1. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Μηχανική είναι το τμήμα εκείνο των Θετικών Επιστημών το οποίο εξετάζει
την ισορροπία καθώς και την κίνηση των σωμάτων.
Η Μηχανική των στερεών χωρίζεται:
α) Στη Μηχανική του απαραμόρφωτου σώματος , που είναι γνωστή και σαν
Στατική .
β) Στη Μηχανική του παραμορφώσιμου σώματος που είναι γνωστή και σαν
Αντοχή των Υλικών .
Η Στατική, εξετάζει βασικά τις συνθήκες ισορροπίας των σωμάτων . Για
τη μελέτη αυτή θεωρεί τα σώματα απαραμόρφωτα, δηλαδή ότι με την επίδραση
εξωτερικών δυνάμεων επάνω τους, αυτά εξακολουθούν να διατηρούν το αρχικό τους
σχήμα και τις διαστάσεις τους, δηλαδή δεν παραμορφώνονται.
Αντίθετα, η Αντοχή των Υλικών δέχεται ότι τα σώματα παραμορφώ νο-
νται με την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων (ή και ροπών), γεγονός που συμβαίνει
στην πραγματικότητα.
Στο Κεφάλαιο 2 θα αναφερθούμε στις βασικότερες έννοιες της Στατικής,
πολλές από τις οποίες είναι γνωστές και από άλλα μαθήματα. Θα ασχοληθούμε με τη
σύνθεση και την ανάλυση των δυνάμεων στο επίπεδο, με τις συνθήκες ισορροπίας
των σωμάτων και θα εξετάσουμε πώς εφαρμόζονται αυτές στην πράξη. Επίσης θα
αναφερθούμε στην τριβή ολίσθησης καθώς και στην τριβή κύλισης.
Στο Κεφάλαιο 3 θα αναπτύξουμε τα περί Αντοχής των Υλικών. Θα
αναφερθούμε σε ορισμένα θεωρήματα της Θεωρίας Ελαστικότητας και θα εξετάσουμε
τρόπους για τον υπολογισμό της εντατικής κατάστασης των φορέων.
Τέλος, το Κεφάλαιο 4 περιλαμβάνει υπενθυμίσεις από τα Μαθηματικά
εργαλεία που χρησιμοποιεί η Μηχανική για τη θεωρητική θεμελίωση της. Θα
αναπτυχθούν στοιχεία διανυσματικού λογισμού, θεωρίας πινάκων και ολοκληρωτικού
λογισμού.
Προκειμένου να μελετήσουμε τα πιο πάνω, θα υπενθυμίσουμε πρώτα - πρώτα
μερικές βασικές έννοιες, όπως της δύναμης, της ροπής κ.λ.π.
1

2. 2. ΣΤΑΤΙΚΗ
2.1. Δυνάμεις
2.1.1. Δύναμη
Η έννοια της δύναμης είναι θεμελιώδης και δεν υπάρχει ως εκ τούτου
ορισμός για την περιγραφή της. Η δύναμη μπορεί να γίνει αισθητή μόνο από τα
αποτελέσματά της, που είναι εφαρμογή έλξης ή άπωσης στα φυσικά σώματα. Αν
έλξουμε ή ωθήσουμε ένα σώμα τότε δύο αποτελέσματα είναι δυνατό να συμβούν:
1. Το σώμα θα αρχίσει να κινείται προς τη διεύθυνση που ασκούμε τη
δύναμη. Χειροπιαστό παράδειγμα είναι η ρυμούλκηση ενός οχήματος το οποίο είναι
δεμένο σε προπορευόμενο όχημα. Το πίσω όχημα θα ακολουθήσει την πορεία του
ρυμουλκού, δηλαδή της ελκτικής δύναμης που του ασκείται.
2. Το σώμα δεν θα μετατοπισθεί, αλλά θα παραμορφωθεί στην περιοχή που
ασκείται η δύναμη. Αν σπρώξουμε ελαφρά ένα μαξιλάρι, εκείνο δεν θα μετατοπισθεί,
αλλά θα δημιουργηθεί ένα βαθούλωμα στο σημείο που ασκούμε τη δύναμη. Το
βαθούλωμα αυτό είναι μια τοπική παραμόρφωση. Με αύξηση της δύναμης θα έχουμε
αύξηση της παραμόρφωσης. Περισσότερη αύξηση της δύναμης θα προκαλέσει
έναρξη κίνησης του μαξιλαριού.
Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος , συνεπώς για την μέτρησή της
χρειάζεται να γνωρίζουμε το μέτρο και τη διεύθυνσή της. Είναι, όμως, γνωστό ότι το
αποτέλεσμα μιας δύναμης είναι διαφορετικό, αν δράσει σε διαφορετικό σημείο. Στο
πιο πάνω παράδειγμα του μαξιλαριού η παραμόρφωση θα είναι διαφορετική αν η
δύναμη ασκηθεί σε διαφορετικό σημείο. Γι’ αυτό, στη Μηχανική, η δύναμη
χαρακτηρίζεται σαν εφαρμοσμένο διάνυσμα , και για τον προσδιορισμό της
απαιτείται επί πλέον το σημείο εφαρμογής της.
Όταν δύο υλικά σώματα βρίσκονται σε επαφή, αναπτύσσονται αμοιβαία
μεταξύ τους δυνάμεις, με σημείο εφαρμογής το σημείο επαφής των σωμάτων. Οι
δυνάμεις αυτές έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες φορές, ονομάζονται δε δυνάμεις
επαφής . Η επαφή δύο σωμάτων δεν είναι ποτέ σημειακή, με την μαθηματική έννοια.
Πάντα δύο σώματα εφάπτονται σε μια, έστω και πολύ μικρή, επιφάνεια. Οι δυνάμεις
επαφής ασκούνται κάθετα σε αυτή την επιφάνεια επαφής.
Μία από τις βασικότερες αρχές της Στατικής είναι η λεγόμενη αρχή της
δράσης - αντίδρασης που διατυπώνεται λεκτικά με τη φράση:
2

3. Όταν ένα σώμα Α ασκεί σε ένα άλλο σώμα Β μία δύναμη Ρ 1 (δράση), τότε και
το σώμα Β ασκεί στο σώμα Α(στο κοινό σημείο επαφής) μία δύναμη Ρ 2 (αντίδραση),
η οποία έχει το ίδιο μέτρο, τον ίδιο φορέα αλλά αντίθετη φορά από την Ρ1.
Έστω, για παράδειγμα, μία σφαίρα που εδράζεται επάνω σε μία επίπεδη
επιφάνεια. Η σφαίρα ασκεί επάνω στην επιφάνεια μία δύναμη W (δράση), ίση με το
βάρος της. Τότε και η επιφάνεια ασκεί στη σφαίρα μία δύναμη (αντίδραση ) ίσου
μέτρου αλλά αντίθετης φοράς με αυτήν της W.
Ένα σύνολο δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα ή περισσότερα σώματα,
αποτελούν ένα σύστημα δυνάμεων.
Δυνάμεις ασκούνται επίσης σε σώματα που βρίσκονται μέσα σε ενεργά πεδία
(βαρυτικό, ηλεκτρομαγνητικό κλπ), ανάλογα με τις ιδιότητες της ύλης τους. Οι
δυνάμεις αυτές ονομάζονται δυνάμεις πεδίου .
Στατική λέγεται το ειδικό κεφάλαιο της Μηχανικής που εξετάζει τα σώματα
σαν απόλυτα στερεά δηλαδή απαραμόρφωτα . Στο προηγούμενο παράδειγμα του
οχήματος, η ρυμούλκησή του δεν προκαλεί παραμόρφωση σε αυτό, αλλά μόνο
κίνηση. Η Στατική παραδέχεται ότι το αποτέλεσμα της δράσης μιας δύναμης σε ένα
σώμα δεν εξαρτάται από το σημείο εφαρμογής της αλλά μόνο από το μέτρο το
φορέα και τη διεύθυνσή της. Η δύναμη κατά τη Στατική είναι ολισθαίνον
διάνυσμα. Στο παράδειγμα της ρυμούλκησης αυτοκινήτου, η κίνηση του αυτοκινήτου
θα είναι η ίδια αν, αντί να το έλξουμε από εμπρός, το σπρώξουμε στο πίσω μέρος
του. Συνεπώς η δύναμη μπορεί να εφαρμοσθεί σε οποιοδήποτε σημείο του
αυτοκινήτου, αρκεί να έχει τη διεύθυνση προς την οποία θέλουμε να κινηθεί το όχημα
και μέγεθος τόσο ώστε να αρχίσει η κίνηση.
3

4. 2.1.2. Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος
Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) είναι το διάγραμμα, που θα
προκύψει με την απομάκρυνση όλων των σωμάτων με τα οποία το μελετώμενο σώμα
έρχεται σε επαφή και την αντικατάστασή τους με τις αντίστοιχες δυνάμεις επαφής,
καθώς και την τοποθέτηση των δυνάμεων που προκαλούνται από πεδία.
Τελικά το Δ.Ε.Σ. είναι η σχεδίαση του σώματος με τις εφαρμοζόμενες σε αυτό
δυνάμεις. Παράδειγμα ακολουθεί στο επόμενο σχήμα.
Σε ένα δοχείο τοποθετούνται τρεις σφαίρες A, B, C όπως φαίνεται αριστερά
στο σχήμα. Δεξιά, βλέπετε τα Δ.Ε.Σ. των τριών σφαιρών:
Η σφαίρα Α δέχεται δύναμη από την επαφή της με τη σφαίρα C, από τις δύο
επαφές της με τα τοιχώματα του δοχείου και από το βαρυτικό πεδίο της γης (το βάρος
της). Συνολικά δηλαδή 4 δυνάμεις.
Η σφαίρα Β δέχεται και αυτή 4 δυνάμεις, για τους ίδιους λόγους, που
περιγράφηκαν για τη σφαίρα Α.
Η σφαίρα C δέχεται δυνάμεις επαφής από τις σφαίρες A και B και τη δύναμη
του βάρους της.
2.1.3. Γραφική Σύνθεση Δυνάμεων
Έστω δύο δυνάμεις Ρ1 και Ρ2 οι οποίες σχηματίζουν γωνία φ μεταξύ τους και
επενεργούν στο υλικό σημείο Α. Για το γραφικό προσδιορισμό της συνισταμένης,
ισχύει ο γνωστός κανόνας του παραλληλογράμμου
4

