AKSI NYATA MODUL 1.2-1 untuk pendidikan guru penggerak.pptx
Bab ii1
1. BAB II
METODE DISTRIBUSI MOMEN
2.1 Pendahuluan
Metode distribusi momen diperkenalkan pertama kali oleh Prof. Hardy
Cross pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang
pernah diberikan dalam analisis struktur balok menerus (continuous beam)
dan portal (rigid frame). Dalam analisis permulaan (preliminary analyzes)
dan perancangan suatu struktur sederhana atau bagian dari suatu struktur
yang besar, metode ini merupakan metode yang sangat memuaskan untuk
memudahkan dalam memberikan gambaran tentang repons struktur berupa
gaya dan perubahan bentuk (deformation).
2.2 Konsep Dasar
Jika suatu struktur balok menerus menerima beban kerja atau penurunan
pada tumpuan, rotasi pada sumbu batang yang tidak diketahui (unknown
member-axis rotation) tidak terjadi dalam respon perubahan bentuknya.
Akan tetapi, titi buhul portal dapat atau mungkin tidak mempunyai
kebebasan dari jumlah translasi yang tidak diketahui. Meskipun metode
distribusi momen dapat digunakan untuk untuk menganalisis portal dengan
translasi yang tidak diketahui, namun diperlukan proses bertahap untuk
menyelesaikannya. Oleh karena itu, berikut ini diberikan konsep dasar
tentang dasar pemikiran bahwa suatu struktur tidak mempunyai rotasi
sumbu batang yang tidak ketahui.
Respon perubahan bentuk dari suatu balok menerus atau portal tanpa
translasi titik buhul yang tidak diketahui dinyatakan dengan rotasi titik
buhul yang belum diketahui yaitu θB, θC, dan θD seperti ditunjukkan pada
Gambar 2.1(a) dan (c). Secara fisika, hal ini dapat dimungkinkan bahwa
momen pengunci (locking moment) dapat dikerjakan pada titik buhul B, C
II-1
2. II-2
dan D untuk membuat kemiringannya relatif datar seperti ditunjukkan pada
Gambar 2.1(b) dan (d). Pada kenyataannya, besar dan arah dari momen
pengunci ini diketahui dari beban yang bekerja atau penurunan tumpuan.
Jika momen pengunci pada salah satu titik buhul dilepas, maka titik buhul
akan berotasi. Rotasi ini menyebabkan perubahan tidak hanya pada momen
diujung batang dekat titik buhul yang dilepasm tetapi juga pada momen
pengunci pada titik buhul bersebelahan dikedua ujung titik buhul yang
dilepas tersebut. Jika masing-masing titik buhul dilepas secara berurutan
dan dikunci kembali dan kemudian proses ini diulangi, suatu saat akan
dicapai dimana setiap titik buhul mencapai suatu respon perubahan bentuk
akhir yang tetap. Momen pengunci ini selanjutnya akan didistribusikan ke
seluruh struktur pada masing-masing jumlah rotasi titik buhulnya, sehingga
metode ini dinamakan sebagai distribusi momen.
E
A
θB
B
θC
C
θD
D
(a)
E
A
B
C
D
(b)
B
A
B’
θB
E
C θC
D θD
(c)
B
E
A
B’
C
D
(d)
Gambar 2.1 Kondisi jepit dalam metode distribusi momen
3. II-3
2.3 Angka Kekakuan dan Induksi (Stiffness and Carry-Over
Factors)
Untuk mengembangkan detail tentang prosedur metode distribusi momen,
perlu diketahui beberapa hal yang akan dikemukakan berikut ini.
Jika momen MA dikerjakan pada ujung sendi dari suatu balok yang
memiliki momen inersia seragam, dimana menumpu pada sendi pada salah
jungnya dan jepit di ujung lainnya seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2(a),
maka pada ujung sendi akan terjadi rotasi sebesar θA dan momen MB pada
ujung jepitnya.
MA
A
θA
MB
B
EI = konstan
L
(a)
M AL
3EI
θB1
θA1
M AL
6 EI
MA
(b)
θA2
MB
θB2
MBL
6 EI
M BL
3 EI
(c)
Gambar 2. 2 Penentuan angka kekakuan dan angka induksi ujung jepit
Diagram momen lentur balok tersebut dapat diuraikan menjadi seperti
ditunjukkan pada Gambar 2.2(b) dan (c). Berdasarkan teorema balok
konjugasi, besarnya θB1 dan θB2 dapat ditentukan dan θB sama dengan nol.
θB = θB1 – θB2 =
diperoleh :
M AL M B L
−
=0
6 EI
3 EI
4. II-4
MB =
1
MA
2
(2.1)
Selanjutnya dengan teorema balok konjugasi pula :
θA = − θA1 + θA2 = −
M AL M B L
+
=0
3 EI
6 EI
Substitusi persamaan 2.1 ke dalam persamaan di atas akan diperoleh :
⎛ 4 EI ⎞
MA = ⎜
⎟θ A
⎝ L ⎠
(2.2)
Jika selanjutnya ujung jauh jepit pada balok Gambar 2.2(a) diganti
dengan ujunng sendi seperti pada hambar 2.3, dimana MB = 0 maka :
⎛ 3 EI ⎞
MA = ⎜
⎟θ A
⎝ L ⎠
MA
A
(2.3)
θA
θB
EI = konstan
B
L
Gambar 2. 3 Angka kekakuan ujung sendi
Selanjutnya, nilai dalam kurung dalam persamaan 2.2 dan 2.3 adalah
angka kekakuan (stiffness factor) masing-masing untuk ujung jepit dan
ujung sendi. Angka kekakuan ini didefinisikan sebagai momen di dekat
ujung jauh (far-end moment) untuk menyebabkan satu unit rotasi di dekat
ujung jauh. Kemudian nilai +
1
dalam persaman 2.1 adalah angka induksi
2
(carry-over factor) yang mana didefinisikan sebagai perbandingan momen
pada ujung jauh jepit terhadap momen pada ujunng dekat yang mengalami
rotasi.
5. II-5
2.4 Angka Distribusi (Distribution Factors)
Angka distribusi dapat didefinsikan sebagai hasil bagi dari kekakuan suatu
batang terhadap jumlah kekakuan batang-batang lainnya pada titik buhul
yang bersangkutan.
Jika terdapat beberapa batang suatu struktur pada titik buhul tertentu
(gambar 2.4), akibat adanya rotaasi ujung-ujung batangnya akibat beban
yang bekerja, momen pengunci (Mo) yang bekerja harus didistribusikan
secara proporsional ke masing-masing batang sesuai dengan angka
kekakuannya.
