1. Nguyễn Tấn Đạt
1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Trong đề thi đại học, chúng ta thường gặp câu giải phương trình lượng giác. Câu này chiếm 1 điểm
trong đề và cũng không phải là câu khó. Tuy nhiên do phần kiến thức lượng giác nằm ở chương
trình lớp 11 nên các em học sinh cũng gặp không ít khó khăn.
Ở phần này, chúng ta sẽ xem xét một số bài lượng giác trong các đề thi đại học những năm gần đây.
Qua đó ta sẽ xem xét các phương pháp giải chủ yếu.
1. Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 - 2011
(Khối A) Giải phương trình
( )
2
1 sin 2x cos 2x
2 sin x sin 2x
1 co t x
+ +
=
+
Phân tích và giải:
Đối với phương trình lượng giác có chứa ẩn ở mẫu, việc đầu tiên là đặt điều kiện và qui đồng.
Điều kiện:
2
1 cot x 0, x
x k
sin x 0
ì + ¹ " Î
Û ¹ pí
¹î
¡
Phương trình đã cho tương đương:
( )2
1 sin 2x cos 2x 2 sin x sin 2x 1 co t x+ + = +
1 sin 2x cos 2x 2 2 cos xÛ + + = (1)
Phương trình (1) có hai loại biến x và 2x nên ta biến đổi đưa về phương trình tích. Vì vế phải chứa
số hạng cos x nên ta cần làm xuất hiện số hạng cos x ở vế trái.
Do đó:
( ) ( )2
1 2sin x cos x 2cos x 2 2 cos x cos x sin x cos x 2 0Û + = Û + - =
cos x 0 x k
2
,k
sin x 1
x k24
4
pé=é = + pêêÛ Û Îêpæ öê + = pç ÷ ê = + pê è øë êë
¢
So sánh điều kiện, ta được nghiệm: S k , k2 ,k
2 4
p pì ü
= + p + p Îí ý
î þ
¢
(Khối B) Giải phương trình sin 2x cos x sin x cos x cos 2x sin x cos x+ = + + (1)
Phân tích và giải:
Phương trình đã cho có hai loại biến x và 2x nên ta biến đổi đưa về phương trình tích.
Cách 1:
Vì vế trái có nhân tử chung là sin 2x nên ta biến đổi như sau:
( ) ( ) ( ) ( )1 sin 2x 2cos x 1 2cos x 2cos x 1 2 sin x 1Û + = + + -
( )( ) ( )2cos x 1 sin 2x 2cos x 2 sin x 1Û + - = -
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2cos x 1 cos x sin x 1 sin x 1
sin x 1 cos x 2cos x 1 1 0
sin x 1 cos2x cos x 0
Û + - = -
Û - + - =é ùë û
Û - + =

2. Nguyễn Tấn Đạt
2
( )
2
x k 2
x k3 3
cos2x cos x cos x 3 3
x k2
sin x 1
x k2
x k2 2
2
p pé
= + p péê = +ê= - = p-é ê
Û Û = -p + p Û êê ê
p= êë ê = + pp ê= + pê ë
ë
Cách 2:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
1 sin x 1 cos 2x sin x cos x cos 2x sin x cos x
cos 2x sin x 1 cos x sin x 1 0
sin x 1 cos 2x cos x 0
Û + + = + +
Û - + - =
Û - + =
Tiếp tục giải như trên.
Cách 3:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2
1 sin x 2cos x 1 sin x 1 cos x cos 2x
cos 2x sin x 1 sin x 1 cos x 0
sin x 1 cos 2x cos x 0
Û - + - =
Û - + - =
Û - + =
(Khối D) Giải phương trình
sin 2x 2cos x -sin x -1
0
tan x 3
+
=
+
(1)
Phân tích và giải:
Trước hết, ta đặt điều kiện:
x k
tan x 3 0 3
,k
cos x 0
x k
2
pì
¹ - + pïì + ¹ï ï
Û Îí í
p¹ïî ï ¹ + p
ïî
¢
Với điều kiện trên thì (1) tương đương: sin 2x 2cos x -sin x -1 0+ = (2)
Phương trình này có hai loại biến x và 2x nên ta biến đổi đưa về phương trình tích.
( ) ( ) ( )( )2cos x sin x 1 sin x 1 0 sin x 1 2cos x 1 0+ - + = Û + - =
sin x 1 x k2
2
,k1
cos x
x k22
3
pé
= - = - + pé ê
êÛ Û Îê
ê p= ê = ± + pë êë
¢
So sánh với điều kiện, ta được nghiệm là: x k2
3
p
= + p
2. Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 - 2010
(Khối A) Giải phương trình
( )1 sin x cos 2x sin x
14
cos x
1 tan x 2
pæ ö
+ + +ç ÷
è ø =
+
Nhận xét: có 3 loại biến tham gia x, 2x, x
4
p
+ nên định hướng là biến đổi lượng giác để rút gọn bài
toán.