5. " Η συνισταμένη δύναμη R δύο δυνάμεων Ρ1 (ΑΒ) και Ρ2 (ΑΔ) είναι το
διάνυσμα το οποίο παριστάνεται με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου (ΑΓ), το
οποίο έχει προσκείμενες πλευρές τις συνιστώσες Ρ1 και Ρ2 ".
Μία παραπλήσια κατασκευή με αυτή του παραλληλογράμμου είναι η
κατασκευή του δυναμοτριγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση δύο δυνάμεων) ή
δυναμοπολυγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση περισσοτέρων δυνάμεων). Το
διάνυσμα Α'Γ' είναι η συνισταμένη δύναμη (R) των δυνάμεων Ρ1 και Ρ2.
Στην περίπτωση που έχουμε να συνθέσουμε περισσότερες από δύο
δυνάμεις, η συνισταμένη δύναμη βρίσκεται είτε με διαδοχική εφαρμογή του κανόνα
του παραλληλογράμμου, είτε με εφαρμογή του δυναμοπολυγώνου. Για παράδειγμα,
έστω ότι οι δυνάμεις Ρ1, Ρ2, Ρ3 ενεργούν στο ίδιο υλικό σημείο Α. Τότε η
συνισταμένη δύναμη R βρίσκεται με τις μεθόδους που προαναφέραμε.
5

6. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι στην περίπτωση του δυναμοπολυγώνου, η
συνισταμένη δύναμη R προκύπτει πάντα η ίδια, ανεξάρτητα από τη σειρά με
την οποία προσθέτουμε τις δυνάμεις . Αυτό σημαίνει ότι, για το ίδιο σύστημα
δυνάμεων είναι δυνατό να σχηματίζονται περισσότερα από ένα δυναμοπολύγωνα,
που τελικά όμως δίνουν την ίδια συνισταμένη.
Αν συμβεί το πέρας του τελευταίου διανύσματος να συμπέσει με την αρχή του
πρώτου, τότε η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, οπότε λέμε ότι το σύστημα των
δυνάμεων βρίσκεται σε ισορροπία. Ισχύει όμως και η αντίστροφη πρόταση κατά την
οποία:
Αν ένα σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων, οι οποίες ασκούνται σε ένα υλικό
σημείο Α, βρίσκεται σε ισορροπία, τότε το δυναμοπολύγωνο των δυνάμεων αυτών
είναι κλειστό.
2.1.4. Αναλυτική Σύνθεση Δυνάμεων
Έστω ότι δύο δυνάμεις Ρ1 και Ρ2 ενεργούν στο ίδιο υλικό σημείο Α και
σχηματίζουν γωνία φ μεταξύ τους.
Από το παραλληλόγραμμο που σχηματίζουν οι συνιστώσες Ρ1 και Ρ2, με
βάση το γνωστό θεώρημα των συνημιτόνων, έχουμε τη σχέση
Επειδή τα διανύσματα ΑΓ, ΑΒ, ΑΔ παριστάνουν τις δυνάμεις R, Ρ1 και Ρ2
αντίστοιχα, η πιο πάνω σχέση παίρνει την εξής μορφή:
6

7. Επειδή όμως η συνισταμένη δύναμη R είναι διάνυσμα, θα πρέπει να
καθοριστεί και η διεύθυνσή της. Αυτό γίνεται με τον προσδιορισμό μιας από τις γωνίες
α ή β, από τις σχέσεις
Στην ειδική περίπτωση τώρα που η γωνία φ είναι ίση με 90°, τότε οι εκφράσεις
για τις παραπάνω σχέσεις παίρνουν την ακόλουθη μορφή:
Στην περίπτωση αυτή οι Ρ1 και Ρ2 λέγονται κάθετες συνιστώσες της R. Μία
άλλη ειδική κατηγορία σύνθεσης δύο δυνάμεων είναι όταν η γωνία φ, που
σχηματίζεται από τους φορείς δύο δυνάμεων, είναι ίση με μηδέν ή ίση με 180°. Στην
πρώτη περίπτωση οι δυνάμεις βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία (συγγραμικές) και
είναι ομόρροπες. Ενώ, στη δεύτερη περίπτωση οι δυνάμεις είναι συγγραμικές μεν,
αλλά αντίρροπες.
Και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις ισχύει ότι:
" Το μέτρο της συνισταμένης δύο συγγραμμικών δυνάμεων ισούται με το
αλγεβρικό άθροισμα των μέτρων των συνιστωσών της ".
Η συνισταμένη δύναμη τότε, βρίσκεται επάνω στην ίδια ευθεία και έχει τη
φορά της μεγαλύτερης δύναμης. Επομένως εύλογα προκύπτει ότι:
Αν δύο δυνάμεις ισορροπούν, τότε θα έχουν το ίδιο μέτρο, θα βρίσκονται
επάνω στον ίδιο φορέα (συγγραμικές) και θα έχουν αντίθετη φορά.
7

8. Αν έχουμε να συνθέσουμε περισσότερες από δύο συντρέχουσες δυνάμεις,
χρησιμοποιούμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οχy.
Έστω ότι οι δυνάμεις Ρ1,Ρ2,Ρ3 διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο. Προκειμένου
να υπολογίσουμε τη συνισταμένη τους δύναμη R, θα την προσδιορίσουμε πρώτα με
τη γραφική μέθοδο του δυναμοπολυγώνου.
Έπειτα φέρνουμε τις προβολές των Ρ1,Ρ2,Ρ3 και R επάνω στους άξονες χ και
y. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ισχύουν οι σχέσεις
Από τη γεωμετρία του σχήματος, ισχύει επίσης
Οι παραπάνω σχέσεις, στη γενικευμένη περίπτωση που έχουμε
πεπερασμένο αριθμό κ δυνάμεων (Ρ1,Ρ2,Ρ3,...,Ρi,...,Ρκ) γίνονται
RX = ΣΡiχ = ΣΡicosφi
Ry = ΣΡiy = ΣΡisίηφί
Έτσι το μέτρο της συνισταμένης δύναμης R είναι:
Η γωνία διευθύνσεώς της φR, υπολογίζεται με μία από τις σχέσεις
8

9. 2.1.5. Ανάλυση Δυνάμεων
Η αντίθετη διαδικασία από τη σύνθεση λέγεται ανάλυση δυνάμεων: Όταν
δίνεται μια δύναμη R και δύο άξονες x,y που συντρέχουν με το φορέα της δύναμης,
τότε μπορούμε να αναλύσουμε τη δύναμη R σε δύο συνιστώσες Fx και Fy, που θα
βρίσκονται πάνω στους δεδομένους άξονες. Η διαδικασία είναι ανάλογη με αυτή που
περιγράφηκε για τη σύνθεση δυνάμεων με το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων. Οι
δύο δυνάμεις που ισοδυναμούν με την R λέγονται συνιστώσες δυνάμεις .
Αν οι άξονες, στους οποίους θα αναλύσουμε την R είναι κάθετοι μεταξύ τους,
τότε οι δύο συνιστώσες λέγονται ορθογώνιες συνιστώσες . Στην περίπτωση αυτή,
για τις δύο συνιστώσες έχουμε:
Fx = R ⋅ Cosφ
Fy = R ⋅ Sinφ
Η ανάλυση των δυνάμεων σε ορθογώνιες συνιστώσες βοηθά στον εύκολο
αναλυτικό υπολογισμό της συνισταμένης πολλών δυνάμεων.
9

10. Η διαδικασία, για δυνάμεις που δρουν σε ένα επίπεδο, είναι η εξής: Έστω ότι
θέλουμε να βρούμε τη συνισταμένη των δυνάμεων F1, F2, ..., Fn. Ορίζουμε σύστημα
ορθογώνιων συντεταγμένων Oxy, ως προς το οποίο αναλύουμε τις δυνάμεις σε
ορθογώνιες συνιστώσες, ήτοι κατά τον άξονα Ox τις F1x, F2x, ..., Fnx και κατά τον άξονα
y τις F1y, F2y, ..., Fny. Η συνισταμένη R των δυνάμεων θα έχει ορθογώνιες συνιστώσες
Rx= F1x+ F2x+ ...+ Fnx και Ry= F1y+ F2y+ ...+ Fny. Και το μέτρο της θα είναι R = R x + R y
2 2
.
Η διαδικασία για τυχούσες δυνάμεις του χώρου είναι παρόμοια, με ανάλυση
σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
2.1.6. Μετατόπιση δύναμης πάνω στο φορέα της
Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας ισχύει ότι:
" Όταν ένα σύστημα δυνάμεων ενεργεί επάνω σε ένα σώμα, τότε το
αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας παραμένει το ίδιο εάν προσθέσουμε επάνω στο
σώμα αυτό ένα άλλο σύστημα δυνάμεων το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία ".
Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε το στερεό σώμα του σχήματος. Επάνω στο
σημείο Α του σώματος εφαρμόζεται δύναμη Ρ της οποίας ο φορέας διέρχεται και από
το σημείο Β. Αν λάβουμε υπόψη μας την προηγούμενη πρόταση, μπορούμε να
προσθέσουμε στα σημεία Α και Β δύο δυνάμεις -Ρ και Ρ αντίστοιχα (οι οποίες
βρίσκονται σε ισορροπία). Κατά τον ίδιο συλλογισμό μπορούμε να αφαιρέσουμε από
το σημείο Α τις δυνάμεις -Ρ και Ρ. Βλέπουμε δηλαδή ότι πετύχαμε την μετατόπιση του
σημείου εφαρμογής της δύναμης Ρ από το σημείο Α στο σημείο Β χωρίς να
παρατηρηθεί καμία μεταβολή στην κατάσταση του στερεού σώματος. Το συμπέρασμα
10

