2. 1.1. Οριηόντια βολι
Σι παρατθρείτε για τθν κίνθςθ
του αντικειμζνου Β ςε ςχζςθ με
τθν κίνθςθ του Α;
3. 1.1. Οριηόντια βολι
Από τθν εικόνα φαίνεται ότι τισ ίδιεσ
χρονικζσ ςτιγμζσ βρίςκονται ςτο ίδιο
φψοσ, δθλαδι ζχουν διανφςει τθν
ίδια κατακόρυφθ απόςταςθ.
Το αντικείμενο Β ενϊ πζφτει
ταυτόχρονα μετατοπίηεται και
οριηόντια.
Από τθ φωτογραφία φαίνεται ότι το
αντικείμενο Β διανφει ίςα οριηόντια
διαςτιματα ςε ίςουσ χρόνουσ.
Η κίνθςθ που κάνει το αντικείμενο Β
λζγεται οριηόντια βολι.
4. 1.1. Οριηόντια βολι
Αν δεν υπιρχε θ δφναμθ τθσ βαρφτθτασ τι κίνθςθ κα ζκανε το
νόμιςμα Β μετά το χτφπθμα από τον χάρακα;
Αν δεν υπιρχε θ αρχικι οριηόντια ταχφτθτα από το χτφπθμα του
χάρακα, τι κίνθςθ κα ζκανε το νόμιςμα Β, όταν κα αφθνόταν
ελεφκερο από το ίδιο φψοσ;
Η κίνθςθ του νομίςματοσ Β είναι απλι ι ςυνδυαςμόσ άλλων απλϊν κινιςεων;
Τα δφο νομίςματα αρχίηουν τισ κινιςεισ τουσ ςυγχρόνωσ.
Μιπωσ επίςθσ φκάνουν ςυγχρόνωσ ςτο δάπεδο;
5. 1.1. Οριηόντια βολι
Τι ςυμπεραίνεισ για τισ
(κατακόρυφεσ) επιταχφνςεισ τουσ;
Η οριηόντια κίνθςθ του νομίςματοσ
Β επθρεάηει τθν άλλθ επιμζρουσ
κίνθςι του (τθν πτϊςθ του κατά
τθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ);
Είναι ανεξάρτθτθ θ μία κίνθςθ από τθν άλλθ;
Μποροφμε επομζνωσ, όταν αςχολοφμαςτε με μία ςφνκετθ
κίνθςθ ςϊματοσ, να μελετοφμε ξεχωριςτά τισ επιμζρουσ
απλζσ κινιςεισ που τθ ςυνκζτουν;
6. 1.1. Οριηόντια βολι
Συνοψίηοντασ, μποροφμε να
υποςτθρίξουμε ότι θ οριηόντια βολι
είναι ςφνκετθ κίνθςθ που
αποτελείται από δφο απλζσ κινιςεισ,
μία κατακόρυφθ που είναι ελεφκερθ
πτϊςθ και μία οριηόντια που είναι
ευκφγραμμθ ομαλι.
Για να περιγράψουμε τισ ςφνκετεσ κινιςεισ
χρθςιμοποιοφμε τθν αρχι ανεξαρτθςίασ (ι
αρχι τθσ επαλλθλίασ) των κινιςεων, που
διατυπϊνεται ωσ εξισ:
“Όταν ζνα κινθτό εκτελεί ταυτόχρονα δφο ι περιςςότερεσ κινιςεισ, κάκε μία
απ' αυτζσ εκτελείται εντελϊσ ανεξάρτθτα από τισ υπόλοιπεσ και θ κζςθ ςτθν
οποία φτάνει το κινθτό μετά από χρόνο t, είναι θ ίδια είτε οι κινιςεισ
εκτελοφνται ταυτόχρονα, είτε εκτελοφνται διαδοχικά, ςε χρόνο t κάκε μία”.
7. 1.1. Οριηόντια βολι
Για τον υπολογιςμό τθσ ταχφτθτασ και τθσ
μετατόπιςθσ, μετά από χρόνο t, γράφουμε
το διανυςματικό άκροιςμα των ταχυτιτων
ι των μετατοπίςεων αντίςτοιχα, που κα είχε
το κινθτό, αν εκτελοφςε κάκε μία κίνθςθ
ανεξάρτθτα και επί χρόνο t.
Δθλαδι:
Ασ επανζλκουμε ςτο αρχικό παράδειγμα για να
μελετιςουμε τθν κίνθςθ του αντικειμζνου Β. Ζςτω h
ότι είναι το φψοσ από το οποίο βάλλεται οριηόντια με
ταχφτθτα υ0 το αντικείμενο Β.
8. 1.1. Οριηόντια βολι
Άξονασ Οx: Η κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι με ταχφτθτα υ0 και
οι εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν κίνθςθ κατά τθ διεφκυνςθ (x)
είναι:
υx = υ0
x = υ0·t
Άξονασ Oy: Η κίνθςθ είναι ελεφκερθ πτϊςθ που είναι κίνθςθ
ευκφγραμμθ ομαλά επιταχυνόμενθ χωρίσ αρχικι ταχφτθτα με
επιτάχυνςθ g.