D
θA
C
Mo
Α
θA
θA
B
Gambar 2. 4 Angka distribusi pada suatu struktur
Persyaratan keseimbangan pada titik buhul A adalah :
MAB + MAC + MAD – Mo = 0
Dimana momen-momen di titik A adalah :
MAB =
4(EI ) AB
θA
L AB
MAC =
4(EI ) AC
θA
L AC
6. II-6
MAD =
4 (EI ) AD
θA
L AD
Jika bahan struktur tersebut adalah sama, maka momen pengunci, Mo, dapat
ditulis :
⎛I
I
I
Mo = 4EθA ⎜ AB + AC + AD
⎜L
⎝ AB L AC L AD
Jika diambil bahwa
⎞
⎟
⎟
⎠
I
= K, maka persamaan di atas dapat ditulis :
L
Mo = 4EθAΣK
Atau :
Mo
= 4EθA
∑K
Sehingga momen ujung masing-masing batang yang melalui titik buhul A
adalah :
MAB =
K AB
M o = (DF)AB Mo
∑K
MAC =
K ABC
M o = (DF)AC Mo
∑K
MAD =
K AD
M o = (DF)AD Mo
∑K
Nilai
K AB K AC K AD
,
,
∑K ∑K ∑K
(2.4)
selanjutnya disebut dengan angka distribusi
(distribution factor/DF) masing-masing untuk batang AB, AC dan AD.
Untuk memenuhi persyaratan keseimbangan pada titik buhul, jumlah angka
distribusi pada suatu titik buhul adalah harus sama dengan satu.
(DF)AB + (DF)AC + (DF)AD = 1
2.5 Momen Ujung Jepit (Fixed – End Moment)
Jika suatu balok yang tumpuannya adalah jepit-jepit untuk melawan rotasi
atau translasi menerima beban luar arah transversal, maka balok tersebut
7. II-7
dinamakan dengan balok ujung jepit (fixed-end beam). Momen yang bekerja
akibat beban luar ini disebut dengan momen ujung jepit (fixed-end moment).
Beberapa nilai momen ujung jepit untuk balok prismatis diberikan pada
Tabel 2.1.
Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM)
FEMAB
Pembebanan
Pab 2
L2
wa 3 ⎛
a⎞
⎜5 − 3 ⎟
60 L ⎝
L⎠
-
B
L
wL2
12
w
A
⎞
⎟
⎟
⎠
wL2
30
B
L
w
A
a
-
B
(L – a)
w
A
Pa 2 b
L2
B
L
A
wL2
30
⎛
a
a2
⎜6 − 8 + 3
⎜
L
L2
⎝
b
w
wL2
12
wL2
12
P
a
A
FEMBA
B
a
(L – a)
-
wa 2
60
wL2 ⎛
a⎞
⎜4 − 3 ⎟
12 ⎝
L⎠
⎛
a
a2
⎜ 16 − 10 + 3
⎜
L
L2
⎝
w
5 wL2
96
M
- b(2 a − b ) 2
L
Pa
(L − a )
L
A
B
(L/2)
(L/2)
M
A
A
a
b
B
L
a
P
P
L – 2a
-
a
B
5 wL2
96
- a (2b − a )
-
M
L2
Pa
(L − a )
L
⎞
⎟
⎟
⎠
8. II-8
Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM) (Lanjutan)
FEMAB
(
Pb L2 − b 2
2 L2
Pembebanan
)
A
FEMBA
P
a
b
B
L
w
wL2
8
A
9 wL2
128
A
7 wL2
128
A
B
L
w
L/2
L/2
w
L/2
L/2
2.6 Aplikasi Analisis Struktur Statis Tak Tentu Dengan Metode
Distribusi Momen
2.6.1
Struktur balok menerus
Contoh 1. Tentukan diagram momen lentur dan gaya lintang dari struktur
balok menerus seperti pada Gambar 2.5.
3 t/m
A
24 t
C
(2EI)
(3EI)
B
20 m
10 m
10 m
Gambar 2.5 Contoh aplikasi metode distribusi momen untuk struktur balok menerus
Prosedur analisis struktur balok dengan metode distribusi momen meliputi
menentukan momen ujung jepit (FEM), angka kekakuan dan angka
distribusi.
Momen Ujung Jepit
9. II-9
FEMAB = +
1
(3 × 20 2 ) = 100 t.m (berlawanan arah jarum jam)
12
FEMBA = -
1
3 × 20 2 = 100 t.m (searah jarum jam)
12
FEMBC = +
(
)
(24 × 10 ) (20 2 − 10 2 ) = 90 t.m (berlawanan arah jarum jam)
2 × 20 2
FEMCB = 0(sendi)
Angka Kekakuan
Untuk memudahkan dalam penghitungan angka kekakuan dapat dilakukan
dengan cara membandingkan relative antara angka kekakuan satu batang
dengan batang-batang lainnya, sehingga disebut juga angka kekakuan
relative. Dalam hal ini cukup hanya menghitung angka kekakuan dari
batang-batang yang bertemu pada satu titik buhul.
SFBA : = SFBC =
4(3 EI ) 3(2 EI ) 12(EI ) 6 (EI )
:
=
:
=2:1
20
20
20
20
Angka Distribusi
DFBA =
2
= 0.67
(2 + 1)
DFBC =
1
= 0.33
(2 + 1)
Selanjutnya momen-momen pada tiap-tiap batang dihitung seperti
disajikan dalam Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Proses penghitungan metode distribusi momen
Titik Buhul
Batang
Angka Distribusi (DF)
Tahapan 1 FEM
Induksi
Tahapan 2
Total Akhir
A
AB
+100
+3.3
+103.3
B
1/2
BA
0.67
-100
+6.6
BC
0.33
+90
+3.4
-93.4
+93.4
C
CB
0
0
Hasil penghitungan momen-momen ujung batang dan reaksi gaya
akibat beban luar dapat digambarkan dalam diagram benda bebas (free
body diagram) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6.
10. II-10
3 t/m
24 t
B
A
30
B
C
12
30
12
(a)
93.4
103.3
93.4
B
A
0.495
B
C
4.67
4.67
0.495
(b)
Gambar 2. 6 Diagram benda bebas struktur balok menerus (a) akibat beban luar (b) akibat
momen ujung
Reaksi gaya pada tumpuan dan momen lentur dihitung dengan cara
superposisi dari Gambar 2.6(a) dan (b).
RA,V = 30 + 0.495 = 30.495 t.m
RB,V = 30 – 0.495 +12 + 4.67 = 46.175 t.m
RC,V = 12 – 4.67 = 7.33 t.m
Kontrol resultante keseimbangan gaya arah vertikal :
30.495 + 46.175 + 7.33 – (30 x 20) – 24 = 0
30.495
OK!
16.67
(+)
A
(+)
D
C
B
(-)
x
(-)
E
29.505
7.33
(a)
103.3
93.4
(-)
(-)
(+)
(+)
51.69
(b)
73.3
Gambar 2. 7 (a) Diagram gaya lintang (b) Diagram momen lentur
Momen lentur positif pada bentang AB ditentukan pada jarak x dari
tumpuan A dimana gaya lintangnya adalag nol, sebagai berikut :
11. II-11
SFx = RA,V – q.x = 0
x=
R A ,V
30.495
= 10.165 m (dari tumpuan A)
3
=
q
Maka :
Mx = RA,V.x –
q.x 2
+ MAB
2
= (30.495 x 10.165) -
(3 × 10.165 ) - 103.3 = +51.691 T.m
2
2
Sedangkan momen lentur positif pada bentang BC (titik E : ditengah
bentang) ditentukan sebagai berikut :
ME = RB,V(kanan).
2.6.2
L
+ MAB = (16.67 x 10) – 93.4 = +73.3 T.m
2
Struktur balok menerus pada perletakan elastis
Bila suatu struktur balok dengan konstruksi seperti pada Gambar 2.8
dimana pada perletakan diujung C dapat dianalogikan bahwa balok
tersebut didukung oleh perletakan elastik seperti pada Gambar 2.9.
