 50 åßíáé ¸ëëçíåò. Óôïõò 20 áèëçôÝò
Ý÷ïõìå:20 ÷
50
100
=
20x50
100
=
1000
100
= 10 ¸ëëçíåò. Ïìïßùò ôï 40% åßíáé ¢ããëïé, äçëáäÞ óôïõò 100 ïé
40 åßíáé ¢ããëïé. ÄçëáäÞ: 20 ÷
40
100
=
800
100
= 8 ¢ããëïé.
Åðßóçò ïé ÂñáæéëéÜíïé åßíáé:
10
100
÷ 20 =
200
100
= 2
ÁðÜíôçóç: Ïé ¸ëëçíåò åßíáé 10, ïé ¢ããëïé åßíáé 8 êáé ïé ÂñáæéëéÜíïé åßíáé 2.
ëýóç
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
• Ïé ìáèçôÝò ôïõ ó÷ïëåßïõ åßíáé 150. Ôï 60% åßíáé ¸ëëçíåò äçëáäÞ:
60
100
x 150 =
60x150
100
=
9000
100
= 90. To õðüëïéðï 40% åßíáé áëëïäáðïß äçëáäÞ
40
100
÷ 150 =
6000
100
= 60.
• ¹ñèáí óôç ìÝóç ôçò ÷ñïíéÜò 20 ¸ëëçíåò êáé 30 áëëïäáðïß, ïðüôå ïé ¸ëëçíåò èá åßíáé 20 + 90 = 110,
åíþ ïé áëëïäáðïß èá åßíáé 60 + 30 = 90. Ôï óýíïëï ôùí ìáèçôþí óôçí ôÜîç åßíáé 200, Üñá ïé
¸ëëçíåò áðïôåëïýí ôá
110
200
ôùí ìáèçôþí Þ
55
100
= 0,55 Þ 55% ôùí ìáèçôþí. Ïé áëëïäáðïß èá
áðïôåëïýí ôï
90
200
ôùí ìáèçôþí Þ
45
100
= 0,45 Þ 45%.

150
ëýóç
Ôá 3.000 åßíáé ôï
30
100
ôùí óõíïëéêþí åîüäùí ôïõ
ìÞíá. ÄçëáäÞ, áí ôá óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ åñãïóôá-
óßïõ Þôáí 100 , ôá 30 ôá îüäåøå ãéá åðéóêåõÝò. Áöïý
îüäåøå 30 ÷ 100 = 3.000 ôá óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ åñãï-
óôáóßïõ èá åßíáé 100 ÷ 100 = 10.000 .
AðÜíôçóç: Ôá óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ ìÞíá åßíáé 10.000
¢óêçóç â
¸íá åñãïóôÜóéï îüäåøå ãéá åðéóêåõÝò 3.000 . Áí áõôÜ
åßíáé ôï 30% ôùí åîüäùí ôïõ ìÞíá, ðüóá åßíáé ôá
óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ ìÞíá;
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
Áí ï ÏñöÝáò Ýðáéñíå óõíïëéêÜ 100 ÷áñôæéëßêé ôï
ìÞíá, ðÞñå áðï áõôÜ ôá 40 . Áöïõ ðÞñå áðï ôïí
ðáôÝñá ôïõ 10 = 40 : 4 ôüôå ôï ÷áñôæéëßêé ôïõ ôï
ìÞíá èá åßíáé 100: 4 = 25 .

151
24. ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
4,5
4,5 4,5
6 6
6
5,5
3,5
5,5
6
3 3
• Ç ðåñßìåôñïò ôïõò åßíáé 18åê.
•
•
• Ç ðåñßìåôñïò ôïõò åßíáé 8åê.

152
ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• Ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ ÷Üñáêá äéáðéóôþíù ïôé ç
åêôßìçóç ìïõ åßíáé ëáíèáóìÝíç äéüôé êáé óôéò ôñåéò
ðåñéðôþóåéò á, â, ã ç ðåñßìåôñïò åßíáé ç ßäéá.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
• Öáßíåôáé íá åßíáé ìåãáëýôåñï áðü ôá õðüëïéðá.
• ôï ó÷Þìá á

153
ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò
¢óêçóç á
¸íá ðëáßóéï áößóáò Ý÷åé äéáóôÜóåéò 1ì. êáé 0,5ì. êáé ðñÝðåé íá öôéá-
÷ôåß ìå ðç÷Üêéá. Ôï ìÞêïò êáé ç ôéìÞ ôïõò öáßíåôáé ðáñáêÜôù.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 29 • Áðü ôá ðç÷Üêéá ìå ìÞêïò 1,20ì. êáé 50åê.
• 10åê. äéüôé ôï ðç÷Üêé ìå ìÞêïò 1,20ì. èá ìïõ äþóåé ôá äýï ðç÷Üêéá ôùí 60åê. êáé ôï ðç÷Üêé ôùí
50åê. èá ìïõ äþóåé ôá äýï ðç÷Üêéá ôùí 20åê.
• (1,50 + 0,80) = 2,3
ëýóç
• Ìðïñïýí íá äéáëÝîïõí 2 ðç÷Üêéá ôïõ 1ì. ôï Ýíá, ôá ïðïßá êïóôßæïõí 2 ÷ 0,8 = 1,6 êáé
äýï ðç÷Üêéá ôïõ 0,5ì. ôï Ýíá, ôá ïðïßá êïóôßæïõí 2 ÷ 0,5 = 1,2
Ïðüôå óõíïëéêÜ ôï ðëáßóéï êïóôßæåé: 1,6 + 1,2 = 2,8
• ¼ìùò áí äéáëÝîïõí 2 ðç÷Üêéá ôïõ 1,5ì. ôï Ýíá, êüâïíôÜò ôá êáôÜëëçëá èá Ý÷ïõí 2
ðç÷Üêéá ôïõ 1ì. ôï Ýíá êáé 2 ðç÷Üêéá ôïõ 0,5ì. ôï Ýíá.
Ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ôï ðëáßóéï èá êïóôßóåé 2÷1=2 .
¢ñá áõôÞ ç åðéëïãÞ áðïôåëåß êáé ôçí ïéêïíïìéêüôåñç ëýóç.
1,5ì. 1ì. 0,5ì.
1 ôï Ýíá 0,8 ôï Ýíá 0,6 ôï Ýíá
• Ðïéá åßíáé ç ïéêïíïìéêüôåñç ëýóç.

154
25. ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 30 • 4 ôñßãùíá
• 32 ôñßãùíá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
• Ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ åßíáé äéðëÜóéï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ.
• Ôï åìâáäüí ôïõ ïñèïãùíßïõ åßíáé äéðëÜóéï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ.
• Ôï åìâáäüí ôïõ ïñèïãùíßïõ åßíáé ôåôñáðëÜóéï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ.
• Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ åßíáé 9 ô.åê.
Åìâáäüí ôñéãþíïõ åßíáé 4,5 ô.åê.
Åìâáäüí ïñèïãùíßïõ åßíáé 18 ô.åê.

155
ëýóç
Ãéá íá âñþ ôï åìâáäüí ðïõ êáëýðôïõí ôá ôåôñÜãùíá, ìåôñÜù ðüóá åßíáé ôá ôåôñÜãùíá.
¸÷ïõìå 9 ôåôñÜãùíá. ÅðïìÝíùò ôá ôåôñÜãùíá êáëýðôïõí 9 ô.åê.
Ãéá íá âñþ ôï åìâáäüí ðïõ êáëýðôïõí ôá ôñßãùíá ìåôñÜù ðüóá åßíáé áõôÜ êáé ôá äéáéñþ
ìå ôï 2.
¸÷ïõìå 4 ôñßãùíá åðïìÝíùò áõôÜ êáëýðôïõí: 4:2=2ô.åê. ¼ëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ðïõ
áðïôåëåßôå áðü ôá ôåôñÜãùíá êáé ôá ôñßãùíá êáëýðôïõí: 9+2=11ô.åê.
Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÈÉÐ õðïëïãßæåôáé ùò åîÞò: ÊÜèå ðëåõñÜ êÜèå ôåôñáãþíïõ Ý÷åé ìÞêïò 1 åê.
ÅðïìÝíùò ÁÈ=5åê, ÈÉ=1åê, ÉÐ=5åê êáé ÐÁ=1åê.
Ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÈÉÐ: ÁÈ+ÈÉ+ÉÐ+ÐÁ=5+1+5+1=12åê.
Ãéá íá öôéÜîù ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ÷ñçóéìïðïéþ 2 öïñÝò ôá ôåôñÜãùíá, äçëáäÞ åìåßò ðïõ
Ý÷ïõìå 9 ôåôñÜãùíá óôï íÝï ó÷Þìá èá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå 18 ôåôñÜãùíá. ×ñçóéìïðïéþ 2
öïñÝò ôá ôñßãùíá, äçëáäÞ óôï ó÷Þìá Ý÷ïõìå 4 ôñßãùíá óôï íÝï ó÷Þìá (ðïõ èá êáôáóêåõ-
Üóïõìå) èá Ý÷ïõìå 8 ôñßãùíá.
ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○○○○○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
A
Ð
È
É
Ç
Ê
Â
Ï
Ä Å
ÆÃ
Î Ë
ÌÍ
¢óêçóç á
Ðïéü åßíáé ôï åìâáäüí ðïõ êáëýðôïõí:
• ôá ôåôñÜãùíá ........ô.åê.
• ôá ôñßãùíá .........ô.åê.
• üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá .........ô.åê.
• Ðüóç åßíáé ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÈÉÐ; .......... ô.åê.
ÖôéÜ÷íù Ýíá ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ÷ñçóéìïðïé-
þíôáò 2 öïñÝò ôá ôñßãùíá êáé 2 öïñÝò ôá
ôåôñÜãùíá ôïõ ðñïçãïýìåíïõ ó÷Þìáôïò.