11. αυτό διατυπώνεται και σαν θεώρημα της μεταφοράς (ή ολίσθησης) μιας δύναμης
επάνω στο φορέα της.
Επομένως μπορούμε να μεταφέρουμε μία δύναμη στη διεύθυνση του φορέα
της, γι' αυτό λέμε ότι, η δύναμη θεωρείται ολισθαίνον διάνυσμα .
2.1.7. Ισορροπία Δυνάμεων
Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκείται ένα σύστημα δυνάμεων P1 , P2 ,...Pn ,
το σώμα ισορροπεί μόνο αν το άθροισμα των δυνάμεων είναι μηδέν, δηλαδή:
n
∑P
i =1
i =0
Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται μόνο δύο δυνάμεις , τότε, για να
ισορροπεί το σώμα, οι δυνάμεις πρέπει να έχουν ίσα μέτρα, τον ίδιο φορέα και
αντίθετες διευθύνσεις.
Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται τρεις δυνάμεις , τότε για να
ισορροπεί το σώμα, οι δυνάμεις πρέπει αφ’ ενός να συντρέχουν και αφ’ ετέρου,
τοποθετούμενες επάλληλα, να ορίζουν τρίγωνο, (καλούμενο δυναμοτρίγωνο ).
Κατ’ επέκταση, για την ισορροπία στερεού υπό την επίδραση περισσοτέρων
δυνάμεων, αυτές πρέπει να σχηματίζουν κλειστό δυναμοπολύγωνο .
Έστω ότι σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται n δυνάμεις: P1 , P2 ,...Pn
( )
εκφρασμένες με τις συνιστώσες τους Pix , Piy , Piz , i = 1...n , ως προς το σύστημα
ορθογώνιων συντεταγμένων Oxyz. Τότε για την ισορροπία του σώματος, απαιτείται το
άθροισμα των συνιστωσών κατά κάθε κύριο άξονα να είναι μηδέν, δηλαδή:
n
R x = ∑ Pix = 0
i =1
n
R y = ∑ Piy = 0
i =1
n
R z = ∑ Piz = 0
i =1
Οι σχέσεις αυτές αποτελούν αναγκαίες συνθήκες ισορροπίας του
σώματος. Δεν είναι και ικανές, δηλαδή δεν αρκεί να ισχύουν για να ισορροπεί ένα
σώμα. Οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες θα αναπτυχθούν στο επόμενο κεφάλαιο.
11

12. 2.1.8. Η μέθοδος του σχοινοπολυγώνου
Η μέθοδος του σχοινοπολυγώνου είναι η γενική γραφική λύση της
ισορροπίας ενός σώματος για ένα σύστημα δυνάμεων P1 , P2 ,...Pn οι οποίες δεν
συντρέχουν. Στο Δ.Ε.Σ. υπάρχουν κατά μέγεθος, διεύθυνση και θέση όλες οι
ασκούμενες δυνάμεις. Σε μια άλλη θέση σχεδιάζεται το δυναμοπολύγωνο, με την
διαδοχική τοποθέτηση των δυνάμεων. Η συνισταμένη ορίζεται έτσι κατά μέτρο και
διεύθυνση (από την αρχή της πρώτης και το πέρας της τελευταίας). Για τον
προσδιορισμό του φορέα (θέσης) της, εκτελούμε τα ακόλουθα: Από τυχόν σημείο Ο
ορίζουμε διανύσματα με πέρατα τις αρχές ή τα πέρατα των δυνάμεων του
δυναμοπολυγώνου. Τα διανύσματα αυτά μαζί με τις δυνάμεις ορίζουν
δυναμοτρίγωνα. Τα διανύσματα μεταφέρονται παράλληλα στο Δ.Ε.Σ., φροντίζοντας
να συντρέχουν όλες οι τριάδες, που αποτελούν δυναμοτρίγωνα. Τότε η συνισταμένη
δύναμη θα διέρχεται από το σημείο τομής των διανυσμάτων, που κλείνουν
δυναμοτρίγωνο με αυτή στο διάγραμμα του δυναμοπολυγώνου.
Έστω ότι σε ένα σώμα επενεργούν οι δυνάμεις Ρ1,Ρ2,Ρ3. Κατασκευάζουμε
το δυναμοπολύγωνο ΑΒΓΔ, του οποίου η κλείουσα πλευρά ΑΔ, καθορίζει το μέτρο
και τη διεύθυνση της συνισταμένης των δυνάμεων. Απομένει να προσδιορίσουμε το
φορέα εφαρμογής της R.
Για το σκοπό αυτό, από ένα τυχαίο σημείο Ο το οποίο ονομάζεται πόλος και
Βρίσκεται έξω από το δυναμοπολύγωνο, φέρνουμε ευθύγραμμα τμήματα ΑΟ, ΒΟ,
ΓΟ, ΔΟ. Τα τμήματα αυτά ονομάζονται ακτίνες και συμβολίζουν δυνάμεις, οι οποίες
είναι συνιστώσες των δυνάμεων Ρ1,Ρ2,Ρ3. Στη συνέχεια, φέρνουμε από τυχαίο
12

13. σημείο α τμήμα αβ παράλληλο με το διάνυσμα ΑΟ. Από το σημείο β, τμήμα βγ
παράλληλο με το διάνυσμα ΒΟ. Από το σημείο γ, τμήμα γδ παράλληλο με το ΓΟ και
από το σημείο δ, τμήμα δε παράλληλο με το ΔΟ. Η πολυγωνική γραμμή αβγδε που
σχηματίσθηκε χαρακτηρίζεται σαν σχοινοπολύγωνο των δυνάμεων Ρ1,Ρ2,Ρ3.
Τέλος ενώνουμε τις ευθείες των ακραίων τμημάτων αβ και δε. Από το σημείο
τομής ζ διέρχεται η συνισταμένη δύναμη R. Έτσι προσδιορίσαμε και τον φορέα
επάνω στον οποίο ενεργεί η συνισταμένη δύναμη R.
Είναι απαραίτητο να σημειωθεί ότι, στην περίπτωση κατά την οποία το
δυναμοπολύγωνο είναι κλειστό (R = 0) δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το σύστημα των
δυνάμεων ισορροπεί. Σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε δύο ενδεχόμενα:
α') Το σύστημα των δυνάμεων να ισορροπεί.
β') Το σύστημα των δυνάμεων να ανάγεται σε ζεύγος δυνάμεων (που μπορεί
να προκαλέσει περιστροφή στο σώμα).
Έτσι, προκειμένου να εξασφαλίσουμε την ισορροπία του συστήματος, θα
πρέπει και το σχοινοπολύγωνο να είναι κλειστό. Επομένως, " ικανή και αναγκαία
συνθήκη για να ισορροπεί ένα σύστημα μη συντρεχουσών δυνάμεων, είναι τόσο το
δυναμοπολύγωνο όσο και το σχοινοπολύγωνο, να είναι κλειστά ".
2.1.9. Λυμένες Ασκήσεις
1: Σε κολώνα έχουν δεθεί δύο συρματόσχοινα, που σχηματίζουν μεταξύ τους
ο
γωνία φ=140 . Η τάση των συρματόσχοινων είναι P=80KN. Να βρεθεί κατά μέτρο και
θέση η συνισταμένη δύναμη, που ασκείται στην κολώνα.
13

14. Στο σχήμα φαίνεται η διάταξη του προβλήματος.
Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης βρίσκεται με κατευθείαν εφαρμογή του
τύπου:
R= P12 + P22 + 2 P P2 Cosφ = 80 2 + 80 2 + 2 ⋅ 80 ⋅ 80 ⋅ Cos (140 O ) = 54.72 KN
1
Η διεύθυνση της συνισταμένης βρίσκεται από τον νόμο των ημιτόνων στο
τρίγωνο KRP, δηλαδή:
Sinφ Sinθ P ⋅ Sinφ 80 ⋅ Sin(140 O )
= ⇒ Sinθ = = ≅ 0.93 ⇒ θ ≅ 70 Ο
R P R 54.12
φ 140
Βρίσκουμε δηλαδή ότι θ = 70 = 2 = 2 .Το αποτέλεσμα ήταν αναμενόμενο,
διότι το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων είναι ρόμβος (αφού οι δυνάμεις είναι ίσες).
Και είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του.
2: Σφαίρα ακτίνας r = 12cm και βάρους W = 250 N αναρτάται από σταθερό
σημείο Α κατακόρυφου τοίχου με τη βοήθεια σχοινιού μήκους l = 20cm δεμένου στο
κέντρο της. Να υπολογίσετε την τάση Τ του σχοινιού και τη δύναμη R που ασκεί η
σφαίρα στον τοίχο.
y
A A T
θ
B K B K
r R x
W
Για την επίλυση του προβλήματος πρέπει να εξετάσουμε την ισορροπία της
σφαίρας. Η σφαίρα δέχεται τις ακόλουθες δυνάμεις:
14