3. Nguyễn Tấn Đạt
3
Ta có thể dùng công thức cộng để biến đổi ( )
1
sin x sin x cos x
4 2
pæ ö
+ = +ç ÷
è ø
Giải
Điều kiện:
x k
1 tan x 0 4 ,k
cos x 0
x k
2
pì
¹ - + pï+ ¹ì ï
Û Îí í
¹ pî ï ¹ + p
ïî
¢
( )
( )( ) ( )
( )( )
1 sin x cos 2x sin x
14
cos x
1 tan x 2
1 sin x cos 2x sin x cos x cos x 1 tan x
1 sin x cos 2x sin x cos x cos x sin x
pæ ö
+ + +ç ÷
è ø =
+
Û + + + = +
Û + + + = +
( )( )
sin x cos x 0
sin x cos x sin x cos2x 0
sin x cos2x 0
+ =é
Û + + = Û ê + =ë
* sin x cos x 0 x k
4
p
+ = Û = - + p không thỏa điều kiện.
* 2
sin x 1
sin x cos2x 0 2sin x sin x 1 0 1
sin x
2
=é
ê+ = Û - - = Û
ê = -
ë
So sánh điều kiện, ta được:
1
sin x
2
= -
7
x k2 , x k2
6 6
p p
Û = - + p = + p.
(Khối B) Giải phương trình ( )sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0+ + - = (1)
Nhận xét: Có 2 loại biến là x và 2x mà không thể đưa được phương trình một hàm lượng giác theo
một biến nên định hướng biến đổi để đặt thừa số chung.
Giải
( )
( )
1 sin2xcosx cos x cos 2x 2cos 2x sin x 0
cos 2x cos x 2 sin2xcosx-sinx = 0
Û + + - =
Û + +
( ) ( )2
cos 2x cos x 2 sin x 2cos x 1 = 0Û + + -
( )cos2x sin + cosx + 2 0Û = cos 2x 0 x k ,k
4 2
p p
Û = Û = + ΢ .
(Khối D) Giải phương trình sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0- + - - = (1)
Nhận xét: Có 2 loại biến x và 2x nhưng không thể đưa được về loại phương trình một hàm lượng
giác theo 1 biến nên ta biến đổi và rút thừa số chung.
Ta có thể thử nhóm số hạng như sau:
( )sin 2x cos x cos x 2sin x 1- = -
Như vậy các số hạng còn lại ta phải làm xuất hiện thừa số chung: cos x hoặc 2sin x 1-
nhưng ta thấy không thể làm xuất hiện cosx được nên các số hạng còn lại phải thành tam thức bậc
hai theo ẩn sin x và phải có nghiệm là
1
2
. Thật vậy:
( )( )2
cos 2x 3sin x 1 2sin x 3sin x 2 sin x 2 2sin x 1- + - = + - = + -

4. Nguyễn Tấn Đạt
4
Giải
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
2
1 cos x 2sin x 1 2sin x 3sin x 2 0
cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 2 0
2sin x 1 sin x cos x 2 0
Û - + + - =
Û - + - + =
Û - + + =
x k2
6
2sin x 1 ,k
5
x k2
6
pé
= + pê
Û - Û Îê
pê = + p
êë
¢
3. Đề thi tuyển sinh đại học năm 2008 - 2009
( Khối A) Giải phương trình
(1 2sin x)cosx
3
(1 2sin x)(1 sin x)
-
=
+ -
Giải
Điều kiện:
1 7
sin sin 1 2 2 2
2 6 6 2
¹ - Ù ¹ Û ¹ - + Ù ¹ + Ù ¹ +x x x k x k x k
p p p
p p p
Khi đó:
( )1 (1 2sin x)cos x 3(1 2sin x)(1 sin x)Û - = + -
Ta thấy hai vế không có nhân tử chung nên chỉ còn cách nhân phân phối và rút gọn:
( )
( ) ( )
2
cos x sin 2x 3 1 2sin x sin x
cos x sin 2x 3 sin x cos2x 2
Û - = - +
Û - = +
Nhận xét: có 2 loại biến là x và 2x nhưng ngay từ đầu hai vế đã không có nhân tử chung nên ta
không biến đổi theo cách thông thường nhằm đưa về phương trình tích mà cần chú đây là dạng
quen thuộc: a sin u bcosu csin v dcos v+ = + với 2 2 2 2
a b c d+ = +
Thậy vậy:
( )2 3 cos x sin x cos2x 3sin 2x sin x sin 2x
3 6
p pæ ö æ ö
Û + = - Û + = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
22 2
3 6 18 3
2 2 2
3 6 2
é é+ = - + = - +ê ê
ê Û ê
æ öê ê+ = - - + = - +ç ÷ê êëè øë
x x k x k
x x k x k
p p p pp
p p p
p p p
So sánh với điều kiện bằng cách vẽ đường tròn lương giác, ta được tập nghiệm là:
2
, 2 ,
18 3 2
ì ü
= - + - + Îí ý
î þ
¢S k k k
p p p
p
(Khối B) Giải phương trình 3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)+ + = +
Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x, 2x, 3x, 4x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng
giác để rút gọn đề toán.
Vì cần hạ bậc số hạng 3
sin x nên ta dùng công thức nhân ba:
( )3 3 1
sin3x 3sin x - 4sin x sin x 3sin x sin3x
4
= Þ = -
Giải