P1
P2
C
A
B
D, E
LAB
D
LBC
E
LDE
(a)
P2
P1
C
A
B
LBC
LAB
(b)
Gambar 2. 8 Struktur balok menerus di atas perletakan elastik
Dalam hal ini letak ujung C akan dipengaruhi oleh defleksi batang DE.
Bila ujung C terletak di tengah batang DE, maka angka pegas (spring
12. II-12
constant) ddiberikan dalam persamaan 2.5a. namun, ujung C dapat pula
didukung oleh suatu batang dari atas (tie-rod), maka keadaan demikian ini
mempunyai angka pegas seperti disajikan dalam persamaan 2.5b.
t=
t=
48(EI )
L3
(2.5a)
( AE )
(2.5b)
L
P1
P2
C
A
P1
(a)
∆C
t
B
P2
RC
C
A
B
(b)
ROC
A
B
(c)
C
∆'C
R’C
Gambar 2. 9 Analogi balok di atas perletakan elastik
Bila defleksi ujung C belum diketahui, maka analisis balok pada
Gambar 2.9(a) merupakan superposisi dari dua tahap seperti pada Gambar
2.9(b) dan (c) dan diberikan dalam persamaan 2.6. Pada tahap pertama
reaksi pada perletakan di C ditentukan terhadap beban luar (Gambar
2.9(b)), selanjutnya beban luar ini tidak diperhitungkan dalam tahap kedua
dimana reaksi pada tumpuan C ditentukan berdasarkan hanya akibat
defleksi.
RC =t.∆C
∆C = n1∆’C
RC =ROC + n1R’C
(2.6)
13. II-13
Dan nilai n1 yang belum diketahui dapat dihitung sebagai berikut :
t ∆C = ROC + n1R’C
t n1∆’C = ROC + n1R’C
(2.6a)
n1(R’C - t.∆’C )+ ROC = 0
n1 =
o
RC
t .∆' C − R' C
(2.6b)
Maka momen akhir total adalah :
M = Mo + n1 M’
(2.7)
Contoh 2. Tentukan momen dan reaksi pada tumpuan dari struktur balok
menerus seperti pada Gambar 2.10.
30 kN
10 kN/m
C
t = 5 x103 kN/m
A
(EI)
(EI)
B
6m
3m
3m
E = 20 x 106 kN/m2; I = 2 x 10-3 m4
Tahap I: diasumsikan bahwa tidak terjadi defleksi pada ujung C dan
dalam penghitungan momen ujung jepit hanya akibat beban luar.
(
)
FEMBA = −
1
10 × 6 2 = -45 kN.m
8
FEMBC = +
1
(30 × 6 ) + 1 ⎡ 1 (30 × 6 )⎤ = +33.75 kN.m
⎥
2 ⎢8
8
⎣
⎦
Angka kekakuan :
SFBA : SFBC =
3(EI ) 3(EI )
:
=1:1
6
6
Angka distribusi :
DFBA =
1
= 0.5
1+1
DFBC =
1
= 0.5
1+1
14. II-14
Tabel 2.3 Proses penghitungan metode distribusi momen Tahp I
Titik Buhul
Batang
Angka Distribusi (DF)
Tahapan 1 FEM
A
AB
-
B
BA
0.5
-45
+5.625
-39.375
0
-
Mo
Jumlah
0
39.375
10 kN/m
A
39.375
0
0
30 kN
B
B
36.5625
23.4375
C
CB
-
BC
0.5
+33.75
+5.625
+39.375
C
21.5625
RoC = 8.4375
Gambar 2. 10 Diagram benda bebas Tahap-I
RoC =
30 39.375
= +8.4375 kN
−
2
6
Tahap II: diasumsikan bahwa defleksi pada ujung C, ∆’C = 1 cm (= 0.01
m) dan dalam penghitungan momen ujung jepit beban luar tidak dihitung
lagi.
FEMBC = +
3(EI )∆' C
2
L
=+
(
)(
)
3 20 × 10 6 2 × 10 −3 (0.01)
= +33.33 kN.m
62
Tabel 2.4 Proses penghitungan metode distribusi momen Tahap II
Titik Buhul
Batang
Angka Distribusi (DF)
Tahapan 1 FEM
A
AB
-
B
BA
0.5
0
Jumlah
M’
0
16.667
A
B
2.778
2.778
-16.667
-16.667
BC
0.5
+33.333
-16.667
+16.667
16.667
= -2.778 kN
6
0
0
16.667
B
C
2.778
Gambar 2. 11 Diagram benda bebas Tahap II
R’C = −
C
CB
-
R’C = 2.778
15. II-15
Menggunakan persamaan 2.6(a) diperoleh :
n1 =
+ 8.4375
= 0.16
(5000 × 0.01) − (− 2.778 )
Momen akhir total dihitung menggunakan persamaan 2.7 :
MBA = MoBA + n1 M’BA = -39.375 + (0.16)(-16.667) = -42.0395 kN
MBC = MoBC + n1 M’BC = +39.375 + (0.16)(16.667) = +42.0395 kN
42.04
10 kN/m
A
42.04
B
B
37.007
22.993
30 kN
C
7.993
22.007
Gambar 2. 12 Diagram benda bebas Contoh-2
2.6.3
Struktur dengan penurunan pada perletakan
Metode distribusi momen dapat juga digunakan untuk menganalisis
struktur balok atau portal yang mengalami penurunan pada perletakannya
(support settlemennt). Akibat dari penurunan atau perpindahan posisi pada
perletakan ditunjukkan pada Gambar 2.13.
P1
Pn
B
A
C
∆v
(EI)
(EI)
B’
hAD
(EI)
hBE
(EI)
D
E
∆v
E’
∆h
LAB
LBC
Gambar 2. 13 Kontruksi portal akibat penurunan pada perletakan
16. II-16
Akibat perpindahan posisi perletakan E, baik vertikal dan horisontal,
terjadi momen ujung yang dapat digambarkan seperti pada Gambar 2.14.
Ujung B mengalami penurunan sebesar D, untuk kedua ujung adalah
terkekang (jepit) momen ujung yang ditentukan seperti pada persamaan
2.8a, dimana momen ujung B (MB) adalah sama besar dan arahnya dengan
MA. Sementara bila salah satu ujungnya adalah sendi (Gambar 2.14b),
momen ujung diberikan pada persamaan 2.8b.
V
A
MA(+)
(EI)
B
∆
V
MB(+)
L
(a)
B
(EI)
C
∆
MB(-)
L
(b)
Gambar 2. 14 Konsep balok akibat penurunan pada perletakan
MA = MB = +
MB = −
6 (EI )∆
L2
3(EI )∆
L2
(2.8a)
(2.8b)
Contoh 3. Gambarkan diagram gaya lintang, momen lentur dan gaya
normal dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.15. Perletakan E
mengalami perpindahan posisi vertikal (∆v)10 cm dan perletakan D
bergeser (∆h) 2.5 cm ke kiri. Nilai modulus elastisitas (E) bahan 2 x 108
kN/m2, dan momen inersia penampang (I) 6 x 10-5 m4.
