αλυτα_προβλήματα_από_την_αρχαιότητα

1. S
Τα τρία άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας:
Από τη Γεωμετρία στην Αλγεβρική Θεωρία
Αριθμών
Μάριος Μαγιολαδίτης
Μαθηματικός, Msc στα Θεμέλια της Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Όλντενμπουργκ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Παράρτημα Κέρκυρας
Παρασκευή 26 Απριλίου 2013

2. Τα τρία άλυτα προβλήματα της
Αρχαιότητας
 Ο διπλασιασμός του κύβου ή Δήλιο
πρόβλημα: Αν δοθεί κύβος ακμής α,
να κατασκευαστεί κύβος με διπλάσιο
όγκο
 Η τριχοτόμηση γωνίας: Αν δοθεί
γωνία θ, να κατασκευαστεί γωνία ίση
με θ/3.
 Ο τετραγωνισμός του κύκλου: Αν
δοθεί κύκλος ακτίνας ρ, να
κατασκευαστεί τετράγωνο πλευράς x,
ίσου εμβαδού με τον κύκλο.
θ°
3
θ°
V2V
Ε=πr2

3. Ο διπλασιασμός του κύβου ή
Δήλιο πρόβλημα
Πλάτωνας στην Πολιτεία (3ος αι. π.Χ.)
Σκοπός της στερεομετρίας είναι η «μεγέθυνση των κύβων και
όλων όσα έχουν βάθος»
Μαρτυρία Ευτόκιου του Ασκαλωνίτη (6ος αι. μ.Χ.)
Αναφέρει μια επιστολή του Ερατοσθένη στον Πτολεμαίο
Λέγεται ότι κάποιος αρχαίος τραγωδοποιός τοποθέτησε τον
Μίνωα στην σκηνή, να διατάσσει τον διπλασιασμό του
υπάρχοντος κυβικού τάφου του υιού του Γλαύκου διαστάσεων
εκατό ποδών.

4. Ο διπλασιασμός του κύβου ή
Δήλιο πρόβλημα
Μαρτυρία Θέωνα του Αλεξαδρεύς (4ος αι. μ.Χ.)
Στα 430 π.Χ. είχε ξεσπάσει μεγάλος λοιμός στη Δήλο. Οι κάτοικοι της
κατέφυγαν στο μαντείο το οποίο τους έδωσε χρησμό σύμφωνα με
τον οποίο για να εξευμενιστούν οι Θεοί θα έπρεπε να
κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιο απ' αυτόν που υπήρχε
ήδη. Οι Δήλιοι κατέφυγαν ακόμα και στον Πλάτωνα για να δώσουν
λύση στο πρόβλημα.
Με το πρόβλημα αυτό ασχολήθηκαν πολλοί μαθηματικοί όπως οι:
Ερατοσθένης, Ιπποκράτης ο Χίος (~430 π.Χ.), Αρχύτας, Εύδοξος,
Μέναιχμος, Νικομήδης, Απολλώνιος, Διοκλής, Ήρωνας, Πάππος, κ.α.
Ο Ερατοσθένης κατασκεύασε τον «μεσολάβο» ένα όργανο ειδικό για
την λύση του προβλήματος.

5. Η τριχοτόμηση γωνίας
Ο Ιππίας ο Ηλείος υπήρξε ο πρώτος γεωμέτρης που έλυσε το
πρόβλημα, με την βοήθεια της καμπύλης που αργότερα ο
Δεινόστρατος προσπάθησε να τετραγωνίσει τον κύκλο (της
τετραγωνίζουσας).
Εκτός από τον Ιππία με το πρόβλημα ασχολήθηκαν :
Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ)
Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ)
Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.χ)