156
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• ôá ôåôñÜãùíá 4ô.åê., ôá ôñßãùíá 2ô.åê., üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá 6 ô.åê.
• Ç ðåñßìåôñïò ÁÅÆÊ åßíáé 10 åê.

157
óõíÝ÷åéá
áðÜíôçóçò Üóêçóçò ã
• ôá ôåôñÜãùíá 8ô.åê., ôá ôñßãùíá 4ô.åê., üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá 12ô.åê.
• ôá ôåôñÜãùíá 4ô.åê., ôá ôñßãùíá 2ô.åê., üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá 6ô.åê.
• Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÅÆÊ åßíáé 10 åê.

158
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
• Ç ðåñßìåôñïò åßíáé 21åê. êáé
ôï åìâáäüí åßíáé: (27-5)ô.åê. = 22ô.åê.
Õðïëïãßæù ôçôí ðåñßìåôñï ôïõ ðïëõãþíïõ ÁÂÃÄÅÆÇÈ. Ç ðåñßìåôñïò åßíáé ôá Üèñïéóìá ôùí
ðëåõñþí ÁÂ, ÂÃ, ÃÄ, ÄÅ, ÅÆ, ÆÇ, ÇÈ êáé ÈÁ. ¸÷ïõìå üôé: ÁÂ=5åê., ÂÃ=2åê., ÃÄ=2åê., ÄÅ=1åê.,
ÅÆ=3åê., ÆÇ=4åê., ÇÈ=10åê., êáé ÈÁ=5åê. ÅðïìÝíùò ç ðåñßìåôñïò åßíáé:
5+2+2+1+3+4+10+5=32åê.
Õðïëïãßæù ôï åìâáäüí ôïõ ðïëõãþíïõ ÁÂÃÄÅÆÇÈ ìåôñþíôáò ôá ôåôñáãùíÜêéá. ¸÷ù 43 ôå-
ôñáãùíÜêéá. ÅðïìÝíùò ôï åìâáäüí ôïõ ðïëõãþíïõ ÁÂÃÄÅÆÇÈ åßíáé 43 ô.åê.
ëýóç
Âñßóêù ôçí ðåñßìåôñï êáé ôï åìâáäüí ôïõ ðáñáêÜôù ðïëõãþíïõ.
2 åê.
¢óêçóç â
Á Â5 åê.
Ã Ä
3 åê.Å Æ
É ÇÈ Ê

159
26. Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ, ïñè. ôñéãþíïõ
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
Ðåñßðïõ 600ô.åê.
Áêñéâþò 619,5ô.åê. áöïý Ý÷åé äéáóôÜóåéò 29,5åê. êáé 21åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
25 ô.åê.
24 ô.åê. 7 ô.åê.

160
Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ, ïñè. ôñéãþíïõ
• Ôï åìâáäüí ôïõ åßíáé 15 ô.åê.
¢óêçóç á
Áíôéóôïé÷ßæù ôá ãåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá ìå ôï åìâáäüí ðïõ ðéóôåýù ïôé Ý÷ïõí,
áí ôï ó÷Þìá Ý÷åé åìâáäüí 1åê. ÷ 1åê. = 1ô.åê.
1åê.
1åê.
• 1åê. ÷ 2åê. = 2ô.åê.
• 1åê. ÷ 1åê. : 2=
1
2
ô.åê.
• (4åê. ÷ 4åê.) : 2 = 8ô.åê.
• (3åê. ÷ 3åê.) - (4åê. ÷
1
4
+ 4åê. ÷
1
2
) = 6ô.åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
•
•
•
•
•

161
• 1åê. ÷ 2åê. = 2ô.åê.
• 1åê. ÷ 1åê. : 2=
1
2
ô.åê.
• (4åê. ÷ 4åê.) : 2 = 8ô.åê.
• (3åê. ÷ 3åê.) - (4åê. ÷
1
4
+ 4åê. ÷
1
2
) = 6ô.åê.
ëýóç
•
•
•
•
•
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä

162
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å

0
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας
Παιδαγωγική Σχολή Φλώρινας
Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης
Θέμα: Εργασία στη Διδακτική των Μαθηματικών
Μάθημα: ΔΙ.ΜΕ.ΠΑ. Β’ Φάση - Διδακτική των Μαθηματικών
Υπεύθυνος καθηγητής: Χαράλαμπος Λεμονίδης
Αποσπασμένη εκπαιδευτικός: Καππάτου Νατάσσα
Φοιτήτρια: Λαγομάτη Ροδή
Α.Μ. 1828
Εξάμηνο: Στ’
Φλώρινα 2008
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