Angka kekakuan :
SFAD =
4(2 EI ) 8 EI
=
6
6
17. II-17
q = 10 kN/m
A
C
(2EI)
B
(2EI)
∆v
B’
6m
(2EI)
(EI)
D
E
D’
∆v
E’
∆h
12 m
12 m
Gambar 2. 15 Kontruksi portal akibat penurunan pada perletakan untuk Contoh 3
SFAB = SFBA =
4(2 EI ) 4 EI
=
12
6
SFBC =
3(2 EI ) EI
=
12
6
SFBE =
4(EI ) EI
=
6
6
SFAD : SFAB : SFBA : SFBC : SFBE = 8 : 4 : 4 : 1 : 4
Angka distribusi :
DFAD =
8
= 0.7;
8+4
DFBA =
4
= 0.44;
4 +1+ 4
DFBE =
4
= 0.44
4 +1+ 4
DFAB =
4
= 0.3
8+4
DFBC =
1
= 0.12
4 +1+ 4
Momen ujung jepit :
FEMDA = FEMAD = +
6 (2 EI )∆h
h2
=
(
)
6 2 × 2 × 10 8 × 6 × 10 −5 0.025
62
18. II-18
= + 100 kN.m
qL2 6 (2 EI )∆v
+
FEMAB = +
12
L2
=+
(100 × 12 ) + 6 (2 × 2 × 10
2
12
)
× 6 × 10 −5 0.10
12 2
8
= + 220 kN.m
qL2 6 (2 EI )∆v
+
FEMBA = −
12
L2
=−
(100 × 12 ) + 6 (2 × 2 × 10
2
12
)
× 6 × 10 −5 0.10
12 2
8
= -20 kN.m
FEMBC = +
=+
qL2 3(2 EI )∆v
−
8
L2
(100 × 12 ) − 3(2 × 2 × 10
2
8
)
× 6 × 10 −5 0.10
12 2
8
= +130 kN.m
Tabel 2.5 Distribusi momen Contoh 3
Titik
Buhul
Batang
DF
FEM
D
+100
-112
AD
0.7
+100
-224
+4.8
+9.6
+0.16
Jumlah
DA
A
+0.31
-7.04
-114.1
B
AB
0.3
+220
-96
-13.7
+4.1
-0.45
+0.14
+114.1
BA
0.44
-20
-48
-27.3
+2.05
-0.9
+0.07
-0.03
-94.1
E
C
CB
0
BC
0.12
+130
BE
0.44
0
EB
0
-7.4
-27.3
-13.7
-0.25
-0.9
-0.45
-0.01
-0.03
-0.015
+122.3
-28.2
-14.2
0
Diagram benda bebas momen-momen ujung dan gaya-gaya pada
masing-masing ujung batang diberikan pada Gambar 2.16.
20. II-20
B
A
C
(-)
(-)
7.1
20.2
(-)
(-)
D
E
61.7
128.5
(d)
Gambar 2. 16 (a) Diagram benda bebas (b) Diagram gaya lintang (c) Diagram momen lentur
(d) Diagram gaya normal Contoh 3
2.6.4
Struktur Dengan Beban Simetris
Suatu struktur yang mempunyai geometri dan beban simetris seperti
ditunjukkan pada Gambar 2.17, dalam analisis strukturnya dapat
ditentukan hanya dengan meninjau setengah bentangnya. Sehingga
dimungkinkan terdapat modifikasi nilai angka kekakuannya.
P1
q
A
(EI)
P1
q
(EI)
B
L1
C
(EI)
D
L1
L2
(a)
P1
q
A
(EI)
L1
B
(EI)
q
P1
(EI)
C
L2
L2
D
(EI)
E
L1
(b)
Gambar 2.17 Contoh aplikasi metode distribusi momen untuk struktur balok menerus
Pada Gambar 2.17(a) dan (b), struktur dapat ditinjau setengah bentang.
Sehingga nilai angka kekakuan batang BC pada Gambar 2.17(a) adalah
21. II-21
2(EI )BC
. Sedangkan untuk Gambar 2.18(b), titik C dapat dimisalkan
L2
sebgai jepit dengan angka kekakuan normal (
4 (EI )BC
).
L2
Contoh 4. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal
seperti pada Gambar 2.19.
40 kN
24 kN/m
(3EI)
A
(2EI)
B
8m
4m
24 kN/m
C
4m
(3EI)
D
8m
Gambar 2.18 Contoh 4
Analisis struktur di atas dapat hanya meninjau setengah bentang saja.
Angka kekakuan :
SFBA =
3(3 EI ) 9 EI
=
8
8
SFBC =
2(2 EI ) 4 EI
=
(setengah bentang BC)
8
8
SFBA : SFBC =
9 EI 4 EI
:
=9:4
8
8
Angka distribusi:
DFBA =
9
= 0.69;
9+4
DFBC =
4
= 0.31
9+4
Momen ujung jepit :
FEMBA = -
(24 )(8 )2 = - 192 kN.m
FEMBC = +
(40 )(4 )(4 )2 =+40 kN.m
8
82
Pelu diperhatikan bahwa, dalam penghitungan momen ujung, bentang
yang diperhitungkan adalah tetap bentang penuh (bukan setengah bentang
BC).
22. II-22
Tabel 2.6 Distribusi momen Contoh 4
Titik Buhul
Batang
DF
FEM
A
AB
0
BC
0.31
+40
+47.1
-87.1
0
Jumlah
2.6.5
B
BA
0.69
-192
+104.9
+87.1
Struktur Portal Tanpa Translasi Titik Buhul
Aplikasi metode momen distribusi untuk analisis struktur portal tanpa
mengalami translasi titik buhul (tidak dapat bergoyang), pada dasarnya
adalah sama dengan seperti yang diuraikan pada struktur balok menerus.
Namun, pada struktur portal jumlah batang yang bertemu pada satu buhul
sering
lebih
dari
dua
batang.
Pada
beberapa
kasus,
terdapat
ketidakseimbangan momen pada titik buhul akibat momen-momen ujung
batang yang melalui titik buhul tersebut. Resultante momen yang tidak
seimbang ini kemudian didistribusikan ke beberapa ujung batang sesuai
dengan angka distribusinya masing-masing.
a
P
P
A
B
(2EI)
(EI)
(EI)
E
D
q
(a)
A
C
(2EI)
(2EI)
B
(EI)
(EI)
D
E
(b)
Gambar 2. 19 Kontruksi portal yang tidak menyebabkan goyangan (tanpa translasi titik
buhul)
23. II-23
Konstruksi portal yang tidak dapat bergoyang ini dapat dikarenakan
bila portal adalah simetris secara geometris dan beban yang bekerja juga
simetris, atau portal terhubungkan dengan konstruksi lainnya yang tidak
dapat menyebabkan bergoyang seperti ditunjukkan pada Gambar 2.19.
Contoh 5. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal
seperti pada Gambar 2.20, dan gambarkan diagram gaya lintang dan
momen lenturnya.