6. Ο τετραγωνισμός του κύκλου
Στα τέλη του 5ου π.Χ αιώνα το πρόβλημα ήταν πολύ δημοφιλές. Ακόμα και ο
σατιρικός ποιητής Αριστοφάνης έκανε ένα αστείο σχετικά με αυτό. Στις Όρνιθες, φέρνει
στη σκηνή τον αστρονόμο Μέτωνα, ο οποίος λέει:
«με το ορθό ραβδί αρχίζω να μετρώ ώστε να γίνει ο κύκλος τετράγωνος για χάρη σου˙ και στο κέντρο του θα
είναι η αγορά στην οποία θα οδηγούν όλοι οι δρόμοι συγκλίνοντας στο κέντρο, όπως σ’ ένα αστέρι, που ενώ
είναι κυκλοτερές στέλνει παντού ευθείες ακτίνες λαμπρές».
«Αλήθεια, ο άνθρωπος είναι Θαλής!»
Ο Ιάμβλιχος (250-325 μ.Χ ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν:
 o Αρχιμήδης (287-212 π.Χ) με τη βοήθεια της έλικας,
 ο Νικομήδης (200 π.Χ) με την τετραγωνίζουσα,
 ο Απολλώνιος (265-170 π.Χ) με μια καμπύλη που ονόμαζε ο ίδιος «αδελφή της
κοχλιοειδούς»
 ο Κάρπος (1ος ή 2ος αι. μ.Χ.) με μια καμπύλη την οποία ονομάζει απλά «εκ διπλής
κινήσεως προερχομένη»

7. Τα όρια της γεωμετρίας
 Είναι πολύ δύσκολο με τη χρήση γεωμετρικών εργαλείων
να αποδειχθεί το αδύνατο μιας κατασκευής.
 Οι κατασκευές που γίνονται με γεωμετρικά εργαλεία
μπορεί να είναι αδύνατες πχ Να υποθέτουν την ύπαρξη
σημείων που δεν υπάρχουν ή ιδιότητες που δεν ισχύουν.
 Κάποιες κατασκευές που μοιάζουν προφανείς μπορεί να
μην είναι (βλ. πχ. 5ο αίτημα του Ευκλείδη).
 Η παρατήρηση είναι χρήσιμη για να δώσει την ιδέα μιας
απόδειξης αλλά όχι στο να δώσει αυστηρή απόδειξη.

8. Η κατάρρευση της Ιταλικής Σχολής
της Αλγεβρικής Γεωμετρίας
Μετά το 1930: Ο Severi ρίχνει τα επίπεδα ακριβείας, στο σημείο όπου οι αποδείξεις
δεν ήταν απλώς ανεπαρκείς, αλλά λάθος! Για παράδειγμα, το 1934 ο Severi
«απέδειξε» ένα «θεώρημα» το οποίο ο Mumford (1968) έδειξε ότι είναι ψευδές.
«σχεδόν όλα τα θεωρήματα ήταν σωστά,
σχεδόν όλες οι αποδείξεις ήταν λάθος»
1885 1920 1930 1935
Λειτούργησε από το 1885 μέχρι το 1935. Ιδρυτής της θεωρείται ο L. Cremona.Κατά τα πρώτα χρόνια της Ιταλικής Σχολής υπό τον Castelnuovo, τα πρότυπα της
αυστηρότητας ήταν τόσο υψηλά όσο στους περισσότερους τομείς των
μαθηματικών.
Enriques: Γίνεται (σταδιακά) αποδεκτή η χρήση κάπως πιο άτυπων επιχειρημάτων
αντί αυστηρών αποδείξεων, όπως είναι η «αρχή της συνέχειας», λέγοντας ότι αυτό
που ισχύει μέχρι το όριο ισχύει στο όριο. H διαίσθηση του Enriques ήταν τόσο καλή
που ουσιαστικά όλα τα αποτελέσματα που ισχυρίστηκε ήταν πράγματι σωστά, και
χρησιμοποιώντας αυτό το πιο ανεπίσημο ύφος της επιχειρηματολογίας του
επέτρεψε να παράγει θεαματικά αποτελέσματα για τις αλγεβρικές επιφάνειες.