10
4. Σχέδιο Μαθήματος
4.1.Το γνωστικό αντικείμενο
Το μάθημα που διδάχθηκε έχει τίτλο «Ισοεμβαδικά σχήματα – Το
Τάγκραμ», του κεφαλαίου 25, της 4ης
ενότητας, της Β’ περιόδου, σελίδες 68
– 69.
Βασικά στοιχεία του μαθήματος, όπως οι έννοιες της περιμέτρου και του
εμβαδού περιλαμβάνονται στα κεφάλαια 24 και 26, του ίδιου βιβλίου, της Ε’
δημοτικού, και συγκεκριμένα:
Κεφάλαιο 24 – «Γεωμετρικά σχήματα - περίμετρος»
Οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί να:
Ø Αναγνωρίζουν τα τρίγωνα, τετράγωνα, πλάγια και ορθογώνια
παραλληλόγραμμα, τραπέζια και τα μη κανονικά τετράπλευρα,
πεντάγωνα.
Ø Αναγνωρίζουν τις πλευρές, κορυφές και γωνίες ως επιμέρους στοιχεία
των σχημάτων.
Ø Αναγνωρίζουν ισοπεριμετρικά σχήματα.
Ø Να συνεργάζονται σε ομάδες των 4 για την επίτευξη μιας
δραστηριότητας.
Όλα τα παραπάνω αποτελούν βασικές προϋποθέσεις για να διδαχθεί ένα
κεφάλαιο όπως το 25, όπου στη συγκεκριμένη περίπτωση τα παιδιά
καλούνται να γνωρίσουν τα ισοεμβαδικά σχήματα ενώ ελάχιστα από αυτά
θυμούνται (τουλάχιστόν για την τάξη στην οποία δίδαξα) την έννοια του
εμβαδού. Ίσως βέβαια αυτό να οφείλεται στο γεγονός ότι τα παιδιά που
φοιτούν αυτή τη χρονιά στην πέμπτη δημοτικού δεν ξεκίνησαν την σχολική
τους σταδιοδρομία με τα καινούργια σχολικά εγχειρίδια, όπου έννοιες όπως
αυτές του εμβαδού, του τάγκραμ, των πλακόστρωτων, είναι συνηθισμένες,
αλλά ήρθαν σε επαφή με τα σύγχρονα αυτά βιβλία, μόλις πέρσι.
Έτσι είναι απαραίτητο να ξέρουν να ονομάζουν τα διάφορα γεωμετρικά
σχήματα και να τα ξεχωρίζουν (αυτό είναι απαραίτητο και στη δραστηριότητα
με το τάγκραμ), να έχουν κατανοήσει την έννοια της περιμέτρου, ούτως ώστε
να μπορούν αργότερα να τη διακρίνουν από αυτήν του εμβαδού και τέλος να
εργάζονται σε ομάδες των τεσσάρων μιας και το ευνοούν τέτοιου είδους
κεφάλαια.
Ένα άλλο κεφάλαιο που έχει συναφή σχέση με το αυτό του 25 είναι το 26:
Κεφάλαιο 26- «Εμβαδόν τετραγώνου, ορθογωνίου παραλληλόγραμμου,
ορθογώνιου τριγώνου»
Οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί να:
Ø Εφαρμόζουν τη γνώση για τα ισοεμβαδικά σχήματα σε προβλήματα.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. ΠΤΔΕ Διδακτική Μαθηματικών
Εαρινό Εξάμηνο 2008 11
Ø Ανακαλύψουν τη σχέση του εμβαδού τυχαίου ορθογωνίου
παραλληλόγραμμου ή τυχαίου τριγώνου, αν γνωρίζουν τις διαστάσεις
τους.
Ø Βρίσκουν τις διαστάσεις ενός τετραγώνου αν γνωρίζουν το εμβαδόν
του.
Ø Συνεργάζονται σε ομάδες των 4 για την επίτευξη μιας
Θέση του γνωστικού αντικειμένου γενικά σε όλη την ύλη του Δημοτικού
σχολείου:
Α' τάξη δημοτικού
Κεφάλαιο 36 – «Κίνηση σε τετραγωνισμένο χαρτί»
Οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να:
Ø Προσανατολίζονται και να κινούνται σε τετραγωνισμένο χαρτί.
Ø Αναπαράγουν πάνω σε τετραγωνισμένο χαρτί το υπόδειγμα ενός
σχήματος που τους δίνεται σχεδιασμένο.
Κεφάλαιο 40 – «Γεωμετρικά σχήματα»
Ø Αναγνωρίζουν τα βασικά επίπεδα σχήματα που έχουν διδαχθεί και να
τα κατονομάζουν.
Ø Αναγνωρίζουν τη φόρμα των στερεών σωμάτων σε αντικείμενα της
καθημερινότητας.
Ø Ομαδοποιούν σχήματα σε κατηγορίες με βάση τη φόρμα τους και
ανεξάρτητα από τις διαφορετικές τους διαστάσεις ή θέσεις.
Ø Χαράζουν σε τετραγωνισμένο χαρτί τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα.
Κεφάλαιο 45 – «Χαράξεις, παζλ και
μωσαϊκά»
Ø Αναπτύξουν τις δεξιότητες τους
σε σχέση με τη χρήση του
σχήματος σε γεωμετρικές
καταστάσεις.
Ø Χαράζουν γραμμές με το
χάρακα.
Ø Ασχολούνται με
καταστάσεις τύπου παζλ,
προκειμένου να μάθουν να
ανασυνθέτουν ένα σχήμα από
τα συστατικά μέρη του.
Ø Αναλύουν και να συμπληρώνουν ένα μωσαϊκό.

Β' τάξη δημοτικού
Κεφάλαιο 14 – «Σχεδιάζουμε παρτέρια»
Ø Ακολουθούν τις οδηγίες προκειμένου να κατασκευάσουν ή να
προεκτείνουν ένα γεωμετρικό σχήμα με προϋποθέσεις.
Ø Ανακαλύψουν ότι στο τετράγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες.
Ø Αναγνωρίζουν πολύγωνα.
Ø Εργάζονται σε ομάδες για την επίτευξη μιας δραστηριότητας.
Κεφάλαιο 31 – «Καλύπτω επιφάνειες»
Ø Δείξουν με εποπτικό υλικό τι σημαίνει «καλύπτω μια επιφάνεια».
Ø Κατανοούν διαισθητικά την έννοια του εμβαδού μιας επιφάνειας.
Ø Χρησιμοποιούν τις έννοιες του μισού και του διπλάσιου για την κάλυψη
επιφανειών.
Ø Εργάζονται σε ομάδες των δυο ή των τεσσάρων για την επίτευξη
δραστηριοτήτων και εργασιών.
Γ' τάξη δημοτικού
Κεφάλαιο 3 – «Γεωμετρικά σχήματα και στερεά σώματα»
Ø Θυμούνται τα βασικά χαρακτηριστικά
των σχημάτων και να επεκτείνουν τις
γνώσεις τους.
Ø Αναγνωρίζουν και απομονώνουν ένα
σχήμα μέσα από μια σύνθεση
γεωμετρικών σχημάτων.
Ø Αναγνωρίζουν τα γεωμετρικά
σχήματα σε αντικείμενα της
καθημερινότητας.
Ø Αναγνωρίζουν ένα σχήμα σε όλες τις
πιθανές εκδοχές του.
Ø Ανακαλύπτούν εμπειρικά τις σχέσεις
μεταξύ των σχημάτων.
Ø Συνδυάζουν γνωστά σχήματα, για να σχηματίσουν νέα.

Κεφάλαιο 42 – «Παζλ, πλακόστρωτα και μωσαϊκά»
Ø Κατανοούν την έννοια
της επιφάνειας σε
μια προεμβαδιακή
κατάσταση και να
εμβαθύνουν στις
ιδιότητες των
σχημάτων (κάποια
σχήματα καλύπτουν
πλήρως μια
επιφάνεια, αν
τοποθετηθούν το ένα
δίπλα στο άλλο και
κάποια άλλα όχι).
Ø Αναλύουν ένα
σύνθετο σχήμα στα
επιμέρους σχήματα
από τα οποία
συγκροτείται , όσο
και στη σύνθεση ενός
σχήματος με
πρότυπα σχήματα ή
στην κάλυψη μιας επιφάνειας.
Ø Αντιληφθούν την πολιτισμική διάσταση των μαθηματικών.
Κεφάλαιο 50 – «Μέτρηση της επιφάνειας»
Ø Μετρούν επιφάνειες χρησιμοποιώντας ως μονάδες αυθαίρετες
μονάδες μέτρησης.
Ø Έρθουν σε επαφή και να γνωρίσουν το τετραγωνικό μέτρο.
Ø Χρησιμοποιούν το τετραγωνικό μέτρο σε καταστάσεις της
καθημερινής ζωής.
Δ' τάξη δημοτικού
Κεφάλαιο 30 – «Διάκριση περιμέτρου από το εμβαδόν»
Ø Κατανοούν διαισθητικά την έννοια της επιφάνειας.
Ø Διακρίνουν την έννοια του εμβαδού από την έννοια της
περιμέτρου.
Ø Μετρούν την επιφάνεια με μη τυπικές μονάδες μέτρησης.
Ø Συγκρίνουν επιφάνειες εμπειρικά.

Κεφάλαιο 31 – «Υπολογισμός του εμβαδού»
Ø Γνωρίσουν τις συνήθεις μονάδες μέτρησης επιφάνειας.
Κεφάλαιο 33 – «Διαχείριση επίπεδων σχημάτων»
Ø Εμπεδώσουν τις έννοιες του εμβαδού και της περιμέτρου.
Ø Εξάγουν και να χρησιμοποιήσουν τον τύπο για τον υπολογισμό του
εμβαδού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
Ø Σχεδιάζουν επίπεδα σχήματα με περιορισμούς (δεδομένη περίμετρος,
δεδομένο εμβαδόν, δεδομένο πλήθος ορθών γωνιών) χωρίς πλέγμα.
Στ' δημοτικού
Κεφάλαιο 61- «Μετρώ επιφάνειες»
Ø Κατανοούν τη μέτρηση της επιφάνειας και να υπολογίζουν το εμβαδό
ορθογωνίου.
Ø Γράφουν και να διαβάζουν μετρήσεις επιφανειών (σε τετραγωνικά) με
δεκαδικούς, συμμιγείς και κλασματικούς αριθμούς.
Ø Λύνουν προβλήματα σχετικά με μετρήσεις επιφανειών.
Κεφάλαιο 62 – «Βρίσκω το εμβαδόν παραλληλογράμμου»
Ø Διαπιστώνουν ότι διαφορετικά σχήματα μπορεί να έχουν το ίδιο
εμβαδό.
Ø Υπολογίζουν εμβαδόν οπουδήποτε παραλληλογράμμου με τη βοήθεια
τύπου.
Ø Λύνουν προβλήματα υπολογισμού εμβαδού παραλληλογράμμου.
Το συγκεκριμένο μάθημα περιλαμβάνει την παρακάτω εφαρμογή με τάγκραμ:
Κεφάλαιο 63 – «Βρίσκω το εμβαδόν τριγώνου»

