Οδηγίες για τη δημιουργία διαδραστικών δραστηριοτήτων με την εφαρμογή Wordwal...
17η ανάρτηση
1. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
H f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 , με παράγωγο
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α < -2 τέτοιος, ώστε
2 22
1 1 1 1
f α = -1 f α = -θ + + = θ
θ α α + 1 α + 2
Θεωρούμε τη συνάρτηση g : , 2 με τύπο
2 22
1 1 1
g x
x x 1 x 2
x
lim g x 0
, άρα 1
g x 0 για κάποιο 1
x κοντά στο
x 2
lim g x
, άρα 2
g x 0 για κάποιο 2
x 2 κοντά στο 2
Η g είναι συνεχής στο , 2 , άρα και στο 1 2
x ,x
Οπότε η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα 1 2
x ,x , άρα
υπάρχει 1 2
α x ,x , 2 τέτοιο, ώστε
2 22
1 1 1
g α = 0 + +
α α + 1 α + 2
Επιπλέον η g είναι παραγωγίσιμη στο , 2 , με παράγωγο
3 33
1 1 1
g x 2 0
x x 1 x 2
για κάθε x 2
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο , 2 , οπότε ο αριθμός α είναι μοναδικός.
Λύνει ο Λάζαρος Ζαχαριάδης
2. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2 2 2
3 3 3
1 1 1
f : A ( , 2) ,f(x) .
x x 1 x 2
ια κάθε x A,
1 1 1
f'(x) ,
x (x 1) (x 2)
2 2 2
f''(x) 0,
x (x 1) (x 2)
άρα η f' είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α.
Συνεπώς το σύνολο τιμών της
xx 2
xx 2
είναι το f'(A) ( lim f '(x), lim f '(x)).
Είναι
1
lim f '(x)=- -1-(+ )=- και lim f '(x)=0, οπότε f '(Α) = (- ,0).
4
θ > 0 -θ 0, άρα -θ f '(Α).
Άρα υπάρχει μοναδικό , εφόσον η
0
0
0 0 f
ζ 0
0
f ' είναι γνησίως φθίνουσα, x ( , 2),
τέτοιο ώστε f '(x ) = -θ.
Στο σημείο Μ(x ,f(x )) η εφαπτομένη ζ της C έχει συντελεστή διεύθυνσης
λ = f '(x ) = -θ.
1 1
Για την ευθεία ε : θy = x + 1 y x ,
0 0 f
f
1
άρα λ .
1
ίναι λ 1 .
Υπάρχει δηλαδή μοναδικό σημείο Μ(x ,f(x )) της C , στο οποίο η εφαπτομένη ζ
της C είναι κάθετη στην ευθεία ε .
Λύνει η Ντίνα Ψαθά
3. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Η ευθεία
1 1
: y x 1 y x
έχει σ.δ
1
.
Η εφαπτομένη της f
C στο σημείο της 0 0
M x ,f x έχει σ.δ 0
f x
.
Για να είναι πρέπει
0 0
1
1 f x 1 f x
.
Για κάθε x , 2 είναι
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
και
3 33
2 2 2
f x 0
x x 1 x 2
αφού x 2
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 2 .
Η f είναι συνεχής στο , 2 ως πράξεις συνεχών και γνησίως φθίνουσα
σ’ αυτό οπότε xx 2
f , 2 lim f x , lim f x ,0
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
lim f x lim 1
x 4x 1 x 2
2 22x x
1 1 1
lim f x lim 0
x x 1 x 2
Είναι 0 0 άρα το ,0 δηλαδή στο σύνολο τιμών της f οπότε
υπάρχει 0
x , 2 ώστε 0
f x και είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως
φθίνουσα στο , 2 .
Λύνει o Τρύφωνας Ζωϊτσάκος
4. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έχουμε:
1 1
( ) : y x
, με συντελεστή διεύθυνσης
1
, 0
.
Έστω 0, 0
x f(x ) με 0
x , 2 το σημείο επαφής της εφαπτομένης της f
C , η οποία
έχει συντελεστή διεύθυνσης 0
f (x ) , για να είναι αυτή κάθετη στην θα πρέπει
0 0 0 0
1
f (x ) 1 f (x ) 1 f (x ) f (x ) 0
, έτσι λοιπόν αρκεί να
δείξουμε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει μοναδική ρίζα 0
x , 2 .
Είναι
2 22
1 1 1
f (x) ,x , 2
x x 1 x 2
Θεωρούμε τη συνάρτηση
2 22
1 1 1
g(x) f (x) ,x , 2
x x 1 x 2
.
Θα δείξουμε ότι η g έχει μοναδική ρίζα 0
x , 2 .
