TDA やら Night!!

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2017/04/01 非公式ロマンティック数学ナイト
s.t.@simizut22
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目次
• Persistent Homology #とは
• Persistent Homology の表示と分解定理
• 応用例

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Persistent Homology #とは

問題設定
さて、
𝑌, 𝑑 を距離空間とし、 𝑋 ⊂ 𝑌 を有限集合とする(point cloud)
𝑋 がどのような空間/モデルから生成されたデータなのか、何かしらの情報
を 𝑋 から知りたい
例：
- 次元
- 連結度

問題設定
一つの道具としての Persistent Homology
• 一般的なデータ分析手法はデータ(が埋め込まれたユークリッド空間)の
次元が高次元になると大変
• Persistent Homology はデータ(が埋め込まれたユークリッド空間)の次元
によらない
• データのスケールにも依存しない
• データがベクトル空間に存在してなくてもよい(多くの機械学習の手法は
ベクトル空間上のデータであることを使用する

距離空間の例
例1 (ユークリッド空間)
𝑋 = ℝ 𝑁, 𝑑 𝑥, 𝑦 = ∑ 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
2
例2 (文字列の空間)
Σ: 文字の集合とし、 𝑋 を Σ 上の長さ 𝑁 の文字列のなす集合
𝑋 = { 𝑥𝑖 𝑖=1
𝑁
∣ 𝑥𝑖 ∈ Σ }
𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ を次で与える：
𝑑 𝑥, 𝑦 = #{ 𝑖 ∣ 𝑥𝑖 ≠ 𝑦𝑖 }
これは 𝑋 上の距離になる(ハミング距離)□
例3(metric グラフ)
計量グラフ, i.e. グラフの各辺に長さが定まっているとき
𝑑 𝑥, 𝑦 = min 𝑃 の長さ 𝑃: 𝑝𝑎𝑡ℎ 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑥 𝑡𝑜 𝑦}

データが現れた。さてどうする？？
Point cloud data

太らせて見よう。
𝜖
2
-ballsPoint cloud data

穴が現れた！！！

もっと続けてみた

続けてみた
太らせる過程で、離散点から始まり
a. つながりができる
b. 穴ができる
c. 穴がふさがる
を繰り返し最終的に全部つながった(上の例だと ball と同相)

数学的なセッティング
計算機に乗せて計算したい→ 代数的な道具で表現
穴や連結具合をあらわす道具：基本群などの homotopy 群や homology 群
など。
Homotopy 群は一般に計算が難しい
→ 計算が簡単な homology (以下 𝐻∗ を使おう

homology の性質
1. 空間 X に対しそのHomology 𝐻∗ 𝑋 はベクトル空間
2. Functorial(関手性)
特に、
包含写像 𝑖: 𝑋 ↪ 𝑌 に対し準同型
𝐻∗ 𝑖 : 𝐻∗ 𝑋 → 𝐻∗(𝑌)
が誘導され、次の自然性を持つ
𝑖: 𝑋 → 𝑌, 𝑗: 𝑌 → 𝑍 に対し
𝐻∗ 𝑗 ∘ 𝑖 = 𝐻∗ 𝑗 ∘ 𝐻∗ 𝑖
3. Homotopy 不変(または位相不変)
今日は明示的には使わないので略

Persistent Homology
実数 𝑟 ≥ 0 に対し pt cloud X を r 太らせた空間を 𝑋 𝑟 と書くことにする
各 r に対し Homology を取ると、半直線 ℝ≥0 上のベクトル空間の図式
𝐻∗ 𝑋 = 𝐻∗ 𝑋0 → ⋯ → 𝐻∗ 𝑋𝑟 → 𝐻∗ 𝑋𝑟+𝜖 → ⋯
を与えたことになる
このベクトル空間の図式が (ℝ-indexed) Persistent Homology

Persistent Homology
Persistent Homology において何が重要か？？
矢印がどのくらい同型から外れるか。つまり
その点で
ある homology クラスは死に(穴がふさがった)
ある homology クラスは生まれる(新しい穴ができた)
と思える

Persistent Homology の表示

計算できるかもしれないが．．．
データ解析してたら Visualization したくなるよね。
よしっ、可視化できる形 → わかりやすい形で表現

Interval Module
Def(Interval Module)
0 ≤ 𝑏 ≤ 𝑑 ≤ ∞に対し Persistent Module 𝐼[𝑏,𝑑] を次の図式で与える：
𝐼 𝑖,𝑗 : 0 = 0 … 0 → 𝕜
𝑏
= 𝕜 = ⋯ = 𝕜
𝑑
→ 0 = ⋯ = 0
これを Interval Module という
これは時刻 b で発生し時刻 d まで生きる homology class に対応する

Interval Module
何でこんなのがいるの？？？
1. Interval Module が既約な表現
2. PH はこの直和で表現できる
つまり…

分解定理
Thm(Gabriel, Krull-Schmidt)
Persistent Module (of finite type) は次のような Interval Module による(既
約)分解を持つ:
𝑃𝐻∗ ≅⊕ 𝑆 𝑛 𝑆 𝐼𝑆
𝑛 𝑆 ∈ ℤ≥0 : multiplicity とし、この和は区間についてを渡る
この分解は(区間の index の付け替えを除いて)一意

PH の表示
PH を interval Decomp. したときの interval を図示したものを、PH に対す
る bar-code という。
これで図示してみる

bar-code の例

分解定理の remark
Interval Decomposition 定理は
ℝ, ≤ -indexed Module (of finite type)だけでなく、
- 離散 indexed zigzag persistent(矢印は→と←が混じっててもよい)
でも成立
これは
1 変数多項式環 𝕜 𝑡 が単項イデアル整域(PID)であることによる ■

応用例

応用例
 タンパク質の構造解析
 neural network(ホントの neural) の解析
 材料科学
 遺伝子解析
 系統樹
多様体学習
 最近 Edelsbrunner 先生が cosmic web の論文出してた(cosmology)

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