Ø Κατανοούν τη διαδικασία του εμβαδού του τριγώνου.
Ø Υπολογίζουν εμβαδό τριγώνου με τη βοήθεια τύπου.
Ø Λύνουν προβλήματα εμβαδών τριγώνου.
Και σε αυτό το κεφάλαιο υπάρχει εφαρμογή με τάγκραμ, που είναι η
παρακάτω:
4.2.Τα υλικά και εποπτικά μέσα
Όσον αφορά τα υλικά και εποπτικά μέσα διδασκαλίας, βασικός όρος είναι
η εποπτεία, δηλαδή η παράσταση ενός αντικειμένου, η οποία προέρχεται από
την οπτική αντίληψη, κατ’ επέκταση όμως σημαίνει κάθε παράσταση η οποία
σχηματίζεται με τη βοήθεια των αισθήσεων.
Τα εποπτικά μέσα είναι πολύ σημαντικά, ιδιαίτερα στις μικρές τάξεις
καθώς ο παραστατικός κύκλος των μαθητών είναι περιορισμένος και η
αφηρημένη σκέψη υπό εξέλιξη. Αυτό όμως δε σημαίνει πως τα εποπτικά
μέσα μπορούν να αντικαταστήσουν τον δάσκαλο, ούτε και στην περίπτωση
των εκπαιδευτικών λογισμικών, καθώς μεγαλύτερη σημασία έχει το πώς τα
χρησιμοποιούμε.
Τα βασικά πλεονεκτήματα των εποπτικών μέσων διδασκαλίας είναι:
α)συγκεντρώνουν την προσοχή των μαθητών, β)εξασφαλίζουν ποικιλία
ερεθισμάτων, γ)βοηθούν στην κατανόηση, δ)βοηθούν στην απομνημόνευση,
ε)αποδεικνύουν το ενδιαφέρον του δασκάλου για τους μαθητές του. (Καψάλης
Αχ., Νημά Ελ., 2002, σελ. 169).
Οι παιδαγωγικές έρευνες αλλά κυρίως η ίδια εμπειρία των εκπαιδευτικών,
επιβεβαιώνουν, σε όλο τον κόσμο τη
γνωστή πυραμίδα της μάθησης, η
οποία αναδεικνύει την ανάγκη χρήσης
πολλαπλών μέσων και μεθόδων για τη
διδασκαλία των μαθητών. 1
Σύμφωνα με τις έρευνες, μπορούμε
να πούμε απλουστευτικά, ότι ο
άνθρωπος συγκρατεί για μεγάλο
χρονικό διάστημα μόλις το 5% αυτών
που ακούει, το 10% αυτών που
διαβάζει, το 20% των γνώσεων που
1
Internet: http/users .sch.gr/kontaxis

βασίζονται συγχρόνως σε ήχο και εικόνα.
Η επίδειξη και τα πειράματα συμβάλουν ώστε να ο άνθρωπος να
συγκρατεί το 30% των γνώσεων, η συζήτηση για ένα θέμα μας βοηθάει να
συγκρατήσουμε το 50% και η πράξη ή το εργαστήριο το 75%. Αν βεβαίως
είμαστε υποχρεωμένοι να διδάξουμε ένα αντικείμενο, τότε συγκρατούμε το
90% αυτών που μάθαμε.
Είναι ευνόητο ότι, η θέση που έχουν πλέον καταλάβει η εικόνα και τα
πολυμέσα στην πληροφόρηση και την εκπαίδευση, τα τελευταία χρόνια,
ενισχύει τη σημασία τους στην εκπαιδευτική διαδικασία.
Στο μάθημα των μαθηματικών τα οπτικοακουστικά (βασικά μόνο οπτικά)
μέσα που χρησιμοποιήθηκαν ήταν:
ü Χαρτόνια, κομμένα στο σχήμα τεσσάρων μεγάλων τριγώνων, τα οποία
ήταν τετραγωνισμένα και μέσα τους εμπεριέχονταν τα επιμέρους
σχήματα ενός τάγκραμ, δηλαδή 5 ισοσκελή τρίγωνα (2 μικρά, ένα
μεσαίο και 2 μεγάλα),1 παραλληλόγραμμο, 1 τετράγωνο.
ü Χρωματιστά χαρτόνια Α4, στη μία πλευρά των οποίων ήταν
εκτυπωμένο το περίγραμμα ενός τάνγκραμ, συγκεκριμένα
αναπαριστούσε τη μορφή μιας γάτας και στην πίσω πλευρά ο Σαΐτας
(μορφή του βιβλίου της Ε’ δημοτικού) έδινε τον ορισμό της λέξης
τάνγκραμ.
ü Σε κάθε μαθητή δόθηκε ένα φακελάκι μέσα στο οποίο υπήρχαν επτά
μαύρα, χάρτινα γεωμετρικά σχήματα. Τα παιδιά έπρεπε να
τοποθετήσουν τα γεωμετρικά αυτά σχήματα πάνω στα χαρτόνια Α4 με
τέτοιο τρόπο που να χρησιμοποιούνταν όλα αποτελεσματικά.
ü Λευκές, τετραγωνισμένες κόλλες (όχι μιλιμετρε χαρτί) που
χρησιμοποιήθηκαν στην εισαγωγική δραστηριότητα.
ü Φύλλο ανακεφαλαίωσης – φωτοτυπίες, χωρίς ασκήσεις, που έγινε με
τη βοήθεια του Kidspiration.
ü Βιβλίο μαθητή
ü Πίνακας
4.3.Χρονική διάρκεια της διδασκαλίας
Ο προτεινόμενος χρόνος διδασκαλίας για το κεφάλαιο 25 είναι 2 διδακτικές
ώρες. Βέβαια στα πλαίσια της διδακτικής των μαθηματικών πραγματοποιούμε
μία διδακτική ώρα και έτσι μαζί με την τάξη καλύψαμε την ύλη του βιβλίου του
μαθητή και όχι του τετραδίου εργασιών.
Όλη η διδασκαλία διήρκησε 45’ και ξεκίνησε κανονικά χωρίς
καθυστερήσεις είτε από την πλευρά της δασκάλας (καθώς οι δύο πρώτες
ώρες είναι συνεχόμενες) ούτε και από την πλευρά των μαθητών που ήταν
συνεργάσιμοι.
Το πρώτο μέρος της διδασκαλίας (1η φάση – ανακοίνωση των στόχων της
διδασκαλίας, διερευνητική αξιολόγηση των γνώσεων των μαθητών) διήρκησε
5’. Σε αυτήν την φάση και αφού κάναμε μια σύντομη αναφορά στο

