2011年9月11日に行った多様体についてのTechTalk

1. TechTalk
2011/09/01
⼤大野健太
oono@preferred.jp

2. アジェンダ
• 多様体とは？
• 多様体の例例
• 多様体の作り⽅方

3. 多様体とは？
• 局所的に”座標”が書ける”曲⾯面”（きちんとした定義は後述）
• 幾何学の考える対象
• ⽅方法
• 多様体（+α）⾃自体の形を調べる
• モジュライ論論，ホモロジー論論，ホモトピー論論，結び⽬目理理論論
• 多様体の上の関数やそれに対する作⽤用素を調べる（← 修⼠士での専
攻内容はこれに近い）
• Hodge-de Rham理理論論，モース理理論論，ルベーグ積分
• 両⽅方に関わる分野
• モース理理論論

4. • ⽬目的
• 多様体を分類する
• 3次元多様体の分類，幾何化予想，ポアンカレ予想
• 物理理に対する数学的枠組みを与える
• ⼀一般相対性理理論論は4次元のリーマン多様体の幾何学
• ゲージ理理論論，ミラー対称性，カラビ・ヤウ多様体

5. 多様体の例例
• y=x2
• Rn, Cn=R2n
• x2+y2=1
• メビウスの輪輪 -1
0
1
1
０

6. 多様体でない例例
• y2 = x2(x+1)
• 原点近傍で⽬目盛り付けできない
• 悪魔の階段関数

7. こんなものも多様体 (シュティーフェル多様体)
• V=Rnとして
• Vn,k = {(v1, …, vk) | vj∈V, vjたちの張る部分空間
のなかでvjたちは正規直交基底}
{(v1, …, vk) | vj∈V, |vj|=1, viとvjは直交する}
• => Vn,kはnk-k(k+1)/2次元の多様体
• 例例：k=1の場合
• Vn,1 = (⻑⾧長さ1のベクトル全体) = Sn (n次元球⾯面)

8. 多様体の例例
• RPn(n次元実射影空間) = (Rn+1{0}) / 〜～
• 〜～：同値関係(Rn+1の元をグループ分けする)
• x〜～y (xとyが同じグループ) ó 0でない実数λを⽤用いてx = λyとなる
• 例例：(1, 2, 3) 〜～ (3, 6, 9)
• φi:RPn {xi = 0} → Rnを
• φi([x0, …, xn]) = ( x0/xi, x1/xi,… , ^xi/xi,… ,xn/xi )
• で定義する，これの逆写像ψiは
• [ξ0, …,1 , …, ξn] = ψi(ξ0, ξ1, …, ^ξi, …, ξn)
• これによって，RPn{xi = 0}とRnを同⼀一視できる．RPnはn枚Rnで覆え
る．
除くの意味

9. 多様体の定義
• 位相空間Mがn次元（位相）多様体であるとは，M上の任意の点pに対
して，
• pの開近傍：Up
• Rnの開集合：Vp
• 同相写像：φp:Up → Vp
• 同相写像：連続全単射で逆写像も連続
• が存在する

10. 微分多様体の定義
• 位相空間Mがn次元（位相）多様体であるとは，M上の任意の点pに対
して，
• pの開近傍：Up
• Rnの開集合：Vp
• 同相写像：φp:Up → Vp
• 同相写像：連続全単射で逆写像も連続
• が存在して，次の条件を満たす
• 任意のp, q∈Mに対して，Up∩Uq ≠ Φなら，
• φq○φp
-1|φp(Up∩Uq): φq(Up∩Uq) → φq(Up∩Uq)
• が微分可能
空集合

11. 多様体を簡単に作る⽅方法
• 定理理
• f:Rn → Rm, f = (f1, f2, …, fn)，連続微分可能に対し，
• と置く
• 仮定：Df(x)が full rankならば，
• x0∈Rn に対して y = f(x0)とおくと，
• f-1(y) = {x∈Rn|f(x)=y} は位相多様体

12. シュティーフェル多様体
• 例例：f : Rnk → R(k(k+1)/2) を下のように定義する
• => Vn,k = f-1(yij)1<=i<=j<=n となる
• yij = 1 (if i = j)
• 0 (if i ≠ j)

13. ⼀一般化されたStokesの公式
• ∫Mdω = ∫∂Mω
• ω：微分形式
• y3dx+z2dy+(x+2y)dz：1次微分形式（線積分）
• y3dx∧dy+z2dy∧dz+(x+2y)dz∧dx：2次微分形式（⾯面積分）
• y3dx∧dy∧dz：3次微分形式（体積積分）
• Greenの定理理，Gaussの定理理，Stokesの定理理などはこの式から導かれる

14. 多様体で出来ない事
• 尖った曲⾯面は扱えない
• variety（代数多様体）は尖った点があってもよい
• 次元は有限
• ヒルベルト空間（無限次元になりうるベクトル空間）の張り合わせ
に⼀一般化する事も出来ます
• 次元は⼀一定
• ある場所では3次元，他の場所では2次元などは考えていない

15. 多様体学習
• 次元の⾼高い空間の中で次元の低い多様体の上に点たちが分布している
• これらの点たちを次元の低い空間の上に，多様体上の距離離を保ちなが
らマッピングする(“埋め込む”)

16. まとめ
• 多様体とは
• ユークリッド空間の切切れ端を張り合わせた曲⾯面（内在的定義）
• ⾼高次元ユークリッド空間に埋め込まれた低次元曲⾯面（外在的定義）
• 多様体のきちんとした定義
• ⾃自明でない多様体の例例
• 実射影空間RPn, シュティーフェル多様体
• 関数の逆像f-1(y)として多様体を作る事が出来る
• SPCM
• http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/spcm.html