36 kN
64.8 kN/m
A
(2EI)
B
C
(EI)
5m
D
1.5 m
5m
Gambar 2. 20 Contoh 5
Angka kekakuan :
SFBC =
4(2 EI ) 8 EI
=
5
5
SFBD =
4(EI ) 4 EI
=
5
5
SFBC : SFBD =
8 EI 4 EI
:
=8:4
5
5
Angka distribusi:
DFBA =
8
= 0.67;
8+4
DFBC =
4
= 0.33
8+4
Momen ujung jepit :
FEMBA = - (36 × 1.5 ) = -54 kN.m (overhang)
24. II-24
FEMBC =- FEMCB =
(64.8 )(5 )2 =+135 kN.m
12
Tabel 2.7 Distribusi momen Contoh 5
Titik Buhul
Batang
DF
FEM
B
BC
0.67
+135
-54
C
CB
-135
Induksi
Jumlah
-54
36 kN
+81
162
181.8
B
36
-13.5
64.8 kN/m
81
54
A
-27
-13.5
-162
BD
0.33
0
-27
D
DB
0
-27
BA
-54
8.1
27
B
C
B
8.1
145.8
178.2
8.1
(a)
8.1
D
13.5
181.8
145.8
162
81
54
B
(+)
x
C
A
(-)
2.25 m
(-)
(-)
(-)
A
27
x
(-) B
(+)
C
36
83.025
(-)
178.2
D
8.1
D
(b)
x=
145.8
= 2.25 m
64.8
13.5
(c)
25. II-25
B
C
A
(-)
8.1
Momen lentur pada jarak x:
Mx = -81 + 145.8 (2.25)
1
- (64.8 )(2.25 )2 = 83.025 kN.m
2
(-)
D
181.8
(d)
Gambar 2. 21 (a) Diagram benda bebas (b) Diagram gaya lintang dan (c) Diagram momen
lentur (d) Diagram gaya normal Contoh 5
Contoh 6. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal
seperti pada Gambar 2.22, dan gambarkan diagram gaya lintang dan
momen lenturnya.
q = 45 kN/m
A
C
(4EI)
B
(EI)
(EI)
D
(4EI)
E
(EI)
6m
F
8m
8m
(a)
q = 45 kN/m
B
A
(4EI)
(EI)
(b)
D
Gambar 2. 22 Contoh 6
Konstruksi adalah simetris secara geoemtris dan pembebanan,
sehingga dapat dianalisis hanya dengan meninjau setengah bentang seperti
ditunjukkan pada Gambar 2.22(b). Dalam hal ini pada titik buhul B harus
26. II-26
dalam keseimbangan, dimana tidak terjadi lentur pada batang BE. Dalam
analisisnya, keseimbangan momen pada titik buhul A dan C adalah sama
tetapi berbeda arah momen yang bekerja.
Angka kekakuan :
SFAD =
4(EI ) 2 EI
=
6
3
SFAB =
4(4 EI ) 16 EI
= 2EI
=
8
8
SFAD : SFAB =
2 EI
: 2 EI = 2 : 6
3
Angka distribusi:
DFAD =
2
= 0.25;
2+6
DFAB =
6
= 0.75
2+8
Momen ujung jepit :
FEMAB = - FEMBA =+
1
(45 )(8 )2 = +256 kN.m
12
Tabel 2.8 Distribusi momen Contoh 6
Titik Buhul
Batang
DF
FEM
D
DA
0
Induksi
-32
Jumlah
Batang
-32
FC
q = 45 kN/m
64
156 16
64
16
32
156
228
B
BA
-256
-96
-64
CF
B
+64
CB
-352
BC
q = 45 kN/m
64
16
C
228
16
D
AB
0.75
+256
-192
352
352
456
16
16 B
B
A
A
A
AD
0.25
0
-64
156
156
C
64
16
16
E
F
456
156
(a)
156
32
27. II-27
228
156
(+)
A
C
B
(-)
3.25 m
(-)
(-)
(-)
228
16
D
3.25 m
(+)
x
E
16
156
F
(b)
352
64
64
64
(-) (-)
(-)
(-) A
(-)
B
(+)
C
(+)
64
(-)
189.5
189.5
228
D
(+)
32
E
32
(+)
F
(c)
B
A
16
(-)
(-)
D
C
16
(-)
(-)
(-)
E
156
456
156
F
(d)
Gambar 2. 23 (a) Diagram benda bebas (b) Diagram gaya lintang dan (c) Diagram momen
lentur (d) Diagram gaya normal Contoh 6
Momen lentur pada jarak x:
Mx = -64 + 156 (3.25) 2.6.6
1
(45 )(3.25 )2 = +189.5 kN.m
2
Struktur Portal Dengan Translasi Titik Buhul
Aplikasi dari metode distribusi momen untuk analisis portal statis tak tentu
dimana terdapat titik buhul yang mengalami translasi yang belum
28. II-28
diketahui (unknown translation), atau goyangan belum diketahui
(unknown sideways) akan diuraikan pertama dengan cara yang sederhana
dimana derajat kebebasan (degree of freedom) goyangan tersebut adalah
sama dengan 1. Terdapat tiga langkah utama dalam analisis portal seperti
ditunjukkan pada Gambar 2.24. Ketiga langkah tersebut adalah sebagai
berikut :
W2
C
B
W1
M
HA
A
D
HD
(a)
Ro
C
B
∆'
∆'
W2
R’
C
B
C’
W1
Mo
A
M’
HA1
A
D
(b)
HA2
HD1
D
HD2
(c)
Gambar 2. 24 Portal dengan goyangan satu derajat kebebasan
1. Goyangan ke samping dari batang BC dicegah dengan memberikan
tumpuan “buatan” (artificial support) pada C seperti ditunjukkan pada
Gambar 2.24(b). Pada tahap ini momen-momen pada ujung batang (Mo)
dihitung akibat beban luar yang bekerja pada portal tersebut, sehingga
reaksi pada tumpuan C yaitu Ro dapat diketahui besar dan arahnya.
29. II-29
2. Titik buhul B dan C dikunci untuk melawan rotasi, tetapi tumpuan C
diperbolehkan mengalami perpindahan posisi sebesar ∆’, sehingga
menyebabkan terjadinya momen ujung pada kolom AB dan CB seperti
ditunjukkan pada Gambar 2.24(c). Selanjutnya momen-momen pada ujung
batang (M’) dapat ditentukan dengan metode distribusi momen, sehingga
besar dan arah dari reaksi pada tumpuan C (R’) dapat ditentukan pula.
Perlu diingat bahwa pada tahap kedua ini, beban luar tidak diperhitungkan
lagi dalam penghitungan momen ujung (M’). Karena besarnya ∆’ belum
diketahui, maka ∆’ dapat diasumsikan sebarang nilai sehingga besarnya
momen ujung (FEM) serasi dengan nilai-nilai momen sebelumnya.
3. Momen-momen ujung tiap batang yang sesungguhnya (M) pada Gambar
2.24(a) merupakan resulatante dari momen akibat beban diluar dan n kali
momen akibat perpindahan posisi seperti diberikan pada persamaan 2.9.
M = Mo + n M’
(2.9)
Dimana n ditentukan dari :
Ro = n R’
n=
Ro
R'
(2.9a)
Pada permasalah sederhana seperti Gambar 2.24 di atas, arah
goyangan dapat diketahui atau diperkirakan degan tepat. Namun demikian,
arah goyangan dapat pula diperkirakan (assumed) terlebih dahulu dan
selanjutnya hasil penghitungan akan menunjukkan apakah arah goyangan
yang diperkirakan adalah tepat atau tidak.