Ύπαρξη της ρίζας
Επειδή
2 22x x
1 1 1
lim g(x) lim 0 0 0 0
x x 1 x 2
, θα
υπάρχει ένας «πολύ μικρός» , ( κοντά στο ) έτσι ώστε g( ) 0
Ακόμη
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
lim g(x) lim 1
x 4x 1 x 2
, οπότε θα
υπάρχει ένας , ( κοντά στο 2 ) έτσι ώστε g( ) 0 .
Άρα η g στο διάστημα , , 2 ως παραγωγίσιμη σ’ αυτό με
3 33
2 2 1
g (x) ,x , 2
x x 1 x 2
είναι συνεχής και ισχύει: g( ) g( ) 0 , οπότε
ικανοποιεί πλήρως τις υποθέσεις του Θ. Bolzano και άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένας
0
x , , 2 τέτοιος, ώστε 0
g(x ) 0.
Μοναδικότητα της ρίζας
Επειδή
3 33
2 2 1
g (x) 0, x , 2
x x 1 x 2
η g είναι γνησίως φθίνουσα στο
, 2 και άρα είναι "1 1" , οπότε η ρίζα 0
x , 2 είναι μοναδική.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος
5. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2
f x f x 0 f
x (x 1) (x 2) x (x 1) (x 2)
x
lim f x 0
, x 2
lim f x
.
Το σύνολο τιμών της f είναι το ,0 , άρα παίρνει την αρνητική τιμή μοναδική
φορά στο , 2 .
Δηλαδή υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f
C κάθετη στην .
Λύνει ο Κώστας Δεββές
6. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Η
1 1 1
f(x) , x ( , 2)
x x 1 x 2
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
2 2 2
1 1 1
f (x) , x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
και
3 3 3
2 2 2
f (x) 0, x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο ( , 2) και
xx 2
f ( ) ( lim f (x), limf (x)) ( ,0)
αφού
2 2 2x x x
1 1 1
lim 0, lim 0, lim
x (x 1) (x 2)
και
2 2 2x 2 x 2 x 2
1 1 1 1
lim , lim 1, lim
x 4 (x 1) (x 2)
επομένως για κάθε (0, ) το
1
(0, )
και το
1
( , 0) f (A)
οπότε
υπάρχει 0
x ( , 2) και μάλιστα μοναδικό λόγω μονοτονίας της f ώστε
0
1
f (x )
άρα και μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f το 0 0
(x , f(x )) με
εφαπτομένη κάθετη στην
1 1
y x
Λύνει ο Βασίλης Κακαβάς
7. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Πρέπει 0 0 0
1
f' x 1 f' x 1 f' x
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη x 2 με
2 22
1 1 1
f' x 0
x x 1 x 2
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα x 2
Επίσης η συνάρτηση f'είναι παραγωγίσιμη x 2 με
3 33
2 2 2
f'' x 0
x x 1 x 2
Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη και η συνάρτηση f'γνησίως φθίνουσα x 2
Βρίσκοντας το σύνολο τιμών της f'έχουμε ότι:
f'
x 2 x
f' , 2 limf' x , lim f' x ,0
αφού
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
limf' x lim 2
x 4x 1 x 2
2 22x x
1 1 1
lim f' x lim 0
x x 1 x 2
Άρα για κάθε 0 υπάρχει 0
x μοναδικό, λόγω μονοτονίας της f' , τέτοιο ώστε
0
f' x .
Λύνει ο Παναγιώτης Βιώνης
8. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Επειδή θ>0 έχουμε ότι : ε
1
λ =
θ
οπότε αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός
αριθμός 0
x , 2 τέτοιος ώστε να ισχύει : 0
f΄ x = θ
Η f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 οπότε έχουμε :
2 22
1 1 1
f΄ x =- - -
x x+1 x+2
Η f΄ είναι παραγωγίσιμη στο , 2 άρα :
3 33
2 2 2
f΄΄ x = + +
x x+1 x+2
Για κάθε x , 2 έχουμε ότι : 3
x 0 ,
3
x+1 0 ,
3
x+2 0
άρα f΄΄ x 0 οπότε f ΄ γνησίως φθίνουσα στο , 2
Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f ΄
2 22x x
1 1 1 1 1 1
limf΄(x) lim - - - - - - 0
x x+1 x+2
2 22x 2 x 2
1 1 1 1 1
lim f΄(x) lim - - - - -1-
x 4 0x+1 x+2
Άρα το σύνολο τιμών της f ΄ είναι : xx 2
lim f΄(x) , lim f΄(x) ,0
Επειδή θ>0 -θ ,0
Σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ υπάρχει αριθμός 0
x , 2 ώστε : 0
f΄ x = θ
και επειδή f ΄ γνησίως φθίνουσα στο , 2 ο αριθμός 0
x είναι μοναδικός .