προηγούμενο μάθημα (Κεφάλαιο 24: Γεωμετρικά σχήματα – Περίμετρος,
Καρέτα - καρέτα, σελ. 66 -67) ξεκινήσαμε το καινούργιο με την ανάγνωση του
τίτλου του μαθήματος “Ισοεμβαδικά Σχήματα – Το Τάγκραμ”, όπου οι μαθητές
κλήθηκαν να τον ερμηνεύσουν. Αφού γράψαμε την λέξη στον πίνακα, την
αναλύσαμε (ίσα + εμβαδά). Ζήτησα από τους μαθητές να μου δώσουν
κάποιον ορισμό για την έννοια του εμβαδού, όπως αυτοί μπορούσαν, από
προηγούμενες τάξεις και στη συνέχεια γράψαμε τον ορισμό της στον πίνακα.
Έπειτα δώσαμε έναν «πρόχειρο» ορισμό για τα ισοεμβαδικά σχήματα και
διαχωρίσαμε την έννοια του εμβαδού από αυτή της περιμέτρου (μέτρα –τ.
μέτρα, εκ. – τ.εκ.). Στο τέλος της πρώτης αυτής φάσης κάναμε μια σύντομη
αναφορά στο τάγκραμ.
Το δεύτερο μέρος (2η
φάση – εισαγωγή στην νέα έννοια, πραγματοποίηση
εισαγωγικής δραστηριότητας) “κράτησε” 10’, καθώς η εισαγωγική
δραστηριότητα ήταν πολύ σημαντική για την περαιτέρω εξέλιξη της
διδασκαλίας. Μοίρασα στο κάθε παιδί, το οποίο ήταν ενταγμένο σε μια ομάδα,
λευκές, τετραγωνισμένες κόλλες, σε σχήμα τετραγώνου και εξηγήσαμε ποιο
ήταν το εμβαδόν τους. Με κατάλληλες αναδιπλώσεις του χαρτιού,
σχηματίστηκαν 2 ίσα μεταξύ τους τρίγωνα και τα παιδιά έπρεπε να σκεφτούν
ποιο μπορεί να είναι εμβαδόν του κάθε τριγώνου χωριστά και έπειτα και των
δύο μαζί, πράγμα που θα γινόταν και με τη βοήθεια των τετραγώνων (οι
μαθητές μετρούσαν τα τετράγωνα του ενός τριγώνου, μετρούσαν και αυτά του
άλλου και κατέληγαν στο συμπέρασμα ότι είναι ισοεμβαδικά). Στη συνέχεια και
αφού δίπλωσαν το κάθε τρίγωνο στη μέση βρήκαν πως το τετράγωνο
αποτελούνταν από τέσσερα ίσα μεταξύ τους τρίγωνα, το καθένα από τα οποία
είχε εμβαδόν ίσο με το ¼ του εμβαδού του τετραγώνου και ίσο με ½ του
εμβαδού του μεγάλου τριγώνου.
Η 3η
φάση (Επισημοποίηση, ανακοίνωση της νέας γνώσης) “κράτησε” 5’.
Αφού τα παιδιά ασχολήθηκαν με την παραπάνω δραστηριότητα που είχε
έντονο βιωματικό χαρακτήρα και αφού ανακάλυψαν τη νέα γνώση (στα
πλαίσια των δυνατοτήτων τους πάντα) την επισημοποιήσαμε. Τα παιδιά
διάβασαν το πλαίσιο με τα “Συμπεράσματα” στη σελίδα 69 και έδωσαν έναν
ορισμό για τα ισοεμβαδικά σχήματα. Έπειτα γράψαμε την νέα έννοια στον
πίνακα.
Η 4η
φάση (Ασκήσεις εφαρμογής και εμπέδωσης) διήρκησε 20’. Με τη
βοήθεια δύο χαρτονιών (το κάθε χαρτόνι είχε κοπεί σε σχήμα τετραγώνου και
είχε χωριστεί σε δύο ίσα μέρη βλ. σελ. 34) αναπαραστήσαμε το τάγκραμ της
σελίδα 68 για μεγαλύτερη ακρίβεια και ευκρίνεια. Έπειτα και αφού μελέτησαν
οι μαθητές σε ομάδες τις δραστηριότητες (κάθε φορά μία- αυτή που θα τους
υποδείκνυα), σηκωνόταν στον πίνακα ένας εκπρόσωπος της ομάδας και έδινε
τη σωστή απάντηση «δείχνοντας» την στο μεγάλο τάγκραμ. Σε περιπτώσεις
λάθους ακούγονταν και οι απόψεις των άλλων ομάδων. Η σειρά με την οποία
έγιναν οι δραστηριότητες (σελ. 68) είναι: 3η
, 2η
, 1η
. Για τις τρεις παραπάνω
δραστηριότητες χρησιμοποιήσαμε το ένα χαρτόνι – τάγκραμ (υπήρχε ακόμη
ένα για την 1η
εργασία, σελ. 69).
Τέλος η 5η
φάση (Αξιολόγηση) “κράτησε” 5’. Κάναμε τις εργασίες της
σελίδας 69 ξεκινώντας από τις 2 και 3 και τελειώνοντας με την 1η,
όπου
χρησιμοποιήσαμε και τα δύο χαρτόνια – τάγκραμ. Αυτή η εργασία
πραγματοποιήθηκε μόνο στον πίνακα λόγω έλλειψης χρόνου. Στο τέλος της
διδακτικής ώρας μοίρασα στα παιδιά από ένα χαρτόνι Α4, στην πίσω μεριά
του οποίου υπήρχε το περίγραμμα από το σχέδιο μιας γάτας. Μοίρασα και

φακελάκια το καθένα από τα οποία είχε 7 κομμένα, γεωμετρικά σχήματα από
μαύρο χαρτόνι, τα οποία οι μαθητές τοποθέτησαν μέσα στο περίγραμμα με
τέτοιο τρόπο ώστε κανένα να μην περισσεύει και το αποτέλεσμα να είχε τη
μορφή μιας γάτας (διαθεματική δραστηριότητα με τάγκραμ).
4.4. Σκοποί και στόχοι του μαθήματος
Ο σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηματικών εντάσσεται στους
γενικότερους σκοπούς της εκπαίδευσης. Τα Μαθηματικά είναι μέρος της
καθημερινής ζωής, εφαρμόζονται σε ποικίλες δραστηριότητες και
συνεισφέρουν στην πραγμάτωση τόσο των σκοπών που εξυπηρετούν τις
ανάγκες του ατόμου όσο και της κοινωνίας. Συμβάλλουν στην ολοκλήρωση
της προσωπικότητας του μαθητή και της επιτυχή του ένταξη. Σύμφωνα με το
Δ.Ε.Π.Π.Σ. με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο
επιδιώκεται:
ü Η απόκτηση βασικών μαθηματικών γνώσεων και ικανοτήτων.
ü Η καλλιέργεια της μαθηματικής γλώσσας ως μέσου επικοινωνίας.
ü Η κατανόηση στοιχειωδών Μαθηματικών μεθόδων.
ü Η εξοικείωση με τη διαδικασία παραγωγής συλλογισμών και την
αποδεικτική διαδικασία.
ü Η ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων.
ü Η ανάδειξη της δυνατότητας εφαρμογής και πρακτικής χρήσης των
Μαθηματικών.
ü Η ανάδειξη της δυναμικής διάστασης της μαθηματικής επιστήμης
(ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών εργαλείων, συμβόλων και εννοιών).
ü Η καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηματικά.
Στόχοι του μαθήματος: Οι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να διακρίνουν την
έννοια του εμβαδού ενός γεωμετρικού σχήματος (απλού ή σύνθετου) υπό την
έννοια της επιφάνειας που αυτό καλύπτει. Έτσι, διαφορετικά σχήματα μπορεί
να έχουν το ίδιο εμβαδόν και σχήματα που δεν μπορούμε εύκολα να
υπολογίσουμε το εμβαδόν τους μπορούμε να τα αναλύσουμε σε άλλα στα
οποία μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το εμβαδόν τους.
Αναλυτικά οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί:
Ø Να μπορούν να αναλύουν σύνθετα γεωμετρικά σχήματα σε άλλα πιο
απλά, και το αντίστροφο (παιχνίδια με τάγκραμ).
Ø Να κατανοούν την έννοια του εμβαδού ως κάλυψη επιφάνειας και να
μπορούν να το υπολογίζουν χωρίς τους τύπους εύρεσής του, αλλά με
τη χρήση διαγραμμισμένου ή τετραγωνισμένου χαρτιού και με
σύγκρισή του μα άλλα μικρότερα ή μεγαλύτερα σχήματα.
Ø Να διακρίνουν την περίμετρο από τον εμβαδόν ενός σύνθετου ή απλού
σχήματος καθώς επίσης και τις μονάδες που χρησιμοποιούμε για τη
μέτρηση του καθενός (μ. εκ. κτλ. Για την περίμετρο, τ.εκ. ή άλλα
σχήματα για το εμβαδόν).