15. Το βάρος της W, το οποίο εφαρμόζεται στο κέντρο Κ και με διεύθυνση προς
το κέντρο της γης.
Την τάση Τ του σχοινιού. Αυτή έχει τη διεύθυνση του σχοινιού.
Την δύναμη R από την επαφή της με τον τοίχο. Η δύναμη αυτή ασκείται στο
σημείο επαφής και έχει διεύθυνση κάθετη στην (κατακόρυφη) επιφάνεια επαφής, άρα
είναι οριζόντια.
Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, κατασκευάζουμε το Δ.Ε.Σ. της
σφαίρας.
Παρατηρούμε ότι όλες οι δυνάμεις βρίσκονται στο επίπεδο ΑΒΚ, συνεπώς
μπορούμε να εξετάσουμε το πρόβλημα μόνο στο επίπεδο αυτό. (Αφού δεν υπάρχουν
δυνάμεις κατά διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο ΑΒΚ, αυτόματα ικανοποιείται η
συνθήκη ισορροπίας κατά τη διεύθυνση αυτή).
Για την ισορροπία της σφαίρας πρέπει να ικανοποιούνται οι άλλες δύο
συνθήκες ισορροπίας (πάνω στο επίπεδο ΑΒΚ), που είναι:
n
∑P
i =1
ix =0
n (1)
∑Piy = 0
i =1
Κατ’ αρχάς πρέπει να επιλέξουμε σύστημα αξόνων, που να απλοποιεί τη
διαδικασία εύρεσης των συνιστωσών των δυνάμεων στους κύριους άξονες. Στο
πρόβλημά μας επιλέγεται σύστημα με τον άξονα x παράλληλο στη δύναμη R και
άξονα y παράλληλο στο βάρος W. Οι συνιστώσες όλων των δυνάμεων ως προς αυτό
το σύστημα είναι:
Rx = R
Ry = 0
Wx = 0
Wy = −W (2)
Tx = −T ⋅ Cos (θ )
T y = T ⋅ Sin(θ )
Παρατηρώντας το σχήμα βλέπουμε ότι:
KB 12
Cos (θ ) = = = 0.6 ⇒ θ ≅ 53.13 ⇒ Sin(θ ) = 0.8 (3)
KA 20
Με αντικατάσταση των (2) και (3) στην (1), παίρνουμε:
15

16. n

∑i= 1 
Pix = 0
 R x + W x + Tx = 0   R + 0 − 0.6T = 0   R = 187.5
⇒  ⇒  ⇒ 
 R y + W y + T y = 0  0 − 250 + 0.8T = 0  T = 312.5
n
∑i= 1 Piy = 0
3: Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα θέσης ενός φορέα και οι
δυνάμεις P1 , P2 , P3 , που ασκούνται πάνω του. Να υπολογίσετε γραφικά το μέγεθος
και τη θέση της συνισταμένης δύναμης.
R A
a
P P2 P1
1 b
O b
c B
a P3 c P2
d R C
P
d 3
D
Δίπλα στο διάγραμμα θέσης, κατασκευάζουμε το δυναμοπολύγωνο,
μεταφέροντας παράλληλα τις δυνάμεις, έτσι ώστε AB = P1 , BC = P2 , CD = P3 .
Βρίσκουμε έτσι κατά μέγεθος και διεύθυνση τη συνισταμένη R = AD .
Για τον προσδιορισμό της θέσης της R , εργαζόμαστε ως εξής:
Επιλέγουμε τυχόν σημείο Ο. Από αυτό φέρουμε τις ΟΑ, OB, OC, OD,
ορίζοντας έτσι τα διανύσματα a, b, c, d .
Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα a, b, P1 ορίζουν ένα τρίγωνο. Συνεπώς
ισορροπούν μεταξύ τους, άρα, στο διάγραμμα θέσης πρέπει να περνούν από το ίδιο
σημείο. Ερχόμαστε στο διάγραμμα θέσης και σχεδιάζουμε μια τυχούσα a ευθεία
παράλληλη στο διάνυσμα a . Από το σημείο τομής των a , P1 θα διέρχεται η b.
Σχεδιάζουμε μια ευθεία b παράλληλη στο διάνυσμα b , διερχόμενη από το σημείο
τομής των a , P1 .
16

17. Με παρόμοιες παρατηρήσεις φέρουμε και τις υπόλοιπες ευθείες, ώστε η c να
διέρχεται από το σημείο τομής των b, P2 και η d από το σημείο τομής των c, P3 .
Τέλος, βλέπουμε ότι τα διανύσματα a, d, R , στο δυναμοπολύγωνο ορίζουν
ένα τρίγωνο. Επομένως ισορροπούν. Άρα στο διάγραμμα θέσης θα συντρέχουν.
Δηλαδή η συνισταμένη R θα διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών a και d.
Στο διάγραμμα θέσης, λοιπόν, σχεδιάζουμε παράλληλη προς την R , η οποία
διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών a και d.
2.1.10. Ασκήσεις για λύση
1. Ένα φωτιστικό σώμα βάρους 12,5 Κρ κρεμιέται με δυο καλώδια. Ζητούνται
να προσδιορισθούν οι τάσεις των καλωδίων SCA και SCΗ γραφικά. και αναλυτικά.
2. Μια ράβδος ΑΒ έχει βάρος 25 Κρ ανά μέτρο μήκους και συγκρατείται στην
οριζόντια θέση υπό ένα συρματόσχοινο ΑC, ενώ στο άλλο της άκρο στηρίζεται με
άρθρωση. Ζητούνται να προσδιορισθούν, α) γραφικά και β) αναλυτικά, η τάση του
συρματόσχοινου S και η αντίδραση R στο σημείο Β.
3. Μια σφαίρα με ακτίνα 20 cm και βάρος 20 Κρ κρεμιέται με ένα νήμα ενώ
συγχρόνως εφάπτεται σε μια κατακόρυφη παρειά, η οποία υποτίθεται ότι είναι τε-
λείως λεία.
Ζητούνται να προσδιορισθούν γραφικά και αναλυτικά η τάση του νήματος S
και η ώθηση R της παρειάς από τη σφαίρα.
17

18. 4. Ζητείται το μέγεθος της δύναμης F που απαιτείται για να πραγματοποιηθεί
έναρξη περιστροφής του κυλίνδρου, βάρους 100 Κρ, γύρω υπό το σημείο Α.
20.Ζητείται να προσδιορισθεί το βάρος της σφαίρας WΑ προκειμένου το
σύστημα του Σχήματος Ι.34 να ισορροπεί.
Το βάρος του σώματος Β είναι W =120 Κρ. Η τροχαλία C θα θεωρηθεί ότι
περιστρέφεται χωρίς τριβή.
2.2. Ροπές. Ισορροπία στερεού σώματος.
2.2.1. Ζεύγη δυνάμεων .
Στο προηγούμενο κεφάλαιο, είδαμε ότι για να ισορροπούν δύο δυνάμεις,
πρέπει να έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες διευθύνσεις. Επίσης πρέπει να ενεργούν
πάνω στον ίδιο φορέα (να είναι συνευθειακές).
18

19. -F1
F1
Εάν δύο δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες διευθύνσεις, αλλά δεν είναι
συνευθειακές, τότε λέγεται ότι αποτελούν ζεύγος δυνάμεων .
F1
-F1
Η εφαρμογή ενός ζεύγους δυνάμεων σε ένα σώμα προκαλεί περιστροφή του
σώματος. Πρακτική εμπειρία αυτού έχουμε από την περιστροφή ενός βιδωτού
πώματος μπουκαλιού, η οποία προκαλείται όταν ασκήσουμε ένα ζεύγος δυνάμεων με
τα δάκτυλά μας.
Το φυσικό μέγεθος, που προκαλεί την περιστροφή των σωμάτων, λέγεται
ροπή. Ένα ζεύγος δυνάμεων δεν προκαλεί μετατόπιση, αλλά μόνο περιστροφή,
συνεπώς είναι ισοδύναμο με μια ροπή.
2.2.2. Η ροπή σαν εξωτερικό γινόμενο.
19

20. Η ροπή μιας δύναμης P προς ένα σημείο Α ορίζεται μαθηματικά σαν
το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος που άγεται από το Α προς την αρχή της
δύναμης επί την δύναμη. Συμβολικά αυτό γράφεται:
M = r ×P
2.2.3. Θεώρημα του Varignon .
Έστω ότι σε ένα υλικό σώμα ασκείται σύστημα συνεπίπεδων
δυνάμεων P1 , P2 ,...Pn . Ας υποθέσουμε ότι R είναι η συνισταμένη τους. Το
θεώρημα του Varignon λέει ότι η ροπή της R ως προς ένα σημείο Α του επιπέδου
των δυνάμεων είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων προς το ίδιο
σημείο Α.
2.2.4. Σύνθεση παράλληλων δυνάμεων
Μία χαρακτηριστική περίπτωση σύνθεσης μη συντρεχουσών δυνάμεων, είναι
αυτή των παράλληλων δυνάμεων. Οι παράλληλες αυτές δυνάμεις μπορεί να είναι
ομόρροπες ή αντίρροπες.
Στην πρώτη περίπτωση η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με
R = Ρ1 + Ρ2
Ο φορέας της βρίσκεται ενδιάμεσα στους φορείς των Ρ1, Ρ2 και σε απόσταση
που προσδιορίζεται από εφαρμογή του θεωρήματος του Varignoη, που δίνει
20

21. Η φορά της R, είναι ίδια προφανώς με τη φορά των Ρ1,Ρ2. Στη δεύτερη
περίπτωση η συνισταμένη δύναμη είναι,
ενώ ο φορέας της βρίσκεται έξω από τους φορείς των Ρ1, Ρ2 και προς το
μέρος της Ρ2 (της μεγαλύτερης δύναμης). Η απόσταση α είναι,
Η φορά της R τώρα, είναι ίδια με τη φορά της μεγαλύτερης δύναμης.
2.2.5. Ισορροπία σώματος .
Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα μη συντρεχουσών δυνάμεων Ρ1, Ρ2,. . . ,
Ρi, ... , Ρη το οποίο βρίσκεται πάνω σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων Oxy. Σε αυτήν
την περίπτωση αν
α') Μεταφέρουμε παράλληλα όλες τις δυνάμεις έτσι ώστε η αρχή τους να είναι
στο σημείο Ο και
β') Προσθέσουμε τις ροπές όλων των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο, τότε το
νέο σύστημα δυνάμεων που σχηματίζεται είναι ισοδύναμο με το πρώτο.
Είναι αντιληπτό ότι προκειμένου να ισορροπεί το σύστημα δεν αρκεί να ισχύει
μόνο ΣΡiχ = 0 και ΣΡiy = 0 διότι παρόλο που οι σχέσεις αυτές μας εξασφαλίζουν το
μηδενισμό της συνισταμένης δεν μας εξασφαλίζουν την απουσία ζεύγους δυνάμεων
από το σύστημα, που θα του προκαλούσαν περιστροφή. Γι' αυτό το λόγο θα πρέπει
και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων ως προς την αρχή των
αξόνων Ο, να είναι μηδέν. Δηλαδή ΣΜο = 0.
21