υy = g·t
y = 1/2·g·t2
10. 1.1. Οριηόντια βολι
Ποιουσ παράγοντεσ πρζπει να λάβει υπόψθ ο πιλότοσ ϊςτε θ
βόμβα να χτυπιςει το ςτόχο;
Είναι προφανζσ ότι, οι παράγοντεσ που κα παίξουν κακοριςτικό ρόλο, είναι το φψοσ
ςτο οποίο το αεροπλάνο πετά, θ ταχφτθτά του και θ οριηόντια απόςταςι του από το
ςτόχο τθ ςτιγμι που απελευκερϊνει τθ βόμβα.
Η κίνθςθ τθσ βόμβασ ςτον κατακόρυφο άξονα είναι ελεφκερθ πτϊςθ (υ = υ0) και άρα
ιςχφει:
h = 1/2·g·t2
11. 1.1. Οριηόντια βολι
Το οριηόντιο διάςτθμα που κα διανφςει θ βόμβα, προςδιορίηεται από τθ ςχζςθ:
s = υ0·t
όπου υ0 είναι θ οριηόντια ταχφτθτα τθσ βόμβασ, που είναι ίςθ με τθν ταχφτθτα του
αεροπλάνου τθ ςτιγμι που αυτι απελευκερϊνεται.
Συνεπϊσ, για να ςυναντιςει θ βόμβα το ςτόχο, το αεροπλάνο πρζπει να τθν
απελευκερϊςει, όταν απζχει απ' αυτόν οριηόντια απόςταςθ s = υ0·t.
Τθ χρονικι ςτιγμι που θ βόμβα βρίςκει το ςτόχο το αεροπλάνο βρίςκεται ςτθν ίδια
κατακόρυφθ (αεροπλάνο και βόμβα ζχουν ίδια οριηόντια ταχφτθτα άρα μετατοπίηονται
το ίδιο ςτθν οριηόντια διεφκυνςθ ςτον ίδιο χρόνο).
12. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Η Γθ περιςτρζφεται γφρω από τον άξονά τθσ
με ςτακερι περίοδο. Αν τοποκετιςουμε ςτο
Βόρειο Πόλο μία φωτογραφικι μθχανι, αυτι
ςτθ διάρκεια τθσ νφχτασ κα φωτογραφίςει τισ
τροχιζσ των άςτρων. Όπωσ φαίνεται ςτθ
φωτογραφία, τα άςτρα φαίνεται να κάνουν
κυκλικι κίνθςθ.
Το αυτοκίνθτο κινείται ςτθν
κυκλικι πλατεία με ςτακερι
ταχφτθτα.
13. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Ομαλι χαρακτθρίηεται θ κυκλικι κίνθςθ ενόσ κινθτοφ,
όταν θ τιμι τθσ ταχφτθτάσ του παραμζνει ςτακερι.
Ο χρόνοσ που χρειάηεται το κινθτό για να κάνει μία
περιφορά, λζγεται περίοδοσ τθσ κυκλικισ κίνθςθσ και
ςυμβολίηεται με Τ.
Ο αρικμόσ των περιφορϊν που εκτελεί το κινθτό ςτθ
μονάδα του χρόνου λζγεται ςυχνότθτα τθσ κυκλικισ
κίνθςθσ και ςυμβολίηεται με f.
Από τον οριςμό τθσ ςυχνότθτασ προκφπτει ότι θ περίοδοσ και θ ςυχνότθτα
ςυνδζονται με τθ ςχζςθ:
Μονάδα τθσ ςυχνότθτασ είναι ο κφκλοσ ανά δευτερόλεπτο (c/s) που λζγεται 1Hz (Χερτη)
προσ τιμι του φυςικοφ Hertz που κεωρείται ζνασ από τουσ πρωτοπόρουσ ςτθ μελζτθ των
θλεκτρομαγνθτικϊν κυμάτων.
Πολλαπλάςια τθσ μονάδασ αυτισ είναι:
1kHz = 103Hz, 1MHz = 106Ηz, 1GHz = 109Ηz.
14. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γραμμικι ταχφτθτα
Σφμφωνα με τον οριςμό τθσ ομαλισ κυκλικισ
κίνθςθσ θ τιμι τθσ ταχφτθτασ του κινθτοφ
παραμζνει ςτακερι, ενϊ θ κατεφκυνςι τθσ
μεταβάλλεται ςυνεχϊσ, επειδι κάκε ςτιγμι
είναι εφαπτόμενθ ςτθν τροχιά.
Άρα τα διανυόμενα τόξα είναι ανάλογα των
χρόνων ςτουσ οποίουσ διανφονται.