Jika derajat kebebasan pada goyangan adalah lebih dari satu, maka
distribusi momen dilakukan untuk masing-masing goyangan ∆’1, ∆’2, ∆’3,
dan seterusnya. Momen akhir yang sesungguhnya selanjutnya dapat
ditentukan dengan cara menentukan nilai n1, n2, n3, dan seterusnya dengan
penyelesaian persamaan simultan. Pada Gambar 2.25 diberikan suatu
contoh portal bertingkat yang terdiri atas kolom dan dua batang horisontal.
30. II-30
Dengan langkah-langkah yang serupa seperti diuraikan di atas, dapat
diuraikan kembali langkah-langkah untuk analisis portal pada Gambar
2.25 adalah sebagai berikut :
P1
P1
B
A
P2
P2
C
D
F
E
(a)
F
(b)
∆1’
∆1’
R1’
B
A
R2’
D
∆2’
C
R2’’
D
F
E
R1’’
B
A
∆2’
C
R2o
D
C
E
R1o
B
A
(c)
F
E
(d)
Gambar 2. 25 Portal dengan goyangan dua derajat kebebasan
1. Agar titik buhul B dan D tidak dapat mengalami perpindahan posisi,
maka pada B dan D diberi tumpuan “buatan” seperti ditunjukkan pada
Gambar 2.25(b). Selanjutnya momen-momen pada ujung batang (Mo)
dihitung akibat beban luar yang bekerja pada portal tersebut,
sehingga reaksi pada tumpuan B dan D yaitu R1o dan R2o dapat
diketahui besar dan arahnya.
31. II-31
2. Titik buhul A, C dan D dikunci untuk melawan rotasi, tetapi tumpuan
B diperkirakan mengalami perpindahan posisi sebesar ∆1’, sehingga
menyebabkan terjadinya momen ujung pada kolom AC dan BD seperti
ditunjukkan pada Gambar 2.24(c) yang besarnya cukup diberi nilai
banding yang serasi dengan momen ujung sebelumnya. Selanjutnya
momen-momen pada ujung batang (M’) dapat ditentukan dengan
metode distribusi momen, sehingga besar dan arah dari reaksi pada
tumpuan B dan D yaitu R1’ dan R2’ dapat ditentukan pula.
3. Seperti pada langkah 2 di atas, tetapi tumpuan B dikunci dan C
diperkirakan mengalami perpindahan posisi sebesar ∆2’, sehingga
menyebabkan terjadinya momen ujung pada kolom AC dan BD seperti
ditunjukkan pada Gambar 2.24(d) yang besarnya cukup diberi nilai
banding yang serasi dengan momen ujung sebelumnya. Selanjutnya
momen-momen pada ujung batang (M’’) dapat ditentukan dengan
metode distribusi momen, sehingga besar dan arah dari reaksi pada
tumpuan B dan D yaitu R1’’ dan R2’’ dapat ditentukan pula.
4. Dari langkah 1, 2 dan 3 di atas didapat persamaan simultan (persamaan
2.10a dan b) untuk menentukan nilai n1 dan n2 yang selanjutnya
digunakan
untuk
menentukkan
momen
akhir
sesungguhnya
(persamaan 2.10c).
R1o + n1R1’ + n2R1” = 0
(2.10a)
R2o + n1R2’ + n2R2” = 0
(2.10b)
M = Mo + n1M’ + n2M” = 0
(2.10c)
Contoh 7. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal
seperti pada Gambar 2.26, dan gambarkan diagram gaya lintang, gaya
normal dan momen lenturnya.
Akibat beban horizontal 60 kN portal mengalami goyangan kekanan,
dan titik buhul C mengalami perpindahan ∆’ (Gambar 2.25b).
32. II-32
30 kN/m
∆’
60 kN
∆’
Ro
C
B
B
(3EI)
C
4m
A (EI)
(3EI)
8m
A
D
D
8m
(a)
(b)
Gambar 2. 26 Contoh 7
Angka kekakuan :
SFBA =
4(EI )
= EI
4
SFBC = SFCB =
SFCD =
4(3 EI ) 12 EI 3 EI
=
=
8
8
2
4(3 EI ) 12 EI 3 EI
=
=
8
8
2
SFBA : SFBC : SFCB : SFCD = EI :
3 EI 3 EI 3 EI
:
:
= 2 : 3 :3 : 3
2
2
2
Angka distribusi:
DFBA =
2
= 0.40;
2+3
DFBC =
3
= 0.60
2+3
DFCB =
3
= 0.50;
3+3
DFCD =
3
= 0.50
3+3
Tahap I : Menentukan Mo akibat beban luar yang bekerja
Momen ujung jepit :
FEMBC = - FEMCB =+
1
(30 )(8 )2 = +160 kN.m
12
Selanjutnya distribusi momen akibat beban yang bekerja pada portal
diberikan pada Table 2.9 dan diagram benda bebas diberikan pada Gambar
2.27.
33. II-33
Tabel 2.9 Distribusi momen akibat beban luar yang bekerja Contoh 7
Titik Buhul
Batang
DF
FEM
A
AB
0
BA
0.50
0
B
-40
-80
C
-3.0
-.0.2
-0.45
-0.017
-0.034
-43.22
Jumlah Mo
-6.0
BC
0.60
+160
+40
-120
+15
-9.0
+1.125
-0.675
+0.084
-0.050
-86.48
+86.48
86.48
30 kN/m
32.43
43.22
+15
+2.25
+1.1
+0.17
0.084
+112.42
+56.18
112.42
123.24
C
116.76
86.48
D
DC
0
+40
+30
-112.42
116.76 60 kN B
32.43
B
CD
0.50
0
+80
CB
0.50
-160
+80
-60
+30
-4.5
+2.25
-0.34
+0.17
123.24
Ro = 71.36
21.08
112.42
C
21.08
32.43
A
116.76
21.08
D
56.18
123.24
Gambar 2. 27 Diagram benda bebas akibat beban yang bekerja untuk menentukan Ro
Reaksi pada tumpuan “buatan” C (Ro) ditentukan dari :
ΣFH = 0
Ro = (60 + 32.43) – (21.08 ) = 71.36 kN (ke kiri)
Tahap II : Menentukan M’ akibat mengalami perpindahan ∆’
Momen ujung jepit :
FEMAB = FEMBA =+
6 (EI )∆' 3 EI∆'
=
8
42
34. II-34
FEMDC = FEMCD =+
6 (3 EI )∆' 9 EI∆'
=
32
82
Momen yang serasi diambil berdasarkan perbandingan :
3 EI∆' 9 EI∆'
:
=12 : 9
8
32
FEMAB : FEMDC =
Dan ∆’ diasumsikan sebesar 1 satuan, maka momen-momen serasinya
adalah :
FEMAB = FEMBA = +12 kN.m
FEMDC = FEMCD = +9 kN.m
Tabel 2.10 Distribusi momen akibat beban luar yang bekerja Contoh 7
Titik Buhul
Batang
DF
FEM
A
AB
+12
BA
0.50
+12
-1.95
-3.9
-0.15
-0.29
-0.011
+9.89
Jumlah M’
B
C
+7.79
-7.79
+0.73
+0.11
+0.055
+6.08
+7.54
6.08
1.73
1.73
B
C
4.42
1.73
B
4.42
4.42
D
DC
+9
-2.25
+1.46
-6.08
7.79
7.79
CD
0.50
+9
-4.5
CB
0.50
0
-4.5
-2.93
+1.46
-0.22
+0.11
-0.022
BC
0.60
0
-2.25
-5.85
+0.73
-0.44
+0.055
-0.033
R’ = 6.12
1.70
C
1.73
6.08
1.70
A 9.89
1.73
1.70
7.54
D
1.73
Gambar 2. 28 Diagram benda bebas akibat beban yang bekerja untuk menentukan R’
36. II-36
Reaksi pada tumpuan “buatan” C (R’) ditentukan dari :
ΣFH = 0
R’ = (4.42) + (1.70) = 6.12 kN (ke kanan)
Selanjutnya : -Ro + n R’ = 0
n=
R o 71.36
=
= 11.66
R'
6.12
Selanjutnya momen akhir sesungguhnya : M = Mo + n M’
Tabel 2.11 Momen akhir sesungguhnya Contoh 7
Titik Buhul
Batang
Mo
M’
n M’
M
A
AB
-43.2
+9.9
+115.3
+71.1
B
BA
-86.5
+7.8
+90.8
+4.4
C
BC
+86.5
-7.8
-90.8
-4.4
CB
-112.45
-6.1
-70. 9
-183.3
CD
+112.45
+6.1
+70. 9
+183.3
D
DC
+56.2
+7.5
+87.9
+144.1
Contoh 8. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal
seperti pada Gambar 2.30, dan gambarkan diagram gaya lintang, gaya
normal dan momen lenturnya.