22. Επομένως οι εξισώσεις ισορροπίας συστήματος μη συντρεχουσών δυνάμεων,
είναι αυτές που παρουσιάζονται πιο κάτω:
οι οποίες συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται ως εξής:
Για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, εκλέγεται η προσφορότερη
ομάδα εξισώσεων στατικής ισορροπίας, προκειμένου να αντιμετωπιστούν οι
ιδιομορφίες του δεδομένου συστήματος δυνάμεων.
Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από την επίλυση των εξισώσεων
ισορροπίας μπορούμε να τα επαληθεύσουμε αν χρησιμοποιήσουμε μια επιπλέον
εξίσωση ισορροπίας, η ικανοποίηση της οποίας επιβεβαιώνει την ορθότητα των
αποτελεσμάτων. Η επιπλέον αυτή εξίσωση είναι γραμμικά εξαρτημένη με εκείνες που
χρησιμοποιούνται για τη λύση του προβλήματος. Αν για την επίλυση του
προβλήματος χρησιμοποιηθούν οι τρεις εξισώσεις ισορροπίας, τότε η επιπλέον
εξίσωση μπορεί να είναι μια εξίσωση μηδενισμού ροπών ως προς κάποιο σημείο
διαφορετικό από εκείνο που είναι το κέντρο ροπών για τη βασική εξίσωση μηδενισμού
ροπών.
Σημειώνουμε όμως, ότι εκτός από την επιλογή των κατάλληλων στερεοστα-
τικών εξισώσεων, ένα άλλο επίσης σημαντικό βήμα στην επίλυση προβλημάτων
Στατικής αποτελεί η κατασκευή του διαγράμματος ελεύθερου σώματος προκειμένου
22

23. να εξασφαλιστεί η σωστή μαθηματική διατύπωση του προβλήματος που έχουμε να
αντιμετωπίσουμε.
2.2.6. Λυμένες Ασκήσεις
1: Να υπολογισθεί η συνισταμένη R δύο παράλληλων δυνάμεων P1 , P2 με
μέτρα P = 200 KN και P2 = 500 KN που απέχουν 20m.
1
y
r r
O R P2
υ θ φ x
P1
P2
R
Επιλέγω σύστημα συντεταγμένων τέτοιο ώστε ο άξονας y να είναι
παράλληλος στους φορείς των δυνάμεων και η δύναμη P1 να διέρχεται από την
αρχή Ο των αξόνων. Σε αυτή την περίπτωση έχω τις συνιστώσες των δυνάμεων:
P x = P2 x = 0
1
Py =P
1 1
P2 y = P2
Συνεπώς, οι συνιστώσες της συνισταμένης θα είναι:
R x = P1x + P2 x = 0
R y = P1 y + P2 y = P1 + P2 = 700 KN
Βλέπουμε ότι η συνισταμένη θα είναι παράλληλη στον άξονα y (άρα και
παράλληλη στις δύο δυνάμεις).
Υπολογίσαμε τη συνισταμένη R κατά μέτρο και διεύθυνση. Απομένει να
υπολογίσουμε τη θέση της.
23

24. Σύμφωνα με το θεώρημα του Varignon η ροπή της συνισταμένης R των
δυνάμεων P1 , P2 ως προς τυχόν σημείο είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των
P1 , P2 ως προς το ίδιο σημείο.
Επιλέγω το σημείο Ο της αρχής των αξόνων ως προς το οποίο θα εξετάσω τις
ροπές των δυνάμεων. Θα πρέπει, λοιπόν:
rR × R = rP1 × P1 + rP2 × P2 ⇒ rR ⋅ R ⋅ Sin(θ ) = rP1 ⋅ P1 ⋅ Sin(υ) + rP2 ⋅ P2 ⋅ Sin(φ ) ⇒
rR ⋅ 700 ⋅ Sin(90 O ) = 0 ⋅ 0 ⋅ Sin(90 O ) + 20 ⋅ 500 ⋅ Sin(90 O ) ⇒
20 ⋅ 500 100
rR = = ≅ 14.29m
700 7
Άρα η συνισταμένη θα έχει μέτρο R = 700 KN , θα είναι παράλληλη στις P1 , P2 και
θα έχει από την P1 απόσταση rR = 14.29m .
2. Στην ράβδο του σχήματος ζητούνται να προσδιορισθούν:
α') Η ροπή της δύναμης Ρ= 80 Ν ως προς το σημείο Α.
β') Η απόσταση του φορέα της δύναμης Ρ από το σημείο Α. Δίνεται ότι α = 3
m, φ -- 50°.
α') Σύμφωνα με το Θεώρημα του Varignon, η ροπή Μη της δύναμης Ρ ως
προς το σημείο Α είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών δυνάμεων
Ρχ,Ρy ως προς το σημείο Α.
Θεωρούμε αρχικά σαν θετική φορά περιστροφής την φορά των δεικτών του
ρολογιού. Έτσι, αφού η ροπή της δύναμης Ρχ ως προς το Α είναι μηδέν (ο φορέας
της περνάει από το Α, άρα η απόστασή τους είναι μηδέν), Θα έχουμε
ΜΑ =Ρy•3 =Psinφ•3 -80sin50" •3 = 183.9 Nm
β') Εάν χ είναι η απόσταση του φορέα της Ρ από το σημείο Α, τότε Θα έχουμε
24

25. 2.3. Στατική του επιπέδου σώματος .
Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι, με την επιβολή τυχαίας φόρτισης
P1 , P2 ,...Pn επί ενός σώματος, οι συνθήκες ισορροπίας είναι:
n
R x = ∑ Pix = 0
i =1
n
R y = ∑ Piy = 0
i =1
n
R z = ∑ Piz = 0
i =1
n n n
M A = ∑ rix Pix + ∑ riy Piy + ∑ riz Piz = 0
i =1 i =1 i =1
Εάν το σώμα φορτίζεται με δυνάμεις, που έχουν συνιστώσες μόνο κατά τις
διευθύνσεις δύο αξόνων του συστήματος (έστω x και y), τότε λέγεται ότι το σώμα
καταπονείται από επίπεδη φόρτιση .
Οι συνθήκες ισορροπίας σε επίπεδη φόρτιση διαμορφώνονται ως εξής:
n
R x = ∑ Pix = 0
i =1
n
R y = ∑ Piy = 0
i =1
n n
M A = ∑ rix Pix + ∑ riy Piy = 0
i =1 i =1
Οι παραπάνω συνθήκες ισορροπίας μπορούν να εκφρασθούν σαν συνθήκες
ισορροπίας ροπών των δυνάμεων ως προς τρία μη συνευθειακά σημεία A,B,C, με την
ακόλουθη μορφή:
25

26. n n
M A = ∑ rix Pix + ∑ riy Piy = 0
i =1 i =1
n n
M B = ∑ six Pix + ∑ siy Piy = 0
i =1 i =1
n n
M C = ∑ t ix Pix + ∑ t iy Piy = 0
i =1 i =1
Όπου r,s,t είναι οι αποστάσεις των δυνάμεων από τα σημεία A,B,C αντίστοιχα.
2.3.1. Λυμένες Ασκήσεις
ΑΣΚΗΣΗ 1: Σε μια ράβδο ΑΒ μήκους 5 μέτρων ασκείται δύναμη P=10KN στη
θέση C, που απέχει 2m από το σημείο Α. Η ράβδος στηρίζεται σε απλό εφέδρανο το
οποίο υπάρχει κάτω από το σημείο Α και με άρθρωση στο σημείο Β. Να υπολογίσετε
τις αντιδράσεις των στηρίξεων.
y
P P
O
φ= 60 φ HB
A B B x
A
C C
V V
A B
Κατ’ αρχάς επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων, το οποίο θα διευκολύνει
τους υπολογισμούς μας. Ένα κατάλληλο σύστημα είναι αυτό, που έχει τον άξονα x
κατά τη διεύθυνση του άξονα της ράβδου.
Ύστερα, σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. της ράβδου, αντικαθιστώντας τις στηρίξεις με
τις αναπτυσσόμενες δυνάμεις, με το ακόλουθο σκεπτικό:
Το έδρανο της στήριξης Α απαγορεύει στη ράβδο να υποχωρήσει στο σημείο
εκείνο. Συνεπώς από τη στήριξη Α θα αναπτύσσεται στη ράβδο μια δύναμη VA με
κατακόρυφη διεύθυνση.
Στη στήριξη του σημείου Β απαγορεύεται οποιαδήποτε μετατόπιση της
ράβδου (επιτρέπονται μόνο στροφές). Επομένως από τη στήριξη Β θα αναπτύσσεται
στη ράβδο μια δύναμη με άγνωστη διεύθυνση, που θα είναι αντίθετη της δύναμης
26

27. που ασκεί η ράβδος στη στήριξη. Αναλύοντας αυτή τη δύναμη σε δύο συνιστώσες
κατά τους άξονες x,y θα έχουμε δύο άγνωστες αντιδράσεις VB , H B .
Τέλος, αναλύουμε την εφαρμοζόμενη δύναμη P στις συνιστώσες της κατά
τους κύριους άξονες x,y με μέτρα:
Px = P ⋅ Cos (φ ) = 10 ⋅ Cos (60 O ) = 5 KN
Py = P ⋅ Sin(φ ) = 10 ⋅ Sin (60 O ) = 8.7 KN
Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε τις συνθήκες ισορροπίας, θεωρώντας
μηδενισμό του αθροίσματος των συνιστωσών των δυνάμεων κατά x και κατά y και
μηδενισμό των ροπών ως προς το σημείο Α.
 