Επομζνωσ το μζτρο τθσ ταχφτθτάσ του, που ονομάηεται γραμμικι ταχφτθτα κα είναι:
15. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Ασ υποκζςουμε ότι τθ χρονικι ςτιγμι t = 0 το
κινθτό βρίςκεται ςτθ κζςθ Α και μετά από χρόνο
Δt, κινοφμενο με γραμμικι ταχφτθτα υ, βρίςκεται
ςτθ κζςθ Β, ζχοντασ διανφςει το τόξο Δs. Η κζςθ
του κινθτοφ πάνω ςτθν τροχιά του μπορεί να
προςδιοριςκεί, κάκε ςτιγμι, με δφο τρόπουσ :
1) Με τθ μζτρθςθ του μικουσ του τόξου ΑΒ (Δs = υ·Δt).
2) Με τθ μζτρθςθ τθσ γωνίασ AÔB (AÔB = Δκ) τθν οποία
διαγράφει μία ακτίνα, που κεωροφμε ότι ςυνδζει κάκε ςτιγμι το
κινθτό με το κζντρο τθσ τροχιάσ του (επιβατικι ακτίνα). Ζτςι όταν
το κινθτό κα ζχει “διανφςει” τόξο μικουσ Δs θ επιβατικι ακτίνα
κα ζχει “διαγράψει” επίκεντρθ γωνία Δκ.
Γραμμικι ταχφτθτα
16. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γωνιακι ταχφτθτα
Ζςτω τρία ςθμεία A, Β και Γ του δίςκου που
βρίςκονται πάνω ςτθν ίδια ακτίνα.
Σε ζνα μικρό χρονικό διάςτθμα, τα τρία ςθμεία
βρίςκονται ςτισ κζςεισ A′, Β′ και Γ′ αντίςτοιχα και ζχουν
διαγράψει τθν ίδια γωνία κ.
Ωςτόςο, τα μικθ των αντίςτοιχων τόξων ΑΑ′, ΒΒ′, ΓΓ′
είναι διαφορετικά μεταξφ τουσ, γεγονόσ που ςθμαίνει
ότι οι γραμμικζσ ταχφτθτεσ των ςθμείων Α, Β, Γ,
διαφζρουν
Στθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ λοιπόν, εκτόσ από τθν ταχφτθτα (γραμμικι) που
δίνει το ρυκμό με τον οποίο διανφει το κινθτό διαςτιματα, χρειαηόμαςτε και
ζνα άλλο μζγεκοσ που να δείχνει με τι ρυκμό θ επιβατικι ακτίνα διαγράφει
γωνίεσ.
Γι' αυτό ορίηουμε ζνα νζο φυςικό μζγεκοσ που λζγεται γωνιακι ταχφτθτα και
ςυμβολίηεται με ω.
17. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γωνιακι ταχφτθτα
• Η τιμι είναι ίςθ με το ςτακερό πθλίκο τθσ γωνίασ κ που
διαγράφθκε από τθν επιβατικι ακτίνα ςε χρονικό
διάςτθμα t διά του αντίςτοιχου χρονικοφ διαςτιματοσ.
Γωνιακι ταχφτθτα ςτθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ ενόσ
κινθτοφ, ονομάηουμε ζνα διανυςματικό μζγεκοσ του
οποίου:
• Η διεφκυνςθ είναι κάκετθ ςτο επίπεδο τθσ τροχιάσ.
• Η φορά κακορίηεται με τον κανόνα του δεξιοφ χεριοφ όπωσ ςτθν εικόνα.
Το διάνυςμα ζχει τθ φορά, του αντίχειρα του δεξιοφ χεριοφ όταν θ φορά
περιςτροφισ του κινθτοφ ςυμπίπτει με τθ φορά των υπόλοιπων δακτφλων.
18. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γωνιακι ταχφτθτα
Ωσ μονάδα γωνιακισ ταχφτθτασ χρθςιμοποιοφμε το ακτίνιο ανά
δευτερόλεπτο (1rad/s)
19. χζςθ μεταξφ τθσ γραμμικισ και τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ
1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Η ςχζςθ αυτι ςυνδζει τθ γραμμικι ταχφτθτα με τθ γωνιακι και με τθν ακτίνα
τθσ τροχιάσ.
Φαίνεται απ' αυτιν πωσ όλα τα ςθμεία ενόσ περιςτρεφόμενου δίςκου, ενϊ
ζχουν τθν ίδια γωνιακι ταχφτθτα (ω), ζχουν γραμμικζσ ταχφτθτεσ (υ) θ τιμι
των οποίων είναι ανάλογθ με τθν απόςταςι τουσ από τον άξονα (κζντρο)
περιςτροφισ.
20. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ
Στθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ θ τιμι τθσ
ταχφτθτασ είναι ςτακερι, όμωσ θ
διεφκυνςθ και θ φορά αλλάηουν ςυνεχϊσ.
Άρα το διάνυςμα τθσ ταχφτθτασ αλλάηει
με αποτζλεςμα να εμφανίηεται
επιτάχυνςθ που ζχει κατεφκυνςθ προσ το
κζντρο τθσ κυκλικισ τροχιάσ και λζγεται
κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ ακ.