Akibat beban yang tidak simetris portal mengalami goyangan kekiri,
seperti ditunjukkan pada Gambar 2.30(c) dan (d).
Angka kekakuan :
SFAC : SFAB =
4(EI ) 4(2 EI )
:
=1:1
4
8
SFBA : SFBD =
4(EI ) 4(2 EI )
:
=1:1
4
8
SFCE : SFCA : SFCD =
3(EI ) 4(EI ) 4(3 EI )
=3:4:6
:
:
4
4
8
SFDF : SFDB : SFDC =
3(EI ) 4(EI ) 4(3 EI )
:
:
=3:4:6
4
4
8
Angka distribusi:
DFAC =
1
= 0.50;
1+1
DFAB =
1
= 0.50
1+1
DFBA =
1
= 0.50;
1+1
DFBD =
1
= 0.50
1+1
37. II-37
90 kN
90 kN
B
A
B
RBo
D
A
RDo
(2EI)
(EI)
4m
(EI)
120 kN
120 kN
C
D
C
F
E
(3EI)
4m
(EI)
(EI)
E
2m
F
6m
(a)
(b)
∆1’
∆1’
RB’
B
A
B
A
∆2’
RB’
C
∆2’
C
F
F
E
(c)
(d)
Gambar 2. 30 Contoh 8
DFCE =
3
= 0.23;
3+4+6
DFCA =
4
= 0.31
3+4+6
DFCD =
6
= 0.46;
3+4+6
DFDDF
3
= 0.23
3+4+6
DFDB =
4
= 0.31;
3+4+6
DFDC =
6
= 0.46
3+4+6
Tahap I : Menentukan Mo akibat beban luar yang bekerja
Momen ujung jepit :
RD’’
D
D
E
RB’’
38. II-38
FEMAB = +
FEMBA =-
(90 × 2 × 6 )(6 ) = + 101.25 kN.m
82
(90 × 2 × 6 )(2 ) = -33.75 kN.m
82
FEMCD = +
FEMDC =-
(120 × 2 × 6 )(6 ) = + 135 kN.m
82
(120 × 2 × 6 )(2 ) = -45 kN.m
82
Selanjutnya distribusi momen akibat beban yang bekerja pada portal
diberikan pada Table 2.12.
Tabel 2.12 Distribusi momen akibat beban luar yang bekerja Contoh 8
Joint
Batang
DF
FEM
CE
0.23
0
-31.15
1.30
0.82
-0.016
Mo
-29.05
C
CD
0.46
135.00
-62.31
14.47
2.61
0.05
1.63
-0.17
-0.032
91.24
CA
0.31
0
-41.54
-20.12
1.74
-3.58
1.09
0.24
-0.022
-62.19
A
AC
0.50
0
-20.77
-40.24
0.87
-7.17
0.54
0.49
-0.01
0.04
-66.25
AB
0.50
101.25
B
BA
0.50
-33.75
-40.24
13.47
-20.12
26.94
-7.17
-1.51
0.49
-0.07
0.04
66.25
BD
0.50
0
DB
0.31
0
26.94
9.64
13.47
19.29
-3.03
0.03
-1.51
0.06
-0.14
-0.11
-0.07
-0.23
0.02
0.05
0.05
-33.38
33.38
0.024
0.002
31.03
-3.58
-3.03
0.24
-0.14
D
DC
0.46
-45.00
-31.15
DF
0.23
0
28.93
1.30
14.47
0.10
0.82
0.05
-0.34
-0.016
-0.17
0.003
-45.37
0.002
14.34
Diagram benda bebas dari distribusi momen akibat beban yang bekerja
diberikan pada Gambar 2.31. Besar dan arah reaksi pada tumpuan buatan
di B dan D dapat diketahui sebagai berikut :
RBo = (32.11) – (16.10 ) = 16.01 kN (ke kiri)
RDo = (32.11 + 3.60) – (16.10 + 7.26 ) = 12.34 kN (ke kanan)
Tahap II : Menentukan M’ akibat terjadinya goyangan ke kiri pada
titik buhul B.
39. II-39
66.25
32.11
33.38
90 kN
A
B
16.10
A
B
66.25
32.11
33.38
32.11
62.19
C
32.11
7.26
C
7.26
RBo = 16.01 kN
16.10
91.24
120 kN
45.37
C
D
29.05
16.10
31.03
D
16.10
3.60
RDo = 12.31 kN
14.39
7.26
D
3.60
3.60
E
F
Gambar 2. 31 Penentuan besar dan arah reaksi horizontal pada tumpuan buatan B dan D
akibat beban yang bekerja
Tabel 2.13 Distribusi momen akibat goyangan pada titik buhul B
Joint
Batang
DF
FEM
CE
0.23
0
13,85
-4,76
0,20
-0,040
M’
9,23
C
CD
0.46
0
27,69
7,92
-9,51
1,28
0,41
0,01
-0,079
0,01
27,69
CA
0.31
-60
18,46
12,69
-6,34
-2,16
0,27
0,16
-0,053
0,07
-36,92
A
AC
0.50
-60
9,23
25,38
-3,17
-4,33
0,14
0,32
-0,03
0,14
-32,31
AB
0.50
0
25,38
11,83
-4,33
-0,78
0,32
-0,25
B
BA
0.50
0
12,69
23,65
-2,16
-1,56
0,16
-0,51
0,14
-0,02
0,07
-0,039
32,31
32,31
BD
0.50
-60
DB
0.31
-60
23,65
5,28
11,83
10,56
-1,56
0,85
-0,78
1,70
-0,51
0,01
-0,25
0,01
-0,039
0,01
-32,31
-0,019
0,018
-36,92
D
DC
0.46
0
13,85
15,84
-4,76
7,92
2,56
0,20
1,278
0,02
-0,040
0,01
0,027
27,69
0,014
9,23
Akibat goyangan ke kiri seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.30(c),
momen yang serasi diambil berdasarkan perbandingan :
DF
0.23
0
40. II-40
FEMAC = FEMCA = -
6 EI∆'
42
FEMBD = FEMDB = -
6 EI∆'
42
Dan momen-momen serasinya adalah :
FEMAB = FEMBA = -60 kN.m
FEMDC = FEMCD = -60 kN.m
Selanjutnya distribusi momen akibat beban yang bekerja pada portal
diberikan pada Table 2.13 di atas.
