#kansaimath の発表です｡著作権的にあれな画像は省いてあります｡

1. とぽろじー入門 著作権大丈夫版
すうさん(@k1ito)

2. はじめまして/お久しぶりです
▪すうさん(@k1ito)と申します
▪東京大学理科1類2年｡春からやっと理学部数学科!
▪数学と外国語
▪Twitterではそんなに数学ツイートしてないですm(_ _)m

3. 本講演について
▪位相幾何学(トポロジー)の初歩
▪閉曲面の分類･ホモロジー論の初歩など
▪初学者向け･ゆるふわ
▪幾何専門の方はどうぞお手柔らかに｡｡｡
▪参考文献[4] 得能正太郎『NEW GAME!』,芳文社,2014

4. 位相幾何学とは
位相幾何学とは
同相な空間に共通する性質を研究する学問｡
定義(同相)
空間푋,푌が同相である｡ def ある連続な写像푓:푋→푌と푔:푌→푋が存在して､
푔∘푓=idx,푓∘푔=idY
またこのような逆写像も連続な写像f:X→Yを同相写像という

5. ここでいきなり問題
空間X,Yが同相でない｡とは?
(答)
全ての連続な写像
푓:푋→푌と푔:푌→푋について
푔∘푓≠idx,푓∘푔≠idY

6. えっ?
全ての連続な写像푓:푋→푌と푔:푌→푋について!?
ある空間X,Yが同相でないことを示すには･･･
空間X,푌の間の全ての連続写像について検証しないといけない

7. じゃあどうすればいいの
同相な空間に共通するもの(位相不変量)を見つければいい!!
つまり
空間X,Yが同相⇒X,Yに対応する”あるもの”が等しい
対偶をとって
X,Yに対応する”あるもの”が等しくない⇒空間X,Yは同相でない
例:X=李徴､Y=虎､あるもの=声

8. 位相不変量をもとめて

9. さあはじめよう
今回扱う空間は､閉曲面と呼ばれるものです｡
定義(閉曲面)
2n角形の2辺づつを対にして張り合わせたもの
例

10. 閉曲面とは
裏を返せば多くの曲面は､元は2n角形｡シンプルな2n角形で考えま しょう｡
定義(図形の図表)
多角形の面と辺は固有の向きを持つ
多角形を表すときに､辺を順に列挙し､
辺の向きが面の向きのに沿うときは指数1､
沿わないときは指数-1で表す｡
例:a−1푏−1c−1푎푏푐
a
b
c
a
b
c

11. ここで考えたいこと
閉曲面の展開図である多角形はたくさんある
結局最終的に閉曲面は何種類あるのか?
(考え方)
同相な多角形は同じ閉曲面を定める｡
多角形を同相な写像により変形させて､ シンプルな形に落とし込みたい｡

12. 閉曲面の分類定理
定理
任意の閉曲面は､次のいずれかに同相となる｡
▪푆2
▪푇(1),푇(2),푇(3),…
▪푃(1),푃(2),푃(3)…
さらに､これらは互いに同相でない｡

13. 定理の説明
푆2とは､2次元球面のこと｡{(푥,푦,푧)∈푅3|푥2+푦2+푧2=1}
T(i)とはトーラス푇2をiこ連結させたもの｡
P(j)とは射影平面푃2をjこ連結させたもの｡
それぞれの図表は
푆2=푎푎−1
푇(푖)=푎1푏1푎1−1푏1−1푎2푏2푎2−1푏2−1…푎푖b푖푎푖 −1푏푖 −1
푃(푗)=푎1푎1푎2…푎j푎푗
連結は2つの図形から開円盤を切り取ってそこでつなげること｡

14. 図は早稲田大学村上順教授の幾何学B1講義ノートからお借りしました

15. 図形の基本変換
定義(初等変換)
辺が1つ辺が2つ面が1つ面が2つ

16. 多角形の変換(1)
▪Step1 隣接する逆向きの辺の削除
~~~푎푎−1~~~~~~푎푥푥−1푎−1~~~~~~푦푦−1~~~

17. 多角形の変換(2)
Step2 同値な点の削除
Q
P
Q
c
a
c
a
b
b
b
P
Q

18. 多角形の変換(3)
Step3交叉帽の正規化
a
~~~a~~~a ~~~~~bb
b