Ø Να συνεργάζονται σε ομάδες των 4 για την επίτευξη μιας
4.5.Προαπαιτούμενες – προϋπάρχουσες γνώσεις
Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνταν για τη συγκεκριμένη διδασκαλία
είναι:
Ø Να αναγνωρίζουν βασικά γεωμετρικά σχήματα (τρίγωνο, τετράγωνο,
ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, πλάγιο παραλληλόγραμμο, τραπέζιο).
Ø Να χειρίζονται τον κανόνα (χάρακας) ως όργανο χάραξης και μέτρησης
μήκους.
Ø Να κατανοούν την έννοια της περιμέτρου ως άθροισμα του μήκους των
πλευρών ενός γεωμετρικού σχήματος.
Ø Να γνωρίζουν τη χρήση του τάγκραμ.
Επιπλέον οι μαθητές γνώριζαν από την προσωπική καθημερινή τους
ζωή το τάγκραμ, ως ένα παιχνίδι που υπάρχει στους υπολογιστές και το
οποίο έχουν παίξει πολλές φορές.
4.6.Διδακτικές μέθοδοι
Καθοδηγούμενη ανακάλυψη
Οι μαθητές είχαν ήδη από την πρώτη φάση ενεργό ρόλο στη διαδικασία
της μάθησης και αυτό γιατί η συγκεκριμένη μέθοδος αποτελεί τον πιο
αποτελεσματικό τρόπο μάθησης. Ήταν αυτοί που διάβασαν τον τίτλο του
μαθήματος και έδωσαν ορισμούς με βάση την ετυμολογία της λέξης
ισοεμβαδικά, αυτοί που με τις κατάλληλες αναδιπλώσεις του τετραγωνισμένου
χαρτιού μίλησαν για επιφάνεια, εμβαδόν (όσοι τουλάχιστον το γνώριζαν) και
ισοεμβαδικά σχήματα και αυτοί που πάντα με τις κατάλληλες ερωτήσεις που
τους έθετα, έδιναν και τις αναμενόμενες σωστές απαντήσεις.
Η λειτουργία της καθοδηγούμενης ανακάλυψης είναι εμφανέστατη στη 2η
φάση όπου μοίρασα στους μαθητές, λευκές, τετραγωνισμένες κόλλες, σε
σχήμα τετραγώνου και αφού εξηγήσαμε το εμβαδόν τους με κατάλληλες
αναδιπλώσεις του χαρτιού, σχηματίσαμε 2 ίσα μεταξύ τους τρίγωνα. Έπειτα
τα παιδιά έπρεπε να σκεφτούν ποιο μπορεί να είναι εμβαδόν του κάθε
τριγώνου χωριστά και στη συνέχεια και των δύο μαζί, πράγμα που θα γινόταν
με τη βοήθεια των τετραγώνων (οι μαθητές μετράνε τα τετράγωνα του ενός
τριγώνου, μετράνε και αυτά του άλλου και καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι
είναι ισοεμβαδικά). Στη συνέχεια και αφού διπλώσαμε το κάθε τρίγωνο στη
μέση οι μαθητές ήταν σε θέση να πουν πως το τετράγωνο αποτελείται από
τέσσερα ίσα μεταξύ τους τρίγωνα, το καθένα από τα οποία είχε εμβαδόν ίσο
με το ¼ του εμβαδού του τετραγώνου και ίσο με ½ του εμβαδού του μεγάλου
τριγώνου.

Ευρετική μέθοδος διδασκαλίας
Στην περίπτωση της ερευνητικής μεθόδου διδασκαλίας, καλούμε τα παιδιά
να βρουν κάτι. Τίθεται, δηλαδή, ένα πρόβλημα και οι μαθητές κάνουν
συσχετισμούς και διερεύνηση. Έτσι ενεργοποιείται η σκέψη και στα πλαίσια
των ομάδων η ευερετική μέθοδος είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική (δουλεύουν
όλα μαζί τα παιδιά και σε περίπτωση λάθους δεν νιώθουν άσχημα, η ομαδική
εργασία πάνω σε ασκήσεις είναι πιο ευχάριστη και ο ανταγωνισμός με τις
υπόλοιπες ομάδες παρακινεί τους μαθητές να βρουν όσο το δυνατόν πιο
γρήγορα τη σωστή απάντηση).
Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιήθηκε κυρίως στην 4η
και 5η
φάση, όπου
δίνονταν στους μαθητές οι δραστηριότητες και οι εργασίες του βιβλίου του
μαθητή και αυτοί σε συνεργασία μεταξύ τους (ομάδες των τεσσάρων) τις
μελετούσαν, ερευνούσαν κάθε πιθανή λύση και στο τέλος ένας εκπρόσωπός
τους σηκωνόταν στον πίνακα και έγραφε την απάντηση. Παράλληλα στον
πίνακα είχαμε αναρτημένα τα δύο τάγκραμ, τα οποία και χρησιμοποιούσε ο
εκπρόσωπος της ομάδας για να αιτιολογήσει την απάντησή του. Στις
περιπτώσεις όπου τα παιδιά έδιναν λάθος απάντηση, ακούγονταν οι απόψεις
των υπόλοιπων ομάδων, τις οποίες και ανέλυα με βάση τα δύο μεγάλα
τάγκραμ στον πίνακα ώστε όλοι να βλέπουν.
Βιωματική μέθοδος
Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιήθηκε καταρχάς στην εισαγωγική
δραστηριότητα, όπου μοίρασα στα παιδιά λευκές, τετραγωνισμένες κόλλες,
σε σχήμα τετραγώνου και κάναμε τέτοιου είδους αναδιπλώσεις ώστε να
καταλάβουν την έννοια των ισοεμβαδικών σχημάτων.
Έπειτα οι δραστηριότητες της σελίδας 68 είχαν και αυτές βιωματικό
χαρακτήρα. Τα παιδιά αφού έκαναν κάποιες εκτιμήσεις έπρεπε στη συνέχεια
να επαληθεύσουν τις εκτιμήσεις τους βιωματικά με το τάγκραμ.
Τέλος βιωματική μάθηση είχαμε και στην πέμπτη και τελευταία φάση,
όπου τα παιδιά έπρεπε να συναρμολογήσουν ένα τάγκραμ με βάση το
περίγραμμα των Α4 χαρτονιών που τους μοίρασα. Οι περισσότεροι, αν όχι,
όλοι οι μαθητές γνώριζαν το τάγκραμ και σύμφωνα με τα λεγόμενα τους είχαν
παίξει αρκετές φορές στον υπολογιστή. Η δραστηριότητα ήταν ευχάριστη και
απροσδόκητα εύκολη.
Διαθεματική μέθοδος διδασκαλίας
Η δραστηριότητα της 5η
ς φάσης ήταν καθαρά διαθεματική και φυσικά
συνδεόταν με το μάθημα των καλλιτεχνικών. Τα παιδιά για τη συγκεκριμένη
δραστηριότητα, χρειάζονταν μόνο κόλλες για να κολλήσουν τα επτά χάρτινα
γεωμετρικά σχήματα πάνω στο χαρτόνι Α4. Επειδή μερικά παιδιά ίσως να μην
κουβαλούσαν μαζί τους κόλλα, είχα και εγώ μαζί μου δύο, ωστόσο μόνο ένα
παιδί μου ζήτησε.

Η διαθεματική δραστηριότητα ήταν ιδιαίτερα ευχάριστη και άρεσε στα
παιδιά. Επιπλέον με τέτοιου είδους δραστηριότητες οι μαθητές μπορούν να
μάθουν πολλά πράγματα χωρίς πολλές φορές να το καταλαβαίνουν.
Ομαδοσυνεργατική μέθοδος διδασκαλίας
Τα παιδιά “εργάστηκαν” σε ομάδες των τεσσάρων (όπως αναφέρθηκε
παραπάνω μόνο μία ομάδα είχε 6 παιδιά) καθώς η ομαδική εργασία ευνοεί τη
μάθηση και έχει αξιοσημείωτα αποτελέσματα. Το μάθημα με τα τάγκραμ είχε
έναν ιδιαίτερο χαρακτήρα και ευνοούσε πολύ μια τέτοια διάταξη της τάξης. Τα
παιδιά αν και σε ομάδες, δεν ήξεραν να συνεργάζονται ως τέτοιες. Πάραυτα
ευνοήθηκαν πολύ από τον τρόπο που δουλέψαμε και αυτό είχε αντίκτυπο
κυρίως στα παιδιά που είτε είχαν δυσκολίες στο μάθημα είτε δείλιαζαν να
συμμετέχουν.
Μονολογική – Επιδεικτική μέθοδος διδασκαλίας
Η παραπάνω μέθοδος χρησιμοποιήθηκε κυρίως στην 4η
και 5η
φάση που
και χρησιμοποιήσαμε τα δύο τάγκραμ. Αφού εξήγησα στα παιδιά τι είναι το
τάγκραμ, έπειτα κόλλησα το ένα χαρτόνι – τάγκραμ στον πίνακα. Έπειτα και
εφόσον τα παιδιά είχαν υποδείξει στο τάγκραμ του πίνακα τις δικές τους
λύσεις, όσον αφορά τις δραστηριότητες και τις εργασίες, με τη χρήση
μαρκαδόρου (απαριθμούσα τα κουτάκια σημειώνοντας πάνω σε αυτά μια
γραμμή), επαναλάμβανα τη διαδικασία της επίλυσης εξηγώντας δυνατά και
καθαρά την πορεία της και ταυτόχρονα δείχνοντας την σε όλη την τάξη.
Παρά το γεγονός ότι είναι κυρίως δασκαλοκεντρική αυτή η μέθοδος,
ωστόσο είναι αναπόφευκτη σε κάποιες περιπτώσεις όπου τα παιδιά
(τουλάχιστον τα περισσότερα) έρχονται πρώτη φορά σε επαφή με ένα
καινούργιο γνωστικό αντικείμενο. Επιπλέον είναι πολύ σημαντική για την
κατάκτηση της νέας γνώσης από όλους, αν είναι δυνατό, τους μαθητές καθώς
συνδυάζεται λόγος και εικόνα.
Ερωταποκρίσεις
Η παραπάνω μέθοδος χρησιμοποιείται σε όλες σχεδόν τις διδασκαλίες
καθώς είναι ο πιο εύκολος τρόπος να εντοπίσεις αν γνωρίζουν κάτι οι μαθητές
σου. Σε όλες τις φάσεις τα παιδιά δέχονταν ερωτήσεις από μέρους μου
προκειμένου να οδηγηθούν άλλοτε στη σωστή λύση και άλλοτε στη σωστή
απάντηση. Πιο συγκεκριμένα πιστεύω πως η παραπάνω μέθοδος
χρησιμοποιήθηκε στην 1η
φάση όπου με ερωτήσεις προσπαθούσα να
ανιχνεύσω τις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών πάνω στο θέμα του
μαθήματός μας.