H B − Px = 0   H B = 5KN   H B = 5KN
   
VA + VB − Py = 0 ⇒  VA + VB = 8.7KN  ⇒  VA = 5.22KN
  2 ⋅ 8.7   V = 3.48KN
0 ⋅ VA + 0 ⋅ H B + 5 ⋅ VB − 2 ⋅ Py = 0  VB = 5 KN  B
 
2.4. Δικτυώματα
Το δικτύωμα είναι ένα σύστημα ευθύγραμμων ράβδων, οι οποίες συνδέονται
στα άκρα τους με αρθρώσεις, έτσι ώστε να αποτελούν ένα στερεό σώμα.
Το σημείο στο οποίο συνδέονται δύο ή περισσότερες ράβδοι ονομάζεται
κόμβος.
Επίπεδο δικτύωμα , είναι ένα δικτύωμα στο οποίο οι άξονες των ράβδων
και οι εξωτερικές δυνάμεις που το φορτίζουν, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Παράδειγμα επίπεδου δικτυώματος αποτελεί το δικτύωμα γέφυρας του σχήματος.
27

28. Όπως είναι ήδη γνωστό, κατά την εφαρμογή μιας δύναμης Ρ σε κάποιον από
τους κόμβους, θα εμφανιστούν αντιδράσεις στα σημεία στήριξης, καθώς και
εσωτερικές αξονικές δυνάμεις στις ράβδους, οι οποίες ονομάζονται τάσεις. Ο
καθορισμός των τάσεων αυτών, αποτελεί την λεγόμενη "ανάλυση του δικτυώματος".
Για τα δικτυώματα, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί:
α') Οι κόμβοι συμβολίζονται με λατινικούς αριθμούς Ι,ΙΙ,ΙΙΙ,IV κ.λ.π.
β') Οι ράβδοι συμβολίζονται με αραβικούς αριθμούς 1,2,3,4 κ.λ.π.
γ') Οι τάσεις συμβολίζονται με το λατινικό γράμμα S, το οποίο έχει σαν δείκτη
τον αριθμό της ράβδου. Για παράδειγμα, η τάση της ράβδου 4 συμβολίζεται S4 και
εδώ είναι θλιπτική.
δ') Οι εξωτερικές δυνάμεις και οι αντιδράσεις συμβολίζονται (συνήθως) με
λατινικά γράμματα.
Για την ανάλυση ενός δικτυώματος, γίνονται οι παρακάτω παραδοχές:
1) Οι ράβδοι συνδέονται μεταξύ τους με αρθρώσεις, χωρίς τριβές.
2) Όλα τα φορτία του συστήματος επενεργούν μόνο στους κόμβους
3) Οι κεντροβαρικοί άξονες των ράβδων, διέρχονται από το θεωρητικό σημείο
του κόμβού.
Τέλος υπάρχουν τρεις βασικές μέθοδοι ανάλυσης ενός δικτυώματος:
α' ) Μέθοδος των κόμβων.
β' ) Μέθοδος των τομών - Rίtter.
γ' ) Μέθοδος Βοw - Cremona.
Η περιγραφή καθώς και η εφαρμογή των μεθόδων αυτών, πραγματοποιείται
στο αμέσως επόμενο παράδειγμα.
28

29. 2.4.1. Λυμένες Ασκήσεις
ΑΣΚΗΣΗ 1: Δίνεται το δικτύωμα του σχήματος 20. Οι εξωτερικές δυνάμεις,
που ασκούνται στους κόμβους είναι: P = 800 N P2 = 900 N . Η γωνία φ = 60 .
O
1
Ζητείται να υπολογισθούν οι τάσεις των ράβδων.
Στο παράδειγμά μας θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των κόμβων.
Συμβολίζουμε με S τις εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στις ράβδους. Π.χ.
την αξονική δύναμη της ράβδου 1 τη συμβολίζουμε με S1.
Εξετάζουμε την ισορροπία κάθε κόμβου παίρνοντας τις συνιστώσες των
δυνάμεων κατά τους άξονες x, y , όπου ο άξονας x είναι κατά τη διεύθυνση ΑΒ.
Ισορροπία κόμβου Α:
V A − S1 ⋅ Sin(φ ) = 0 (1)
S 5 − S1 ⋅ Cos (φ ) = 0 (2)
Ισορροπία κόμβου Ι:
29

30. S1 ⋅ Cos (φ ) − S 2 ⋅ Cos (φ ) = 0 (3)
S1 ⋅ Sin(φ ) + S 2 ⋅ Sin(φ ) − S 6 = 0 (4)
Ισορροπία κόμβου ΙΙ:
− S 5 + S 7 ⋅ Cos (φ ) + S 4 = 0 (5)
S 6 + S 7 ⋅ Sin(φ ) − P1 = 0 (6)
Ισορροπία κόμβου ΙΙΙ:
S 2 ⋅ Cos (φ ) − S 7 ⋅ Cos (φ ) − S 3 ⋅ Cos (φ ) + P2 = 0 (7)
− S 2 ⋅ Sin(φ ) − S 7 ⋅ Sin(φ ) + S 3 ⋅ Sin(φ ) = 0 (8)
Ισορροπία κόμβου Β:
− S 4 + S 3 ⋅ Cos (φ ) − H B = 0 (9)
V B − S 3 ⋅ Sin(φ ) = 0 (10)
Καταστρώσαμε σύστημα δέκα εξισώσεων (με την αρίθμηση που δόθηκε δίπλα
σε κάθε μία). Οι άγνωστοι του συστήματος είναι δέκα: Οι αξονικές δυνάμεις των επτά
ράβδων και οι τρεις άγνωστες αντιδράσεις των στηρίξεων. Οι δυνάμεις P , P2 1
καθώς και η γωνία φ είναι γνωστές. Επομένως η λύση του συστήματος θα μας
δώσει όλες τις άγνωστες δυνάμεις. Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε:
V A = 10.29
V B = 789.71
H B = 900
S1 = 11.88
S 2 = 11.88
S 3 = 911.88
S 4 = −444.06
S 5 = 5.94
S 6 = 20.58
S 7 = 900
Το αρνητικό πρόσημο της S 4 σημαίνει ότι η δύναμη έχει αντίθετη φορά από
αυτή που αρχικά αυθαίρετα της δόθηκε.
30

31. 2.5. Τριβή
2.5.1. Τριβή ολίσθησης .
Όπως γνωρίζουμε, προκειμένου να ολισθήσουν δύο σώματα που βρίσκονται
σε επαφή και συγκεκριμένα το ένα επάνω στο άλλο, θα πρέπει να εφαρμόσουμε μία
δύναμη Ρ η οποία θα εξουδετερώσει την τριβή, δηλαδή τη δύναμη εκείνη η οποία
αντιστέκεται στην ολίσθηση (Σχ.28.α).
Από πειράματα σχετικά με την τριβή ολίσθησης, ο Coulomb διατύπωσε τους
παρακάτω κανόνες:
α') Η δύναμη τριβής δεν επηρεάζεται από την έκταση της επιφάνειας επαφής.
β') Η δύναμη τριβής είναι ανάλογη της κάθετης δύναμης.
Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε ένα σώμα βάρους W επάνω σε ένα
κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ. Το σώμα, λόγω της δύναμης τριβής,
αρχικά θα παραμένει ακίνητο μέχρι η γωνία να πάρει μία μέγιστη (οριακή) τιμή
φο κατά την οποία το σώμα θα αρχίσει να κινείται.
31

32. Όσο το σώμα βρίσκεται σε ισορροπία, εκτός από την ορθή δύναμη Ν θα
ασκείται πάνω του και μία άλλη δύναμη Τ. Η συνισταμένη δύναμη R των Ν και Τ είναι
ίση και αντίθετη με την W. Από το (Σχ.28.β) παρατηρούμε ότι είναι
Για την οριακή τιμή φο της γωνίας, η οποία ονομάζεται στατική γωνία τριβής
και πέρα της οποίας το σώμα αρχίζει να κινείται, ισχύει
Σ' αυτήν την περίπτωση η δύναμη Το ονομάζεται δύναμη στατικής τριβής. Ο
συντελεστής μο ονομάζεται συντελεστής στατικός τριβής και είναι μο = tαηφο.
Εξαρτάται δε αυτός από τη φύση των σωμάτων που έρχονται σε επαφή.
Χαρακτηριστικές τιμές του δίνονται στον παραπάνω πίνακα.
Όταν τώρα η γωνία πάρει μία τιμή μεγαλύτερη από την φ ο όπως
προαναφέραμε, το σώμα αρχίζει να ολισθαίνει. Σ' αυτήν την περίπτωση η δύναμη Τ
ονομάζεται δύναμη κινητικής τριβής και είναι ίση με
όπου μ είναι ο συντελεστής κινητικής τριβής. Χαρακτηριστικές τιμές δίνονται
και για αυτόν στον πίνακα.
Με βάση τις τιμές του πίνακα βλέπουμε ότι η κινητική τριβή είναι μικρότερη
από την στατική τριβή. Έτσι βγάζουμε το συμπέρασμα ότι:
" Η απαιτούμενη δύναμη για τη διατήρηση της ολίσθησης είναι μικρότερη από
αυτήν που απαιτείται για την έναρξή της ".
Παράδειγμα - Επάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ = 30°, εδράζεται
ένα σώμα βάρους W=4 ΚΝ (Σχ.α). Να βρεθεί αν η οριζόντια δύναμη Ρ=6 ΚΝ, είναι
ικανή να διατηρεί το σώμα σε ισορροπία, όταν ο συντελεστής στατικής τριβής είναι μ ο
= 0.30.
32