19. 多角形の変換(4)
~~푐~~푑−1~~푐−1~~푑~~푎~~푐−1푎−1푐푎푏푎−1푏−1~~

20. なんだかよくわからない｡｡｡
4辺
以上
푎푎−1か푎푎
逆向き隣接 辺の消去
同値でない点
の
消去

21. なんだかよくわからない｡｡｡
同じ向きの 辺の正規化
逆向き の辺
푎1푎1…푎푗푎푗
逆向きの辺の
正規化
同じ向 きの辺
푎1b1푎1−1푏1−1…
푎푖푏푖ai−1bi−1

22. こうして｡｡｡
푆2=푎푎−1
푇(푖)=푎1푏1푎1−1푏1−1푎2푏2푎2−1푏2−1…푎푖푏푖푎푖 −1푏푖 −1
푃(푗)=푎1푎1푎2…푎푗푎푗
のどれかに同相であることがわかりました｡
푆2､T(i)､P(j)がそれぞれ同相でないことを示しましょう｡
ここでやっと位相不変量を導入します

23. 位相不変量
オイラー数
휒푋≔ 푖=0∞−1푖b푖b푖はベッチ数
と定義されますが､特に多面体퐾の
頂点数푉=푏0辺の数퐸=푏1面の数퐹=b2とし
휒퐾=푉−퐸+퐹として定義されます｡
オイラー標数が位相不変量であることの証明は･･･Fact

24. 位相不変量2
向き付け可能性
対応する辺がすべて逆向きになるように向き付け可能であるとき
向き付可能性であるという｡

25. それぞれのオイラー標数
▪푆2=푎푎−1
Χ푆2=2ー1+1=2
▪푇(푖)=푎1푏1푎1−1푏1−1푎2푏2푎2−1푏2−1…푎푖푏푖푎푖 −1푏푖 −1
Χ푇푖=1ー2푖+1=2(1ー푖)
▪푃(푗)=푎1푎1푎2푎2…푎푗푎푗
푋푃푗=1−푗+1=2−j

26. 最終的に
向き付け可能→T(i)ただしi=0の時は푆2
向き付け不可能→P(j)
という風に分類できる!!

27. ホモロジー群へ

28. ホモロジー群を計算しよう
オイラー標数や向き付可能性より更に進んだ位相不変量､
ホモロジー群を実際に計算してみよう｡
ホモロジー群は抽象的な公理によって計算する場合も多いが､
今回はより具体的に計算してみる

29. ホモロジー群への準備
N次元空間を三角形のようなもので覆ってしまうことを考える
定義凸集合
Xが凸集合である
⇔任意のXの2点間を結ぶ直線もXの中に含まれる
⇔∀푥,푦∈푋,∀휆∈0,1∶휆푥+1−휆푦∈푋
定義線形独立
m次元Euclid空間푅푚のn+1個푃0･･･푃푛の点が線形独立であるとは､
これらn+1点があるn-1次元線形空間に属さないということ｡

30. N単体
N次元の三角形のようなものを定義する
定義n単体
n単体とは線形独立なn+1個の点を含む最小の凸集合
面単体
n単体に含まれているそれより低次の単体を面単体という｡

31. 単体複体
Rm上の有限個の集まりを単体複体という｡
ただし､単体複体に含まれる2つの単体の関係は
▪共通部分がない
▪一方が他方の面である
▪2つの共通部分はお互いの面である
のうちのいずれかである｡

32. 向き付けられた単体複体
ある頂点の順列を正の向きとしたとき､
その順列の頂点を偶数回置換した順列は同じ正の向き､
その順列の頂点を奇数回置換した順列は違う負の向きを持つ｡
푣0푣1푣2→푣1푣0푣2→v1푣2v0→푣2v1v0

33. 代数的に対象を捉える
準備は整ったので幾何的対象を代数的に捉えてみよう｡
定義自由加群
{푥0,푥1,…,푥푛}から生成される自由加群とは､
{푎0푥0+푎1푥1+⋯+푎푛푥푛|푎0,…푎푛∈푍}である
{♥､♠､◆､♣}から生成される自由加群
2♥+4♣､♥ー2◆､♥+♠ー2◆+♣などが自由加群の元｡

34. 鎖群
定義鎖･鎖群
単体複体のk次元単体が生成する自由加群をk鎖群퐶푘という｡
k鎖群の元をk鎖という｡
k鎖はk次元単体が重複度と向きを持って現れたものとも考えられる｡

35. 穴を代数的に捉える
ホモロジー群とは”穴”を捉えるためのもの｡穴を代数的に捉える｡
定義境界準同型
向き付けられた푘単体퐸=(푃0푃1…푃푘)の境界とは､
휕퐸 =(푃1…푃푘)–(푃0푃2…푃푘)+(푃0푃1푃3…푃푘)−⋯+−1푘(푃0..푃푘−1)
= (−1)^푖(푃0푃1…푃푖−1푃푖+1푃푘)
푘鎖푢0퐸0+⋯+푢휅퐸휅の境界は푢0휕퐸0+⋯+푢휅휕퐸휅

36. 境界とは穴を捉えるもの
実際に境界をとってみよう
穴は境界をとる
となくなる
定理
∂･∂ = 0
つまり境界の境界は 何もない｡

37. K次元の穴
ホモロジー群は穴を代数的に捉えるもの｡
K次元の穴とは､境界のないk鎖のうちk+1鎖の境界でないもの｡
境界のないk鎖とは､
푍푘(퐾)={푐∈퐶푘(퐾)|휕푐=0}=퐾푒푟휕_푘
k+1鎖の境界であるとは､
퐵푘퐾=푐∈퐶푘퐾∃푐’∶푐=휕푐’}=퐼푚휕_{푘+1}
ホモロジー群퐻푘(퐾):=푍푘(퐾)/퐵푘(퐾)

38. 実際に計算してみよう
푣1
푣2
푒1
푓1
푒1 휕2푓1=푒1–푒1=0 푍2=퐾푒푟휕2=푎푓1 퐵2=0 휕1푒1=푣2–푣1 푍1=퐾푒푟휕1=0 퐵1=퐼푚휕2=0 휕0푎푣1+푏푣2=0 푍0=퐾푒푟휕0=푎푣1+푏푣2 퐵0=퐼푚휕1=푎푣2−푎푣1

39. 푆2ホモロジー群が計算できた
푆2のホモロジー群
퐻0(푆2)=푍
퐻1(푆2)=0
퐻2(푆2)=푍

40. トーラスのホモロジー群
푒1
푒1
푒2
푒2
푣1
푣1
푣1
푣1
휕푓1=0
휕(푎푒1+푏푒2)=0
휕(푣1)=0
より
푍2=퐾푒푟(휕2)
={푎푓1}
푍1=퐾푒푟(휕1)
={푎푒1+푏푒2}
푍0=퐾푒푟(휕0)
={푎푣1}
퐵2=0
퐵1=퐼푚(휕2)=0
퐵0=퐼푚(휕1)=0

41. トーラスのホモロジー群
퐻0(T2)=푍
퐻1(푇2)=푍+푍
퐻2(푇2)=푍
ホモロジー群は位相不変量であるので､
トーラスと球面が同相でないことが証明できた｡

42. いろいろなホモロジー群
퐻0Ti=푍퐻0Pj=푍
퐻1Ti=푍2i퐻1Pj=Z2+Zj−1
퐻2Ti=푍퐻2Pj=0
ホモロジー群は､
(F)共変関手性(H)ホモトピー公理(P)対の完全系列
(E)切除公理(D)次元公理をみたすアーベル群と準同型がなす圏
としても定義される｡

43. もっと学びたくなった人へ
H.ザイフェルトW.トレルファル
位相幾何学講義
･古典
･日本語訳より英語訳のほうが読みやすい説がある
･抽象的な議論が少ない
･重い

44. もっと学びたくなった人へ
小林克弘｢位相幾何学入門｣
･画像なし
･閉曲面の位相幾何学に限った入門書
･わかりやすい｡
小松醇郎，中岡稔，菅原正博｢位相幾何学｣
･本格派
･参考程度に読んだだけなので･･･
･すごく内容が多いけど､部分的には分かりやすそうだった

45. アブストラクトに書かなかったけど
阿原一志
｢計算で身につくトポロジー｣
･具体例が多い
･予備知識0でOK
その他､位相幾何学の良書はた くさんありそうですね｡｡｡

46. ご清聴ありがとうございました