4.7.Πορεία διδασκαλίας
Μαθηματικά Ε’ τάξης
4η
Ενότητα, Β’ περίοδος, σελίδες 68 - 69
Κεφάλαιο 25 : «Ισοεμβαδικά σχήματα – Το τάγκραμ».
1η Φάση: Ανακοίνωση των στόχων της διδασκαλίας – διερευνητική
αξιολόγηση των γνώσεων των μαθητών
Αφού κάνουμε μια σύντομη αναφορά στο προηγούμενο μάθημα (Κεφάλαιο
24: Γεωμετρικά σχήματα – περίμετρος, Καρέτα - καρέτα, σελ. 66 -67) το
καινούργιο ξεκινά με την ανάγνωση του τίτλου του μαθήματος “Ισοεμβαδικά
Σχήματα – Το Τάγκραμ”, όπου οι μαθητές καλούνται να τον ερμηνεύσουν.
Αφού γράψουμε την λέξη στον πίνακα, την αναλύουμε (ίσα + εμβαδά). Ζητώ
από τους μαθητές να μου δώσουν κάποιον ορισμό για την έννοια του
εμβαδού, όπως αυτοί μπορούν, από προηγούμενες τάξεις και στη συνέχεια
γράφουμε τον ορισμό της στον πίνακα. Έπειτα δίνουμε έναν «πρόχειρο»
ορισμό για τα ισοεμβαδικά σχήματα και διαχωρίζουμε την έννοια του εμβαδού
από αυτή της περιμέτρου (μέτρα –τ. μέτρα, εκ. – τ.εκ.). Στο τέλος της πρώτης
αυτής φάσης ρωτάω τα παιδιά αν έχουν ακούσει τη λέξη τάγκραμ και αν τυχόν
γνωρίζουν τη λειτουργία του.
Τονίζω στα παιδιά πως θα δουλέψουν στα πλαίσια των ομάδων τους, σε
συνεργασία μεταξύ τους και όχι το καθένα χωριστά όπως έκαναν μέχρι τώρα.
2η Φάση: Εισαγωγή στην νέα έννοια και πραγματοποίηση της
εισαγωγικής δραστηριότητας.
Μοιράζω στο κάθε παιδί, το οποίο είναι ενταγμένο σε μια ομάδα, λευκές,
τετραγωνισμένες κόλλες, σε σχήμα τετραγώνου και εξηγούμε ποιο είναι το
εμβαδόν τους. Με κατάλληλες αναδιπλώσεις του χαρτιού, σχηματίζονται 2 ίσα
μεταξύ τους τρίγωνα και τα παιδιά σκέφτονται ποιο μπορεί να είναι εμβαδόν
του κάθε τριγώνου χωριστά και έπειτα και των δύο μαζί, πράγμα που θα γίνει
και με τη βοήθεια των τετραγώνων (οι μαθητές μετράνε τα τετράγωνα του
ενός τριγώνου, μετράνε και αυτά του άλλου και καταλήγουν στο συμπέρασμα
ότι είναι ισοεμβαδικά). Στη συνέχεια και αφού διπλώσουν το κάθε τρίγωνο στη
μέση πρέπει να είναι σε θέση να συνειδητοποιήσουν πως το τετράγωνο
αποτελείται από τέσσερα ίσα μεταξύ τους τρίγωνα, το καθένα από τα οποία
έχει εμβαδόν ίσο με το ¼ του εμβαδού του τετραγώνου και ίσο με ½ του
εμβαδού του μεγάλου τριγώνου.
3η Φάση: Επισημοποίηση – ανακοίνωση της νέας γνώσης.
Αφού τα παιδιά ασχοληθούν με την παραπάνω δραστηριότητα που έχει
έντονο βιωματικό χαρακτήρα και αφού ανακαλύψουν τη νέα γνώση (στα
πλαίσια των δυνατοτήτων τους πάντα) την επισημοποιούμε.
Ρωτάω τα παιδιά αν μπορούν να δώσουν έναν (οριστικό αυτή τη φορά)
ορισμό για τα ισοεμβαδικά σχήματα και αφού ακουστούν όλες οι απόψεις
διαβάζουμε το πλαίσιο με τον τίτλο “Συμπέρασμα” στη σελίδα 69 και
γράφουμε τη νέα έννοια στον πίνακα.

4η Φάση: Ασκήσεις εφαρμογής και εμπέδωσης.
Με τη βοήθεια δύο χαρτονιών (το κάθε χαρτόνι έχει κοπεί σε σχήμα
τετραγώνου και έχει χωριστεί σε δύο ίσα μέρη) αναπαριστούμε 2 φορές το
τάγκραμ στη σελίδα 68 για μεγαλύτερη ακρίβεια και ευκρίνεια. Έπειτα και
αφού μελετήσουν οι μαθητές σε ομάδες τις δραστηριότητες (κάθε φορά μία-
αυτή που θα τους υποδεικνύω), σηκώνεται στον πίνακα ένας εκπρόσωπος
της ομάδας και δίνει τη σωστή απάντηση «δείχνοντας» την στο μεγάλο
τάγκραμ. Σε περιπτώσεις λάθους ακούγονται και οι απόψεις των άλλων
ομάδων. Η σειρά με την οποία θα γίνουν οι δραστηριότητες (σελ. 68) είναι: 3η
,
2η
, 1η, με βάση πάντα το βαθμό δυσκολίας. Για τις τρεις παραπάνω
δραστηριότητες χρησιμοποιούμε το ένα χαρτόνι – τάγκραμ.
5η Φάση: Αξιολόγηση
Επειδή το συγκεκριμένο μάθημα περιέχει αρκετές και χρονοβόρες
δραστηριότητες και δεδομένου ότι οι μαθητές δεν έχουν κάνει ακόμα για το
εμβαδόν (κεφάλαιο 26) θα αρκεστούμε στις εργασίες του βιβλίου του μαθητή
και δε θα κάνουμε ασκήσεις από το τετράδιο των εργασιών, που ούτως ή
άλλως επαναλαμβάνει αυτές του βιβλίου.
Έτσι κάνουμε τις εργασίες της σελίδας 69 ξεκινώντας από τις ασκήσεις 2
και 3 και τελειώνοντας με την 1η,
όπου θα χρησιμοποιήσουμε και τα δύο
χαρτόνια – τάγκραμ. Σε αυτήν την εργασία θα δοθεί στο κάθε παιδί από ένα
μιλιμετρέ χαρτί πάνω στο οποίο θα τοποθετήσει το καθένα τα δικά του
τάγκραμ, που υπάρχουν στο πίσω μέρος του βιβλίου, σελ. 157.
Στο τέλος της διδακτικής ώρας και αφού μπορούμε να χειριστούμε το
μάθημα διαθεματικά (σύνδεση με τα εικαστικά) μοιράζω στα παιδιά από ένα
χαρτόνι Α4, στην πίσω μεριά του οποίου υπάρχει το σχέδιο μιας γάτας, που
προέρχεται από τη συναρμολόγηση 7 γεωμετρικών σχημάτων (παιχνίδι
τάγκραμ). Έπειτα μοιράζω στα παιδιά τα σχέδια των αντίστοιχων
γεωμετρικών σχημάτων σε χαρτονάκια μαύρου χρώματος και αφού
πειραματιστούν κολλάνε τα κομμάτια πάνω στα κατάλληλα μέρη του σώματος
της γάτας.
Σε κάθε περίπτωση και στη φάση της εφαρμογής – εμπέδωσης και στη
φάση της αξιολόγησης πρέπει να υπάρχει η καθοδήγηση της φοιτήτριας.
4.8. Διαδικασίες Αξιολόγησης
Η αξιολόγηση κατά τη διάρκεια του μαθήματος επιτεύχθηκε κυρίως μέσω
των εργασιών της σελίδας 69, του βιβλίου του μαθητή.
Αφού πραγματοποιήσαμε τις δραστηριότητες 3, 2, και 1 της σελίδας 68,
του βιβλίου του μαθητή στη συνέχεια προχωρήσαμε στις εργασίες της
επόμενης σελίδας. Ξεκινήσαμε με την εργασία 3, όπου οι μαθητές έπρεπε να
παρατηρήσουν από ποια σχήματα είναι φτιαγμένο το αρχικό σχήμα (μόνο