33. Θα δεχθούμε αρχικά ότι το σώμα ισορροπεί και θα υπολογίσουμε ποια είναι η
μέγιστη δύναμη Ρ, ώστε το σώμα να Βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Το
διάγραμμα ελεύθερου σώματος φαίνεται στο (Σχ.β).
Στην περίπτωση αυτή, η τριβή που αναπτύσσεται είναι η στατική τριβή
ολίσθησης (Το). Έτσι από τις συνθήκες ισορροπίας έχουμε
Έχουμε δύο εξισώσεις με τρεις αγνώστους. Χρειάζεται άλλη μία εξίσωση η
οποία είναι η έκφραση της στατικής τριβής
Έτσι, από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε:
Παρατηρούμε ότι η μέγιστη δύναμη Ρ η οποία διατηρεί το σώμα ακίνητο είναι
Ρmαx=4.3 ΚΝ. Επομένως η οριζόντια δύναμη Ρ=6.0 ΚΝ > Ρmax που αναπτύσσεται στο
σώμα, Θα κινήσει το τελευταίο προς τα επάνω.
2.5.2. Τριβή κύλισης .
Όταν επάνω σε έναν κύλινδρο ή σε έναν τροχό ενεργήσει μία οριζόντια
δύναμη Ρ, τότε λόγω της παραμόρφωσης του τροχού αλλά και του επιπέδου στο
οποίο βρίσκεται, θα αναπτυχθούν πιέσεις ρ των οποίων συνισταμένη είναι η δύναμη
R. Η οριζόντια συνιστώσα της R ονομάζεται αντίσταση τριβής και αντιστέκεται στην
κύλιση του τροχού.
Από το διάγραμμα ελεύθερου σώματος με βοήθεια της εξίσωσης ισορροπίας
ΣΜ = 0, έχουμε
33

34. Επειδή όμως η γωνία φ είναι πολύ μικρή, θεωρούμε ότι α = r. Επομένως θα
έχουμε
Ο λόγος f/r = fr ονομάζεται συντελεστής τριβής κύλισης και η απόσταση f
βραχίονας αντίστασης. Ο βραχίονας αντίστασης υπολογίζεται πειραματικά.
Επομένως η παραπάνω σχέση γράφεται
Χαρακτηριστικές τιμές του συντελεστή τριβής είναι οι ακόλουθες:
α' )fr = 0.02 για ελαστικό τροχό με αεροθάλαμο επάνω σε λείο κατάστρωμα
β' )fr = 0.006 για χαλύβδινο τροχό επάνω σε χαλύβδινη τροχιά.
Παράδειγμα: Ένας χαλύβδινος τροχός ακτίνας r = 2 cm και βάρους W,
κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο από χάλυβα (Σχ.α). Ο
βραχίονας της αντίστασης κύλισης είναι f = 0.12 mm. Να υπολογιστεί η γωνία φ του
κεκλιμένου επιπέδου.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Σχ.β). Παρατηρούμε πως
πάνω στο σώμα ασκείται το Βάρος του, η αντίδραση Ν από το επίπεδο, καθώς και η
αντίσταση τριβής Τ. Το βάρος W αναλύεται στις δυνάμεις:
34

35. Έτσι, παίρνοντας ροπές ως προς το σημείο Α, έχουμε
2.5.3. Λυμένες Ασκήσεις
ΑΣΚΗΣΗ 1: Σώμα τετραγωνικής διατομής με πλευρά l = 20cm και βάρος
W=4KN εδράζεται σε κεκλιμένο δάπεδο με γωνία φ = 30 και στηρίζεται σε τοίχο,
Ο
όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε τις τριβές που ασκούνται στο σώμα (
f = 0.30 ).
T2
P T1
W2
W1
W
N
A
φ φ
Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. τοποθετώντας τις δυνάμεις που ασκούνται στo σώμα:
Στην επαφή του με το δάπεδο ασκείται δύναμη Ν με διεύθυνση κάθετη στο
δάπεδο. Επίσης ασκείται τριβή T1 , κατά τη διεύθυνση του δαπέδου.
35

36. Στην επαφή του με τον τοίχο ασκείται δύναμη Ρ κάθετη στην επιφάνεια
επαφής, άρα οριζόντια. Επίσης ασκείται τριβή T2 , κατά τη διεύθυνση του τοίχου.
Στο κέντρο βάρους του σώματος ασκείται το βάρος του W .
Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες, την W1 κάθετη στην επιφάνεια του
δαπέδου και την W2 παράλληλη προς το δάπεδο. Οι δύο αυτές συνιστώσες είναι:
W1 = W ⋅ Cos (φ ) = 4 ⋅ Cos (30 O ) = 3.46 KN
W2 = W ⋅ Sin(φ ) = 4 ⋅ Sin(30 O ) = 2 KN
Η μέγιστη τριβή που μπορεί να αναπτυχθεί στην επαφή του σώματος με το
δάπεδο είναι:
T1max = f ⋅ W1 = 0.3 ⋅ 3.46 = 1.04 KN
Επειδή το σώμα ισορροπεί, πρέπει να ισχύουν οι εξισώσεις ισορροπίας.
Θεωρούμε σύστημα με άξονα y κατά τη διεύθυνση του βάρους και άξονα x κάθετο σε
αυτόν. Ροπές υπολογίζουμε ως προς το σημείο Α. Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι:
∑F x = 0 ⇒ P + T1x − N 1x = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ T2 y + N y + T1 y − W = 0 (2)
l l
∑M A = 0 ⇒ P ⋅ l ⋅ Cos (φ ) + T2 ⋅ l ⋅ Sin(φ ) + W ⋅ (1 − Sin(φ )) ⋅ Cos(φ ) − N ⋅ = 0
2 2
(3)
Παρατηρούμε ότι διαθέτουμε τρεις εξισώσεις για να υπολογίσουμε τέσσερις
αγνώστους ( T1 , T2 , P, N ). Συνεπώς χρειαζόμαστε άλλη μια σχέση.
Αρχικά δεχόμαστε ότι η T1 παίρνει τη μέγιστη τιμή της:
T1 = 1.04 KN
(4)
Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1),(2),(3),(4) βρίσκουμε:
P = 0.86 T2 = 0.36 T1 = 1.07 N = 3.68
Όμως, η τιμή της T2 δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από:
T2max = fP = 0.3P = 0.3 ⋅ 0.86 = 0.26
Συνεπώς η παραδοχή μας ότι T1 = 1.04 KN ήταν εσφαλμένη.
36

37. Δεχόμαστε τώρα ότι η T2 παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Τότε θα έχουμε:
T2 = f ⋅ P = 0.3P (5)
Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1),(2),(3),(5) βρίσκουμε:
P = 0.97 T2 = 0.29 T1 = 1.02 N = 3.7
(6)
Η λύση αυτή είναι αποδεκτή, διότι:
T1 = 1.02 < f ⋅ N = 0.3 ⋅ 3.7 = 1.11
Τέλος, κάνουμε την παραδοχή ότι η T2 παίρνει την ελάχιστη τιμή της:
T2 = 0 (7)
Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1),(2),(3),(7) βρίσκουμε:
P = 1.41 T2 = 0 T1 = 0.78 N = 4.17 (8)
Η λύση αυτή είναι επίσης αποδεκτή, διότι T1 = 0.78 < fN = 0.3 ⋅ 4.17 = 1.25
Επειδή οι συναρτήσεις των τριβών είναι γραμμικές, όλες οι τιμές της T2 είναι
αποδεκτές, επομένως, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα (6) και (8), έχουμε
τελικά σαν αποδεκτές τιμές:
0.97 ≤ P ≤ 1.41 0 ≤ T2 ≤ 0.29 0.78 ≤ T1 ≤ 1.02 3.7 ≤ N ≤ 4.17
Διαπιστώνουμε ότι δεν είναι δυνατό να υπολογίσουμε ακριβείς τιμές για τις
άγνωστες δυνάμεις, διότι το σύστημα εξισώσεων είναι υποορισμένο (έχουμε λιγότερες
εξισώσεις από ότι αγνώστους). Απλώς μπορούμε να περιορίσουμε το πεδίο τιμών
κάθε μιας δύναμης, θέτοντας περιορισμούς, που μας δίνει η θεωρία των τριβών.
2.6. Κέντρα βάρους
2.6.1. Στατική ροπή
Αν θεωρήσουμε μια στοιχειώδη επιφάνεια dF και ένα σύστημα συντεταγμένων
Oxy στο επίπεδο της επιφάνειας, τότε η στατική ροπή dS της επιφάνειας ως προς
37

38. κάποιον άξονα του συστήματος είναι το γινόμενο του εμβαδού της επί την απόστασή
της από τον άξονα.
x dF
y
Συμβολικά γράφουμε:
dS x = y ⋅ dF
dS y = x ⋅ dF
Στατική ροπή S μιας επιφάνειας F ως προς ένα άξονα του επιπέδου της είναι
το άθροισμα των στατικών ροπών όλων των στοιχειωδών επιφανειών, από τις οποίες
αποτελείται η F. Δηλαδή, για το σύστημα συντεταγμένων Oxy, ισχύει:
S x = ∫ dS x = ∫ y ⋅ dF
F F
S y = ∫ dS y = ∫ x ⋅ dF
F F
F
x dF
y
Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων O’x’y’ μετατοπισμένο παράλληλα προς το
Oxy, έτσι ώστε οι συντεταγμένες ενός σημείου ως προς το νέο σύστημα να είναι
x ' = x +a
y ' = y +b
38