5. Nguyễn Tấn Đạt
5
3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)+ + = +
( )
1 3 1
sin x sin 3x sin x 3 cos3x 2(cos 4x sin x sin 3x)
2 4 4
Û + + + = + -
1 3 3 1
sin 3x sin x 3 cos3x 2cos 4x sin x sin 3x
2 2 2 2
Û + + = + -
sin 3x 3 cos3x 2cos 4xÛ + =
1 3
sin 3x cos3x cos 4x
2 2
Û + =
cos 4x cos 3x 0
6
pæ ö
Û - - =ç ÷
è ø
7x x
2sin sin 0
2 12 2 12
p pæ ö æ ö
Û - - + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
27x
x kk
42 72 12
x
m x m2
2 12 6
p pp éé
= +- = p êê
Û Û êê
p -pêê + = p = + p
êêë ë
(Khối D) Giải phương trình 3cos5x 2sin3xcos2x sin x 0- - = (1)
Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x, 2x, 3x, 5x nên định hướng là biến đổi lượng giác để rút
gọn đề toán.
Muốn biến đổi số hạng sin3x cos2x ta cần dùng công thức ( ) ( )
1
sin a cosb sin a b sin a b
2
= + + -é ùë û
Giải
( ) ( )1 3 cos5x sin5x sin x sin x 0 3 cos5x sin5x 2sin xÛ - + - = Û - = (2)
Đến đây, ta gặp một dạng phương trình quen thuộc: 2 2
a sin u bcosu a b sin v+ = +
Phương trình này giải như là phương trình bậc nhất theo sin, cos:
( )
x k
18 32 sin 5x sin x , k .
3 x k
6 2
p pé
= +êpæ ö
Û - = Û Îç ÷ ê p pè ø = - +ê
ë
¢
4. Đề thi tuyển sinh đại học năm 2007 - 2008
(Khối A) Giải phương trình:
1 1 7
4 sin
3sin 4
sin
2
x
x
x
p
p
æ ö
+ = -ç ÷
æ ö è ø-ç ÷
è ø
Nhận xét: có 3 loại biến
3 7
, ,
2 4
- -x x x
p p
nên định hướng dùng cung liên kết và biến đổi lượng giác.
Giải
3
sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
p p p
p
æ ö æ ö æ ö
- = + - = + =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
( )
7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
p p p
p
æ ö æ ö æ ö
- = - - = - + = - +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Phương trình trở thành:

6. Nguyễn Tấn Đạt
6
1 1
2 2(sin cos ) 0
sin cos
x x
x x
+ + + =
Điều kiện:
sin 0
,
cos 0 2
x
x k k
x
p¹ì
Û ¹ Îí
¹î
¢
1
(sin cos ) 2 2 0
sin .cos
x x
x x
æ ö
Û + + =ç ÷
è ø
sin 0
4
1
sin 2
2
x
x
pé æ ö
+ =ç ÷ê
è øêÛ
ê -
=ê
ë
4
8
5
8
é
= - +ê
ê
-êÛ = +
ê
ê
ê = +
êë
x k
x k
x k
p
p
p
p
p
p
Tất cả các họ nghiệm đều thỏa điều kiện.
(Khối B) Giải phương trình: 3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cos- = -x x x x x x
Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3
Giải
Xét cosx = 0 không thỏa phương trình.
Vậy với cosx ≠ 0: Chia 2 vế cho cos3
x, đặt t = tanx
3 2
t 3 3 0t t+ - - = 2
( 3)( 1) 0t tÛ + - = 3 1t tÛ = - Ú = ±
3 4
x k x k
p p
p pÛ = - + Ú = ± +
( Khối D) Giải phương trình: ( )2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx+ + = +
Nhận xét: Tương tự đề khối B 2009-2010
Giải
( )2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx+ + = + 2
4sin cos 2sin cos 1 2cosÛ + = +x x x x x
2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosÛ + = +x x x x (1 2cos )(sin 2 1) 0Û + - =x x
1
cos
2
sin 2 1
é
= -êÛ
ê
=ë
x
x
2
2
3
4
x k
x k
p
p
p
p
é
= ± +ê
Û ê
ê = +
êë
Qua một số đề thi đại học những năm gần đây, ta thấy câu giải phương trình lượng giác chủ yếu
kiểm tra hai kĩ năng giải toán của học sinh là biến đổi lượng giác để đặt nhân tử chung đưa về
phương trình tích và so sánh nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu.
Như vậy, để làm tốt câu lượng giác, học sinh cần nhớ các công thức lượng giác, biết giải các phương
trình lượng giác cơ bản, biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác đồng thời phải rèn
luyện kĩ năng biến đổi đại số.