9. Από τη γεωμετρία στις δομές

10. (Ρητά) Πολλαπλάσια ευθυγράμμου
τμήματος
Ξεκινώντας λοιπόν από το ευθύγραμμο τμήμα α μπορούμε με συνδυασμό́ των δύο
παραπάνω κατασκευών να κατασκευάσουμε κάθε ρητό πολλαπλάσιο του τμήματος
α, όπως για παράδειγμα το 4/3 α.
Αν δοθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα α μπορούμε να κατασκευάσουμε τμήματα μήκους
2α, 3α κλπ, δηλαδή́ ακέραια πολλαπλάσια του α.
α α
Α
α α α α
Β
Μπορούμε επίσης να διαιρέσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα α σε ίσα μέρη. Στο
επόμενο σχήμα έχουμε διαιρέσει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=α σε 3 ίσα μέρη.
α
Α ΒΓ Δ

11. Γινόμενο δύο ευθύγραμμων τμημάτων
Επίσης μπορούμε να κατασκευάσουμε το γινόμενο δύο τμημάτων α και β αν δοθεί
ένα τμήμα με μήκος που θα λάβουμε σαν μονάδα μέτρησης. Η κατασκευή είναι η
παρακάτω. Αν ΟΑ=α, ΟΒ=β και ΟΓ=1, τότε τοποθετούμε τα τμήματα στις ημιευθείες
Oy, Oz όπως στο σχήμα, φέρνουμε την ΑΓ και την ΒΔ//ΑΓ.
Προσδιορίζουμε τότε το σημείο Δ στην ημιευθεία Oz, οπότε το τμήμα ΟΔ είναι το
γινόμενο αβ. Αυτό προκύπτει από την αναλογία ΟΑ/ΟΔ = ΟΓ/ΟΒ <=> ΟΔ = ΟΑ.ΟΒ = αβ.
α
Α
Β
z
Γ
Δ
O
y
1
α
β

12. Πηλίκο δύο ευθύγραμμων τμημάτων
Ανάλογα μπορούμε να κατασκευάσουμε το πηλίκο δύο τμημάτων α και β αν δοθεί
ένα τμήμα με μήκος ίσο με τη μονάδα.
Αν ΟΑ=α, ΟΒ=β και ΟΓ= 1 τότε φέρουμε την ΑΒ και την ΓΔ//ΑΒ. Η αναλογία δίνει
x
Δ
Β
z
Γ
Α
O
y
1

13. Τετραγωνική ρίζα αριθμού
αΑ
Β
Γ
Δ
1

14. Κατασκευάσιμα σημεία
Ένα σημείο είναι κατασκευάσιμο αν προκύπτει μετά από
πεπερασμένο αριθμό βημάτων στοιχειωδών κατασκευών.
Γενικότερα ένα γεωμετρικό αντικείμενο (ευθεία, ευθύγραμμο
τμήμα, κύκλος κλπ.) είναι κατασκευάσιμο αν προκύπτει μετά
από πεπερασμένο αριθμό βημάτων στοιχειωδών κατασκευών.

15. Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη
Στις αρχές του 19ου αιώνα δεν είχε απαντηθεί ακόμη το ερώτημα
για το ποιες κατασκευές μπορούν να πραγματοποιηθούν με
αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη. Για να απαντήσουμε στο
ερώτημα αυτό θα εξετάσουμε πρώτα ποιες στοιχειώδεις
κατασκευές μπορούμε να πραγματοποιήσουμε με τη βοήθεια του
κανόνα και του διαβήτη. Οι στοιχειώδεις κατασκευές είναι οι
παρακάτω:
Η κατασκευή μιας ευθείας ή ευθυγράμμου τμήματος που
διέρχεται από δύο δεδομένα ή κατασκευασμένα σημεία
Η κατασκευή ενός κύκλου με κέντρο ένα δεδομένο ή
κατασκευασμένο σημείο και ακτίνα ένα δεδομένο ή
κατασκευασμένο ευθύγραμμο τμήμα.
Η κατασκευή ενός σημείου που προκύπτει σαν τομή δύο ευθειών
ή ευθείας και κύκλου ή δύο κύκλων

16. Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη

17. Κατασκευάσιμα σύνολα
Ένα σύνολο σημείων του επιπέδου είναι κατασκευάσιμο αν οι
συντεταγμένες όλων των σημείων του είναι κατασκευάσιμες.
Είδαμε ότι σε αυτά τα σύνολα μπορούμε να κάνουμε όλες τις
δυνατές πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό,
διαίρεση όπως επίσης και να πάρουμε ρητά πολλαπλάσια και
τετραγωνική ρίζα.

18. Évariste Galois (1811–1832)
Η θεωρία του έδωσε λύσεις σε
προβλήματα όπως:
Η πεμπτοβάθμια εξίσωση δεν
είναι επιλύσιμη
Ποια (κανονικά) πολύγωνα
είναι κατασκευάσιμα
Είναι αδύνατη η τριχοτόμηση
της γωνίας

19. Pierre Wantzel (1814–1848)
Στηρίχτηκε στη θεωρία Galois. Το 1837 απέδειξε ότι
Ο διπλασιασμός του κύβου είναι αδύνατος
Η τριχοτόμηση της γωνίας είναι αδύνατη
Τα μόνα (κανονικά) πολύγωνα είναι κατασκευάσιμα
είναι αυτά με 2k x (γινόμενο πρώτων του Fermat)
πλευρές (όπως είχε προβλέψει ο Gauss)

20. Αλγεβρικοί αριθμοί
Ένας αριθμός α είναι αλγεβρικός πάνω από ένα σώμα K αν
είναι ρίζα μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές από το
σώμα.
F(x) στο K[X] και F(α) = 0 με degF min τότε το F είναι το
ελάχιστο πολυώνυμο του α.
[Κ(α):Κ] = degF
Όλοι οι ρητοί αριθμοί είναι αλγεβρικοί (πάνω από το Q).

21. Θεώρημα
Αν ένα σημείο (x,y) είναι άμεσα κατασκευάσιμο
από ένα σύνολο S R2 του οποίου όλες οι
συντεταγμένες περιέχεται σε ένα K
τότε τα (x,y) είναι αλγεβρικά πάνω από το Κ και
[K(x,y):K]= 1 ή 2 ή 4.
2 ή 4
2 ή 4
2 ή 4
Q
F1
F2
R

22. Απόδειξη
 (x - xi)2 + (y - yi)2 = ri
2 i=1,2
 Αφαίρεση κατά μέλη
 Απαλοιφή του x. Προκύπτει μια εξίσωση ως προς y 2ου
βαθμού το πολύ, με συντελεστές από το Κ
 [K(x, y) : K] = [K(x, y) : K(y)] [K(y) : K]

23. Ποιοι αριθμοί είναι κατασκευάσιμοι
Q 54
( )
Q 7( )Q 3( )
Q
Q 34
( )
Q 5( )
Q 74
( )Q 3, 5( ) Q 5, 7( )Q 3, 7( )

24. Ο π είναι υπερβατικός
 Johann Heinrich Lambert (1761): ο π είναι άρρητος
 Ferdinand von Lindemann (1882): ο π είναι υπερβατικός

25. Είναι αδύνατη η τριχοτόμηση της γωνίας


 2
3
31
3
3



 343 3

xx 34
2
1 3


26. Είναι αδύνατος ο διπλασιασμός του
κύβου
3
2

27. Βιβλιογραφία
 B.L. Van der Waerden: Η αφύπνιση της επιστήμης, ΠΕΚ
 Ν. Τζανάκης: Θεωρία Σωμάτων,
 Σωτήρης Χ. Γκουντουβάς: Η άλγεβρα και οι γεωμετρικές
κατασκευές, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 76 τ.4/2