39. y' y
F
a x dF
y
O x
b
O' x'
Οι στατικές ροπές της επιφάνειας F ως προς τους άξονες του νέου
συστήματος είναι:
S x ' = ∫ y ' dF = ∫ ( y + b)dF = ∫ ydF + b ∫ dF = S x + bF
F F F F
S y ' = ∫ x' dF = ∫ ( x + a ) dF = ∫ xdF + a ∫ dF = S y + aF
F F F F
Το οποίο σημαίνει ότι:
Η στατική ροπή μιας επιφάνειας ως προς άξονες παράλληλους
μεταξύ τους διαφέρει κατά το γινόμενο της επιφάνειας επί την απόσταση
των αξόνων.
2.6.2. Κέντρο βάρους επιφάνειας
Κέντρο βάρους μιας επιφάνειας F λέγεται το σημείο εκείνο, όπου αν
θεωρήσουμε μια στοιχειώδη επιφάνεια ίση με την F, τότε αυτή θα έχει ίση στατική
ροπή με την επιφάνεια F, ως προς οποιοδήποτε άξονα. (Σε πολλές βιβλιογραφίες το
κέντρο βάρους επιφάνειας αναφέρεται σαν κεντροειδές ).
Κεντροβαρικοί άξονες λέγονται οι άξονες που διέρχονται από το κέντρο
βάρους της επιφάνειας. Η στατική ροπή μιας επιφάνειας ως προς τους
κεντροβαρικούς της άξονες είναι μηδέν.
39

40. Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους Κ μιας επιφάνειας
F, ως προς σύστημα Oxy ενεργούμε ως εξής:
Θεωρούμε το Kx ' y ' , ένα κεντροβαρικό σύστημα με άξονες παράλληλους
στους γενικούς άξονες.
Οι στατικές ροπές της επιφάνειας F ως προς τους κεντροβαρικούς άξονες
είναι μηδέν, συνεπώς:
S x' = S y' = 0 (1)
Οι στατικές ροπές της επιφάνειας F ως προς τους άξονες του συστήματος
(όπως διαπιστώσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) είναι:
S x = S x' + yk F
S y = S y ' + xk F (2)
Λαμβάνοντας υπόψη τις (1) και επιλύοντας τις εξισώσεις (2) ως προς x k , y k
έχουμε:
Sy Sx
xk = yk =
F F
2.6.3. Λυμένες Ασκήσεις
ΑΣΚΗΣΗ 1: " Κέντρο βάρους ορθογωνίου παραλληλογράμμου ".
Ας υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζουμε το ΚΒ. του ορθογωνίου παραλ-
ληλογράμμου, το οποίο έχει βάση b και ύψος h.
Έστω λοιπόν Κ το ζητούμενο σημείο με συντεταγμένες (xk,yk), τις οποίες και
Θα προσδιορίσουμε.
40

41. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε βοηθητικό σύστημα αξόνων Oxy, τέτοιο ώστε το
σχήμα μας να βρίσκεται στο (Ι) τεταρτημόριο των αξόνων. Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε
στοιχειώδη επιφάνεια dF με τέτοιο τρόπο, ώστε να είναι κάθετη στον άξονα (έστω χ)
που Θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνιστώσα του (χk).
Η στοιχειώδης αυτή επιφάνεια έχει απόσταση έστω χ από την αρχή των
αξόνων, έχει ύψος h, πλάτος dχ και εμβαδόν dF=hdx. Το χ προφανώς μεταβάλλεται
από χ = 0 στο σημείο Ο, μέχρι χ = b στο σημείο Α.
Έτσι, σύμφωνα με τη σχέση (7.3 ), έχουμε
Εργαζόμενοι εντελώς ανάλογα, αλλά με στοιχειώδη επιφάνεια dF' = bdy και
όρια μεταβολής του y, από y = 0 στο σημείο Ο μέχρι y = h στο σημείο Γ, Βρίσκουμε
ότι η άλλη συντεταγμένη του Κ.Β. είναι, yk=hl2. Δηλαδή, Κ(xk,yk)=Κ(bl2,hl2).
ΑΣΚΗΣΗ 2: " Κέντρο βάρους τριγώνου ".
Εντελώς ανάλογα με την προηγούμενη άσκηση, θα προσδιορίσουμε το
άγνωστο Κ.Β. του τριγώνού ΑΒΓ που έχει βάση b και ύψος h.
Θεωρούμε βοηθητικό σύστημα αξόνων Γχy, έτσι ώστε το τρίγωνο να βρίσκεται
στο (Ι) τεταρτημόριο των αξόνων. Έστω λοιπόν Κ το ζητούμενο σημείο με άγνωστες
συντεταγμένες Κ(xk,yx).
41

42. Θεωρούμε στοιχειώδη επιφάνεια dF κάθετη στον άξονα y, η οποία έχει μήκος
z, ύψος dy και εμβαδόν dF= zdy.
Ας υποθέσούμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε πρώτα τη συντεταγμένη yk.
Αυτή προκύπτει από τη σχέση ορισμού της
Παρατηρούμε όμως από το σχήμα, ότι το τ δεν είναι σταθερό αλλά
μεταβάλλεται συναρτήσει του y με κάποια σχέση. Η σχέση αυτή προσδιορίζεται από
τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΤ', από όπου έχουμε
Οπότε, αντικαθιστώντας την τιμή του z, βρίσκουμε:
42

43. Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε τη συντεταγμένη χk και βρίσκουμε, χk=2b/3.
Δηλαδή οι συντεταγμένες του κέντρού βάρους Κ είναι, Κ(xk,yk) = Κ(2b/3,h/3).
ΑΣΚΗΣΗ 3: Να αποδειχθεί ότι η στατική ροπή κύκλου ως προς οποιαδήποτε
διάμετρό του είναι μηδέν. Βάσει αυτού να βρεθεί το κέντρο βάρους κύκλου.
y
dF
dr
R r c
dφ y
φ
O x
Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα R. Θεωρούμε σύστημα Oxy με αρχή το
κέντρο του κύκλου. Επειδή είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε πολικές
συντεταγμένες, θεωρούμε σύστημα πολικών συντεταγμένων ( r,φ) με αρχή το σημείο
Ο και μηδενική διεύθυνση την Ox .
Παίρνουμε μία στοιχειώδη επιφάνεια dF του κύκλου, η οποία βρίσκεται σε
απόσταση r από το Ο και σε γωνία φ από τον άξονα Ox . Η dF μπορεί να
εκφρασθεί σαν συνάρτηση μιας στοιχειώδους μεταβολής dr κατά μήκος της ακτίνας r
και μιας στοιχειώδους μεταβολής dφ της γωνίας φ.
Το εμβαδό της επιφάνειας dF είναι:
dF = c ⋅ dr (1)
Το στοιχειώδες πλάτος c της επιφάνειας είναι:
dφ
c = 2r ⋅ tan( ) (2)
2
43

44. dφ dφ
Επειδή η γωνία dφ είναι πολύ μικρή, ισχύει tan( 2 ) ≅ 2 , οπότε η σχέση (2)
γίνεται
dφ
c = 2r ⋅ ⇒ c = r ⋅ dφ (3)
2
Από τις (1) και (3) έχουμε τελικά:
dF = r ⋅ dφ ⋅ dr (4)
Οι αποστάσεις της στοιχειώδους επιφάνειας από τους άξονες είναι:
x = rCos (φ)
y = rSin(φ) (5)
Συνεπώς, οι στατικές ροπές του κύκλου ως προς τους άξονες Ox και Oy
είναι:

R 2π

S x = ∫ y ⋅ dF = ∫ r ⋅ Sin(φ ) ⋅ r ⋅ dφ ⋅ dr = ∫  ∫ r 2 ⋅ Sin(φ )dφ dr =
 
F F 0 0 
[ ]
R R
= ∫ − r ( Cos (2π ) − Cos (0) ) dr = ∫ 0dr = 0
2
0 0

R 2π

S y = ∫ x ⋅ dF = ∫ r ⋅ Cos (φ ) ⋅ r ⋅ dφ ⋅ dr = ∫  ∫ r 2 ⋅ Cos (φ )dφ dr =
 
F F 0 0 
[ ]
R R
= ∫ r ( Sin(2π ) − Sin(0) ) dr = ∫ 0dr = 0
2
0 0
Σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις, αποδείχθηκε ότι η στατική ροπή του
κύκλου ως προς τυχαίους άξονες, που διέρχονται από το κέντρο του, είναι μηδέν.
Άρα κάθε διάμετρος του κύκλου είναι κεντροβαρικός άξονας, επομένως το κέντρο του
είναι το κέντρο βάρους του, σαν τομή όλων των κεντροβαρικών αξόνων.
ΑΣΚΗΣΗ 4: Να προσδιοριστεί το κέντρο βάρούς Κ της διατομής ενός
γωνιακού ελάσματος, που φαίνεται στο σχήμα.
44

45. Για την επίλυση τέτοιων σύνθετων διατομών, ακολουθούμε τα εξής βήματα:
1. Ορίζουμε βοηθητικό σύστημα αξόνων Oxy, έτσι ώστε η διατομή να
βρίσκεται (κατά προτίμηση) στο (Ι) τεταρτημόριο των αξόνων.
2. Χωρίζουμε τη γωνιακή διατομή σε άθροισμα δύο ορθογωνίων F1 και F2
των οποίων υπολογίζουμε το εμβαδόν τους, καθώς και τις συντεταγμένες (χi , yi) του
Κ.Β. του καθενός από αυτά ως προς το βοηθητικό σύστημα αξόνων Oxy, οπότε
βρίσκουμε
3. Έστω xk,yk οι ζητούμενες συντεταγμένες του Κ.Β της διατομής.
Εφαρμόζουμε το θεώρημα των στατικών ροπών ως προς τον άξονα y, οπότε έχουμε
4. Όμοια, εφαρμόζουμε το Θεώρημα των στατικών ροπών και ως προς τον
άξονα χ, ή και διαφορετικά χρησιμοποιούμε τη σχέση ορισμού, οπότε έχουμε
45