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς
9. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Είναι για x 2 ,
1 1 1
f(x)
x x 1 x 2
,
2 2 2
1 1 1
f'(x)
x (x 1) (x 2)
,
3 3 3
2 2 2
f''(x) 0
x (x 1) (x 2)
.
Η συνάρτηση f'είναι συνεχής στο ( , 2) ως άθροισμα συνεχών και είναι γνήσια
φθίνουσα διότι f''(x) 0 στο ( , 2) .
Τώρα
x
lim f'(x) 0
,
x 2
lim f'(x)
οπότε
πεδίο τιμών της f'είναι f' ( , 2) =( ,0) .
Όμως 0 0 f' ( , 2) , συνεπώς 0
x 2 ώστε 0
f'(x ) .
Στο σημείο Α 0 0)
x ,f(x η εφαπτόμενη (η) της γραφικής παράστασης της f είναι κάθετη
στην ευθεία (ε), διότι
1
,
και 1
.
Επειδή η f'είναι γνήσια φθίνουσα στο ( , 2) , το 0
x είναι μοναδικό.
Άρα υπάρχει μοναδικό σημείο Α 0 0)
x ,f(x στο οποίο η εφαπτόμενη της γραφικής
παράστασης της f είναι κάθετη στην ευθεία (ε).
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς
10. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1η Λύση
2 2 2
3 3 3
xx 2
1 1 1
Έ f (x) 0 ά x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
2 2 2
f (x) 0 ά x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
ύ f ή ( , 2) f (x) 0 ά f ί ί
ύ ώ ί ( lim f (x), lim
f (x)) . ( ,0)
Για να υπάρχει σημείο της συνάρτησης στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην
0
x 1 έ f (x )
Αφού το σύνολο τιμών της f είναι ( ,0) άρα υπάρχει θ>0 τέτοιο ώστε 0
f (x )
και είναι μοναδικό, αφού η f ί ί ί
2η Λύση
2 2 2
x
x 2
1 1 1
έ h(x) ά ( , 2)
x (x 1) (x 2)
Έ ό lim h(x) 0 ά ά 0( ά ) έ ώ h( ) 0
ό έ ό lim h(x) 0 ά ά 0( ά 2) έ ώ h( ) 0.
ό . Bolz
0 0
03 3 3
ano [ , ] ά x ( , 2) έ ώ h(x ) ή h
ί ί ύ
2 2 2
(h (x) 0 x ( , 2)) ά x ί ό
x (x 1) (x 2)
3η Λύση
Θα μπορούσαμε και με Θ.Ε.Τ. στο [κ,λ] (από 2η Λύση) να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη
0 0
03 3 3
ό x ( , 2) έ ώ h(x ) ή h ί ί ύ
2 2 2
(h (x) 0 x ( , 2)) ά x ί ό
x (x 1) (x 2)
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος
11. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α΄ τρόπος
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 με
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
.
Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο A ,f τέτοιο , ώστε : f <0 .
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο , 2 με
3 33
2 2 2
f x 0
x x 1 x 2
για κάθε x , 2 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 2 .
Επίσης x
lim f x 0
και x 2
lim f x
, άρα είναι f , 2 ,0 .
Επειδή f , 2 υπάρχει , 2 : f και επειδή η f είναι γνησίως
φθίνουσα στο , 2 το είναι μοναδικό , άρα υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής
παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση
y x 1 .
β΄ τρόπος
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 με
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
.
Έστω συνάρτηση g x f x με x , 2 , 0 .
Έχουμε x x
lim g x lim f x 0
και x 2 x 2
lim g x lim f x
, άρα
υπάρχουν αριθμοί 2 τέτοιοι ώστε g 0 και g 0 .
Οπότε επειδή η g είναι συνεχής στο , και g g 0 από Θ. Bolzano υπάρχει
μία τουλάχιστον τιμή , , 2 τέτοια , ώστε : g 0 f .
Έστω ότι υπάρχουν δύο ρίζες 1 2
, με 1 2
2 της εξίσωσης g x 0 , δηλ.
1 2
g g 0 . Τότε η g είναι συνεχής στο 1 2
, , 2 , παραγωγίσιμη στο
1 2
, με
3 33
2 2 2
g x f x
x x 1 x 2
και 1 2
g g 0 , οπότε από
Θ.Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 2
, : g 0 , άτοπο, αφού g x 0 στο
, 2 .
Άρα η g x 0 f x έχει μοναδική ρίζα στο , 2 .
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης