PFI seminar on 9/2 by Kenta OONO

1. PFIセミナー位相幾何学入門

2. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモロジーの性質７ ポアンカレ予想

3. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモロジーの性質７ ポアンカレ予想

4. 参考文献？

5. 幾何学(geometry)とは・物の形を調べる学問・古代オリエントでナイル川の氾濫をめぐる土地測量に由来するgeo(土地)+metry(測量)

6. 幾何学の種類ユークリッド幾何非ユークリッド幾何（双曲幾何、放物線幾何）位相幾何学微分幾何学（リーマン幾何学、共形幾何）微分位相幾何学シンプレクティック幾何代数幾何非可換幾何・・・

7. 幾何学の種類ユークリッド幾何非ユークリッド幾何（双曲幾何、放物線幾何）位相幾何学微分幾何学（リーマン幾何学、共形幾何）微分位相幾何学シンプレクティック幾何代数幾何非可換幾何・・・

8. 位相幾何学の考え方・図形はゴムのように伸び縮み、曲げ伸ばしできる-> ドーナツと浮輪は「同じ」形-> ドーナツとコーヒーカップは「同じ」形・穴をあけてはダメ-> ドーナツとスイカは「異なる」形

10. 分類問題世の中にある図形をグループ分けするQ 2つの図形が「同じ」か「異なる」か判定する Q 世の中にはどれだけの種類の図形があるか？（モジュライ理論、サーストンの幾何化予想）π1(SO(3)/I60)-> 「同じ」の判定基準が必要

11. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモロジーの性質７ ポアンカレ予想

12. 分類問題世の中にある図形をグループ分けするQ どの図形を「同じ」とみなすか？Q 世の中にはどれだけの図形があるか？グループ分けの基準が必要

13. 分類の基準の違い

14. 合同な図形が「同じ」

15. 相似な図形が「同じ」

16. N角形なら「同じ」

17. 分類の仕方を分類する・「比較」2つの図形を比較し、「同じ」か「異なる」かを判定する（合同、相似）・「ラベル付け」それぞれの図形に対してある量を付随させる（辺の数による分類）

18. 内在的方法

19. ラベル付けによる分類：辺の数

20. ラベル付けによる分類：辺の数

21. ラベル付けによる分類：辺の数

22. ラベル付けによる分類：種数

23. それぞれの長所・短所・「比較」 「同じ」は示しやすいが「異なる」は示しにくい・「ラベル付け」 「異なる」を示しやすいが、分類が荒くなりやすい-> 「比較」で「同じ」と言える図形には同じ「ラベル」がついてほしい

24. それぞれの長所・短所・「比較」 -> ホモトピー同値 「同じ」は示しやすいが「異なる」は示しにくい・「ラベル付け」 -> ホモトピー、ホモロジー 「異なる」を示しやすいが、分類が荒くなりやすい-> 「比較」で「同じ」と言える図形には同じ「ラベル」がついてほしい

25. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモロジーの性質７ ポアンカレ予想

26. 予備知識 全単射・定義X,Yを集合（位相空間）とする。f : X->Yが全単射であるとは、g : Y->Xが存在して、g・f=1Xf・g=1Yとなることである。

27. 全単射：イメージ図

28. 全単射：イメージ図

29. ホモトピー同値定義X,Yを位相空間とする、f : X->Yがホモトピー同値であるとは、g : Y->Xが存在して、g ・ f ～ 1X f ・ g ～ 1Yを満たすことである。

30. ホモトピック定義p: A->Bとq : A->Bがホモトピックであるとは、pを「連続的に変形」してqにできることであり、記号でp～qと書く。

32. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモロジーの性質７ ポアンカレ予想

33. ホモトピック定義正確にはF:A×[0,1]->Bが存在して ・F(a,0) = p(a) ∀a ∈ A ・F(a,1) = q(a) ∀a ∈ Aを満たすことである。

34. ホモトピー同値イメージ図 -> ホワイトボードで説明します

35. 良い「ラベル付け」をするホモトピー同値で同じになる「ラベル」にはどんなものがあるか？ホモトピー（1904ごろ～？） 定義が簡単 ⇔ 計算しにくいホモロジー 定義が面倒 ⇔ 計算しやすい

36. 図形にたくさんのラベル付けをする

37. （1次元）ホモトピー直観的定義「ある1点から出るループを何個にグループ分け出来るか」を表した量

38. 数学的定義Xを位相空間、x ∈ Xとする。π1(X,x) = { l : [0,1] -> X , l は連続、l (0) = l (1) = x } / ～をｘを起点とするXの1次元ホモトピー、もしくは基本群という。（1904年 ポアンカレ）

39. 高次元ホモトピー数学的定義Xを位相空間、x∈Xとする。π1(X,x) = { l : [0,1]n-> X , l は連続、l (t) = x ∀t ∈ ∂In } / ～をxを起点とするXのn次元ホモトピーという。

40. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモロジーの性質７ ポアンカレ予想

41. ホモロジー特異ホモロジー・コホモロジーチェックコホモロジー層係数のホモロジー・コホモロジードラームコホモロジーエタールコホモロジー・・・(Eireberg – Steenrodの公理)

42. 数学的定義-> 略

43. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモトピー、ホモロジーの性質・使用例７ ポアンカレ予想

44. ホモロジーの良い性質・マイヤー・ビエトリスの完全系列(図形を2つ部分に分けて、その両方のホモロジーからもとのホモロジーを計算できる)・0次元ホモロジーは連結成分の数

45. ホモロジーと種数の関係gを種数とすると、面の数ー辺の数＋頂点の数＝2-2g

46. ホモロジーと種数の関係gを種数とすると、面の数 ー 辺の数 ＋ 頂点の数 ＝ 2 - 2g面の数 ＝ 2次元ホモロジー H2(X) の次元辺の数 ＝ 1次元ホモロジー H1(X) の次元頂点の数 ＝ 0次元ホモロジー H0(X) の次元

47. ホモトピー・ホモロジーの性質ホモトピー・ホモロジーは「良い」ラベル付けであるX ～ Y ならば、πn(X,x) = πn(Y,y) (n = 0,1,2・・・)Hn(X) = Hn(Y) (n = 0,1,2・・・)

48. ホモトピーで2次元と3次元を区別する

49. 変わった空間SL(n,R)レンズ空間関数空間モジュライ空間シュティーフェル多様体

50. 目次１ イントロダクション２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）３ 比較・・・ホモトピー同値４ ラベル付け１・・・ホモトピー５ ラベル付け２・・・ホモロジー６ ホモロジーの性質７ ポアンカレ予想

51. ポアンカレ予想3次元の閉多様体で1次元ホモトピーが消えているものは3次元球面と同相これの難しいところ「ホモトピーが違うなら違う図形」は言えるが「ホモトピーが同じでも同じ図形」とは限らない

52. ポアンカレ予想の証明実は手法は微分幾何学的（リッチフローを用いる）(サーストンの幾何化予想)http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183548782（プレプリント）http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245(解説記事)http://arxiv.org/abs/math.DG/0605667http://arxiv.org/abs/math.DG/0607607