τρίγωνα ή τρίγωνα και πλάγια παραλληλόγραμμα) και έπειτα να βρουν εκείνο
το γεωμετρικό σχήμα που έχει το ίδιο εμβαδόν με το πρότυπο.
Έπειτα ασχοληθήκαμε με τη 2η
εργασία. Τα παιδιά χάραξαν τα ορθογώνια
παραλληλόγραμμα και σε πολλές περιπτώσεις χρωμάτισαν την επιφάνεια
που αυτά κάλυπταν. Η δραστηριότητα αυτή προβλημάτισε τα παιδιά, ίσως
επειδή δεν είχαν ασχοληθεί με το εμβαδόν ή με τους τύπους του και έτσι
έπρεπε να περάσω από κάθε ομάδα για να ελέγξω τυχόν λάθη και να κάνω
υποδείξεις στις περιπτώσεις που έπρεπε.
Τέλος κάναμε την πρώτη δραστηριότητα. Οι μαθητές χρησιμοποιώντας
όλα τα κομμάτια από 2 τάγκραμ, έπρεπε να φτιάξουν πάνω σε μιλιμετρέ χαρτί
ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο και ένα
τραπέζιο. Έπειτα έπρεπε να εκτιμήσουν ποιο σχήμα θα είχε το μεγαλύτερο
εμβαδόν. Τα δύο τάγκραμ υπάρχουν στο πίσω μέρος του βιβλίου του μαθητή
(σελ.157) και από την προηγούμενη μέρα είχα ειδοποιήσει τους μαθητές να τα
έχουν κομμένα. Ωστόσο λόγω έλλειψης χρόνου αποφάσισα εκείνη τη στιγμή
να αλλάξουμε κάπως τη δραστηριότητα και να την κάνουμε μόνο στον πίνακα
με τη βοήθεια των 2 μεγάλων τάγκραμ που είχα ετοιμάσει για αυτήν την
άσκηση. Έτσι σηκώνονταν μαθητές – εκπρόσωποι των ομάδων και με τις
κατάλληλες τοποθετήσεις των κομματιών προέκυπταν και τα ζητούμενα
σχήματα. Το δεύτερο μέρος της δραστηριότητας (Υπολογίζω με όποιον
τρόπο θέλω πόσα τ.εκ. ακριβώς είναι το εμβαδόν κάθε σχήματος) έγινε
προφορικά. Οι μαθητές απάντησαν χωρίς καμία δυσκολία στο παραπάνω
ερώτημα, αφού είχε προηγηθεί και η δραστηριότητα της σελίδας 68 όπου
βρήκαμε ότι το ένα τάνγκραμ είχε εμβαδό 100 κουτάκια και επομένως τα δύο
τάνγκραμ όπως και να ήταν ταξινομημένα τα κομμάτια τους, θα είχαν εμβαδό
200 κουτάκια. Έπειτα έγραψαν την απάντηση και στα βιβλία τους.
Ένα είδος αξιολόγησης ήταν και η διαθεματική δραστηριότητα που κάναμε
στο τέλος. Το παιχνίδι με τα τάγκραμ εξασκεί τα παιδιά στην αναγνώριση των
γεωμετρικών σχημάτων, στην εξοικείωση τους με αυτά, στη σωστή και
κατάλληλη τοποθέτηση τους εκεί όπου πρέπει, στον πειραματισμό και τέλος
στην αίσθηση της επιτυχίας. Πριν ξεκινήσουμε τη δραστηριότητα κάναμε μια
σύντομη συζήτηση για το Τάγκραμ και στη συνέχεια αναφέραμε τα σχήματα
από τα οποία αποτελείτε. Πολλοί μαθητές κατάφεραν να ολοκληρώσουν τη
δραστηριότητα, ενώ άλλοι είπαν πως θα την έκαναν στο σπίτι μιας και
χτύπησε το κουδούνι. Παρολαυτά είναι σίγουρο πως οι μαθητές είναι
εξοικειωμένοι με τέτοιου είδους δραστηριότητες και έτσι τις βλέπουν
πραγματικά ως παιχνίδι.

7. Παράρτημα
Το Μάθημα: Κεφάλαιο 25

Τα δύο Τάγκραμ
Τα δύο χάρτινα Τάγκραμς που χρησιμοποιήσαμε στις δραστηριότητες της
σελίδα 68 και στην 1η
εργασία της σελίδας 69. Στη συγκεκριμένη εικόνα
βλέπουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σύμφωνα με το πρώτο ζητούμενο
της εργασία 1, σελίδα 69.
Εδώ έχουμε το 2ο
ζητούμενο της εργασίας, το πλάγιο παραλληλόγραμμο.
Με τις κατάλληλες ανατοποθετήσεις των κομματιών, των δύο τάνγκραμς
έχουμε το 3ο
ζητούμενο της εργασίας 1, το τραπέζιο. Όλα τα παραπάνω έγιναν
στον πίνακα από τα παιδιά με τη βοήθεια μου.

Το φύλλο ανακεφαλαίωσης
Και τώρα μια μικρή ανακεφαλαίωση…
(χωρίς ασκήσεις!!!)
Περίμετρος
Ε! και μετά προσθέτουμε το μήκος των πλευρών τους…Και
μην ξεχνάτε τη μονάδα μέτρησης (εκατοστά, μέτρα, χιλιοστά,
δέκατα κ.α.)
Μετράμε αυτήν την
πλευρά…αν και
ζαλίζομαι λίγο. (1)
Και
αυτήν…τώρα δε
νιώθω καθόλου
μα καθόλου
καλά. (3)
Και την
τελευταία…επι
τέλους! (4)

Εμβαδόν
Τέλος δεν πρέπει να ξεχνάτε ότι κάποια σχήματα ακόμη και
αν είναι διαφορετικά μπορεί να έχουν ίσα εμβαδά. Ε! αυτά λοιπόν
λέγονται ισοεμβαδικά. Και μην ξεχνάτε τη μονάδα μέτρησης
(τετραγωνικά εκατοστά, τετραγωνικά μέτρα, κ.α.)
Όταν μιλάμε για εμβαδόν μιλάμε
για επιφάνεια και συγκεκριμένα
μετράμε πόση έκταση έχει μια
επιφάνεια. Αυτό μπορούμε να
το κάνουμε με αριθμούς και
πράξεις όπως θα δείτε στο
επόμενο μάθημα, αλλά μπορεί
να γίνει και με μέτρημα
τετραγώνων…Είπα πολλά;;;
Για παράδειγμα
αυτό το σκάκι έχει
εμβαδόν 64
τετράγωνα.

Το σχέδιο – τάγκραμ που μοίρασα

Το πίσω μέρος του φυλλαδίου με το τάγκραμ
Τάγκραμ
Πρόκειται για ένα είδος παζλ, που προέρχεται από την Κίνα. Αποτελείται από 7 κομμάτια,
που ονομάζονται tans, τα οποία ενώνουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργήσουμε ένα
συγκεκριμένο σχήμα. Ο στόχος είναι το συγκεκριμένο σχήμα να αποτελείται μόνο από τα
επτά αυτά κομμάτια. Το σχήμα πρέπει να περιέχει όλα τα κομμάτια, που δεν πρέπει όμως
να επικαλύπτονται.
Τα κομμάτια είναι:
5 ισοσκελή τρίγωνα (2 μικρά, ένα μεσαίο και 2 μεγάλα)
1 παραλληλόγραμμο
1 τετράγωνο
Μα τι είναι το
τάγκραμ;

Τα γεωμετρικά σχήματα που χρησιμοποιήθηκαν στη
δραστηριότητα

Έντεκα μηνών
Ημερομηνία:
Βάρος: [Βάρος[ Ύψος: [Ύψος]
Σημειώσεις:
[Τοποθετήστε φωτογραφίες εδώ]

Μαθηματικά Ε΄ 4. 25. ΄΄Ισοεμβαδικά σχήματα΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 4. 25. ΄΄Ισοεμβαδικά σχήματα΄΄

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 4. 25. ΄΄Ισοεμβαδικά σχήματα΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

Μαθηματικά Ε΄ 4. 25. ΄΄Ισοεμβαδικά σχήματα΄΄