32.31
17.31
32.31
A
B
A
17.31
17.31
17.31
36.92
C
17.31
2.31
9.23
B
32.31
27.69
C
C
2.31
RB’ = 34.6233
17.31
36.92
27.69
D
9.23
32.31
17.31
D
17.31
2.31
RD’ = 39.23 kN
D
2.31
2.31
2.31
E
F
Gambar 2. 32 Penentuan besar dan arah reaksi horizontal pada tumpuan buatan B dan D
akibat goyangan ke kiri pada titik buhul B
Besar dan arah reaksi pada tumpuan buatan di B dan D dapat diketahui
sebagai berikut :
RB’ = (17.31 + 17.31) = 34.62 kN (ke kiri)
RD’ = (17.31 + 17.31) + (2.31 + 2.31) = 39.23 kN (ke kanan)
41. II-41
Tahap III : Menentukan M” akibat terjadinya goyangan ke kiri pada
titik buhul B.
Akibat goyangan ke kiri seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.30(d),
momen yang serasi diambil berdasarkan perbandingan :
FEMAC = FEMCA = +
6 EI∆'
42
FEMBD = FEMDB = +
6 EI∆'
42
FEMCE = FEMDF = -
3 EI∆'
42
Dan momen-momen serasinya adalah :
FEMAB = FEMBA = +60 kN.m
FEMDC = FEMCD = +60 kN.m
FEMCE = FEMDF = -30 kN.m
Selanjutnya distribusi momen akibat beban yang bekerja pada portal
diberikan pada Table 2.14.
Tabel 2.14 Distribusi momen akibat goyangan pada titik buhul D
Joint
Batang
DF
FEM
CE
0.23
-30
-6.92
3.81
-0.32
-0.030
M’’
-33.46
C
CD
0.46
0
-13.85
-2.66
7.62
-0.85
-0.65
0.046
-0.060
-10.40
CA
0.31
60
-9.23
-13.85
5.08
2.25
-0.43
0.08
-0.040
43.86
A
AC
0.50
60
-4.62
-27.69
2.54
4.50
-0.22
0.17
-0.02
-0.05
34.61
AB
0.50
0
B
BA
0.50
0
-27.69
-11.54
-13.85
-23.08
4.50
-0.12
0.17
0.12
-0.05
-34.61
BD
0.50
60
DB
0.31
60
-23.08
-1.78
-11.54
-3.55
-0.24
-0.57
-0.12
-1.14
0.24
0.03
0.12
0.06
-0.025
-0.003
-0.003
-34.61
34.61
-0.001
0.010
43.86
2.25
-0.24
0.08
0.24
D
DC
0.46
0
-6.92
DF
0.23
-30
-5.33
3.81
-2.66
-1.70
-0.32
-0.85
0.09
-0.030
0.05
0.014
-10.40
0.007
-33.46
42. II-42
34.61
19.61
34.61
A
B
19.61
A
34.61
B
34.61
16.61
19.61
19.61
43.86
C
19.62
8.26
10.38
C
10.38
D
19.61
43.86
D
19.62
8.36
C
D
33.46
8.36
RB’’ = 39.23 kN
8.26
RD’’ = 55.96 kN
33.46
8.36
8.36
E
F
Gambar 2. 33 Penentuan besar dan arah reaksi horizontal pada tumpuan buatan B dan D
akibat goyangan ke kiri pada titik buhul D
Besar dan arah reaksi pada tumpuan buatan di B dan D dapat diketahui
sebagai berikut :
RB’’ = (19.62 + 19.62) = 39.24 kN (ke kanan)
RD’’ = (19.62 + 19.62) + (8.36 + 8.36) = 22.52 kN (ke kiri)
Dari hasil distribusi momen pada masing-masing tahapan diperoleh :
RBo = 16.01 kN (ke kiri)
RDo = 12.31 kN (ke kanan)
RB‘= 34.61 kN (ke kiri)
RD‘= 39.23 kN (ke kanan)
RB‘’= 39.23 kN (ke kanan)
RD‘’= 55.96 kN (ke kiri)
Persamaan simultan untuk factor n1 dan n2 :
RBo + n1RB’ + n2RB” = 0
-16.01 –34.61 n1 + 39.23n2 = 0 (a)
RDo + n1RD’ + n2RD” = 0
+12.31 + 39.23n1 – 55.96n2= 0 (b)
Dari persamaan (a) dan (b) diperoleh :
n1 = -1.038 dan n2 = -0.507
43. II-43
Momen akhir sesungguhnya adalah diberikan oleh persamaan (c) dan
ditabelkan dalam Tabel 2.15.
M = Mo + n1M’ + n2M” = 0
(c)
Tabel 2. 15 Hasil penghitungan momen akhir total Contoh 8
Joint
Batang
Mo
M’
M”
M
CE
-29.05
9,23
-33.46
C
CD
91.24
27,69
-10.40
CA
-62.19
-36,92
43.86
AC
-66.25
-32,31
34.61
A
AB
66.25
32,31
-34.61
BA
-33.38
32,31
-34.61
BD
33.38
-32,31
34.61
DB
31.03
-36,92
43.86
D
DC
-45.37
27,69
-10.40
DF
14.34
9,23
-33.46
-21.7
67.8
-46.1
-50.3
50.3
-49.3
49.3
47.1
-68.8
21.7
50.3
24.10
90 kN
B
49.3
A
B
24.10
67.625
22.375
22.375
67.625
A
B
50.3
24.11
49.3
24.10
46.1
24.10
24.10
C
D
67.625
47.1
22.375
67.8
24.10
5.42
120 kN
68.8
C
D
89.875
89.875
C
5.42
21.7
5.42
30.125
30.125
21.7
D
5.42
5.42
E
89.875
24.10
5.42
F
30.125
Gambar 2. 34 Diagram benda bebas hasil akhir distribusi momen Contoh 8
45. II-45
22.375
67.625
A
B
(-)
24.1
(-)
(-)
18.7
(+)
C
D
(-)
E
(-)
89.875
30.125
F
(c)
Gambar 2. 35 (a) Diagram gaya lintang (b) Diagram momen lentur dan (c) Diagram gaya
normal Contoh 8
Contoh 8. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal
seperti pada Gambar 2.36, dan gambarkan diagram gaya lintang, gaya
normal dan momen lenturnya. Semua elemen batang mempunyai nilai EI
yang sama.
Struktur portal adalah anti-simetris yang dapat ditinjau separuh
bentang.
Angka kekakuan :
SFAE : SFAB =
6 (EI ) 4(EI )
:
=6:4
5
5
SFBA : SFBF : SFBC =
4(EI ) 6 (EI ) 4(EI )
:
:
=4:6:4
5
5
5
SFCB : SFCG : SFCD =
4(EI ) 6 (EI ) 4(EI )
:
:
=4:6:4
5
5
5
